Definición de
mediana
Es el valor que ocupa el lugar
central de todos los datos cuando éstos
están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por
Me.
La mediana se puede hallar
sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de
menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número
impar de medidas la mediana es la puntuación
central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número
par de puntuaciones la mediana es la media
entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el
intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta
la mitad de la suma de las frecuencias
absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en
el que se encuentre 
Li es el límite inferior de
la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias
absolutas.
Fi-1 es la frecuencia
acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la
clase.
La mediana es independiente
de las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo
Calcular la mediana de una
distribución estadística que viene dada por la
siguiente tabla:
| fi | Fi | |
[60, 63) | 5 | 5 | |
[63, 66) | 18 | 23 | |
[66, 69) | 42 | 65 | |
[69, 72) | 27 | 92 | |
[72, 75) | 8 | 100 | |
| 100 |
| |
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)
Definición de
media aritmética
La media aritmética es el
valor obtenido al sumar todos los datos y
dividir el resultado entre el número total
de datos.
es el símbolo de la media
aritmética.
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72,
68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados
en una tabla de frecuencias, la expresión de la
media es:
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42
personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla.
Calcula la puntuación media.
| xi | fi | xi · fi | ||
[10, 20) | 15 | 1 | 15 | ||
[20, 30) | 25 | 8 | 200 | ||
[30,40) | 35 | 10 | 350 | ||
[40, 50) | 45 | 9 | 405 | ||
[50, 60 | 55 | 8 | 440 | ||
[60,70) | 65 | 4 | 260 | ||
[70, 80) | 75 | 2 | 150 | ||
|
| 42 | 1 820 | ||
Propiedades de la
media aritmética
1. La suma de las
desviaciones de todas las puntuaciones de una
distribución respecto a la media de la misma igual
a cero.
La suma de las desviaciones de los
números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6
es igual a 0:
8 – 7.6 + 3 – 7.6 + 5 – 7.6 + 12 – 7.6 + 10
– 7.6 =
= 0. 4 – 4.6 – 2.6 + 4. 4 + 2. 4 =
0
2. La suma de los cuadrados
de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a
un número cualquiera se hace mínima
cuando dicho número coincide con la media
aritmética.
3. Si a todos los valores de la variable se
les suma un mismo número, la media
aritmética queda aumentada en dicho
número.
4. Si todos los valores de la variable se
multiplican por un mismo número la media
aritmética queda multiplicada por dicho
número.
Observaciones sobre
la media aritmética
1. La media se puede hallar
sólo para variables cuantitativas.
2. La media es independiente
de las amplitudes de los intervalos.
3. La media es muy sensible a las
puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución
con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg,
70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es
una medida de centralización poco representativa de
la distribución.
4. La media no se puede calcular si
hay un intervalo con una amplitud
indeterminada.
| xi | fi | |
[60, 63) | 61.5 | 5 | |
[63, 66) | 64.5 | 18 | |
[66, 69) | 67.5 | 42 | |
[69, 72) | 70.5 | 27 | |
[72, 8 ) |
| 8 | |
|
| 100 | |
En este caso no es posible hallar la
media porque no podemos calcular la marca de clase
de último intervalo.
Los cuartiles son los tres
valores de la variable que dividen a un
conjunto de datos ordenados en cuatro partes
iguales.
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores
correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los
datos.
Q2 coincide con la
mediana.
Cálculo de los cuartiles
1 Ordenamos los datos de
menor a mayor.
2 Buscamos el lugar que ocupa cada
cuartil mediante la expresión 
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Cálculo de los
cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase
donde se encuentra en la tabla de las frecuencias
acumuladas.
Li es el límite inferior de
la clase donde se encuentra el cuartil.
N es la suma de las frecuencias
absolutas.
Fi-1 es la frecuencia
acumulada anterior a la clase del cuartil.
ai es la amplitud de la
clase.
Ejercicio de cuartiles
Calcular los cuartiles de la
distribución de la tabla:
| fi | Fi | ||
[50, 60) | 8 | 8 | ||
[60, 70) | 10 | 18 | ||
[70, 80) | 16 | 34 | ||
[80, 90) | 14 | 48 | ||
[90, 100) | 10 | 58 | ||
[100, 110) | 5 | 63 | ||
[110, 120) | 2 | 65 | ||
| 65 |
| ||
Cálculo del primer cuartil
Cálculo del segundo cuartil
Cálculo del tercer cuartil
Los deciles son los nueve
valores que dividen la serie de datos en
diez partes iguales.
Los deciles dan los valores
correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los
datos.
D5 coincide con la
mediana.
Cálculo de los
deciles
En primer lugar buscamos la clase donde se
encuentra 
en la
tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de
la clase donde se encuentra el decil.
N es la suma de las frecuencias
absolutas.
