Proyecto de investigación sobre la utilidad de la aritmética modular en los sistemas criptográficos y en los grupos lineales modulares especiales (página 2)

Se habla de Componentes
de una matriz
Modular para referirse a los elementos de la misma; esto es,
a los aij ? A, si A= [ aij ] es una
matriz de Se hacen
claras diferencias entre los símbolos Zn y el primer símbolo es el anillo de
enteros modulares y el segundo símbolo es el anillo de
matrices
modulares de tamaño m.

El término de Orden aquí se utiliza solo
cuando se refiere al número de elementos de cualquier
Grupo, es
decir a la cardinalidad del Grupo. Algo semejante ocurre con la
expresión Rango del Grupo General Lineal, o de
cualquier grupo especial, con el que se hace alusión
al Tamaño de las matrices que pertenecen a los
grupos
especiales.

En el presente Trabajo se
denota el Grupo General Lineal de rango m >1

sobre el anillo Zn de los enteros modulares con modulo n, a
través de la siguiente expresión: GL (m,
Zn). Este Grupo Lineal Modular surge frecuentemente de ciertas
aplicaciones de la teoría
de enteros modulares en el estudio o creación de sistemas
criptográficos tanto simétrico como de clave
pública. En consecuencia de lo anterior, es que el
objetivo
general de este trabajo es conocer el Orden de uno de sus
subgrupos, del Grupo Lineal Modular Especial, que pueda emplearse
en futuros sistemas Criptográficos que usen algebra
matricial modular.

1. Profesor del
departamento de física y matemática
de la Universidad de
los Andes de Trujillo, Venezuela

CAPÍTULO.1

Identificación

1.1. TITULO.

Utilidad de la Aritmética Modular en los Sistemas
Criptográficos y en los Grupos Lineales Modulares
Especiales

1.2. LUGAR DONDE SE DESARROLLARA EL PROYECTO.

El proyecto se
desarrollará, en la Universidad de Cartagena de
Indias.

1.3. RESPONSABLE.

Eleuterio Romero Peña.

1.4. PRESENTADO

A la Facultad de Ciencias
Exactas y Naturales

Especialidad Matemáticas Avanzada de la Universidad de
Cartagena

CAPITULO.2

Descripción del
proyecto

2.1 Problema de Investigación.

El proyecto se centra en la necesidad de identificar la
Utilidad de la
Aritmética Modular en los Sistemas Criptográficos
que usen algebra matricial modular o ecuaciones de
congruencia lineal. Del mismo modo en la aplicación en los
Grupos Lineales Modulares Especiales de rango m con entrada en
Zn. Con lo que se satisfaría el problema de algunos
estudiantes de estructuras
algebraicas del programa de
matemáticas y de la especialidad de matemáticas
avanzada de la universidad de Cartagena en ignorar la utilidad de
la aritmética modular en los sistemas
criptográficos y en los grupos lineales modulares
especiales.

De acuerdo con el contexto anterior, se proponen las
siguientes preguntas de investigación:

1. ¿Qué utilidad tiene la aritmética
modular en los sistemas criptográficos que usan en sus
algoritmos
ecuaciones de congruencia lineal y el algebra matricial
modular?

2. ¿Qué utilidad tiene la aritmética
modular en los grupos lineales modulares especiales?

3. ¿Cómo viene expresado el orden del grupo
lineal modular especial?

2.2. Justificación de la
Investigación

Los resultados de esta investigación nos proporciona
una útil herramienta de la utilidad de la
aritmética modular, en la búsqueda del orden de un
subgrupo del GL(m,Zn) y de un modelo
matemático para la seguridad de la
información en una sociedad que
en el presente siglo se caracteriza por la accesibilidad a la
información para todas las personas que dispongan de los
medios para
acceder a ella. En una sociedad donde la codificación y decodificación de la
información esta al alcance de las mayorías de las
personas contemporáneas.

2.3. Objetivos
Específicos

• Conocer la utilidad de la aritmética modular en los
  sistemas criptográficos y en los grupos lineales
  modulares especiales

• Conocer el Orden del Grupo Lineal Modular Especial de
  rango m sobre Zn, a partir del Orden del Grupo General Lineal
  de rango m con entrada en Zn, que pudieran emplearse en
  futuras Sistemas Criptográficos que usen el Algebra
  Matricial Modular

2.4. Objetivo General

Conocer la utilidad de la aritmética modular en los
sistemas criptográficos y en los grupos lineales modulares
especiales

2.5. Metodología

Para comprobar los objetivos específicos de este
trabajo, utilizaremos el Método
Lógico Deductivo, en el siguiente orden:.

• Utilizaremos técnicas de reducción del
  problema al caso primo y empleando la descomposición
  prima de n

• Aplicaremos el Orden del Grupo General Lineal Modular.

• .Demostraremos el epimorfismo de una aplicación y
  consideraremos su Ker

• .Aplicaremos el primer teorema de isomorfismo de grupos,
  la función de Euler y algunos conceptos relacionados
  con la aritmética modular

CAPÍTULO 3

Fundamentación
teórica

"Nada hay tan oculto que no acabe por
saberse"

Pasaje Bíblico

3.1. Fundamentos Teóricos de
Criptografía

3.1.1. Criptografía

Consultando en la Web
(es.wikipedia.org/wiki/Criptografía – 45k) se encontró que
Etimológicamente viene del griego "Kriptos" que
significa ocultar y "Graphos", que significa escritura. En
consecuencia, Criptografía es el arte de escribir
con clave secreta o de un modo enigmático. Es la ciencia que
estudia como mantener la seguridad en la información, a
través de códigos y claves. Luego entonces el
Objetivo de la criptografía no es ocultar la existencia de
un mensaje, sino ocultar su significado a través de un
proceso que se
le llama Cifrado.

La ventaja de la criptografía es que si el enemigo
intercepta el mensaje cifrado este le es ininteligible.

¿Cómo funciona la criptografía?
"Esta se basa en que el emisor emite un texto plano,
que con la ayuda de una clave, crea un texto cifrado o un
criptograma", Harvey Triana (2008). Este texto cifrado, por medio
del canal de comunicación establecido, llega al
destinatario o descifrador que lo convierte, apoyándose en
la misma clave del emisor o en otra clave, según sea el
tipo de criptosistema que esté utilizando de llave
Pública o privada, en el texto plano.

Conviene hacer notar que la Criptografía sólo
hace referencia al uso de códigos, por lo que no engloba a
las técnicas
que se usan para romper dichos códigos, conocidas en su
conjunto como Criptoanálisis y que definiremos más
adelante. En cualquier caso ambas disciplinas están
íntimamente ligadas; no olvidar que cuando se
diseña un sistema para
cifrar información, hay que tener muy presente su posible
criptoanálisis, ya que en caso contrario podría
llevarse desagradables sorpresas.

3.1.2. Esteganografia

A diferencia de la Criptografía, la Esteganografia,
"Stéganos" (Encubrir) y "Grafos"
(Escribir), es ocultar la información dentro de otra. La
información contenida se le llama
Etimógrafa2 (Del gr. etymon, sentido
verdadero. Y del gr. grapho que significa escribir.
Luego entonces Etimografia es parte de la Estenografía que
se dedica de la información verdadera que se quiere
ocultar) y la conteniente se le llama Hidégrafa3
(Del griego hide, que significa señuelo, camuflar,
mimetizar y grapho que significa escribir. Luego
entonces, La hidegrafia es la parte de la Esteganografia que se
encarga en mimetizar la información verdadera de modo que
esta pase desapercibida).

La diferencia entre Criptografía y Esteganografia, es
que la primera no esconde la información sino el mensaje
de la misma, mientras la Esteganografia esconde la
información y no el contenido de esta

____________________________________________

2 y 3. Teorías
construidas como extensión semántica, por Eleuterio Romero
Peña

3.1.3. Texto plano o Claro

En la terminología de la criptografía, la
información original que debe protegerse se denomina
texto plano o Claro.

3.1.4. Cifrado y Descifrado

El cifrado es el proceso de convertir el texto plano en un
galimatías, denominado texto cifrado o criptograma. En
otras palabras, Cifrar es escribir en clave una
información original. O es el proceso de de convertir un
texto legible en uno ilegible a través de códigos o
claves. Las dos técnicas más sencillas de cifrado,
en la criptografía clásica, son la
sustitución (que supone el cambio de
significado de los elementos básicos del mensaje – las
letras, los dígitos o los símbolos-) y la
transposición (que supone una reordenación de
los mismos).

El Descifrado es el proceso inverso que recupera el texto
plano a partir del criptograma y la clave. En palabras castizas,
es revelar lo que está escrito en clave. O es el proceso
de convertir un texto ilegible en uno legible a través de
códigos o claves.

