Con frecuencia se denominan los problemas en
correspondencia a la rama de la Matemática en la cual se
aplican los contenidos o los recursos para resolver el problema.
Por ejemplo, se llaman aritméticos, algebraicos,
geométricos, estadísticos, entre otros. En este
caso no es correcto plantear que se ha realizado una
clasificación, porque para que esto ocurra las clases en
las que se divide el concepto superior deben ser disjuntas y en
esta oportunidad no siempre esto ocurre. Por ejemplo, existen
problemas que para resolverse se pueden aplicar procedimientos o
recursos tantos aritméticos como algebraicos.
No obstante, por la amplia utilización en la
enseñanza primaria se precisará en qué
consisten los llamados problemas aritméticos que
serán considerados como aquellos problemas
matemáticos donde la vía fundamental de
solución es la aplicación de las propiedades de los
números o de las operaciones básicas con los
mismos.
Estos problemas se pueden clasificar según
diferentes puntos de vista:
De acuerdo a la "cantidad de pasos de
solución" pudieran ser:simples que son aquellos que se resuelven en un solo
paso de solución ycompuestos que se resuelven en más de un paso
de solución (por lo general, para encontrar lo que se
busca hay primero que hallar otros elementos desconocidos que
están en el propio problema y que se acostumbra
llamarlos subproblemas o problemas
auxiliares).
Es bueno precisar que los problemas simples,
otros investigadores los han nombrado como problemas de una
etapa, mientras que a los compuestos (PAVECO) se les
llaman de más de una etapa y otros los llaman
combinados.
Además los compuestos se pueden subdividir por el
"tipo de relaciones entre las operaciones" en:
independientes: cuando el orden en que se realizan
los pasos de solución NO son determinantes para
resolverlo ydependientes: cuando se cumple lo
contrario
Esta última clasificación en muy empleada
en la enseñanza de la Matemática en la escuela
primaria cubana.
Por otra parte los problemas también se pueden
clasificar:
Por el "tipo de lenguaje utilizado" pueden
ser:verbales: son los que describen relaciones
cuantitativas que existen entre objetos utilizando la
palabra como canal o vía fundamental por medio
de la cual se desarrolla la comunicación.no verbales: son aquellos donde la
comunicación se establece por medio de un lenguaje
donde la palabra no es el canal básico; se
caracterizan por la brevedad y en ellos prevalecen el empleo
de signos, símbolos, gráficos u otros recursos
del lenguaje visual.
Ahora bien, los verbales se sub-dividen en:
matemáticos si el texto que emplea es del
lenguaje propio de esta asignatura yno matemático o común si su texto es
el empleado en la vida, en la práctica y no en el
lenguaje propio de la Matemática.
En este trabajo se estudiaran los problemas
aritméticos verbales compuestos dependientes pero de
dos etapas o pasos (PAVECOD2).
Ahora bien, los problemas compuestos dependientes
también tienen sus peculiaridades. En algunos casos, la
dependencia aparece de manera explícita en el
problema, pues se plantean dos incisos, donde para contestar el
segundo es preciso haber respondido al primero. En otros, el
problema solo contiene una pregunta pero para contestarla el
alumno debe resolver, al menos, un sub-problema o problema
auxiliar, o sea que la dependencia es
implícita.
Los problemas compuestos también se pueden
sub-dividir "por el tipo de operaciones que se deben
realizar" en:
compuestos puros son aquellos que se
resuelven aplicando de manera reiterada una misma
operación aritmética.compuestos mixtos son los que se caracterizan
por resolverse utilizando para ellos distintas operaciones
aritméticas.
Por otra parte, si se tiene en cuenta "el orden en
que aparecen los datos y su utilización en el proceso de
solución" se tendrían que pudieran
ser:
compuestos directos: son aquellos que la
secuencia temporal en que aparecen los datos es la misma en
la que deben ser utilizados para resolver el
problema.compuestos indirectos: son los que los datos
aparecen en un orden o secuencia y se utilizan de otra manera
para resolver el problema.
