Funciones de dos y más variables, dominio y rango, y curva de nivel (página 2)

Ejemplo: Supongamos que tenemos una placa
metálica de grandes dimensiones. La temperatura
(en grados centígrados) de la placa es función de
las coordenadas de cada uno de sus puntos y viene dada
por:

T(x, y) = 500
– 0,6×2 – 1,5y2

Representación grafica de la
función T(x, y)

Método
para hallar el dominio

Para hallar el dominio
despejamos (y) y analizamos el comportamiento
de (x). Al hacer este despeje podemos considerar tres
casos:

• i. La (x) hace parte del denominador de una
  fracción. Dé un ejemplo.R: Sea la
  relación R = {(x, y) / 2xy - 3y – 5 = 0} definida
  en los Reales.

• ii. Despejar(y)

• 

  ¿Qué valores
  debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de
  cero?

  R/:

  

  Cómo se halla el dominio de una
  relación, cuando la (x) queda en el denominador al
  despejar (y).R: Si al despejar (y) en una
  expresión (en una relación), encontramos que la
  (x) hace parte del denominador de una fracción,
  entonces para determinar el dominio de dicha relación
  hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y se
  despeja la (x).

  Método
  para hallar el Rango

  Como ya se dijo el rango es el conjunto formado por
  aquellos elementos del conjunto de llegada que están
  relacionados con algún elemento del conjunto de
  partida. Para encontrar el Rango de una relación en
  los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento de
  (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para
  encontrar el dominio.

  • Sea la relación R = {(x, y) / 3×2 + 4y2 =
    12}, para ésta hallar el dominio y rango.Con
    sólo observar la ecuación diga
    ¿qué clase de relación real
    representa? ¿Por qué?

  R: Representa una elipse. Porque los
  coeficientes de x2 y de y2 son positivos y
  diferentes.

  Hallar el dominio.

  

  Vemos que la (x) hace parte de un radical
  par

  

  Solucionamos una desigualdad
  cuadrática

  

  Hallar el rango.R:

  La "y" hace parte de un radical par.
  Por lo tanto: 

  

  Curvas de
  nivel

  Cuando tenemos una función z = f(x, y)
  de dos variables
  reales y valor
  real, la gráfica de dicha función corresponde
  al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)):
  (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos
  puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en
  dicho espacio.

  Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en
  dos dimensiones, es considerar la intersección de
  dicha superficie con el plano z = k, donde k
  ,¬ Recorrido (f). De esta
  manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) =
  k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la
  superficie z = f(x, y) con z =
  k. Al proyectar dicha intersección en el
  plano

  x,y, obtenemos lo que se denomina
  curva de nivel.

  Cuando comparamos una superficie z = f(x,
  y) con una montaña, el estudio de las curvas
  de nivel corresponde a lo que acontece de manera
  análoga cuando dicha montaña es representada en
  dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los
  contornos de dicha montaña indicando cual es la altura
  en las coordenadas (x, y) de dicho
  contorno.

  

  Ejemplo 1. Consideremos la
  función z = x2 + y2. Tomando k > 0,
  la curva de nivel correspondiente a z = k es la
  circunferencia x2 + y2 = k y tomando k
  = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por
  los puntos (x, y) tales que x2 + y2 =
  0 (que corresponde únicamente al punto (0,
  0))

  

  Sea g(x, y) = vxy la media geométrica
  de los números x e y.
  La curva de nivel 4 está formada por todos los pares
  de ordenados (x, y), la media
  geométrica de los cuales es 4.

  Por ejemplo, (4, 4), (2, 8) y
  (8, 2) están todos sobre esta curva de nivel.
  A continuación mostramos la
  gráfica de vxy y sus curvas de nivel
  en el plano xy.

  

  Consideramos ahora la función
  f(x, y) = x2 + y2. La curva de nivel 4
  está formada por

  todos los pares (x, y) que
  cumplen:

  f (x, y) = x2 + y2 =
  4.

  Puede que algunos de vosotros hayáis visto
  antes que la ecuación describe la circunferencia de
  radio 2(2
  =v4) centrada en el origen de coordenadas.

  A continuación mostramos la gráfica de
  x2 + y2, así como diferentes curvas de nivel
  de la función.

  

  Así pues, podemos resumir:

  Dada una función f con
  dominio en R2 y un número cualquiera c, la
  curva de nivel c de la función
  f está formada por el conjunto de
  puntos que satisfacen f(x1, x2) =
  c.

  Bibliografía

  • 1. Calculo leithold, Luois leithold, 7
    edición, 1998, GRUPO MEXICANO MAPASA
    S.A.

  • 2. CURVAS DE NIVEL
    PEDRO H. ZAMBRANO R, Departamento de
    Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia,
    Bogotá (Colombia) , E-mail address:

  • 3. Stewart, James.
    Cálculo Multivariable. Cuarta edición.
    Thomson Learning.2002.

  • 4.  FUNCIONES DE VARIAS
    VARIABLES (),
    2008

  • 5. CALCULO CON GEOMETRIA
    ANALITICA, segunda edición, Earl Swokowski,
    Marquette university, Grupo Editorial
    Iberoamérica, 1998.

  • 6. Calculo de varias
    variables, McCullan, Editorial Mc Graw Hill, New
    Jersey, 1992.

  • 7. http://www.math.iupui.edu/contour1.html.

  • 8. http://www.math.iupui.edu/contour2.html.

  • 9. http://www.math.iupui.edu/levelsurf.html

   

   

   

   

   

   

  Autor:

  Marlon Fajardo
  Molinares

  2009