Introducción
Cuando un novel estudiante de álgebra abstracta
se enfrenta a expresiones como grupo cociente, espacio cociente,
cree y con justificada razón, que se enfrentará a
conjunto de cocientes, finalmente se resigna a saber que esto no
es así, lo cual no significa que sean conceptos
difíciles de asimilar. EL objetivo de esta
monografía es definir y ejemplificar la idea de grupo
factor, también llamado GRUPO COCIENTE debido a la
notación empleada, el cual es un conjunto de conjuntos
llamados clases laterales que posee una estructura algebraica, la
de grupo, es decir, sobre dicho conjunto se ha definido una
operación binaria que cumple ciertas condiciones; se
enfatiza el hecho que no siempre el conjunto de clases laterales
tendrá la estructura de grupo, pequeño
inconveniente que fue salvado por Evaristo Galois al introducir
la brillante idea de SUBGRUPO NORMAL.
Preliminares
Una relación de equivalencia produce una
partición del conjunto en subconjuntos o celdas como
veremos más adelante.
Nota 01.- La relación
también puede ser definida como
DEFINICIÓN 01:
De manera que el conjunto 
queda particionado en celdas, las cuales son
disjuntas, al conjunto 
también se le denomina clase de
equivalencia. Donde 
es llamado representante de la
clase.
Teorema 01.-
DEFINICIÓN 02:
Análogamente se puede definir clase lateral
derecha.
Se tiene que:
Luego 
es
decir las clases de equivalencia (congruencia derecha) son las
clases laterales derechas.
A continuación veremos un ejemplo de cómo
un conjunto es particionado en celdas a partir de una
relación de equivalencia. Este ejemplo es importarte y
sirve para ejemplificar muchos conceptos que son tratados en
álgebra abstracta como el concepto que aquí nos
ocupa, el de GRUPO COCIENTE.
Nota 02.- Hasta aquí ya es
posible demostrar el importantísimo teorema de
Lagrange.
Ejemplo: Congruencia módulo n en el conjunto
de los enteros.
Es fácil ver que el conjunto de los
números enteros se partió o dividió en dos
subconjuntos o clases: los enteros divisibles por dos y los
enteros que no son divisibles por dos.
Es fácil ver que el conjunto de los
números enteros se divide en tres subconjuntos o
clases:
Subgrupo
normal
DEFINICIÓN 03:
Así se tiene que:
El poder identificar los elementos de 
con las aplicaciones
definidas anteriormente se debe a la poderosa idea de
isomorfismo, a través del cual dos conjuntos son
indistinguibles desde el punto de vista algebraico.
La tabla obtenida al realizar todas las posibles
"multiplicaciones" entre los elementos de se muestra más abajo.
La tabla para el grupo será:
De la tabla se puede deducir que:
Teorema 02.-
Hasta aquí hemos visto que un grupo puede ser
dividido en celdas, ¿será posible operar con estas
celdas?
DEFINICIÓN 04:
Nota 05.-
Ya tenemos los elementos necesarios construir nuestro
grupo, pues hablar de grupo implica tener un conjunto (como el
conjunto de clases laterales derechas o bien izquierdas),
¡ya lo tenemos! y una operación binaria ¡ya la
definimos! , ¿Podemos formar un grupo? veamos:
Grupo
cociente
Teorema 03.-
Nótese que la definición de 
se hace para clases
derechas, igualmente resulta si se hace para clases
izquierdas.
Debe quedar claro que la idea de subgrupo normal es
aquí primordial, puesto que para cualquier subgrupo
de 
el conjunto de clases
laterales derechas o izquierdas no siempre será un grupo
con la operación inducida como podemos ver en
el:
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