3.1.5. Texto cifrado o codificado

Es el texto que resulta de cifrar o codificar la
información original o el texto plano, no siempre con el
fin de ser remitido

3.1.6. Criptograma

Es el texto cifrado para ser remitido

3.1.7. Criptologia

"La Criptologia (del griego krypto y logos, estudio de lo
oculto, lo escondido) es la ciencia que
trata los problemas
teóricos relacionados con la seguridad en el intercambio
de mensajes en clave entre un emisor y un receptor a
través de un canal de comunicaciones", afirma Inés Otilia
Fernández (2007), diccionario de
investigación Holística 8a Edición, Fundación Sypal, Caracas pp
204. "Es la ciencia que estudia la forma de Cifrar mensajes de
forma que solamente puedan ser leídos por las personas a
las que van dirigidos", según definición de Manuel
José Lucena López (Criptografía y Seguridad
en Computadores. Dpto. de Informática Universidad de Jaén.
Edición virtual. España.
2001. http://www.kriptopolis.org. Capítulo
2-Página 24. ). Este autor para su mejor estudio divide la
criptología en dos grandes ramas. Así:

• La criptografía: Ocupada del cifrado de
  mensajes en clave y del diseño de criptosistemas
  (Un criptosistema es el conjunto de procedimientos
  que garantizan la seguridad de la información y
  utilizan técnicas criptográficas. El
  término en inglés es cipher. El elemento
  fundamental de un Criptosistema es la "llave" o
  clave. Más adelante se profundiza este concepto
  (* )).

• El criptoanálisis o anales
  criptográficos: Se dijo arriba que trata de
  descifrar los mensajes en clave, rompiendo así el
  criptosistema. Se encarga de "romper" con las
  técnicas de cifrado (descifrar el mensaje sin ser el
  verdadero destinatario). Como área de la
  matemática, son los métodos para romper los
  criptogramas por análisis y deducción sin tener
  conocimiento previo de la clave.

De forma un poco genérica se dice que la
labor de la criptografía es convertir un texto Plano en
uno cifrado, mientras que la labor del criptoanálisis es
conseguir el texto original a partir del criptograma sin poseer
las claves necesarias para ello. En resumen, Criptologia
es el estudio de la criptografía y el
criptoanálisis

3.1.8. Fuerza
Bruta

Es el criptoanálisis que se hace probando todas las
claves posibles

3.1.9. Criptosistema o Sistemas
Criptográficos

Son los sistemas para Cifrar y Descifrar informaciones a
través de algoritmos criptográficos y claves

3.1.10. Definición Matemática de
Criptosistema

Asumiendo el compromiso hecho en (* ( sobre
Criptosistemas o sistemas de cifrado, matemáticamente
puede definirse como una quíntupla formada por (M, C,
K, D, E), donde:

• M = {m1, m2, m3, ,,,,,, mn }

Es el conjunto de todos los mensajes sin cifrar. Es el espacio
de mensajes construidos con los textos en claro que se pueden
formar con el alfabeto. Es el conjunto finito de posibles textos
planos u originales.

Cada texto mi e M (i variando desde 1 hasta n) se representa
por un formato numérico en el que se transforma el texto
plano o sin cifrar mi por un medio previamente definido. Por
ejemplo: asignándole a cada letra de nuestro alfabeto el
número de su posición. A = 1, B = 2, C = 3, D=4,
E=5, F=6…

2. C= {c1, c2, c3….cn }

Representa el conjunto de todos los posibles mensajes
cifrados, o criptogramas. Es el conjunto finito de posibles
textos cifrados

3. K = {k1, k2, k3,…,kn }

Representa el conjunto de claves o llaves que se pueden
emplear en el criptosistema. Es el conjunto finito de posibles
claves

4. E= {e1, e2, e3…ek ..en }

Es el conjunto de aplicaciones de Cifrado, que
para cada k e K, aplica a cada elemento m e M para
obtener un elemento c e C. Esto es: Para cada clave ki
i=1,2,.., n ek envían cada mensaje sin cifrar en el
mensaje cifrado

La última definición de E nos dice que la
propiedad
básica de toda aplicación de Cifrado es que sea
biyectiva en razón de:

a) No pueden haber dos letras distintas que se
conviertan en la misma. La

traslación de Cesar tiene claramente esa propiedad. Sin
embargo la

función f(x)(x2 en Z27, por ejemplo,
sería muy mala función de
encofrar

porque f (6)(62(9(mod27) y f (21)(212(9(mod27).
Entonces las letras "F" y "T" de nuestro alfabeto
se encifrarian ambas como "I" creando ambigüedad.

b) Porque siendo f una aplicación biyectiva,
al aplicar f a m puede enviar c = f (m)
al destinatario y este para poderlo leer debe aplicarle la
función inversa de f a c obteniendo m, f-1
(c) = m, donde se puede recuperar el texto original.

5. D = {d1, d, d3…dk ..dn }

Es el conjunto de aplicaciones de Descifrado, análogo a
E. Es decir,

Las aplicaciones dk envían cada mensaje cifrado en el
mensaje sin cifrar correspondiente según la clave k e
K. Transforma un elemento c e C en
un elemento m e M. Esto es,

dk (ek (m)) (m

El objetivo del Cifrado y del posterior Descifrado de un
mensaje es obtener el texto original: dk (ek (m))
(m condición matemática que debe cumplir
todo criptosistema.

De la definición de criptosistema podemos inferir
algunas consecuencias que aun siendo obvias, conviene
tratar:

1. Para cada mensaje m e M y para cada k e K existe un
único mensaje cifrado c e C tal que ek (m) (c

2. El mismo resultado para dk

3. La aplicación ek es biyectiva para cada k e K

3.1.11. Clasificación de los Criptosistemas

Es importante aclarar que no existe un solo criptosistema o un
solo sistema para cifrar y Descifrar una información.
"La clasificación de los Criptosistemas se hace en
función de la disponibilidad de la clase de
Cifrado o Descifrado que se tengan", afirman (Fletes &
Reyes, 2004) y así lo explican en el siguiente mapa conceptual
que reproducimos sin ninguna modificación.

Este trabajo solo habla de los sistemas
modernos.

En Los criptosistemas Simétricos o de
clave Privada, su simetría se refiere a que el emisor y el
receptor utilizan la misma clave para cifrar y descifrar.
Mientras que en Los criptosistemas Asimétricos o de clave
Pública, se utilizan dos claves una publica para cifrar y
otra privada para descifrar

3.1.11.1. Criptosistemas simétricos o
de clave privada.

Son aquellos que emplean una misma clave K tanto para
cifrar como para descifrar. Presentan el inconveniente de que
para ser empleados en comunicaciones la clave k debe estar
en posesión tanto en el emisor como en el receptor, lo
cual genera la siguiente inquietud: ¿Cómo
transmitirles a los participantes en la
comunicación esa clave de forma segura?

Los-esquemas-del-documento-"criptografía"
(www.matem.unam.mx/~rajsbaum/…/presentacion_seguridad_1.pdf)
que a continuación se reproducen sin ninguna
modificación, nos aclaran esas dudas:

Esquema de Criptosistema
Simétrico

3.1.11.2. Criptosistemas asimétricos o
de clave pública,

Uno de los pilares que cimienta la Criptografía de
Clave Publica se sustenta en el problema de Factorización
de Enteros que consiste en encontrar para un n(N,
el conjunto de números primos p1,p2,.,pk tales que n(
p1p2….pk. Emplea una doble clave (kp, KP). Donde
kp se la conoce como clave privada y KP se la
conoce como clave pública. Una de ellas sirve para la
aplicación o función f de cifrado y la otra
para la aplicación g de descifrado. En muchos casos
son intercambiables, esto es, si emplea una para cifrar la otra
sirve para descifrar y viceversa. Estos criptosistemas deben
garantizar además que el
conocimiento de la clave pública KP no permita
calcular la clave privada kp. Ofrecen un abanico superior
de posibilidades, pudiendo emplearse para establecer
comunicaciones seguras por canales inseguros puesto que
únicamente viaja por el canal la clave pública, que
sólo sirve para cifrar, o para llevar a cabo
autenticaciones. Sin la clave privada (que no es deducible a
partir de la clave pública) un observador no autorizado
del canal de comunicación será incapaz de descifrar
el mensaje cifrado.

