Es indudable que si H0 es verdadera, esta cantidad
tiende a ser pequeña ya que las frecuencias observadas y
las teóricas tenderán a ser iguales.
Para usar el contraste ?2 en poblaciones continuas se
presenta la dificultad de que las probabilidades de que la
variables tome
un valor
determinado, son cero, por eso los resultados muéstrales
deben agruparse en intervalos, y se comparan entonces las
frecuencias observadas con que los valores
muéstrales caen en esos intervalos y las frecuencias
teóricas.
Partiendo de lo dicho anteriormente agrupamos los
datos de la
variable X1 en intervalos, para la determinación de la
longitud del intervalo se utilizo la siguiente
formula:
Longitud del intervalo: 
El valor obtenido mediante la formula anterior fue de Li
= 0.798011512 y por comodidad este valor fue redondeado a 0.8.
Finalmente para determinar el numero de intervalos se utilizo al
formula: Ni = Rango / Li lo que nos arrojo el siguiente valor:
7.625 el mismo fue redondeado a 8.
Los intervalos obtenidos así como
las frecuencias se muestran en la tabla siguiente:
Con esta información construimos un histograma para
tener una idea del tipo de distribución bajo a estudio:
Histograma variable X1 (velocidad e
entrega)
Se puede apreciar mediante este histograma que se
aproxima a una distribución normal sin embargo
procederemos a corroborar esta información aplicando un
contraste ?2 de bondad del ajuste.
Para los cálculos de la ?2 utilizamos los
valores de
estadística descriptivas que se muestran a
continuación:
Contraste de Hipótesis para la prueba de la bondad de
ajuste de la variable X1 (Velocidad de entrega).
Hipótesis: H0: La Velocidad de entrega esta
distribuida normalmente
H1: La Velocidad de entrega no esta distribuida
normalmente.
La tabla siguiente contiene toda la
información necesaria para calcular la ?2.de la
muestra
En la tabla anterior las dos primeras columnas como
podemos apreciar son los limites de los intervalo que hemos
encontrado para agrupar nuestros datos, las dos siguientes
columnas muestran la tipificación de las variable
aleatoria para cada limite del intervalo ejemplo (0-3.576)/
1,71254949 = -2.08811484 se repite el procedimiento
para cada limite del intervalo y para cada intervalo, las
columnas 5 y 6 son los valores de probabilidad
normal para cada uno de los valores obtenidos en las columnas 3 y
4, finalmente la columna 7 represente la frecuencia esperada
donde pi es la diferencia de la columna 6 menos la columna 5 por
el tamaño de la muestra que en
nuestro caso es 100.
Para calcular la chi cuadrado del experimento utilizamos
la formula siguiente:
Donde Nj, es la frecuencia del primer intervalo, ej
Obtenido en la última columna de la tabla anterior ya
sabemos de donde sale.
Calculando:
?2 = ((2 – 3,41177561)2/3,41177561) + ((3 –
7,17723614)2/7,17723614) + ((13 – 12,1853466)2/12,1853466) + ((25
– 16,6971277)2/16,6971277) + ((19 – 18,4663289)2/18,4663289) +
((16 – 16,483827)2/16,483827) + ((17 – 11,875994)2/11,875994) +
((5 – 6,90564376)2/6,90564376) = 9,96485991
?2 = 9,96485991
Seguidamente calcularemos el valor critico para el
contraste planteado el cual será un ?2 con un nivel de a =
5% y grados de libertad 8
– 2 – 1 = 5 Grados de libertad, se restan dos a los
grados de libertad ya que en el procedimiento se tuvieron que
estimar dos parámetros la media y la varianza.
Como la ?2 del experimento es menor que la
?2 cuadrado se acepta la hipótesis nula y se dice que la
variable X1 (Velocidad de entrega) Sigue una distribución
normal.