Investigaciones realizadas en los
PAVECO
Las investigaciones realizadas acerca de los PAVECO se
van a agrupar aquí en tres enfoques distintos, de acuerdo
a las características que han predominado en estos
estudios:
a) Enfoque basado en el estudio de los procesos
y pasosc) Enfoque basado en el análisis
lingüístico
Seguidamente se analizaran los aspectos
básicos del último enfoque por ser el que
está relacionado con este trabajo, que pueden agruparse en
dos:
a) Análisis
sintáctico-gramatical
Uno de los estudios iniciales de este enfoque son los
realizados por las investigadoras Nesher & Hershkovitz,
(1994) que estudian los problemas compuestos desde una
perspectiva textual, es decir, a partir del análisis de
las proposiciones u oraciones que lo estructuran. Estas autoras
introducen en sus estudios algunos términos que conviene
puntualizar: "componentes", "estructuras subyacentes" y
"esquemas".
El texto de un problema de un solo paso contiene tres
"componentes"; dos de ellas contienen la
información numérica, es decir, son los datos o las
situaciones iniciales que ellas denominan componentes
completos y otro que es la pregunta o situación final,
donde está ausente la información numérica y
que llaman componente incompleto. Ahora bien, a las
relaciones coherentes que se establecen entre estos tres
componentes la designan por "estructura subyacente".
Finalmente, emplean el término de "esquema" que
significa la composición de dos o más
estructuras.
Al estudiar los problemas de dos pasos introducen un
nuevo vocablo: "componente latente", que no siempre
aparece de manera explícita en el problema y es el que
establece la relación entre una operación y la
otra. Para ilustrar sus planteamientos se tomará uno de
los ejemplos que ellas utilizaron en sus estudios:
1. Un total de 35 flores son distribuidas a
partes iguales en 7 jarrones. En cada jarrón hay 3
tulipanes y el resto son rosas. ¿Cuántas rosas
hay en cada jarrón?
Los componentes explícitos de
este problema son:
1) Un total de 35 flores son
distribuidas a partes iguales en jarrones (componente
completo)2) Hay 7 jarrones (componente
completo)3) Tres tulipanes en cada
jarrón (componente completo)4) ¿Cuántas rosas hay en cada
jarrón? (componente incompleto)
Sin embargo, hay un componente implícito que
sirve de nexo entre dos datos y el tercero y la pregunta que en
este caso sería la interrogante: ¿Cuántas
flores hay en cada jarrón? ("componente
latente") que se infiere del texto del problema. Es el
resultado de la operación: 35 : 7 = ? de la estructura
multiplicativa y la entrada a la segunda operación: ?
– 3 = 2, que forma parte de la estructura aditiva.
Así, la componente latente es compartida y sirve de enlace
entre las dos estructuras subyacentes en este problema de dos
pasos.
En resumen, en un problema de dos pasos hay dos
estructuras subyacentes y seis componentes, cuatro de ellas
están mencionadas explícitamente en el texto, y una
es latente y sirve dos veces, en diferentes roles en su
estructura: por ejemplo, en el problema anterior se tiene
que:
1. ¿Cuántas flores hay en cada
jarrón? ("componente latente")2. Hay (?) flores en cada jarrón
("componente latente")
Se debe observar que la primera componente es la
interrogante que se hace y la segunda en la respuesta obtenida al
contestarla y que servirá de datos para darle
solución al problema formulado.
Categorización por
esquemas
Estas autoras consideran que el éxito del
resolutor de un problema de dos pasos esta directamente
relacionado con el esquema del problema, que le ayudará a
interpretar el texto dado, y a imaginar la situación a
modelar, si fuera necesario, para realizar los cálculos
que permiten obtener la solución buscada.