Esquema de Criptosistema Asimétrico o de llave
pública

3.1.12. Algoritmos
Criptográficos

Son métodos
matemáticos para cifrar y descifrar una
información. En razón de esto, se dice que la
criptografía es un área de la matemática

3.1.13. Algunos Algoritmos
Criptográficos de Criptosistemas Simétricos

El esquema básico de los algoritmos de clave
simétrica es:

MENSAJE + CLAVE = CÓDIGO
(encriptación)

CÓDIGO + CLAVE = MENSAJE
(desencriptación)

Explicamos la teoría de algunos de los principales
algoritmos criptográficos simétricos:

a).Algoritmo
Cesar

El algoritmo César es uno de los más antiguos de
los cifrados de clave

Privada. Matemáticamente para trabajar con este
cifrado se toma el alfabeto como el módulo. Es una
de las técnicas de codificación más simples
y más usadas. Es un tipo de cifrado por sustitución
en el que una letra en el texto original es reemplazada por otra
letra que se encuentra en una posición que está un
número determinado de espacios más adelante en el
alfabeto. El caracter cifrado se obtiene avanzando 'k'
pasos en el alfabeto a partir del caracter original. Obviamente
'k' es la clave.

Ejemplo

Con k=2, si el texto original es "ABCDE" se codifica
como "CDEFG"

Ejemplo.

Para K(3 una B en el texto original
se convierte en una E en el texto

Codificado. Según se puede apreciar en el
siguiente esquema publicado

en la Web
(es.wikipedia.org/wiki/Cifrado_César -)

El algoritmo César mueve cada letra un
determinado número de espacios en el alfabeto.

b).Algoritmo Hill

En 1929, Lester S. Hill, un joven
matemático, publica en Nueva York un artículo en el
que propone la utilización del álgebra y,
en particular de las Matrices, en la operación de
cifrado. La importancia del método de Cifrado propuesto
por Hill descansa en la utilización de Transformaciones
Lineales representadas por Matrices operando en módulo
26 -las letras del alfabeto inglés.

c).Algoritmo Vigenère

El cifrado Vigenère se asemeja mucho al
Cifrado de Cesar, pero su diferencia radica en que el primero
utiliza una clave más larga. El algoritmo Vigenére
se ha tratado de mejorar en muchas ocasiones, una mejora sobre el
cifrado de Vigenère fue introducida por el sistema de
Vernam, utilizando una clave aleatoria de longitud igual a
la del mensaje; la confianza en este nuevo criptosistema hizo que
se utilizase en las comunicaciones confidenciales entre la
Casa Blanca y el Kremlin, hasta, por lo menos, el
año 1987.

d).Algoritmo DES

Finalmente se analiza el sistema de Cifrado por clave privada
más difundida y ampliamente utilizada en el mundo conocido
como 'DES' (Data Encription standard). Cuando fue creado el
algoritmo se suponía tan fuerte que inmediatamente se
propuso como el Estándar Federal para cifrar
datos. DES fue
durante mucho tiempo un buen
algoritmo de encriptación para la mayoría de las
aplicaciones comerciales. El gobierno de
Estados Unidos
de América, sin embargo nunca confió en
el DES para proteger sus datos clasificados debido a que la
longitud de la clave del DES era de solamente de 50 bits
suficientemente cortas para ser vulnerable a un ataque por fuerza
bruta.

3.1.14. Algunos algoritmos
Criptográficos Asimétricos

Explicamos la teoría de algunos de los principales
algoritmos criptográficos Asimétricos:

a).Algoritmo RSA

Debe su nombre a sus tres inventores: Los matemáticos,
Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, que
publicaron por primera vez el método en 1977. Se basa en
la dificultad que presenta la factorización de
números enteros de gran tamaño. Este sistema emplea
la doble clave (kp, KP). Las claves pública
y privada se calculan a partir de un número que se
obtiene como producto de
dos primos grandes. Un atacante que quiera recuperar un texto
claro a partir del criptograma y de la clave pública,
tiene que enfrentarse a dicho problema de
factorización.

b).Algoritmo Diffie-Hellman

Primer algoritmo de clave pública, enunciado por W.
Diffie y M. Hellman (1976), basa su seguridad en la dificultad de
Calcular logaritmos discretos en un campo finito. Se
emplea para distribución de claves pero no para cifrar
y descifrar.

c).Algoritmo de Curva Elíptica (CCE)

El cual es una variante de la criptografía
asimétrica o de clave pública basada en las
matemáticas de las curvas elípticas. Sus autores
argumentan que la CCE puede ser más rápida y usar
claves más cortas que los métodos antiguos —
como RSA— al tiempo que proporcionan un nivel de seguridad
equivalente.

d).Algoritmo de Cayley-Purser

Algoritmo ideado por Sarah Flannery (1998) se basa en la no
conmutatividad del producto de dos matrices de 2×2 que se toman
al azar del GL (2, Zn). En el caso particular de este algoritmo,
la autora requirió conocer el orden de GL (2,
Zn).

En el algoritmo, Sarah utiliza la matriz de
multiplicación modular en lugar de
exponenciación modular, y es mucho más
rápido que otros algoritmos de clave pública. Por
ejemplo, alrededor de 20 veces más rápido que el
cifrado RSA de 200 dígitos módulo.

3.1.15. Algoritmos Criptográficos
Híbridos.

Es el sistema de cifrado que usa tanto los sistemas de
clave simétrica como el de clave
asimétrica. Funciona mediante el cifrado de clave
pública para compartir una clave para el cifrado
simétrico. En cada mensaje, la clave simétrica
utilizada es diferente por lo que si un atacante pudiera
descubrir la clave simétrica, solo le valdría para
ese mensaje y no para los restantes. Como GnuPG y PGP (GnuPG y
PGP son programas, para
cifrar mensajes y documentos) usan
sistemas de cifrado híbridos. La clave simétrica es
cifrada con la clave pública, y el mensaje saliente es
cifrado con la clave simétrica, todo combinado
automáticamente en un sólo paquete. El destinatario
usa su clave privada para descifrar la clave simétrica y
acto seguido usa la clave simétrica para descifrar el
mensaje.

3.2. Fundamentación Teórica de
Aritmética Modular

"La fuga4, es lógica
pura al utilizar

la Aritmética
Modular"

Friderich Chopin

3.2.1. Definición de Aritmética
Modular

En matemática, la aritmética modular es
un sistema aritmético para clases de equivalencia de
números enteros llamadas clases de congruencia.
Algunas veces se le llama, sugerentemente, 'aritmética del
reloj', ya que los números 'dan la vuelta' tras alcanzar
cierto valor (el
módulo). Por ejemplo, cuando el módulo es
12, entonces cualesquiera dos números que divididos por
doce den el mismo resto son equivalentes (o "congruentes") uno
con otro. Los números

…, -34, -22, -10, 2, 14, 26,…

son todos "congruentes módulo 12" unos con
otros, ya que cada uno deja el mismo resto (2) cuando los
dividimos por 12. La colección de todos esos
números es una clase de congruencia.

La Aritmética Modular Comprende el estudio
de las clases de restos (residuos) de los enteros al dividirse
por un entero positivo n llamado modulo n.

4. Fuga
es una forma de construcción musical, con un procedimiento de
creación y estructura muy
determinadas

3.2.2. Criterio de congruencia

Dado a, b (Z y un n(Z, n(0 fijo. Diremos que a es
congruente con b modulo n, o que están en la
relación de congruencia modulo n, y se indica por a ( b
(mod n) si y solo si n / (a-b). Las tres definiciones siguientes
son equivalentes:

a ( b (mod n) si y solo si

• n / (a-b)

• a y b dejan el mismo residuo al dividirse
  entre n.

• a= nq (b o

A n se le llama modulo de la congruencia, que
no es más que el número entero positivo que tiene
el papel de divisor en la definición de congruencia
.

3.2.3. Definición de Enteros
Modulares

Bien se sabe que la relación de congruencia modulo n es
una relación de equivalencia para toda n(0. En
consecuencia de ello, genera o induce una partición en Z
en clases de equivalencias: Los subconjuntos de Z o la clase de
equivalencia cuyos elementos dan el mismo residuo 0 al dividirlos
entre n, los subconjuntos de Z o la clase de equivalencia cuyos
elementos dan el mismo residuo 1 al dividirlos entre n, hasta los
subconjuntos de Z o la clase de equivalencia cuyos elementos dan
el mismo residuo n-1 al dividirlos entre n. A cada uno de estos
enteros que están en la misma clase de equivalencia o que
dejan el mismo residuo al dividirse entre el modulo n se les
llaman Enteros Modulares o Residuales y a los subconjuntos de Z o
a las clases de equivalencia se

Les llaman Clases residuales modulo n o de Equivalencia modulo
n

Y se designa por [c]n o simplemente, [c] cuando no hay duda
sobre el

modulo. Luego entonces a los conjuntos de
la forma

Al c ( Z se le llama representante de la clase [c]n. Por
antonomasia al símbolo [c]n se le llama clase residual de
c modulo n.

