La utilidad de la aritmética modular en los sistemas criptográficos y en los grupos lineales modulares especiales (página 3)

d).Finalmente el usuario B da a conocer su clave
pública manteniendo en secreto la privada y los restantes
valores como
p, q y ((n)

2. Cifrado del mensaje m

Como el usuario A le va a enviar a B el mensaje m "HOLA"
utilizando un alfabeto de 36 símbolos, en primer lugar debe determinar
la longitud del mensaje y tener en cuenta que va codificar las
letras del alfabeto en base 36 y que la longitud del mensaje no
puede exceder el valor
de

n= 46.927. Como Entonces el procedimiento es
el siguiente:

a. El remitente A Asigna a cada letra del mensaje m un
número de Z36 según el alfabeto, que por comodidad
en la escritura lo
hacemos sin los bracked o sin el segmento arriba:

HOLA = (17, 24, 21,
10)

b. Reagrupa el texto a cifrar
en bloques de igual longitud, esto es en grupo de r
letras cada uno. Entonces el texto HOLA queda así: (H, O)
y (L, A). Y el bloque a cifrar es: (17, 24) y
(21, 10).

c. Expresa ambos bloques como un
número en base 36:

(17, 24) = 17. 360 +24. 361 = 881

(21, 10) = 21. 3600+10. 361 = 381

d. Eleva estos números a e
modulo (46.927):

88139423 ( 45.840 mod
(46.927)

38139423 ( 26.074 mod
(46.927)

e. Expresa estos números en base 36,
teniendo en cuenta que va a tener tres componentes:

45.840 = 12. 360 +13. 36+35. 362 =
(12, 13, 35)

26.074 = 10. 360 +4. 36+20. 362 =
(10, 4, 20)

f. Según el alfabeto considerado a
cada número le asignamos una letra:

(12, 13, 35) =)
CDZ

(10, 4 20) =) A4K

Luego el mensaje cifrado es
"CDZA4K".

3. Descifrado del mensaje

Para descifrar habría que hacer el mismo proceso, pero
partiendo de bloques de tres letras y terminando en bloques de
dos letras y elevando a e en lugar de
d.

5.2. Algoritmos que
hacen uso del Algebra Matricial Modular

a). Algoritmo de
Hill

Este algoritmo tiene un interés
didáctico importante debido al uso de matrices que
en él se hace. Para cifrar usa como clave secreta una
matriz
cuadrada A invertible de tamaño n y con coeficiente
eny su inversa para
descifrar. Es decir con la condición de que su
determinante sea una unidad del anillo Luego entonces el algoritmo de Hill se
obtiene al transformar bloques de n caracteres en un texto
cifrado a través de la relación:

C = (A · P + B) (mod 28) donde, el m.c.d (det(A),
28) ( 1

Nota: No está de más recordar que las
matrices están en y que todas las operaciones
aritméticas se realizan obviamente en la forma modulo 28.
Y que los enteros modulares, por comodidad en su escritura y en
las operaciones, los escribimos sin las denotaciones
clásicas que convenimos e n la teoría
modular que se escribió arriba.

• A es la clave secreta

• P es un bloque de n caracteres. Es el texto claro.
  El texto que se va a Cifrar, P ()

• B es una matriz nx1. Una matriz columna

• C es la matriz columna resultante del cifrado de P.
  Es el texto cifrado, C ()

• 28 es el número de
  símbolos del alfabeto: _ A B C D E F G H I J K L M N
  Ñ O P Q R S T U V W X Y Z _ que se corresponden con
  los números del 0 al 27 (el 0 corresponde al espacio
  en blanco separador de dos palabras)

Un ejemplo para un cifrado digráfico (bloques de
2 caracteres) sería.

Para el texto original siguiente: ESTACION CENTRAL
X

Disponemos el texto de la forma siguiente y aplicamos la
transformación indicada:

Y así sucesivamente para cada bloque de 2
caracteres, resultando:

Texto cifrado: NDTCVZCNYISNCAQHDR

La consecuencia es que el mismo caracter se
codifica de distintas formas (la primera E se ha codificado como
una N, y la segunda E del texto original se ha codificado como
una S).