Es por ello que señalan que la definición
de los problemas compuestos no se basa de las cuatro operaciones
aritméticas como afirma Gray, sino en los esquemas simples
constituidos por una relación entre tres cantidades. En el
esquema aditivo sus tres componentes son el todo y sus dos
partes, mientras que en el multiplicativo son el producto (se
equipara al todo) y los dos factores (se equipara a las partes).
Ellas parten del trabajo previo de Shallin & Bee (1985) para
afirmar que solo hay tres esquemas básicos para los
problemas de dos pasos o etapas:
ESQUEMA (A) (Jerárquico): El todo de un
esquema es parte del otro.
ESQUEMA (B) (Compartir el todo): Los dos esquemas
comparte en todo.
ESQUEMA (C) (Compartir una parte): Los dos
esquemas comparte una parte
A continuación se ilustran los esquemas
anteriores:
El funcionamiento de los esquemas hace ver con claridad
cuál es la primera operación que debe ser
ejecutada. Se debe siempre comenzar por la estructura que tiene
las dos componentes completas y que su salida formará
parte de la estructura que inicialmente tiene solo una componente
completa.
Se ilustrará lo anterior con el problema 1 y con
el que sigue:
2. En cada jarrón hay 3 tulipanes y 2
rosas. ¿Cuántas flores hay en total en 7
jarrones?
Como se puede apreciar el componente latente en ambos
problemas es el mismo y comparten las estructuras subyacentes.
Sus diferencias vienen dadas en lo dado y lo buscado (componentes
completos e incompletos). Además, en el problema 1
intervienen la división y la sustracción y comienza
con la estructura multiplicativa, mientras que en el 2 se
utilizan la adición y la multiplicación y se inicia
con la estructura aditiva.
¿Cómo se emplea el esquema B?
En el mismo la suma (el producto) de una estructura es
el producto (la suma) de la otra, es decir, que las dos
estructuras comparten el todo. Veamos un ejemplo donde se
utiliza:
3. Se tienen 14 rosas y 21 tulipanes que son
distribuidos a partes iguales en siete jarrones.
¿Cuántas flores se colocaran en cada
jarrón?
En este caso ambas estructuras comparten el
componente latente: ¿Cuántas flores hay
en total?: la suma de la estructura aditiva con el producto
de la multiplicativa.
Finalmente, veamos como se puede utilizar el esquema
C: un sumando (factor) de una estructura es al mismo tiempo
el factor (sumando) de la otra o sea, las dos estructuras
comparten una parte. Veamos un ejemplo:
4. En una fiesta hay 20 chicos, 12 de ellos
son niños. Se trajeron 40 flores para ser distribuidas
por igual entre las niñas. ¿Cuántas
flores se le entregó a cada
niña?
En este caso se puede observar que ambas estructuras
comparten una misma parte: componente latente:
¿Cuántas niñas hay en la fiesta? En este
caso es un sumando de la primera estructura (aditiva) y un factor
de la segunda (multiplicativa).
Los ejemplos presentados fueron tomados de la
composición de una estructura aditiva y una
multiplicativa. Sin embargo, se puede también construir
problemas que sean combinaciones de dos estructuras aditivas o
dos multiplicativas.
b) Análisis semántico
Más recientemente, se efectuó otra
investigación en España por (Frías y Castro,
2007) que estuvo encaminada a determinar si una variable
lingüística denominada por ellos "nodo", tiene o no
influencia significativa en la elección de las operaciones
necesarias para solucionar problemas aritméticos verbales
de dos pasos.
¿A qué denominan "nodo"?
"La condición de nodo (nexo) la tienen
aquellas cantidades que son compartidas por varias estructuras
simples dentro de un problema compuesto, con independencia de que
tales cantidades sean datos del problema o incógnitas
intermedias (cantidades latentes) del mismo" (Frías y
Castro, 2007, p.33).
Por tanto, en los problemas de dos pasos puede ocurrir
que tengan un solo nodo, que son las estudiadas por Nesher &
Hershkovitz (N&H), (1994) o que tengan dos.