Como c mod (n) es el residuo r al dividir c entre n, entonces
sin pérdida de generalidad se toma a r como el elemento
representativo de la clase residual modulo n. Por lo tanto, para
todo c ( Z, [c]n( [r]n, de lo que se infiere que el conjunto de
todas las clases residuales modulo n es finito, tiene n
elementos; se denota como Zn y viene dado por:

Entonces Zn es un conjunto cociente de Z
respecto a la relación de congruencia modulo n. En
términos generales se afirma que

a ( b (mod n) si y solo si [a]n ([b]n

Por comodidad tipográfica en este trabajo
se escriben los elementos de Zn con un segmento arriba del entero
y no entre los brackets o paréntesis cuadrados.

3.2.4.Aritmetica en Zn

La congruencia modulo n es compatible con la suma y el
producto de Z, es decir, si a = b (mod n) y x = y (mod n)
entonces se tiene que

a(x = b(y (modn) y ax = by (modn).

Con base en la compatibilidad de la congruencia con la suma y
el producto de Z, son definibles en Zn dos operaciones
binarias internas:

llamadas suma y producto respectivamente, y
están definidas de la siguiente manera, para cualesquiera
a, b( Z:

El primer mas y el primer punto son operaciones
binarias en Zn y el segundo mas como el segundo punto son
operaciones binarias en Z

Propiedades de la suma y la multiplicación en
Zn

1. Son operaciones cerradas, conmutativas y
asociativas

2. Cumplen la propiedad distributiva

3. Tienen elemento neutro: [0] es el elemento
neutro para

(Zn, +) y [1] es el elemento neutro para
(Zn,.)

4. Elemento inverso

En el caso de (Zn,+) existe el elemento opuesto o inverso
aditivo: -[a] = [-a].

Para el caso de (Zn,.) en general no todos los elementos en Zn
tienen inverso multiplicativo. Para que en (Zn,.) exista el
elemento inverso de un elemento [a]n se requiere que el
(n,a)=1. Esto es, que a y n sean primos relativos o
coprimos.

El inverso multiplicativo de [a] en Zn, se denota como
[a]-1.

5. Propiedad cancelativa

3.2.5. Elementos Invertibles o unidades de
Zn.

Se dice que [a] es invertible en Zn respecto a la
operación producto si y solo si existe un [b] en Zn tal
que [a] [b]= [1]. Ese elemento [b] es el inverso de [a] en Zn, y
se dijo que se denota como [a]-1.

La condición necesaria y suficiente para que [a]n sea
invertible en Zn es que el ( a, n( ( 1. Es decir, la clase
residual [a]n es in vertible en Zn si todos sus elementos son
coprimos con n. Lo que se sintetiza en el siguiente teorema que
se enuncia sin demostración:

Teorema 1.2.3. Dado a, n ( N, tales que el (a, n) ( 1 entonces
a tiene inverso modular n

¿Qué pasa si n es primo?. La respuesta nos las
da el siguiente corolario que se enuncia solo con el fin de
conocer la respuesta a la pregunta formulada:

Corolario. Si n es primo, el grupo finito que esta n genera
tiene estructura de Grupo.

Pues todos sus elementos tienen inverso excepto el cero.

Continuando con el concepto del
inverso modular, se denota por

En la ec 2 se aprecia que la función f de Euler produce
el número de clase de congruencia [a](Zn que tienen
inverso para la multiplicación.

Que es el número de elementos inversibles del anillo Zn
y asocia a cada n(N el número de unidades de Zn.

Propiedades y cálculo de
la función

Se sigue de la definición

3.2.6. Matrices con entradas en Zn

Son matrices cuyos componentes son los enteros
modulares. Pero antes de desarrollar esta teoría veamos un
concepto importante de matriz en un campo cualquiera.

3.2.7. Matrices Cuadradas

Una matriz A es cuadrada, si tiene igual número de
filas que de columnas. Es decir, si es de tamaño m x m. Y
para este caso, se dice simplemente que es de tamaño
m.

3.2.8. Matrices Regulares

Una matriz A de tamaño m se dice que es Invertible o
Regular si existe una matriz B también de tamaño m
tal que AB = BA = In donde In es la matriz identidad de
tamaño m. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice
que es inversibles o regular y su determinante es distinto de
cero.

3.2.9. Matrices de Tamaño m con entrada
en Zn

En Zn pueden definirse matrices de tamaño m x q o en su
defecto de tamaño m; pero para efecto de cumplir con la
finalidad de este trabajo se habla únicamente de matrices
de tamaño m con entrada o con componentes en Zn: De manera
que una matriz A de tamaño m con entrada en Zn, o lo que
es lo mismo una matriz modular de tamaño m, es aquella
cuyos componentes son representaciones de las clases residuales
modulo n:

En el álgebra de este tipo de matrices, la suma y la
multiplicación son las usuales y la suma y
multiplicación de sus componentes son las modulares o las
definidas en Zn. Para estar en contexto con los objetivos de este
trabajo, las matrices de las que se hace alusión en
son matrices
modulares cuadradas de tamaño m, además
regulares.

Ejemplos de este tipo de Matrices en Z2

Ejemplos de Operaciones Matriciales con
componentes en Z2

Entonces

Se observa que la suma y la
multiplicación de matrices modulares son Cerradas.

En razón que el conjunto de Matrices Regulares de
tamaño m con entrada en Zn forman un Grupo con las
operaciones de grupo dada por la multiplicación usual de
matrices, entonces a este grupo de matrices se le suele llamar
Grupo Lineal General de rango m con entrada en Zn, que se denota
así: GL (m, Z n).

3.2.10. Definición Formal de GL (m, Z
n)

Como se recuerda, el Grupo Lineal General de rango m sobre Z
n, es el Grupo de matrices invertibles o regulares de
tamaño m con entradas en Zn y con la operación de
Grupo, obviamente, por la multiplicación usual de
matrices. Es el grupo multiplicativo de las matrices mxm con
entradas en los Enteros modulares y determinante distinto de [0].
Esta misma definición en forma de conjunto es:

La anterior definición es equivalente a
las siguientes:

3.2.11. Orden del GL (m, Zn)

Sea Zn un campo finito de orden n, entonces el GL (m; Zn) es
un grupo finito, con el siguiente orden:

El orden de GL (m; Zn) puede ser
demostrado, pero aquí simplemente se da la idea que su
demostración se hace teniendo en cuenta que las columnas
de las matrices de GL (m; Zn) es una base para Contando las columnas de la
matriz, la primera columna puede ser todo menos la columna cero;
la segunda columna puede ser todo menos los múltiplos de
la primera columna, etc. De ahí que el orden de GL
(m; Zn) sea el que se enuncia arriba.

Algunos subgrupos de GL(m; Zn ), son: el grupo lineal
modular especial

SL(m; Zn), el grupo modular ortogonal O(m;
Zn ), el grupo modular

Ortogonal especial SO(m; Zn ) y el grupo modular
simpléctico

Sp(2m; Zn ). Que para efecto de los objetivos de este
trabajo solo calcularemos el orden de grupo lineal especial, SL
(m; Zn ),

3.2.12. Grupo Lineal Modular Especial

El Grupo Lineal Modular Especial de rango m sobre Zn, se
denota como SL (m. Zn), y es el Grupo de todas las matrices del
GL (m, Zn), cuyo determinante es igual a 1. Es decir:

La anterior definición es equivalente a decir lo
siguiente:

3.2.13. Primer Teorema de Isomorfismo de
Grupos

El primer Teorema de Isomorfismo de Grupos, dice:

3.2.14. Aplicación Grupo
Determinante

La siguiente aplicación se le llama
aplicación de Grupos determinante:

Si ? es un epimorfismo, se le llama epimorfismo
determinante.

El Ker de ?, por definición viene
expresado de la siguiente manera:

3.2.15. Producto Semidirecto Interno

Por otra parte consideramos importante definir en este
trabajo, por su aplicación en el desarrollo del
mismo, el concepto de producto directo interno, tomado sin
ninguna modificación del artículo publicado por la
Universidad de Buenos Aires –
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales – Departamento de
Matemática (ALGEBRA II – Práctica N_2 –
Primer cuatrimestre de 2003 Pp4): Sea G un grupo y sean
H y K subgrupos de G. Se dice que
G es el producto Semidirecto interno de H y
K si H G,

H n K = {1}. 1, es el elemento
idéntico de G respecto al producto y

G = HK

CAPITULO 4

Determinación del orden del grupo
lineal modular especial de rango m y con entrada en
Zn

El teorema que aparece a continuación, responde una de
las intencionalidades de este trabajo, el cual proporciona el
Orden del Grupo Lineal Modular Especial de rango m en
Zn.