El Descifrado del sistema de Hill
es simétrico (la clave de Descifrado se calcula a partir
de la clave de encriptación y viceversa) y será
aplicar la transformación:

P = A-1 · (C – B) (mod 28),
donde A-1 es la matriz inversa de A mod 28.

Si A es una matriz tal que m.c.d (det(A), n)=1 y d =
det(A) entonces la inversa módulo n de una matriz
cualquiera es:

A-1= d-1.B donde d-1 es el inverso de d módulo n
y B es la transpuesta de la matriz adjunta de A.

Ejemplo

Vamos a cifrar la palabra MAX utilizando un
cifrado poligráfico de tamaño 3. Tomemos sus
equivalentes numéricos:

M  A  X
13 1 25

 Si las matrices de
cifrado A y B son:

det (A) = d = 3 entonces tendremos que
d-1 = 19 pues 3.19 = 57 = 1(mod 28); por otro
lado,

El resultado es [62 64 -11] es decir [18 8 17]
tomándolo módulo 26. Así que el bloque que
corresponde a MAX es QHP.

Probemos con el descifrado:

El resultado es como era de prever [13 1 25], es decir
el bloque MAX original.

  Otro enfoque para este
importante algoritmo de HILL, es:  

"Para un cifrado digráfico (bloques de 2
caracteres) sería para el texto original
siguiente"

E S T A C I O N C E N T R A L X

05 20 21 01 03 09 16 14 00 03 05 14 21 19 01 12 00
25

Disponemos el texto de la forma siguiente y aplicamos la
transformación indicada:

Si el número de letras es impar debemos
añadir letras al final de mensaje, por ejemplo
"blancos".

"E 05 y S 20":

Y así sucesivamente para cada bloque de 2
caracteres, resultando:

MDSCUZBNXIRNBAPHCR

La consecuencia es que el mismo carácter se codifica de distintas
formas

 b). PARA EL DESCIFRADO DE
HILL

Es simétrico (la clave de
desencriptación se calcula a partir de la clave de
encriptación y viceversa) y será aplicar la
transformación:

INCONVENIENTES 

1. Distribución de clave  en
secreto.

2. La longitud del texto cifrado es el mismo que la
del texto original.

3. Si faltan caracteres para formar los bloques de
n-caracteres, se le añaden espacios en blanco.

4.  El sistema se convierte débilmente
ante el
conocimiento de una cadena de texto original y su
correspondiente texto codificado.

5.   El tamaño del espacio de
claves es pequeño.

VENTAJAS

1. Los algoritmos simétricos son
generalmente, al menos, 1.000 veces más rápidos que
los sistemas de
clave-pública.

2. El método es
inmune al análisis de frecuencia de letras, a
diferencia de los sistemas monoalfabéticos.

3. El IC (índice de coincidencia) del texto
codificado va a ser muy distinto al del texto original, ya que la
conversión es tal que rompe la frecuencia del texto
original.

4.  Para un tamaño de clave grande y
sin método para conseguir el texto original y codificado
se vuelve SEGURO.

b). Algoritmo Cayley-Purser

Este algoritmo utiliza matrices 2 x 2 entre
el grupo multiplicativo GL (2, Zn). El
módulo n = pq, donde p y
q son dos primos de 100 dígitos o más,
hace que el orden del grupo sea demasiado grande e igual
a:

|GL (2, Zn)| = n f (n) 2
(p + 1) (q + 1), donde f es la función de
Euler.

Esto denota que el orden de GL (2, Zn) no
depende de n únicamente.

