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Funciones de dos y más variables, dominio y rango, y curva de nivel (página 2)



Partes: 1, 2

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Ejemplo: Supongamos que tenemos una placa
metálica de grandes dimensiones. La temperatura
(en grados centígrados) de la placa es función de
las coordenadas de cada uno de sus puntos y viene dada
por:

T(x, y) = 500
0,6×2 1,5y2

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Representación grafica de la
función T(x, y)

Método
para hallar el dominio

Para hallar el dominio
despejamos (y) y analizamos el comportamiento
de (x). Al hacer este despeje podemos considerar tres
casos:

  • i. La (x) hace parte del denominador de una
    fracción. Dé un ejemplo.
    R: Sea la
    relación R = {(x, y) / 2xy - 3y – 5 = 0} definida
    en los Reales.

  • ii. Despejar(y)

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    ¿Qué valores
    debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de
    cero?

    R/:

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    Cómo se halla el dominio de una
    relación, cuando la (x) queda en el denominador al
    despejar (y).R: Si al despejar (y) en una
    expresión (en una relación), encontramos que la
    (x) hace parte del denominador de una fracción,
    entonces para determinar el dominio de dicha relación
    hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y se
    despeja la (x).

    Método
    para hallar el Rango

    Como ya se dijo el rango es el conjunto formado por
    aquellos elementos del conjunto de llegada que están
    relacionados con algún elemento del conjunto de
    partida. Para encontrar el Rango de una relación en
    los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento de
    (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para
    encontrar el dominio.

    • Sea la relación R = {(x, y) / 3×2 + 4y2 =
      12}, para ésta hallar el dominio y rango.Con
      sólo observar la ecuación diga
      ¿qué clase de relación real
      representa? ¿Por qué?

    R: Representa una elipse. Porque los
    coeficientes de x2 y de y2 son positivos y
    diferentes.

    Hallar el dominio.

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    Vemos que la (x) hace parte de un radical
    par

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    Solucionamos una desigualdad
    cuadrática

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    Hallar el rango.R:Monografias.com

    La "y" hace parte de un radical par.
    Por lo tanto: 

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    Curvas de
    nivel

    Cuando tenemos una función z = f(x, y)
    de dos variables
    reales y valor
    real, la gráfica de dicha función corresponde
    al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)):
    (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos
    puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en
    dicho espacio.

    Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en
    dos dimensiones, es considerar la intersección de
    dicha superficie con el plano z = k, donde k
    Recorrido (f). De esta
    manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) =
    k},
    el cual corresponde a la curva de nivel de la
    superficie z = f(x, y) con z =
    k
    . Al proyectar dicha intersección en el
    plano

    x,y, obtenemos lo que se denomina
    curva de nivel.

    Cuando comparamos una superficie z = f(x,
    y
    ) con una montaña, el estudio de las curvas
    de nivel corresponde a lo que acontece de manera
    análoga cuando dicha montaña es representada en
    dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los
    contornos de dicha montaña indicando cual es la altura
    en las coordenadas (x, y) de dicho
    contorno.

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    Ejemplo 1. Consideremos la
    función z = x2 + y2. Tomando k > 0,
    la curva de nivel correspondiente a z = k es la
    circunferencia x2 + y2 = k y tomando k
    = 0
    la curva de nivel corresponde a la descrita por
    los puntos (x, y) tales que x2 + y2 =
    0
    (que corresponde únicamente al punto (0,
    0))

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    Sea g(x, y) = vxy la media geométrica
    de los números x e y.
    La curva de nivel 4 está formada por todos los pares
    de ordenados (x, y), la media
    geométrica de los cuales es 4.

    Por ejemplo, (4, 4), (2, 8) y
    (8, 2) están todos sobre esta curva de nivel.
    A continuación mostramos la
    gráfica de vxy y sus curvas de nivel
    en el plano xy.

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    Consideramos ahora la función
    f(x, y) = x2 + y2. La curva de nivel 4
    está formada por

    todos los pares (x, y) que
    cumplen:

    f (x, y) = x2 + y2 =
    4
    .

    Puede que algunos de vosotros hayáis visto
    antes que la ecuación describe la circunferencia de
    radio 2(2
    =v4)
    centrada en el origen de coordenadas.

    A continuación mostramos la gráfica de
    x2 + y2, así como diferentes curvas de nivel
    de la función.

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    Así pues, podemos resumir:

    Dada una función f con
    dominio en R2 y un número cualquiera c, la
    curva de nivel c de la función
    f está formada por el conjunto de
    puntos que satisfacen f(x1, x2) =
    c.

    Bibliografía

     

     

     

     

     

     

    Autor:

    Marlon Fajardo
    Molinares

    2009

Partes: 1, 2
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