4.1. Consideraciones Preliminares

Para calcular el orden de este sub grupo, además de
tener en cuenta la fundamentación teórica expuesta
arriba, son necesarias las siguientes consideraciones
preliminares:

1. En primer lugar se considera el Orden del Grupo General
Lineal Modular que arriba se dijo que viene dado por la
expresión:

2. Se utiliza el resultado del primer Teorema de
Isomorfismo de Grupos.

3. Se aplica la función de Euler y

4. Se hace uso del siguiente epimorfismo de Grupo
determinante:

4.2. Teorema del Orden del Grupo Lineal
Especial:

El orden del Grupo Lineal Modular Especial de
orden m sobre Zn es:

Demostración

Se sabe perfectamente bien que

Esto es:

GL (m; Zn ) / Ker (?) Im ?. Esto es equivalente
a:

GL (m; Zn) / SL (m; Zn)
U (Zn). Ver (11) y
(12)

Se enfatiza que SL (m; Zn) GL (m; Zn) por ser el núcleo
del epimorfismo de Grupo determinante. De manera que, GL
(m; Zn) se puede escribir como producto Semidirecto
interno de SL (m; Zn) por el U ( Zn).

CAPITULO 5

Utilidad de la
aritmética modular en los cifrados y descifrados de
criptosistemas

Una de las principales aplicaciones de la aritmética
modular en la criptografía es la Codificación (o
Cifrar) y Decodificación (Descifrar) de mensajes. Siendo
consecuente con los objetivos propuestos en este trabajo y en
razón que existen muchos algoritmos de Cifrados, en este
aparte solo se ve la aplicación o utilidad de la
aritmética modular y del Grupo General Lineal Modular en
algunos de ellos. Para tal efecto se ha dividido la utilidad de
la aritmética modular en los algoritmos que hacen uso de
la aritmética modular y en los algoritmos que hacen uso de
matrices modulares.

5.1. Algoritmos que hacen uso de la
Aritmética Modular

a). Algoritmo de Cesar

Consistía en escribir el mensaje con un alfabeto que
estaba formado por las letras del alfabeto latino normal
desplazadas 3 posiciones a la derecha. Con nuestro alfabeto el
sistema quedaría así:

Por ejemplo, si se quiere enviar el mensaje ATACARALAMANECER,
lo que se escribirá realmente es
DWDFDUDÑDODPHFHU.

El receptor del mensaje conocía la clave secreta de
éste (es decir, que estaba escrito con un alfabeto
desplazado 3 posiciones a la derecha), y podía descifrarlo
fácilmente haciendo el desplazamiento inverso con cada
letra del mensaje. Pero para el resto de la gente que pudiese
accidentalmente llegar a ver el mensaje, el texto carecía
de ningún sentido. Aparentemente es un cifrado muy
débil y poco seguro, pero en
la época de Julio César no era de conocimiento
general la idea de ocultar el significado de un texto mediante
cifrado. De hecho, que un mensaje estuviese por escrito ya era un
modo de asegurar la confidencialidad frente a la mayoría
de la población analfabeta de la
época.

Lo que interesa del cifrado César es
que es un claro ejemplo de utilización de la
aritmética modular para garantizar la confidencialidad de
la información mediante el cifrado o
encriptación.

Matemáticamente, para cifrar o codificar
podemos describir el método usado por Julio César
como una función de congruencia lineal del tipo,

f3(x) ( x(3(mod27) (13)

Para un alfabeto con 27 caracteres como el español.
La x indica la posición que la letra "en claro" ocupa en
alfabeto. f3(x) indica la posición de la letra cifrada
correspondiente a x en el alfabeto. Según esto, f3 (0)=3,
y f3 (26)=2. Esto es, la A se cifra como D, y
la Z como C.

Para descifrar o decodificar se emplea la función g3(x)
( x-3 (mod 27).

Para cifrar y descifrar el mensaje los comunicantes han de
conocer y usar una misma clave secreta, que en este caso es el
desplazamiento aplicado sobre el alfabeto (Desplazamiento=3).

En general, La codificación se puede representar usando
aritmética modular, transformando las letras en
números, de acuerdo al esquema

A = 0, B = 1,…, Z = 27. La codificación de la letra x
con un desplazamiento n puede ser descrita
matemáticamente como,

fn(x) ( x(n (mod27)

La decodificación se hace de manera
similar,

gn(x) ( x-n (mod 27).

Una sustitución mono alfabeto como la del cifrado
César también puede interpretarse como una
transformación congruente lineal conocida
criptográficamente como transformación afín:
Esta no es más que una transformación, definida por T(u) =Au(v
donde A es una matriz y v es un vector fijo.

Puede extenderse la transformación
afín a un caso mucho más general

con la siguiente congruencia lineal:

Siendo M el valor numérico de un caracter del alfabeto
original, a y b dos números enteros menores que el
cardinal n del alfabeto, y cumpliendo que a y n sean primos entre
sí, ya que de no se r así diferentes letras del
alfabeto original darían lugar a una misma letra en el
alfabeto cifrado equivalente. La clave de cifrado k viene
entonces dada por el par (a, b),

donde a es una constante que determina el intervalo de
separación entre dos letras del alfabeto cifrado cuando
estas son consecutivas en el alfabeto original. Esta constante se
denomina coeficiente o factor de decimación. b es una
constante que determina el desplazamiento entre las letras del
mensaje claro y las correspondientes en el cifrado.

b). Algoritmo Vigenére

El cifrado de Vigenère (1586) es una
generalización del Cifrado Cesar, con la particularidad de
que la clave toma sucesivamente diferente valores:

Mensaje: P A R I S V A U T B I E N U N E M E S
S E

Clave: L O U P L O U P L O U P L O U P L O
U P L

Criptograma: A O L X D J U J E P C T Y I H
T X S M H P

En términos matemáticos emplea la
siguiente transformación de congruente lineal de
cifrado:

Yi ( Xi + Zi(mod27) (15)

Con Zi = L, O, U, P,
alternativamente, siendo el 27 el número de letras del
alfabeto.

Se observa que a una misma letra en el texto claro le pueden
corresponder diferentes letras en el texto cifrado.

c). Algoritmo RSA

Suponemos que A quiere enviar un mensaje
confidencialmente a B a través de un medio de
transmisión inseguro. El mensaje o el texto en claro que
quiere transmitir lo representa como un entero positivo m < n,
n es un natural. n(p.q. Con p y q primos distintos con más
de 200 dígitos. Y estos son los TRES pasos que tiene que
seguir:

1. Generación de las claves:

Recordemos que en una comunicación entre dos partes A y
B, cada una de ellas generará antes de empezar su propio
par de claves (Pública, privada). Así A
tendrá el par (KPA, kpA) y B su par (KPB,
kpB),

donde KPA y KPB son las claves públicas que son
conocidas por las dos partes, y kpA y kpB las privadas, que cada
parte guarda la suya en secreto y no será conocida por la
otra parte. Lo mismo para el par de claves de B.

a). Cada usuario del sistema elige una pareja de
números primos p y q de 200 dígitos
aproximadamente, que deben permanecer en secreto

b). Calcula n = pq y se considera como conjunto de mensajes a
utilizar

el grupo multiplicativo U (Zn) cuyo orden es ?(n), donde ?(n)
es la función de Euler definida por ?(n) = (p-1)
(q-1)

c). Elige arbitrariamente e, 0 < e < ?(n) , tal
que el mcd [e, ?(n)] = 1

d).Mediante el algoritmo de Euclides extendidos se calcula el
inverso modular de e, en U (Z((n(). E s decir se calcula un d en
Z((n( de

modo que d(e-1mod ?(n). Con 0(d ( ?(n).

e). Toma como clave pública (n, e) y como su clave
privada d.

Los números p, q y ?(n( también deben permanecer
en secretos

f). El remitente ahora tiene m, conoce n
y e, mientras el destinatario

es avisado. Transmite el mensaje cifrado c al
destinatario. Los números e y d se les llaman exponente de
cifrado y exponente descifrado respectivamente. El entero n se le
llama modulo del criptosistema RSA

2. Cifrado de Mensajes

Si un usuario A le va a enviar un mensaje a otro usuario B,
realiza las operaciones siguientes:

a). Obtiene la clave publica de B, (nB, eB)

b). Representa al mensaje m, como un entero de U (Z nB). 0(m(
nB a través de una tabla: A B C D E F G H I J K L M N O P
Q R S T U VW X Y Z asignándole a cada letra un numero de
Zn a partir del cero. Una vez más recordamos que los
números del 0 a n-1 son de Zn. Entonces, A(0 HASTA
Z(25

c). A envía a B el siguiente
criptograma:

En RSA los mensajes que se transmiten son elementos
de

U (Zn) y si se desea transmitir un mensaje más
largo, se debe dividir en

Bloques de tal manera que cada bloque sea un elemento
de U (Zn)

3. Descifrado de mensaje

Para recuperar el mensaje m, el usuario B utiliza
su clave privada dB mediante,

eB dB ( 1 mod? (nB)

Calcula m a través de la siguiente
aplicación.

