La primera concierne a los números primos. Se
inició con los estudios de Tabit Ibn Qurra sobre los
números amigos. No se sabe cómo continuó,
salvo que en el siglo XI, Ibn al – Haytham resolvió
problemas de congruencia y que al – Farisi logró
nuevos resultados respecto a la descomposición de un
número en factores primos.
Detengámonos en lo que se constituiría un
gran aporte en teoría de números en
matemáticas: Los números amigos.
Dos números amigos son dos enteros
positivos a y b tales que
a es la suma de los divisores propios de
b y b es la suma de los divisores
propios de a. (la unidad se considera divisor
propio, pero no lo es el mismo número).
Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:
Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20,
22, 44, 55 y 110, que suman 284
Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que
suman 220
Para los pitagóricos los números amigos
tenían muchas propiedades místicas.
Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901)
descubrió una fórmula general para la cual se
podían hallar números amigos:
Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184,
1210), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). El par (6232,
6368) también es de números amigos, pero no se
puede hallar por la fórmula anterior.
Los números amigos han sido estudiados por Al
Madshritti (muerto en 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi
(980-1037), Pierre de Fermat(1601-1665), René Descartes
(1596-1650), a quien se atribuye a veces la fórmula de
Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue
generalizada por Euler.
En la Edad Media, existió la creencia de que si
se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el
mismo lugar) sendos alimentos que contenían una
inscripción 220 para uno y de 284 para el otro, entonces
se volvían amigos por arte de magia.
Si un número es amigo de sí mismo (es
igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de
número perfecto.
La segunda dirección, sugerida por el estudio de
la Aritmética de Diofanto traducida parcialmente
por Qusta Ibn Luqa, suscitó investigaciones sobre la
resolución de sistemas de ecuaciones indeterminadas con
soluciones enteras o racionales y sobre las tríadas
pitagóricas. La tercera dirección concierne al
estudio de las series y de series finitas que aparecen en ciertos
problemas de álgebra, de probable origen
preislámico.
Reencontramos estos problemas en el capítulo
sobre el cálculo de superficies y volúmenes (por el
método de exhaución), cuyo origen se remonta a
Arquímedes, y en el de los números figurados, cuyo
estudio se reactivó gracias a la traducción de la
Introducción a la Aritmética de
Nicómaco.
Sobre la primera tradición sólo se ha
podido constatar en los textos de al – Andalus y el Magreb
el tema de los números amigos. AI – Mutaman,
matemático de Zaragoza, insertó en su tratado una
nueva traducción del opúsculo de Tabit Ibn Qurra, y
encontramos cálculos de parejas de números amigos
en las obras de al – Hassar (siglo XII) y Ibn
Munçim. Puesto que ninguno de los libros mencionados se
tradujo al latín o al hebreo, no sabemos a través
de qué canales circularon esos temas por Europa. La
segunda tradición se halla presente en el Occidente
musulmán en forma de problemas resueltos en obras de
álgebra, pero no se menciona a Diofanto ni a los
matemáticos árabes inspirados por él. En
cuanto a la tercera tradición, se manifiesta en el
capítulo de la ciencia del cálculo que trata
problemas relativos a la suma y sabemos que su contenido
circuló por Europa, bien fuera en escritos latinos y
hebreos o en traducciones de textos árabes.
13. La
Geometría
En Geometría se genera una primera
tradición a partir de problemas de constructividad de
puntos y figuras planas. Tras enfrentarse a menudo con
construcciones irresolubles algunos matemáticos
islámicos extendieron la noción de existencia
geométrica o algebraica mediante la utilización
sistemática de las secciones cónicas. Se realizaron
estudios sobre las propiedades de tales curvas y sobre los
mejores medios para engendrarlas. Ello permitió resolver,
de nuevas y múltiples maneras, los problemas
clásicos de la tradición griega: trisección
del ángulo, duplicación del cubo,
inscripción de polígonos regulares en el
círculo. Más tarde, diferentes contribuciones
favorecieron la elaboración de la teoría
geométrica de las ecuaciones cúbicas.
Una segunda tradición se dedicó a los
problemas de medida (superficies, volúmenes, momento de
inercia), lo que permitió volver a obtener resultados
perdidos de Arquímedes (como la determinación del
área de una sección de parábola) y completar
otros.