Debido a que este algoritmo utiliza nada más que
la matriz de multiplicación (modulo n) y no
exponenciación modular como en RSA, es de esperar que
cifrar y descifrar sea considerablemente más rápido
que el RSA. Esta cuestión fue comprobada, mediante la
aplicación de ambos algoritmos para grandes masas de texto
y se constató que el algoritmo de Cayley- Purser fue
aproximadamente veinte y dos veces más rápido que
el algoritmo RSA

El algoritmo de CP

1. Generación de la Clave

El algoritmo Cayley-Purser o simplemente CP
funciona del siguiente modo:

a. Tómese dos primos p y q
inmensamente grande y calcular el modulo

n = pq

b. Elegir al azar dos matrices ? y ( de GL (2,
Zn), elegidas de tal forma que ? ( ( ( ?. Esto es, ? y (
no son conmutativas.

c. Tómese al azar un r en N y
calcula

• La clave publica es : el modulo
  n. a, ÃY, y Y.

• La clave privada es: X

2. Cifrado

El procedimiento a seguir por el remitente A:

a. Representar el mensaje como una matriz ( de 2X2 con
entradas en Zn.

b. El remitente elige aleatoriamente un
natural s y calcula:

c. Con el fin de cifrar la matriz &µ,
correspondiente a una unidad de texto para enviarlo a B, la
persona A debe
consultar los parámetros hecho público por
B.

d. Cuando estos parámetros se consultan, la
matriz &µ se cifra mediante el siguiente
procedimiento:

&µ' = k &µ
k

e. Luego &µ' y e se envía
al receptor

3. Descifrado

El receptor recupera el texto original. Esto es, cuando
recibe la matriz &µ' y e .Cuando esto ocurre, descifra
la matriz &µ' de la siguiente manera:

Calcula

Capitulo 6

Introducción
histórica

La historicidad de este trabajo se
inscribe en el estudio o creación de los Sistemas
Criptográficos tanto Simétricos como de Clave
Publica, tales como los sistemas "VIGENÉRE CIPHER" y como
los sistemas de "HILL CIPHER", los cuales se basan en las
teorías
desarrolladas por el Criptòlogo Blaise de Vigenére
y por la poligráfica LESTER HILL. De igual manera esta
investigación, tuvo en cuenta el estudio de
la joven Irlandesa SARA FLANNERY quien creó en el
año 1999 el Sistema de Clave Publica denominado
"CAYLEY-PURSER ALGORITHMO" o simplemente "CP", para lo cual
requirió conocer el Orden del Grupo General Lineal,
GL(2,Zpq), para p y q primos.

Es imprescindible en la lista de mención de
antecedentes de este trabajo, el artículo de Roy Quintero
Órdenes de Algunos Grupos Lineales
Modulares (2006), pues sobre este artículo como ya se dijo
es que, se fundamenta esta propuesta. Así mismo se han
tenido en cuenta las obras del matemático Emil Artin,
tales como: The Orders of Linear Groups (1955), donde desarrolla
la teoría sobre el Orden de los Grupos Lineales Modulares
y The Ordes of the Classical Simple Groups (1971), donde explica
metódicamente el Orden de los Grupos Clásicos
Simples; de igual manera se consideró los aportes del
trabajo del Cubano Pedro Domínguez Wade, "Representaciones
Modulares de Grupos Finitos" (2003). En este trabajo el autor
expone algunos resultados referentes a las Representaciones de un
Grupo Finito sobre Anillos Unitarios Conmutativos de rango m. En
este mismo sentido, se apropió de algunos conceptos
significativos y generativos del artículo Matrices
Modulares y Criptografía (1993) de Elif Ozcara Cantel,
quien trata con tanta profundidad la Aritmética de las
matrices modulares, como el Orden de algunos Subgrupos de
Matrices Modulares y su utilidad en la
criptografía. Por último se utilizó la
tesis doctoral
de José Francisco Vicente Francés, (4 de febrero,
de 2008), "Propuesta y análisis de Criptosistemas de Clave
Publica Basados en Matrices Triangulares Superior por Bloque". El
taller digital.com, Pp16-35

CAPITULO 7

Conclusiones y
futuras líneas de trabajo

"No hay rama de la matemática,

por abstracta que sea, que no
pueda

aplicarse algún día a
los fenómenos del mundo real."