Hay que hacer notar que con este algoritmo los mensajes que se
cifran y descifran son números enteros modulares de
tamaño menor que n, no son letras sueltas como en
el caso de los cifrados César o Vigenére.

Ejemplo del algoritmo RSA

Utilicemos los primos p = 281 y
q = 167 para ejemplificar el método RSA

1. Determinación de la Clave.

a). El usuario B, que es el receptor, elige de
forma secreta dos primos

p = 281 y q = 167.

Encuentra n = 281 ( 167 =
46.927 y el orden del grupo U (Zn), esto es:

((n) = (280 ( 1). (167
( 1) = 46.480

b). B, elige arbitrariamente el exponente de
cifrado e, comprendido entre 0 y el orden del grupo U (Zn): 0
< e < 46.480.

Por ejemplo e = 39.423 y
comprueba que el (e, 46.4 80) ( 1

c). Mediante el algoritmo de Euclides extendido
se calcula el inverso de e en Z((n), esto es d. Y se
tiene:

d ( e-1 mod (
(46.927)

d = 26.767

Las claves serán:

Clave Pública del receptor B: (e,
n) ( (39.423; 46.927).

Clave Privada del receptor B: (d, n) (
(26.767; 46.927).

Por supuesto que el receptor B debe mantener en
secreto los números:

p = 281, q = 167 y
((n) = 46.480

d).Finalmente el usuario B da a conocer su clave
pública manteniendo en secreto la privada y los restantes
valores como p, q y ((n)

2. Cifrado del mensaje m

Como el usuario A le va a enviar a B el mensaje m "HOLA"
utilizando un alfabeto de 36 símbolos, en primer lugar
debe determinar la longitud del mensaje y tener en cuenta que va
codificar las letras del alfabeto en base 36 y que la longitud
del mensaje no puede exceder el valor de

n= 46.927. Como Entonces el procedimiento es el
siguiente:

a. El remitente A Asigna a cada letra del mensaje m un
número de Z36 según el alfabeto, que por comodidad
en la escritura lo hacemos sin los bracked o sin el segmento
arriba:

HOLA = (17, 24, 21, 10)

b. Reagrupa el texto a cifrar en bloques de igual longitud,
esto es en grupo de r letras cada uno. Entonces el texto HOLA
queda así: (H, O) y (L, A). Y el bloque a cifrar es:
(17, 24) y (21, 10).

c. Expresa ambos bloques como un número en
base 36:

(17, 24) = 17. 360 +24. 361 = 881

(21, 10) = 21. 3600+10. 361 = 381

d. Eleva estos números a e modulo
(46.927):

88139423 ( 45.840 mod
(46.927)

38139423 ( 26.074 mod
(46.927)

e. Expresa estos números en base 36,
teniendo en cuenta que va a tener tres componentes:

45.840 = 12. 360 +13. 36+35. 362 =
(12, 13, 35)

26.074 = 10. 360 +4. 36+20. 362 =
(10, 4, 20)

f. Según el alfabeto considerado a cada
número le asignamos una letra:

(12, 13, 35) =)
CDZ

(10, 4 20) =) A4K

Luego el mensaje cifrado es "CDZA4K".

3. Descifrado del mensaje

Para descifrar habría que hacer el mismo proceso, pero
partiendo de bloques de tres letras y terminando en bloques de
dos letras y elevando a e en lugar de d.

5.2. Algoritmos que hacen uso del Algebra
Matricial Modular

a).
Algoritmo de Hill

Este algoritmo tiene un interés
didáctico importante debido al uso de matrices que en
él se hace. Para cifrar usa como clave secreta una matriz
cuadrada A invertible de tamaño n y con coeficiente
eny su inversa para
descifrar. Es decir con la condición de que su
determinante sea una unidad del anillo Luego entonces el algoritmo de Hill se
obtiene al transformar bloques de n caracteres en un texto
cifrado a través de la relación:

C = (A · P + B) (mod 28) donde, el m.c.d (det(A), 28) (
1

Nota: No está de más recordar que las matrices
están en y
que todas las operaciones aritméticas se realizan
obviamente en la forma modulo 28. Y que los enteros modulares,
por comodidad en su escritura y en las operaciones, los
escribimos sin las denotaciones clásicas que convenimos e
n la teoría modular que se escribió arriba.

• A es la clave secreta

• P es un bloque de n caracteres. Es el texto claro. El
  texto que se va a Cifrar, P (

• B es una matriz nx1. Una matriz columna

• C es la matriz columna resultante del cifrado de P. Es el
  texto cifrado, C (

• 28 es el número de símbolos del
  alfabeto: _ A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T
  U V W X Y Z _ que se corresponden con los números del
  0 al 27 (el 0 corresponde al espacio en blanco separador de
  dos palabras)

Un ejemplo para un cifrado digráfico (bloques de 2
caracteres) sería.

Para el texto original siguiente: ESTACION CENTRAL
X

Disponemos el texto de la forma siguiente y aplicamos la
transformación indicada:

Donde P1 y P2 son dos caracteres del mensaje sin cifrar,

C1 y C2 los correspondientes cifrados

Continuando con el ejemplo y codificando

Y así sucesivamente para cada bloque de 2 caracteres,
resultando:

Texto cifrado: NDTCVZCNYISNCAQHDR

La consecuencia es que el mismo caracter se
codifica de distintas formas (la primera E se ha codificado como
una N, y la segunda E del texto original se ha codificado como
una S).

El Descifrado del sistema de Hill es
simétrico (la clave de Descifrado se calcula a partir de
la clave de encriptación y viceversa) y será
aplicar la transformación:

P = A-1 · (C – B) (mod 28), donde
A-1 es la matriz inversa de A mod 28.

Si A es una matriz tal que m.c.d (det(A), n)=1 y d = det(A)
entonces la inversa módulo n de una matriz cualquiera
es:

A-1= d-1.B donde d-1 es el inverso de d módulo n y B es
la transpuesta de la matriz adjunta de A.

Ejemplo

Vamos a cifrar la palabra MAX utilizando un
cifrado poligráfico de tamaño 3. Tomemos sus
equivalentes numéricos:

M  A  X13 1 25

 Si las matrices de cifrado A y B son:

det (A) = d = 3 entonces tendremos que d-1 = 19
pues 3.19 = 57 = 1(mod 28); por otro lado,

Adj(A)

Adj (A)t =

El resultado es [62 64 -11] es decir [18 8 17]
tomándolo módulo 26. Así que el bloque que
corresponde a MAX es QHP.

Probemos con el descifrado:

El resultado es como era de prever [13 1 25], es decir el
bloque MAX original.

  Otro enfoque para este importante
algoritmo de HILL, es:  

 a). PARA EL CIFRADO DE HILL

"Para un cifrado digráfico (bloques de 2 caracteres)
sería para el texto original siguiente"

E S T A C I O N C E N T R A L X

05 20 21 01 03 09 16 14 00 03 05 14 21 19 01 12 00 25

Disponemos el texto de la forma siguiente y aplicamos la
transformación indicada:

Si el número de letras es impar debemos añadir
letras al final de mensaje, por ejemplo "blancos".

"E 05 y S 20":

C1= 1*5 + 27*20 = 545 = 13 (mod 28) (letra M)

C2= 0*5 + 3*20 = 60 = 4 (mod 28) (letra D)
 

Y así sucesivamente para cada bloque de 2 caracteres,
resultando:

MDSCUZBNXIRNBAPHCR

La consecuencia es que el mismo carácter se codifica de distintas
formas

 b). PARA EL DESCIFRADO DE HILL

Es simétrico (la clave de
desencriptación se calcula a partir de la clave de
encriptación y viceversa) y será aplicar la
transformación:

INCONVENIENTES 

1. Distribución de clave  en secreto.

2. La longitud del texto cifrado es el mismo que la del
texto original.

3. Si faltan caracteres para formar los bloques de
n-caracteres, se le añaden espacios en blanco.

4.  El sistema se convierte débilmente ante
el conocimiento de una cadena de texto original y su
correspondiente texto codificado.