La tercera tradición, nacida de una lectura
crítica de los Elementos de Euclides,
permitirá extender las operaciones aritméticas a
los irracionales positivos, elaborar nuevas reflexiones sobre los
fundamentos de la Geometría (en particular, sobre el
postulado de las paralelas) y redefinir el concepto de
razón, lo que permitiría establecer la
noción de número real positivo.
Paralelamente se desarrolló otro tipo de
reflexión hasta el siglo XI, concerniente a los problemas
de construcción y razonamiento geométricos, que
luego se extendió a todos los instrumentos de
demostración (análisis y síntesis,
reducción al absurdo, inducción). De hecho es una
verdadera tradición, constituida a partir de elementos ya
presentes en el corpus filosófico y matemático
griego. Sus artífices son Tabit Ibn Qurraa en el siglo IX,
Ibrahim Ibn Sinan y as-Siji en el siglo X, Ibn al-Haytham en el
XI, y probablemente otros cuyos escritos no han llegado hasta
nosotros y que futuras investigaciones podrían
revelar.
Se ha comenzado a determinar aspectos relativos a la
circulación de esas diferentes tradiciones
geométricas orientales. Respecto a la primera, disponemos
de dos testimonios poco conocidos que permiten asegurar que
llegó a al – Andalus y al Magreb. El
matemático magrebí Ibn Haydur menciona dos escritos
orientales sobre la inscripción del heptágono. Se
trata de las epístolas de as-Sagani (siglo X) y de un tal
Abu Muhammad. El mismo autor menciona un texto atribuido a un
matemático hindú que toma como valor aproximado del
lado del heptágono inscrito la mitad del lado del
triángulo equilátero inscrito en el
círculo.
El segundo testimonio, mucho más importante, es
el del filósofo zaragozano Ibn Bajá, Avempace para
los latinos, que da informaciones precisas sobre los trabajos de
su profesor Ibn Sayyid, de Valencia, y sobre sus propios trabajos
concernientes al estudio de las cónicas y su uso para
generar nuevas curvas planas, que habrían sido usadas para
resolver dos generalizaciones de problemas clásicos: el de
la determinación de n medias proporcionales entre dos
magnitudes dadas (que generaliza el problema para dos medias,
resuelto ya por los griegos) y el de la multisección de un
ángulo (que generaliza el de la
trisección).
Hay que señalar que en el siglo XII se
consideraban ambas generalizaciones como no resueltas
todavía; al menos es lo que dice el gran matemático
as – Sama"wal. Este hecho por sí mismo nos permite
afirmar no sólo que el contenido del corpus
geométrico clásico (cuyo conocimiento es
indispensable para dedicarse a problemas nuevos del mismo tipo)
era conocido en ciertos foros científicos hispanos, sino
que sus matemáticos se hallaban bien informados sobre los
problemas en que trabajaban los matemáticos
islámicos orientales y participaron activamente en su
resolución.
Para la segunda tradición no disponemos sino de
los libros de al – Mutaman, que nunca se refiere
explícitamente a sus fuentes, pero que debido a la
diversidad de temas tratados en sus obras y a las maneras en que
lo hizo, podemos afirmar que una gran parte de la
tradición árabe relativa a Arquímedes
llegó a al – Andalus, incluso si las pruebas
concretas de que disponemos, por el momento, no se refieren sino
al escrito de Ibrahim Ibn Sinan sobre el cálculo del
área de una porción de parábola.
En lo que concierne a la tercera tradición, se
sabe desde hace poco tiempo que la contribución más
importante de Ibn al – Haytham en este campo, su
Librosobre el análisis y la síntesis,
llegó a Zaragoza como muy tarde en la segunda mitad del
siglo XI. La copia sirvió para la redacción de
algunos capítulos del libro de al-Mutaman.
En trigonometría, los primeros pasos dados en
Oriente consistieron en extender y mejorar las tablas
hindúes de senos y cosenos, y luego introducir funciones
nuevas: tangente, cotangente, secante y cosecante. Más
tarde se establecieron las relaciones fundamentales entre estas
seis funciones, siendo la más célebre el teorema
del seno, que servirá para el cálculo de los
elementos del triángulo esférico, y que sobre todo
permitirá ahorrarse el uso del teorema de Menelao (siglo
I), instrumento menos efectivo para los calculistas.