Nikolai Lobachevski

7.1. Conclusión

En este aparte se presentan, de forma general, las
conclusiones de este trabajo de grado. Asimismo, se describen las
actividades que se pueden realizar para mejorar el
mismo.

Las investigaciones
hechas en este trabajo tuvieron sus dificultades en la
exigüidad, escasez o en la
falta de antecedentes, y en las limitaciones que suscitan la
protección de los textos en los que existen restringidas
informaciones y que algunos de ellos nos fueron accesibles. Cada
autor, texto, artículo y fuente consultada se le ha
respetado el derecho de
autor cuyas informaciones no serán utilizadas por el
autor de este trabajo con fines distintos al soporte
teórico del presente trabajo.

La criptografía es una ciencia no
solo interdisciplinaria si no también multidisciplinaria,
entre las cuales están las ciencias
matemáticas, la computación y la tecnología de punta
(Cualquier tecnología que fue recientemente inventada y es
de avanzada).

Los algoritmos de Cifrados de clave pública que
resisten la Fuerza Bruta
("En criptografía, se denomina ataque de fuerza bruta a la
forma de recuperar una clave probando todas las combinaciones
posibles hasta encontrar aquella que permite el acceso":wikipedia
página modificada por última vez el 03:08, 21 sep
2008) le dan a la tecnología de punta altos porcentajes de
seguridad y
precisión en las acciones de
las Fuerzas Militares en su lucha contra insurgentes.

Las técnicas
Criptográficas aparecen ligadas a su objeto de estudio,
mantener secretas ciertas informaciones; hoy muy utilizadas por
particulares, organizaciones
políticas, los gremios económicos,
los gobiernos y las fuerzas militares entre otros. De modo que la
Criptografía tiene una función NO solo social, sino
también político-militar, en cuya tendencia hacia
la infalibilidad es neurálgica la aritmética
modular. En la actualidad los Sistemas Criptográficos con
estructuras de
grupo, son de gran utilidad en la construcción de sistemas de seguridad tanto
en las entidades públicas como privadas.

Se dice con tendencia hacia la infalibilidad porque en
la elaboración de este trabajo se encontraron casos en los
que no existe hoy en día, ni exista muy probablemente en
un futuro, ningún sistema de cifrado eficaz que garantice
el secreto perfecto ni la resistencia al
ataque de una Fuerza Bruta. Los criptosistemas únicamente
pueden garantizar la seguridad de la información durante un periodo de tiempo. Todos
ellos, tarde o temprano, van a ser vencidos por los
criptoanalistas. Si esto no sucediera la criptografía como
ciencia habría muerto, ya que no existiría
razón alguna para continuar las
investigaciones.

Por otra parte, siempre se ha considerado que los
mensajes se suponen escritos en un lenguaje y por
lo tanto mediante signos de un
alfabeto (p.ej. el alfabeto latino). Sin embargo para su
tratamiento es conveniente escribirlos numéricamente. Para
ello, basta definir una función inyectiva del conjunto A
de signos del alfabeto en Zn. Y es aquí donde las
distintas partes de las matemáticas entran a reflejar su
esencial papel en el desarrollo de
algunos sistemas criptográficos, especialmente el de clave
pública. Puede afirmarse con toda certeza de la utilidad
de la aritmética modular en los distintos algoritmos de
los Sistemas Criptográficos, tanto los que hacen uso de
las ecuaciones de
congruencia lineal (los cifrados de Cesar, de Vigenére)
como los que utilizan el algebra matricial modular (cifrado de
Hill, de Cayley-Purser). Una de las principales aplicaciones de
la Aritmética Modular en la Criptografía es la
Codificación y Decodificación de
mensajes.