5.   El tamaño del espacio de claves es
pequeño.

VENTAJAS

1. Los algoritmos simétricos son generalmente, al
menos, 1.000 veces más rápidos que los sistemas de
clave-pública.

2. El método es inmune al análisis de frecuencia de letras, a
diferencia de los sistemas monoalfabéticos.

3. El IC (índice de coincidencia) del texto
codificado va a ser muy distinto al del texto original, ya que la
conversión es tal que rompe la frecuencia del texto
original.

4.  Para un tamaño de clave grande y sin
método para conseguir el texto original y codificado se
vuelve SEGURO.

b). Algoritmo Cayley-Purser

Este algoritmo utiliza matrices 2 x 2 entre el
grupo multiplicativo GL (2, Zn). El
módulo n = pq, donde p y
q son dos primos de 100 dígitos o más,
hace que el orden del grupo sea demasiado grande e igual a:

|GL (2, Zn)| = n f (n) 2
(p + 1) (q + 1), donde f es la función
de Euler.

Esto denota que el orden de GL (2, Zn) no depende de
n únicamente.

Debido a que este algoritmo utiliza nada más que la
matriz de multiplicación (modulo n) y no
exponenciación modular como en RSA, es de esperar que
cifrar y descifrar sea considerablemente más rápido
que el RSA. Esta cuestión fue comprobada, mediante la
aplicación de ambos algoritmos para grandes masas de texto
y se constató que el algoritmo de Cayley- Purser fue
aproximadamente veinte y dos veces más rápido que
el algoritmo RSA

El algoritmo de CP

1. Generación de la Clave

El algoritmo Cayley-Purser o simplemente CP
funciona del siguiente modo:

a. Tómese dos primos p y q inmensamente
grande y calcular el modulo

n = pq

b. Elegir al azar dos matrices χ y a de GL (2,
Zn), elegidas de tal forma que χ  
 χ. Esto es, χ y  no son
conmutativas.

c. Tómese al azar un r en N y calcula

• β = χ – 1a – 1χ y

• γ = χr

• La clave publica es : el modulo n.
  a, β, y γ.

• La clave privada es: χ

2. Cifrado

El procedimiento a seguir por el remitente A:

a. Representar el mensaje como una matriz µ de 2X2 con
entradas en Zn.

b. El remitente elige aleatoriamente un natural
s y calcula:

c. Con el fin de cifrar la matriz &µ,
correspondiente a una unidad de texto para enviarlo a B, la
persona A debe
consultar los parámetros hecho público por B.

d. Cuando estos parámetros se consultan, la matriz
&µ se cifra mediante el siguiente
procedimiento:

&µ' = k &µ k

e. Luego &µ' y e se envía al
receptor

3. Descifrado

El receptor recupera el texto original. Esto es, cuando recibe
la matriz &µ' y e .Cuando esto ocurre, descifra la
matriz &µ' de la siguiente manera:

Calcula

a. λ = χ – 1 e

b. Comprueba que µ = λ µ'
λ

Veámoslo.

A fin de que,

Capítulo 6

Introducción
histórica

La historicidad de este trabajo se inscribe en el estudio o
creación de los Sistemas Criptográficos tanto
Simétricos como de Clave Publica, tales como los sistemas
"VIGENÉRE CIPHER" y como los sistemas de "HILL CIPHER",
los cuales se basan en las teorías desarrolladas por el
Criptòlogo Blaise de Vigenére y por la
poligráfica LESTER HILL. De igual manera esta
investigación, tuvo en cuenta el estudio de la joven
Irlandesa SARA FLANNERY quien creó en el año 1999
el Sistema de Clave Publica denominado "CAYLEY-PURSER ALGORITHMO"
o simplemente "CP", para lo cual requirió conocer el Orden
del Grupo General Lineal, GL(2,Zpq), para p y q primos.

Es imprescindible en la lista de mención de
antecedentes de este trabajo, el artículo de Roy Quintero
Órdenes de Algunos Grupos Lineales Modulares (2006), pues
sobre este artículo como ya se dijo es que, se fundamenta
esta propuesta. Así mismo se han tenido en cuenta las
obras del matemático Emil Artin, tales como: The Orders of
Linear Groups (1955), donde desarrolla la teoría sobre el
Orden de los Grupos Lineales Modulares y The Ordes of the
Classical Simple Groups (1971), donde explica
metódicamente el Orden de los Grupos Clásicos
Simples; de igual manera se consideró los aportes del
trabajo del Cubano Pedro Domínguez Wade, "Representaciones
Modulares de Grupos Finitos" (2003). En este trabajo el autor
expone algunos resultados referentes a las Representaciones de un
Grupo Finito sobre Anillos Unitarios Conmutativos de rango m. En
este mismo sentido, se apropió de algunos conceptos
significativos y generativos del artículo Matrices
Modulares y Criptografía (1993) de Elif Ozcara Cantel,
quien trata con tanta profundidad la Aritmética de las
matrices modulares, como el Orden de algunos Subgrupos de
Matrices Modulares y su utilidad en la criptografía. Por
último se utilizó la tesis doctoral
de José Francisco Vicente Francés, (4 de febrero,
de 2008), "Propuesta y análisis de Criptosistemas de Clave
Publica Basados en Matrices Triangulares Superior por Bloque". El
taller digital.com, Pp16-35

CAPITULO 7

Conclusiones y
futuras líneas de trabajo

"No hay rama de la matemática,

por abstracta que sea, que no pueda

aplicarse algún día a los
fenómenos del mundo real."

Nikolai Lobachevski

7.1. Conclusión

En este aparte se presentan, de forma general, las
conclusiones de este trabajo de grado. Asimismo, se describen las
actividades que se pueden realizar para mejorar el mismo.

Las investigaciones
hechas en este trabajo tuvieron sus dificultades en la
exigüidad, escasez o en la
falta de antecedentes, y en las limitaciones que suscitan la
protección de los textos en los que existen restringidas
informaciones y que algunos de ellos nos fueron accesibles. Cada
autor, texto, artículo y fuente consultada se le ha
respetado el derecho de
autor cuyas informaciones no serán utilizadas por el
autor de este trabajo con fines distintos al soporte
teórico del presente trabajo.

La criptografía es una ciencia no solo
interdisciplinaria si no también multidisciplinaria, entre
las cuales están las ciencias matemáticas, la
computación y la tecnología de punta
(Cualquier tecnología que fue recientemente inventada y es
de avanzada).

Los algoritmos de Cifrados de clave pública que
resisten la Fuerza Bruta ("En criptografía, se denomina
ataque de fuerza bruta a la forma de recuperar una clave probando
todas las combinaciones posibles hasta encontrar aquella que
permite el acceso":wikipedia página modificada por
última vez el 03:08, 21 sep 2008) le dan a la
tecnología de punta altos porcentajes de seguridad y
precisión en las acciones de
las Fuerzas Militares en su lucha contra insurgentes.

Las técnicas Criptográficas aparecen ligadas a
su objeto de estudio, mantener secretas ciertas informaciones;
hoy muy utilizadas por particulares, organizaciones
políticas, los gremios económicos,
los gobiernos y las fuerzas militares entre otros. De modo que la
Criptografía tiene una función NO solo social, sino
también político-militar, en cuya tendencia hacia
la infalibilidad es neurálgica la aritmética
modular. En la actualidad los Sistemas Criptográficos con
estructuras de grupo, son de gran utilidad en la
construcción de sistemas de seguridad tanto en las
entidades públicas como privadas.

Se dice con tendencia hacia la infalibilidad porque en la
elaboración de este trabajo se encontraron casos en los
que no existe hoy en día, ni exista muy probablemente en
un futuro, ningún sistema de cifrado eficaz que garantice
el secreto perfecto ni la resistencia al
ataque de una Fuerza Bruta. Los criptosistemas únicamente
pueden garantizar la seguridad de la información durante
un periodo de tiempo. Todos ellos, tarde o temprano, van a ser
vencidos por los criptoanalistas. Si esto no sucediera la
criptografía como ciencia habría muerto, ya que no
existiría razón alguna para continuar las
investigaciones.

Por otra parte, siempre se ha considerado que los mensajes se
suponen escritos en un lenguaje y por
lo tanto mediante signos de un
alfabeto (p.ej. el alfabeto latino). Sin embargo para su
tratamiento es conveniente escribirlos numéricamente. Para
ello, basta definir una función inyectiva del conjunto A
de signos del alfabeto en Zn. Y es aquí donde las
distintas partes de las matemáticas entran a reflejar su
esencial papel en el desarrollo de algunos sistemas
criptográficos, especialmente el de clave pública.
Puede afirmarse con toda certeza de la utilidad de la
aritmética modular en los distintos algoritmos de los
Sistemas Criptográficos, tanto los que hacen uso de las
ecuaciones de congruencia lineal (los cifrados de Cesar, de
Vigenére) como los que utilizan el algebra matricial
modular (cifrado de Hill, de Cayley-Purser). Una de las
principales aplicaciones de la Aritmética Modular en la
Criptografía es la Codificación y
Decodificación de mensajes.