A partir de las ideas de las autoras anteriores, ellos
determinan tres tipos posibles de esquemas a utilizar para los
problemas con dos nodos, que se presentan a
continuación:
1. Cuando una parte y el todo de un esquema
simple coinciden con las partes del otro esquema simple. Este
esquema lo denotan por JP, pues es una adaptación del
esquema A (jerárquico) de N&H. A
continuación se ilustran las dos posibles situaciones
diferentes que se pueden presentar:
Si en el esquema la componente latente es el
todo de una de las estructuras simples y una parte de la
otra, entonces se tiene el esquema denotado por JP1, y la si
componente latente es la parte compartida por ambos
esquemas simples, se tiene el esquema denotado por JP2. En ambos
casos comparten un dato (D) que es una parte común
en el primer caso y un todo y una parte común de la
primera y segunda estructura simple respectivamente.
Ejemplifiquemos estas situaciones:
5. Carlos tenía 5 bolas y su abuelo
le regaló el triplo. ¿Cuántas bolas
tiene ahora?
7. Carlos tenía algunas bolas y su
abuelo le regaló 15, que representa el triplo de las
que tenía. ¿Cuántas bolas tiene
ahora?
2. Cuando las dos partes de un esquema simple
coinciden con las del otro, se tiene el esquema denotado por
CPP (compartir parte y parte). También puede generarse
a partir del esquema compuesto (C): CP de N&H, haciendo
coincidir la otra parte de ambos esquemas simples. A
continuación se ilustra el esquema que lo
representa:
Veamos un ejemplo donde se utilice:
9. Un terreno de forma rectangular tiene un
área de 150 m2. Si uno de sus lados mide 10 m.
¿Cuál es el valor del
semiperímetro?
Como se puede apreciar en este esquema se comparten: 10
es un factor y un sumando (conocido), mientras ? es el
otro factor (sumando) y el otro sumando (factor), ambos
desconocidos.
3. Cuando una parte y el todo de un esquema
simple coinciden con parte y todo del otro esquema simple. Lo
denominan CTP (compartir todo y parte), que se puede obtener
a partir del esquema (B): CT (Compartir el todo de N&H)
si se hace coinciden una parte de cada esquema simple, o
también del esquema (C); CP (compartir una parte de
N&H), si se hace coincidir el todo de cada esquema
simple. A continuación se ilustra dos de las
situaciones diferentes que se pueden presentar:
Se puede observar que si la componente latente es
el todo compartido por las dos estructuras, entonces se
tiene el esquema CTP1, mientras que si componente latente
es una parte compartida por ambas estructuras, se tiene el
esquema CTP2.
Ejemplifiquemos estas dos situaciones:
11. Carlos tenía 5 bolas y su abuelo
le regaló el triplo. ¿Cuántas bolas
tiene ahora más que antes?
13. Carlos tenía cierta cantidad de
bolas y su abuelo le regaló el triplo de las que
tenía. Ahora tiene 15. ¿Cuántas bolas
tiene ahora más que antes?
Es bueno aclarar que aunque aquí se han
señalado ejemplos donde se combinan la estructuras
aditivas con las multiplicativas, también se pueden
utilizar dos aditivas o dos multiplicativas, o sea, los pares: (A
, A) o (M , M).
Como se puede apreciar, el empleo de estos esquemas por
parte de los alumnos de la enseñanza primaria, debe
resultar complicado por todos los elementos de cada estructura
que deben tener en cuenta. Es por ello que aquí se propone
el empleo de UN SOLO TIPO de modelo, que se
denominará MODELO JERARQUICO RAMIFICADO (MJR). Este
tendrá las siguientes características:
a) El esquema que se empleará,
serán una adaptación del jerárquico de
Nesher & Hershkovitz, (1994) y el JP de Frías y
Castro, (2007).b) El modelo que se recomienda, se puede
utilizar indistintamente para todos los casos que se pudieran
presentar en este tipo de problemas; por tanto es
GENERALIZADOR.c) Se sustituirán los rectángulos
por círculos y por cuadrados. Los
primeros se utilizaran para los términos de las
operaciones y los segundos para el resultado de las
mismas. Se introducen saetas para indicar el camino de
los términos al resultado. Siempre aparecerá un
valor numérico que tiene una doble función:
resultado y término y por tanto se representará
doblemente con las dos figuras.d) Se recomienda comenzar su trazado a partir
de los términos. Además entre las dos saetas y
próximo al resultado se escribirá el
símbolo de la operación que relaciona a los dos
términos.