Prueba de
independencia o Contraste de independencia entre las variables X7
y X8
Este es un contraste muy útil en la practica ya
que nos permite determinar si existe independencia
entre variables aleatorias que representan conjuntos de
atributos o características de tipo cualitativo en una
población determinada, para aplicar este
contraste se divide la población en distintas
categorías de acuerdo con ciertos criterios y se investiga
si existe alguna asociación entre ellos. Una
población se puede clasificar de acuerdo con un criterio A
en g categorías distintas mutuamente excluyentes, y de
acuerdo con un criterio B en l categorías distintas, al
tomar una muestra aleatoria de tamaño n de una
población cada elemento de la muestra queda clasificado en
una de las categorías de cada criterio, cuando tabulamos
la muestra obtenemos lo que se conoce como tabla de
contingencia.
Se trata de contraste a la no relación de de las
variables aleatorias, si los criterios de clasificación
llamemoslos A y B son independientes debe cumplirse
que:
Si se designa a pi la probabilidad de que un elemento
pertenezca a la categoría Ai, y como pj, la probabilidad
de que un elemento pertenezca a la categoría Bj, y como
pij la probabilidad de que pertenezca simultáneamente a Ai
y Bj usando esta terminología la hipótesis nula
será:
H0: pij = pi . pj
Contra la hipótesis alternativa:
H1: pij ? pi . pj
Es cierto que la probabilidades marginales pi pj no se
conocen pero pueden estimarse a partir de la muestra.
Si la hipótesis H00 es verdadera (Los criterios
de clasificación son independientes), las probabilidades
conjuntas pij se pueden estimar por los productos de
los estimadores máximo verosímiles y una ves
estimadas las probabilidades conjuntas, se puede calcular la
frecuencia esperada en cada celda de la tabla de contingencia, si
entendemos por frecuencia esperada de la celda (i, j) el numero
esperado de elementos que teóricamente esperaríamos
pertenecieran simultáneamente a la categoría Ai y
Bj y este numero es:
Comparando estas frecuencias esperadas con las
frecuencias muéstrales (nij) se puede contrastar la
hipótesis H0, si la hipótesis es verdadera podemos
esperar que las frecuencias muéstrales no difieran
significativamente de las frecuencias esperadas, por lo tanto si
esas diferencias son significativas rechazamos la
hipótesis de independencia si no la aceptamos. El
estadístico que utilizamos para determinar si las
frecuencias son o no significativas es:
Este estadístico tiende a distribuirse como una
variable ?2 con (h-1) (c-1) grados de libertad.
En el caso particular que se esta analizando X7 Percepción
del cliente de la
calidad del
producto
respecto de X8 tipo de industria Los
datos se agruparon según la siguiente
categorización:
Malo (4=x),
Regular (74=<<em>x), y
Bueno (107=<<em>x)
Lo que nos dio la siguiente tabla de
contingencia:
Aplicaremos una ?2 cuadrado para determina
si existe una relación entre estas dos
variables:
Se plantean las siguientes
hipótesis;
H0: la percepción del cliente y el
tipo de industria son independientes
H1: la percepción del cliente y el
tipo de industria no son independientes
A continuación aplicamos la ?2
cuadrado a la tabla anterior lo que nos arroja el siguiente
resultado:
Para obtener el valor de la primera celda
de la tabla anterior procedemos de la siguiente
manera:
Se procede de la misma manera para cada celda de la
tabla de contingencia obteniendo la tabla con los valores de
dichos cálculos.
Una vez realizados los cálculos tenemos un valor
del experimento de 2,9091 y un valor crítico de 5.991 el
cual corresponde a una ?2 con 2 grados de libertad al 5%
aplicamos la regla de decisión que dice:
"No rechazar la hipótesis nula si ?2
<= 5.991 y rechazar si ?2> 5.991
Se acepta la hipótesis nula y se concluye que no
existe relación entre la percepción que tienen el
cliente de la calidad del producto y el tipo de
industria.
Autor:
Luis R. Cesar
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