Se pudo observar a través de los ejemplos propuestos
que la codificación de mensajes utilizando el algebra
matricial modular hace más complejo el algoritmo de
Cifrado y por lo tanto consigue una mayor seguridad. De
ahí la utilidad del Grupo Lineal General y de su subgrupo,
el grupo Lineal Especial, en los algoritmos de Cifrado y de
Descifrado de mensajes. La característica esencial que
debe tener la matriz de codificación es que debe ser
invertible para garantizar el Descifrado del mensaje a
través de la matriz inversa. Así mismo se
comprobó que los números grandes son usados en los
sistemas de clave pública para hacer difícil que
pueda determinarse una clave privada a partir de la
pública. Particularmente en el algoritmo RSA se trata de
factorizar un número primo grande, y hasta el momento no
se conocen medios prácticos para hacerlo.

En síntesis,
la Aritmética Modular tiene una gran utilidad en los
Grupos Lineales Especiales en el proceso del cálculo de su
orden. De igual manera, la aritmética modular se usa en
las operaciones de cifrado y descifrado por la particularidad de
tener algoritmos perfectamente reversibles, es decir que tienen
su correspondiente función inversa lo que es ideal para
codificar y decodificar. Este hecho evidencia la utilidad de la
aritmética modular en la criptografía. A lo que
Neal Koblitz5 (1985), afirma: "La aritmética Modular deben
seguir jugando el importante papel que históricamente han
jugado en la seguridad de la información. Y al mismo
tiempo, seguir siendo el puente de relación de las
matemáticas con las ciencias de la computación.
relación que debe ser cuidada, mantenida y
estimulada".

5. profesor de Matemáticas en la Universidad de
Washington, USA

7.2. Futuras Líneas de Trabajo

Durante la realización de este trabajo, surgieron
varios temas que ameritan ser investigados. Algunas de las
extensiones o trabajos futuros que podrían realizarse
sobre esta investigación son las siguientes:

1. Órdenes de los subgrupos modulares
como:

Ortogonal de rango m sobre Zn: O (m;Zn)

Ortogonal espacial de rango m sobre Zn: SO (m; Zn) y

Simplético de rango 2m sobre Zn: Sp (2m; Zn),

2. Aplicación de la criptografía en
las curvas elípticas

3. Los criptosistemas asimétricos basados
en matrices triangulares superiores por bloque

4. Para esta otra propuesta permítannos
contextualizarla:

Un retículo es el conjunto de combinaciones lineales
enteras de un conjunto de vectores
linealmente independientes. Su estructura en dimensión 2
ó 3 se parece a una red. Estas estructuras
tienen aplicaciones en otras partes de las matemáticas,
como álgebras de Lie; o en otras ciencias, como la
Criptografía.

Con base en lo anterior, la propuesta es:

Investigar la utilidad de los
retículos en los sistemas criptográficos de clave
pública.

Referencias
bibliográficas

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http://www.maths.qmul.ac.uk/ »pjc/class gps/

[5] D. E. Taylor, The
Geometry of the Classical Groups, Heldermann Verlag, Berlin,
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[10] G. Malle, J. Saxl and T.Weigel, Generation of classical
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[11] J. Dieudonn´e, La G´eometrie des
Groupes Classiques, Springer, Berlin, 1955.

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and R. A. Wilson, An ATLAS of Finite Groups, Oxford
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[13] J. Tits, Buildings of Spherical Type and Finite BN-Pairs,
Lecture Notes in Math. 382, Springer–Verlag, Berlin,
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[15] M. Aschbacher, on the maximal subgroups of the finite
classical groups, Invent. Math. 76 (1984), 469-514.

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[17] M. W. Liebeck, On the orders of maximal subgroups of the
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[18] P. B. Kleidman and M. W. Liebeck, The Subgroup Structure
of the Finite Classical Groups, London Math. Soc. Lecture Notes
129, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.

[19] P. J. Cameron and W. M. Kantor, 2- collineation groups of
finite projective spaces, J. Algebra 60 (1979),
384–422.

[20] Roby, N., Sur le cardinal du groupe Gl(n; A) ou A est un
anneau, An. Acad. Brasil. Ci.,
49(1977), No1, 15-18.

[21] R. W. Carter, Simple Groups of Lie Type, Wiley, New York,
1972.

[22] W. M. Kantor, Permutation representations of
the finite classical groups of small degree or rank, J.
Algeb

DEDICATORIA

Dedico este trabajo a mis padres (Q.E.P.D), porque
tenían las dos mejores profesiones del mundo, en
razón a la pedagogía que ellas encierran:

1. Mi papá fue campesino o
Agricultor, quien con la paciencia solo peculiar en ellos,
esperaba la cosecha no solo para paliar la "variedad
Diferenciable" de necesidades que padecíamos, sino
también para pagarme la matricula cuando hacia secundaria.
De él aprendí a sembrar semillas de esperanza, a
quitar la cizaña y la hierba mala de esta sociedad
ascética.

2. Mi mamá era lavandera en el pueblo, lavaba
"manduquíao" o "aporreao" para alimentar a mis hermanos
mayores mientras se producían las cosechas del
sembrío de mi papá. Continuó con esta digna
profesión al venirse a Cartagena a parirme. Aquí se
especializó en la Universidad de la Vida en Planchado de
ropa con plancha de hierro y a
carbón. En esta ciudad se quedó hasta su
fallecimiento, quince años después del
fallecimiento de papá. De ella aprendí a lavar la
mugre de esta sociedad.

3. A todos quienes hagan uso de la pedagogía del
campesino y de la lavandera de pueblo para formar a los
jóvenes de los sectores populares en la concepción
de una patria con equidad y con
justicia
social.

4. A todos quienes utilicen la función social de las
matemáticas para generarle a los estudiantes un pensamiento
analítico y crítico de la realidad social de este
país.

AGRADECIMIENTO

Esta es una de las páginas que me son más
difíciles en mis producciones escritas. Porque tratar de
compendiar en una página todas las personas que hicieron
desde modestos hasta esenciales aportes no es nada
fácil.

No obstante a lo anterior, mis sinceros agradecimientos al
Profesor Alfonso Segundo Gómez Mulett, mi tutor y
mí maestro. Porque jamás escatimó esfuerzos
en la orientación de este trabajo. Para el no
habían Sábados ni Domingos, siempre estuvo
dispuesto e interesado en que este trabajo, en su contenido
pedagógico y académico fuera mejor.

También quiero agradecer con especial afecto, al
profesor William Caballero Guardo, pues no solo sus orientaciones
académicas fueron fundamentales para la calidad de este
trabajo, sino también sus palabras de
estímulos.

Llevo en el alma y en el
recuerdo las palabras de confianza de todos los maestros de la
Especialidad, como las que solía decirme el maestro NESTOR
RODRIGUERZ en los salones, en los pasillos o en la calle cuando
la casualidad así lo ameritaba.

CARTAGENA DE INDIAS D.T.y. C

2008

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN SOBRE LA
UTILIDAD DE LA ARITMETICA MODULAR EN LOS SISTEMAS CRIPTOGRAFICOS
Y EN LOS GRUPOS LINEALES MODULARES ESPECIALES

ELEUTERIO ROMERO PEÑA

Director

Mma ALFONSO SEGUNDO GÓMEZ MULETT

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

DEPARTAMENTO DE POSTGRADO

PROGRAMA DE MATEMÁTICA

ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICAS
AVANZADA

CARTAGENA DE INDIAS D.T. y C.

2008

Proyecto de Investigación presentado
a la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad
de Cartagena- Coordinación de Postgrados de
Matemática Avanzada para Optar el Titulo de Especialista
en Matemática Avanzada

Proyecto de Investigación
Aprobado

DECLARACIÓN DE AUTOR

La responsabilidad del contenido de este Proyecto de
Investigación, me

corresponde exclusivamente.

Se permiten citas breves sin permiso especial del autor,
siempre y cuando se otorgue el crédito
correspondiente. Se podrá solicitar permiso al autor Kra
83B #22B26 o al celular 3114231035 Cartagena-Bolívar.

______________________________

Eleuterio Romero Peña

Autor:

Eleuterio Romero Peña