Se pudo observar a través de los ejemplos
propuestos que la codificación de mensajes utilizando el
algebra matricial modular hace más complejo el algoritmo
de Cifrado y por lo tanto consigue una mayor seguridad. De
ahí la utilidad del Grupo Lineal General y de su subgrupo,
el grupo Lineal Especial, en los algoritmos de Cifrado y de
Descifrado de mensajes. La característica esencial que
debe tener la matriz de codificación es que debe ser
invertible para garantizar el Descifrado del mensaje a
través de la matriz inversa. Así mismo se
comprobó que los números grandes son usados en los
sistemas de clave pública para hacer difícil que
pueda determinarse una clave privada a partir de la
pública. Particularmente en el algoritmo RSA se trata de
factorizar un número primo grande, y hasta el momento no
se conocen medios
prácticos para hacerlo.

En síntesis,
la Aritmética Modular tiene una gran utilidad en los
Grupos Lineales Especiales en el proceso del cálculo de
su orden. De igual manera, la aritmética modular se usa en
las operaciones de cifrado y descifrado por la particularidad de
tener algoritmos perfectamente reversibles, es decir que tienen
su correspondiente función inversa lo que es ideal para
codificar y decodificar. Este hecho evidencia la utilidad de la
aritmética modular en la criptografía. A lo que
Neal Koblitz5 (1985), afirma: "La aritmética Modular deben
seguir jugando el importante papel que históricamente han
jugado en la seguridad de la información. Y al mismo
tiempo, seguir siendo el puente de relación de las
matemáticas con las ciencias de la computación.
relación que debe ser cuidada, mantenida y
estimulada".

5. profesor de
Matemáticas en la Universidad de
Washington, USA

7.2. Futuras Líneas de Trabajo

Durante la realización de este trabajo, surgieron
varios temas que ameritan ser investigados. Algunas de las
extensiones o trabajos futuros que podrían realizarse
sobre esta investigación son las siguientes:

1. Órdenes de los subgrupos
modulares como:

Ortogonal de rango m sobre Zn: O (m;Zn)

Ortogonal espacial de rango m sobre Zn: SO (m; Zn)
y

Simplético de rango 2m sobre Zn: Sp (2m;
Zn),

2. Aplicación de la
criptografía en las curvas elípticas

3. Los criptosistemas asimétricos
basados en matrices triangulares superiores por bloque

4. Para esta otra propuesta
permítannos contextualizarla:

Un retículo es el conjunto de combinaciones
lineales enteras de un conjunto de vectores
linealmente independientes. Su estructura en
dimensión 2 ó 3 se parece a una red. Estas estructuras
tienen aplicaciones en otras partes de las matemáticas,
como álgebras de Lie; o en otras ciencias, como la
Criptografía.

Con base en lo anterior, la propuesta
es:

Investigar la utilidad de los
retículos en los sistemas criptográficos de clave
pública.

Referencias
bibliográficas

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Marcel Dekker, New York, 1984.

[2] Buchmann, J., Introduction to Cryptography,
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Math. 30 (1978), 213–235.

[4] Cameron, P., Notes on Classical Groups, 2000,
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http://www.maths.qmul.ac.uk/ »pjc/class gps/

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Geometry of the Classical Groups, Heldermann Verlag, Berlin,
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Modulares de Grupos finitos (2003), Habana-Cuba

[7] E. Artin, The orders of the classical simple groups,
Comm. Pure Appl. Math. (1955), 455–472.

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classical groups, Geom. Dedicata 49 (1994),
85–116.

[11] J. Dieudonn´e, La G´eometrie
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[12] J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A.
Parker, and R. A. Wilson, An ATLAS of Finite Groups,
Oxford University Press, Oxford, 1985.

[13] J. Tits, Buildings of Spherical Type and Finite
BN-Pairs, Lecture Notes in Math. 382, Springer–Verlag,
Berlin, 1974.

[14] L. E. Dickson, Linear Groups, with an Exposition of
the Galois Field Theory, Dover Publ. (reprint), New York,
1958.

[15] M. Aschbacher, on the maximal subgroups of the
finite classical groups, Invent. Math. 76 (1984),
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[16] MacWilliams, J., Orthogonal matrices over
¯nite ¯elds, Amer. Math. Monthly,
76(1969), 152-164.