Fi-1 es la frecuencia
acumulada anterior a la clase el decil..
ai es la amplitud de la
clase.
Ejercicio de deciles
Calcular los deciles de la
distribución de la tabla:
| fi | Fi | ||
[50, 60) | 8 | 8 | ||
[60, 70) | 10 | 18 | ||
[70, 80) | 16 | 34 | ||
[80, 90) | 14 | 48 | ||
[90, 100) | 10 | 58 | ||
[100, 110) | 5 | 63 | ||
[110, 120) | 2 | 65 | ||
| 65 |
| ||
Cálculo del primer decil
Cálculo del segundo decil
Cálculo del tercer decil
Cálculo del cuarto decil
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil
Los percentiles son los 99
valores que dividen la serie de datos en 100
partes iguales.
Los percentiles dan los valores
correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los
datos.
P50 coincide con la
mediana.
Cálculo de los
percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se
encuentra 
en la
tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de
la clase donde se encuentra el percentil.
N es la suma de las frecuencias
absolutas.
Fi-1 es la frecuencia
acumulada anterior a la clase del percentil.
ai es la amplitud de la
clase.
Ejercicio de percentiles
Calcular el percentil 35 y 60 de la
distribución de la tabla:
| fi | Fi | ||
[50, 60) | 8 | 8 | ||
[60, 70) | 10 | 18 | ||
[70, 80) | 16 | 34 | ||
[80, 90) | 14 | 48 | ||
[90, 100) | 10 | 58 | ||
[100, 110) | 5 | 63 | ||
[110, 120) | 2 | 65 | ||
| 65 |
| ||
Percentil 35
Percentil 60
Desviación respecto a la
media
La desviación respecto a la
media es la diferencia en valor absoluto entre cada
valor de la variable estadística y la media
aritmética.
Di = |x – x|
Desviación media
La desviación media es la
media aritmética de los valores absolutos de las
desviaciones respecto a la media.
La desviación media se
representa por 
Ejemplo
Calcular la desviación media
de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Desviación media para datos
agrupados
Si los datos vienen agrupados en una
tabla de frecuencias, la expresión de la
desviación media es:
Ejemplo
Calcular la desviación media
de la distribución:
| xi | fi | xi · fi | |x – x| | |x – x| · fi | ||||
[10, 15) | 12.5 | 3 | 37.5 | 9.286 | 27.858 | ||||
[15, 20) | 17.5 | 5 | 87.5 | 4.286 | 21.43 | ||||
[20, 25) | 22.5 | 7 | 157.5 | 0.714 | 4.998 | ||||
[25, 30) | 27.5 | 4 | 110 | 5.714 | 22.856 | ||||
[30, 35) | 32.5 | 2 | 65 | 10.174 | 21.428 | ||||
|
| 21 | 457.5 |
| 98.57 | ||||
Un histograma es una
representación gráfica de una
variable en forma de barras.
Se utilizan para variables continuas
o para variables discretas, con un gran número de
datos, y que se han agrupado en clases.
En el eje abscisas se construyen
unos rectángulos que tienen por base la amplitud
del intervalo, y por altura, la frecuencia
absoluta de cada intervalo.
La superficie de cada barra
es proporcional a la frecuencia de los
valores representados.
Polígono de frecuencia
Para construir el polígono de
frecuencia se toma la marca de clase que coincide con
el punto medio de cada
rectángulo.
Ejemplo
El peso de 65 personas adultas viene dado
por la siguiente tabla:
| ci | fi | Fi | ||
[50, 60) | 55 | 8 | 8 | ||
[60, 70) | 65 | 10 | 18 | ||
[70, 80) | 75 | 16 | 34 | ||
[80, 90) | 85 | 14 | 48 | ||
[90, 100) | 95 | 10 | 58 | ||
[100, 110) | 110 | 5 | 63 | ||
[110, 120) | 115 | 2 | 65 | ||
|
| 65 |
| ||
Histograma y polígono de frecuencias
acumuladas
Si se representan las frecuencias
acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene
el histograma de frecuencias acumuladas o su
correspondiente polígono.
Histogramas con intervalos de amplitud
diferente
Para construir un histogramas
con intervalo de amplitud diferente tenemos que
calcular las alturas de los
rectángulos del histograma.
hi es la altura del
intervalo.
fi es la frecuencia del
intervalo.
ai es la amplitud del
intervalo.
Ejemplo
En la siguiente tabla se muestra las
calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente)
obtenidas por un grupo de 50 alumnos.
| fi | hi | |
[0, 5) | 15 | 3 | |
[5, 7) | 20 | 10 | |
[7, 9) | 12 | 6 | |
[9, 10) | 3 | 3 | |
| 50 |
| |
Autor:
Roberto Bac Yat
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