Se ilustrará el empleo de este esquema con los
siguientes problemas:
Problemas compuestos dependientes
explícitos:
Este tipo de problemas se pudiera proponer a los alumnos
al finalizar el segundo grado o al inicio de tercer
grado.
15. La directora de una escuela primaria
entregó 20 cajas de lápices de colores a cada
uno de los 8 grupos de tercer grado. Ella tenía 176
cajas y las que quedaron se las dio a los grupos de primer
grado.
a) ¿Cuántas cajas de
lápices de colores entregó a tercer
grado?b) ¿Cuántas cajas de
lápices entregó a primer grado?
Veamos otro problema con un nivel de dificultad
mayor:
16. El papá de Carlitos necesita
viajar en su automóvil de la ciudad A hasta la B. El
lunes recorrió 100 km y en los restantes tres
días recorrió la misma cantidad de km y pudo
llegar a su meta. La distancia entre ambas ciudades es de 340
km.
a) ¿Cuántos km le faltó
recorrer al finalizar el lunes?b) ¿Cuántos km recorrió
en cada uno de los otros tres días?
Con el siguiente problema se ilustrará dos
posibles esquemas a emplear, en dependencia de si trabajamos con
las operaciones directas o inversas:
17. En un estanque hay 30 patos, algunos
cisnes y 23 carpas. En total hay 68 animales.a) ¿Cuántas aves hay en el
estanque?b) ¿Cuántos cisnes hay en el
estanque?
Aquí es importante que los alumnos reconozcan que
los patos y los cisnes son aves (este último es un
concepto superior respecto a los dos anteriores que serían
sus subordinados). Además que las aves y las carpas son
animales.
Se considera oportuno mostrarles a los alumnos los dos
esquemas, así como el funcionamiento y
características de cada uno de ellos: en el de la
izquierda se trabaja con dos estructuras aditivas, se
colocan los datos en el mismo orden en que aparecen; se parte de
los conceptos subordinados a los superiores y se utiliza la
sustracción como operación inversa de la
adición; en el de la derecha se utiliza la
operación sustracción de manera directa, no como la
operación inversa de la adición; los datos no se
colocan en el mismo orden en que aparecen en el problema y se
parte del concepto superior a los subordinados. Cada alumno
escogerá el esquema que mejor comprenda.
Problemas compuestos dependientes
implícitos:
Este nuevo escalón de dificultades al cual deben
enfrentarse los escolares al resolver este tipo de problemas se
recomienda también introducirlo en el tercer grado.
En esta oportunidad cada alumno debe descubrir cuál es el
sub-problema o problema auxiliar que él debe plantearse y
que le sirve de puente para poder darle solución a la
pregunta explícita en el problema. El primer problema a
presentar pudiera ser uno similar al que sigue:
18. En un campamento hay 95 excursionistas.
De ellos 43 están practicando natación y 22
jugando béisbol. ¿Cuántos excursionistas
no están practicando ningún
deporte?
Una pregunta clave que el docente debe hacer aquí
es la siguiente:
¿Qué otra interrogante debes
plantearte, que al contestarla la utilizarás para poder
contestar la pregunta que se te ha formulado?
En este caso sería: ¿Cuántos
excursionistas están practicando algún deporte?
Se puede observar que es la pregunta opuesta a la formulada
inicialmente en el problema. El esquema que pudieran emplear
sería:
De un rollo de alambre que tiene 185 m de largo
se cortan 3 pedazos iguales de 60 m cada uno.