[17] M. W. Liebeck, On the orders of maximal subgroups
of the finite classical Groups, Proc. London Math. Soc.
(3) 50 (1985), 426–446.

[18] P. B. Kleidman and M. W. Liebeck, The Subgroup
Structure of the Finite Classical Groups, London Math. Soc.
Lecture Notes 129, Cambridge Univ. Press, Cambridge,
1990.

[19] P. J. Cameron and W. M. Kantor, 2- collineation
groups of finite projective spaces, J. Algebra 60
(1979), 384–422.

[20] Roby, N., Sur le cardinal du groupe Gl(n; A) ou A
est un anneau, An. Acad. Brasil. Ci.,
49(1977), No1, 15-18.

[21] R. W. Carter, Simple Groups of Lie Type, Wiley, New
York, 1972.

[22] W. M. Kantor, Permutation
representations of the finite classical groups of small degree or
rank, J. Algebra 60 (1979)

DEDICATORIA

Dedico este trabajo a mis padres (Q.E.P.D), porque
tenían las dos mejores profesiones del mundo, en
razón a la pedagogía que ellas encierran:

1. Mi papá fue campesino o
Agricultor, quien con la paciencia solo peculiar en ellos,
esperaba la cosecha no solo para paliar la "variedad
Diferenciable" de necesidades que padecíamos, sino
también para pagarme la matricula cuando hacia secundaria.
De él aprendí a sembrar semillas de esperanza, a
quitar la cizaña y la hierba mala de esta sociedad
ascética.

2. Mi mamá era lavandera en el pueblo, lavaba
"manduquíao" o "aporreao" para alimentar a mis hermanos
mayores mientras se producían las cosechas del
sembrío de mi papá. Continuó con esta digna
profesión al venirse a Cartagena a parirme. Aquí se
especializó en la Universidad de la Vida en Planchado de
ropa con plancha de hierro y a
carbón. En esta ciudad se quedó hasta su
fallecimiento, quince años después del
fallecimiento de papá. De ella aprendí a lavar la
mugre de esta sociedad.

3. A todos quienes hagan uso de la pedagogía del
campesino y de la lavandera de pueblo para formar a los
jóvenes de los sectores populares en la concepción
de una patria con equidad y con
justicia
social.

4. A todos quienes utilicen la función social de
las matemáticas para generarle a los estudiantes un
pensamiento
analítico y crítico de la realidad social de este
país.

AGRADECIMIENTO

Esta es una de las páginas que me son más
difíciles en mis producciones escritas. Porque tratar de
compendiar en una página todas las personas que hicieron
desde modestos hasta esenciales aportes no es nada
fácil.

No obstante a lo anterior, mis sinceros agradecimientos
al Profesor Alfonso Segundo Gómez Mulett, mi tutor y
mí maestro. Porque jamás escatimó esfuerzos
en la orientación de este trabajo. Para el no
habían Sábados ni Domingos, siempre estuvo
dispuesto e interesado en que este trabajo, en su contenido
pedagógico y académico fuera mejor.

También quiero agradecer con especial afecto, al
profesor William Caballero Guardo, pues no solo sus orientaciones
académicas fueron fundamentales para la calidad de este
trabajo, sino también sus palabras de
estímulos.

Llevo en el alma y en el
recuerdo las palabras de confianza de todos los maestros de la
Especialidad, como las que solía decirme el maestro NESTOR
RODRIGUERZ en los salones, en los pasillos o en la calle cuando
la casualidad así lo ameritaba.

Autor:

Eleuterio Romero
Peña

Director Mma Alfonso Segundo Gómez
Mulett

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS y
NATURALES

DEPARTAMENTO DE POSTGRADO

PROGRAMA DE MATEMÁTICA

ESPECIALIZACIÓN EN
MATEMÁTICAS AVANZADA

CARTAGENA DE INDIAS D.T.y. C

2008