Series de ponencias, intervalos de convergencias y radios de convergencias (página 2)

Se dirá que es una serie de potencias de
.

Los números an se llaman
Coeficientes de la serie. La primera cuestión que
nos planteamos es el estudio de su dominio de
convergencia. Se llama así al conjunto formado por todos
los valores de
x para los que es convergente absolutamente la
serie. Nótese que una serie de potencias cualquiera
siempre es convergente para x = x0 y su suma es a0.
Vamos a probar que el dominio de convergencia de una serie de
potencias cualquiera es un intervalo centrado en x0,
pudiéndose dar los casos extremos de que el intervalo se
reduzca al único punto de convergencia x0 o que el
intervalo de convergencia sea todo R. Denotaremos por
rc el radio de este
intervalo, radio de convergencia, y entonces el intervalo
de convergencia adopta la forma (x0 – rc; x0 +
rc). La demostración general de estos hechos,
así como la expresión explicita del radio de
convergencia se escapa de los objetivos.

En primer lugar, veremos un hecho general que tiene una
demostración muy simple y nos permite intuir que el
dominio de convergencia de una serie de potencias arbitraria debe
ser un intervalo centrado en x0.

Teorema 1.

DEMOSTRACIÓN:

Este resultado nos sugiere que el dominio de
convergencia de una serie de potencias es un intervalo centrado
en x0 cuyo radio sería el supremo de las cantidades, tales
que la serie

es convergente.

De hecho, se prueba que fuera del intervalo [x0
– r; x0 + r] no hay convergencia alguna.
Este modo de enfocar el problema es difícil y tiene,
además, el inconveniente de que no obtenemos una
expresión explicita del radio de convergencia rc.
Por ello, en lugar de seguir considerando una serie completamente
arbitraria, vamos a suponer, en todo lo que resta de
sección, que nuestra serie verifica la condición
siguiente:

(C) Existe (finito o
infinito)

Teorema 2.

Además, se cumplen las siguientes
formulas:

En cada caso, el radio de convergencia de
la serie obtenida es igual a R.

Ejemplo

Solución:

Bibliografía

• Earl W.Swokoswski, calculo con geometría
  analítica, cuarta edición, grupo editorial
  Iberoamérica 1989.

• Series de potencias. Operaciones con
  series de potencias, Elaborado por los profesores Edgar
  Cabello y Marcos González, universidad de simón
  bolívar república bolivariana de
  Venezuela.

• Desarrollos en la series de Taylor,
  Marlon fajardo, universidad del atlántico
  2007.

• series de potencias, Patricia Molinas
  Mata (pmolinas[arroba]uoc.edu), José Francisco
  Martínez Boscá (jmartinezbos[arroba]uoc.edu)
  2007.

Autor:

Marlon Fajardo Molinares