¿Cuántos metros de alambre quedan en el
rollo? (tomado del libro de texto de Matemática
3er. grado, p. 102)
El siguiente problema a pesar que para resolverlo es
preciso aplicar de manera iterada la misma operación: la
adición, las investigaciones han demostrado que los
escolares presentan dificultades al resolverlo ya que en
aquí un mismo dato se utiliza dos veces:
David tiene 45 sellos de correo y Fernando tiene
12 más que David. ¿Cuántos sellos tienen
entre los dos?
En el siguiente problema se presenta una nueva
dificultad: la utilización no directa del significado de
un vocablo: doble
Tres alumnos coleccionan postales. Marcos tiene
125 y Raúl 109. Entre los dos tienen el doble de las
postales que tiene Jorge. ¿Cuántas postales
tiene Jorge? (tomado del libro de texto de
Matemática 3er. grado, p. 130)
El problema que sigue se caracteriza por también
utilizar un dato dos veces en la solución, pero en este
caso se aplican dos operaciones distintas:
Gustavo tenía $ 50 y su mamá le
regala por su cumpleaños el triplo de lo que
tenía. ¿Cuánto dinero tiene ahora
más que antes?
El próximo problema tiene la principal dificultad
de que se combinan las dos operaciones inversas:
sustracción y división, que tradicionalmente
provocan limitaciones en los escolares para trabajar con
ellas:
En una fiesta hay 50 personas. De ellas 42 son
adultos y el resto son niños. Se quiere repartir 40
globos a partes iguales entre los niños.
¿Cuántos globos le corresponden a cada
uno?
Este último ejemplo tiene la peculiaridad de que
la información que se brinda en el problema se utiliza en
orden inverso a como se ofrece y esto obliga al resolutor a
proceder de "atrás hacia delante":
Héctor ha resuelto tres problemas
más que Julia. Julia ha resuelto el doble que Enrique.
Enrique ha resuelto nueve problemas. ¿Cuántos
problemas ha resuelto Héctor?
En cada uno de esos problemas debe orientarse a los
escolares que controlen los resultados, para ello deben emplear
las técnicas de comprobación explicadas en el
capítulo 3. En esta oportunidad es muy instructivo su
utilización: Como Héctor ha resuelto 21 problemas
luego Julia ha resuelto: 21 – 3 = 18, por lo que Enrique
habrá resuelto 18 : 2 = 9. Es decir que el problema
auxiliar a plantearse aquí es: ¿Cuántos
problemas ha resuelto Julia?
La pregunta científica fundamental que se
ha formulado en esta investigación es:
¿Tiene influencia el empleo de la
modelación jerárquica ramificada (MJR) en la
solución de los problemas aritméticos verbales
compuestos dependientes de dos pasos (PAVECOD2)?
Para contestar a esta pregunta, se ha realizado una
experiencia pedagógica en la que se han entrenado a los
escolares primarios durante un curso escolar completo, en el
empleo de los esquemas descritos en el marco teórico de
este trabajo; después se analizan las producciones
escritas de estos alumnos en el empleo de estos esquemas o
modelos al resolver problemas aritméticos compuestos de
dos etapas. La forma en que esto se realizó y los
resultados que se obtuvieron se presentan a
continuación:
Método
Sujetos
En este estudio han participado sesenta estudiantes de
tercer grado de tres escuelas primarias del municipio
Consolación del Sur. La edad de los alumnos oscila entre
ocho y nueve años.
Tipo de problemas a estudiar
Por las características de esta
investigación se ha trabajado con los problemas
aritméticos verbales compuestos de dos pasos, en
particular con los dependientes, por ser estos
últimos los que mejor se prestan para el empleo de los
diferentes modelos o esquemas que se valoran
aquí.