El teorema del seno es una relación de
proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un
triángulo y los senos de los ángulos
respectivamente opuestos. Otra forma de expresarlo sería:
En todo triángulo la relación de un lado al seno
del ángulo opuesto es constante.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Si en un triángulo ABC, las medidas de
los lados opuestos a los ángulos A, B y
C son respectivamente a, b,
c, entonces:
La importancia de estas nuevas herramientas
llevará a los astrónomos a dedicarles
capítulos autónomos. Es lo que harán Ibn
Iraq, en Asia central y Abu l – Wafa", en Bagdad. Esas
contribuciones puramente matemáticas favorecieron el
proceso de autonomía de la trigonometría en
relación a los problemas astronómicos que
permitieron su desarrollo. Esta autonomía está ya
patente en el libro de al – Biruni, Las claves de la
Astronomía, y se completará en el tratado de
Nasir ad – Din at – Tusi, El libro de la figura
secante.
No hay elementos que permitan asegurar que estas dos
últimas obras fueron conocidas en España. Eso no
significa que los métodos y resultados que contienen no
hayan circulado mediante obras menos importantes o más
especializadas.
En efecto, según el matemático
magrebí del siglo XIV Ibn Haydur, el teorema del
seno era accesible en su época (y por tanto también
en los siglos XII y XIII) sea a través de una obra de Ibn
Muadh (muerto después de 1050), un matemático de
Jaén, sea a través de otro especialista hispano,
Jabir Ibn Aflah, sea a través del apéndice
añadido por el filósofo Avicena a su resumen del
Almagestode Ptolomeo. Ibn Haydur supone incluso que ningún
escrito oriental de trigonometría, distinto del de
Avicena, llegó al Occidente musulmán. Si eso fuera
cierto tendríamos ahí otro ejemplo de ruptura,
aún inexplicada, en la circulación de importantes
resultados científicos.
Comentarios y
conclusiones
El genial aporte de los árabes, nos permiten
entender quiénes somos y hacia dónde vamos en
matemáticas. Muchos somos los sorprendidos por la gran
capacidad de cálculo que tienen los árabes y lo
increíble de la diferencia con los griegos, preocupados
éstos de la forma que, como aquellos, de la
práctica.
De lo expuesto, podemos extraer las siguientes
conclusiones y principales aportes para tomar en
cuenta:
a) Los árabes representaron un gran
avance matemático en la edad media, al iniciar de
manera brillante, una rama de la matemática,
importante en tiempos modernos: el álgebra.b) El sistema de numeración actual, es
un aporte de los hindúes, pero que los árabes
perfeccionaron e hicieron más práctico en
escritura y en uso.c) Aportaron la base del actual método
Ruffini – Horner y calcularon con gran exactitud 17
cifras del número p.d) Introdujeron la barra horizontal para la
notación actual de las fracciones.e) Al – Jwarizmi, considerado padre del
álgebra, introduce el al – jabr,
término con que se inspiró la palabra
"álgebra" y que era el pieza clave en el proceso de
resolución de ecuaciones, el tema favorito de los
árabes.f) Empezaron estudios sobre la teoría de
números con "los números amigos" y en
geometría se hicieron estudios de las secciones
cónicas y se aportó "El teorema del
seno"
Bibliografía
14. Las Matemáticas
Árabes Y su papel en el Desarrollo de La
Tradición Científica Europea, Ahmed
Djebbar. Traducido por Sergio Toledo Prats.
España15. La Matemática
Árabe, Juan Vernet Gines.
España.16. Historia Universal Santillana,
Editorial Santillana. Perú.17. La Matemática en la
época medieval, Héctor Fabio Cadavid
Rengifo. Colombia18. Orígenes y desarrollo
del álgebra, Andrea Vélez Salas y
Carolina Fernández
González.19. Las matemáticas en el
antiguo Egipto, Lina Morales Peral. 2002.20. La civilización
árabe, en:21. La civilización,
en:
http:/www.rincondelvago.com
22. La "Nación
Árabe", en:
23. Matemática
árabe, en:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/anecdotas/mate4d/mate4d.htm
24. Historia árabe,
en:
http://es.geocities.com/aabenaes4/pueblos/arabes.html
25. Matemática árabe
en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_%C3%A1rabe
26. Al – Jwarizmi
en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Al-Khwarizmi
27. Matemáticas –
Legado del mundo Árabe, en:
Dedicado a Telassim.
Sin ti no hay líneas.
Autor:
Ronald Javier Límaco
Cusi
Julio de 2009
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