Variables:
Se concibieron tres variables para ser monitoreadas y
controladas en el proceso investigativo:
Independientes:
M: empleo de los distintos tipos de modelos
entrenados: En este caso se hace referencia a los siete tipos
de modelos entrenados en los escolares en el proceso de
intervención en la práctica. Esta puede asumir los
siguientes valores:
Mo: Ninguno (no se empleó ningún
modelo o esquema)
M1: Jerárquico de Nesher &
Hershkovitz, (1994)): El todo de un esquema es parte del
otro.
M2: Compartir el todo de Nesher &
Hershkovitz, (1994): Los dos esquemas comparte en todo
M3: Compartir una parte de Nesher &
Hershkovitz, (1994) : Los dos esquemas comparte una
parte
M4: Esquema compuesto JP de
Frías y Castro, (2007).
M5: Esquema compuesto CPP de
Frías y Castro, (2007).
M6: Esquema compuesto CTP de
Frías y Castro, (2007).
M7: Esquema MJR de Capote M.
(2008)
T: empleo del modelo MJR en los distintos tipos de
problemas propuestos: Se han considerado los seis tipos
fundamentales de problemas aritméticos verbales compuestos
dependientes de dos pasos que fueron introducidos en el proceso
de enseñanza aprendizaje de la solución de este
tipo de problemas:
T1: problema compuesto dependiente
explícito
T2: problema compuesto dependiente
implícito
T3: problema compuesto dependiente
directo
T4: problema compuesto dependiente
indirecto
(Cada una de estas categorías fueron evaluadas en
las siguientes escalas: correcto, incompleto, incorrecto y
ninguno)
Dependiente:
S: realización del proceso de solución
de los problemas del tipo: PAVECOD2: En esta oportunidad se
analizó la forma en que se procedió en este
proceso, que viene dado por.
S0: ninguna solución del
problema
S1: solución correcta del
problema
S2: solución incompleta del
problema
S3: solución incorrecta del
problema
Procedimientos e
instrumentos:
Durante las dos primeras semanas del curso escolar
2007-2008 se prepararon a las tres maestras en los distintos
tipos de problemas compuestos dependientes analizados
aquí, así como los diferentes modelos o esquemas
que pudieran ayudar a su solución.
En las 28 semanas posteriores estas docentes tuvieron la
responsabilidad de introducir estos conocimientos (las variables
M y T) en el proceso de enseñanza aprendizaje de la
solución de problemas del tipo:
PAVECOD2.
En la última sesión de trabajo de la
semana 30 se aplicó una prueba pedagógica que
contenía seis problemas del tipo que se estudia
aquí, y que fueran susceptibles de aplicar los modelos
declarados en la variable M: uno de cada prototipo. La orden del
cuestionario señalaba que para resolver cada uno de los
problemas debían aplicar algunos de los modelos estudiados
en clase.
En las restantes 10 semanas del referido curso escolar,
las maestras se dedicaron a entrenar solo el modelo MJR, haciendo
una adecuada selección de las clasificaciones de problemas
abordadas en el marco teórico de este trabajo.
Al finalizar las 40 semanas lectivas, se procedió
a aplicar otra prueba pedagógica, que en esta oportunidad
contendría cuatro problemas que respondiera a las
distintas categorías de la variable T. La orden en esta
oportunidad planteaba que resolvieran los problemas y que
utilizaran los modelos en los casos que les fueran de
utilidad.
Los problemas de ambos cuestionarios fueron resueltos
por los niños de manera individual y en silencio en el
salón de clase en una prueba de lápiz y papel. A
cada niño se le dio el mismo cuestionario.
Resultados
En la siguiente tabla se reflejan los resultados en
cantidades y por cientos de la variable M que se obtuvieron
después de tabular el primer cuestionario:
Cabe destacar que los modelos M1 y M4 que usaron
los niños eran un híbrido con el modelo M7.
Aquí se confirma la hipótesis de que a los
niños le cuesta trabajo discriminar el uso de los modelos
en los casos que debían ser aplicados de acuerdo a los
autores que lo elaboraron.
Por otra parte, al tabular los resultados del segundo
cuestionario se obtuvieron los siguientes resultados:
De esta tabla se infiere que en la medida que
aumenta el nivel de complejidad semántica del
problema compuesto, es más útil el empleo
del modelo MJR para la solución de éste.
Por último, en la tabla que sigue, se establecen
relaciones entre la variable S y el empleo del modelo MJR. En
cada celda aparecen las cantidades y entre
paréntesis los por cientos
correspondientes:
A partir de estas cifras se pueden establecer las
siguientes inferencias:
De los 202 problemas resueltos correctamente 139
emplearon de forma correcta el modelo MJR para un 68,9 % de
efectividad, mientras que 53 no lo emplearon, pero lo resolvieron
correctamente, pues no lo necesitaron. Llama la atención
que solo seis aplicaron incorrectamente el modelo y
pudieron resolver de manera adecuada el problema
(5,7%).
Por otra parte, de los 142 que emplearon correctamente
el modelo MJR solo cuatro resolvieron de manera incompleta
el problema, para un 2,8 %. Es significativo que solo 11
emplearon incorrectamente el modelo de los 142 utilizados
(7,7%).
Ahora bien, en el siguiente gráfico se establecen
las relaciones de ambas variables mediante un diagrama de
dispersión:
Como se puede observar tres pares ordenados de ambas
variables se encuentran sobre la recta de regresión
ajustada, lo cual nos indica que existe una estrecha
correspondencia (correlación lineal) entre el empleo del
modelo MJR y la solución del problema correspondencia.
Solo se aprecia una posible discrepancia entre la cantidad de
problemas que no tuvieron ninguna solución (7) y los
problemas donde no emplearon ninguna modelación (64); no
obstante, de estos últimos, 53 no utilizaron modelos pero
lo resolvieron adecuadamente; o sea, que no lo necesitaron para
resolverlo de manera efectiva.
Conclusiones
Algunas clasificaciones de los problemas
aritméticos verbales compuestos dependientes de dos
pasos (PAVECOD2) tienen un particular interés
para el tratamiento didáctico de estos: permiten
graduar los niveles de dificultades y abordar las distintas
situaciones que se pueden presentar. Los principales
modelos o esquemas que se han elaborados, a nivel
internacional: los de Nesher & Hershkovitz, (1994), y los
de Frías y Castro, (2007) tienen una enorme
importancia teórica para el estudio de estos problemas
por los investigadores de educación matemática.
El modelo MJR logra sistematizar y generalizar los
anteriores para las diversas situaciones que se pueden
presentar.Mediante una experiencia pedagógica, fueron
introducidos en grupos de alumnos de tercer grado de la
enseñanza primaria, estos modelos para determinar la
aceptación de los mismos, su uso en comprender el
problema y darle solución. Se pudo determinar que el
modelo MJR es el escogido porque permite manipularlo en todas
las situaciones, lo que lo hace más asequible.
También, su utilización depende del nivel de
complejidad de la estructura lingüística de este
tipo de problemas. Finalmente, se puede afirmar que el empleo
de MJR influye positivamente en la solución de los
PAVECOD2
Bibliografía
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Matemática Educativa, Guerrero, julio,
México.
Breve biografía del autor:
Manuel Capote Castillo
Es Doctor en Ciencias Pedagógicas, Profesor
Titular y Consultante de la Universidad Pedagógica "Rafael
M. de Mendive" de la provincia de Pinar del Río, Cuba. Es
Licenciado en Educación en la especialidad de
Matemática. Tiene 42 años de experiencia en la
docencia; de ellos 30 en la educación superior. Ha
dirigido varios proyectos investigativos relacionados con la
enseñanza primaria. Su tesis de doctorado está
relacionada con la etapa de orientación en la
solución de problemas aritméticos en la
enseñanza primaria. Los aspectos básicos de la
misma fueron publicados en forma de libro en el año
2005.
País, ciudad y fecha correspondientes al
trabajo realizado:
Cuba, Pinar del Río, marzo 2010
Autor:
Manuel Capote Castillo
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