Guía de estudio preparatorio para el examen de admisión (página 3)

-Sustituimos x=1 en la ecuación
2x-15y+93=0:

2(1)-15y+93=0

2-15y+93=0

-15y+95=0

y=-95/15

y=-19/3

-Por lo tanto las coordenadas del Baricentro es G
(1,-19/3)

• h) Las coordenadas del
  Ortocentro:

Ortocentro: Punto del triángulo donde se
cortan las alturas. Este punto es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo

Para determinar las coordenadas del Ortocentro solamente
necesitamos resolver el sistema formado
por dos de las tres ecuaciones de
las alturas.

-Multiplicamos la ecuación por (-1) y le sumamos la
ecuación

-5x+6y-12=0

5x-4y-16=0

2y-28=0

y=14

-Sustituimos y=14 en 5x-4y-16=0:

5x-4(14)-16=0

5x-56-16=0

5x-72=0

X=72/5 *Por lo tanto las coordenadas del
Ortocentro es O (72/5, 14).

• i) Las coordenadas del
  Circuncentro:

Circuncentro: En un triángulo, punto de
intersección de las mediatrices. Es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.

Para determinar las coordenadas del Circuncentro
solamente necesitamos resolver el sistema formado por dos de las
tres ecuaciones de las mediatrices.

• Multiplicamos la ecuación por (-2) y le sumamos
  la ecuación

10x-8y-75=0

-10x+2y-6=0

-6y-81=0

y=-81/6

y=-27/2

-Sustituimos y=-27/2 en 5x-y+3=0:

5x-(-27/2)+3=0

5x+27/2+3=0

5x+33/2=0

5x=-33/2

X=-33/10

-Por lo tanto las coordenadas del Circuncentro son C
(-33/10, -27/2).

j) La Ecuación de la Recta de
Euler:

RECTA DE EULER: Recta que contiene al Baricentro,
Circuncentro y al Ortocentro:

Para calcular la ecuación de la Recta de Euler
solamente necesitamos utilizar las coordenadas de dos puntos, en
este caso, del Baricentro y Circuncentro.

G (1,-19/3) y C (-33/10, -27/2).

• 207. Bosqueja la gráfica de las
  siguientes funciones exponenciales:

Solución:

• I. Resuelve las siguientes ecuaciones
  exponenciales:

Resuelve los siguientes ejercicios:

Escribe las expresiones siguientes en notación
logarítmica:

Escribir las expresiones siguientes en forma
exponencial:

Expresar como un logaritmo único:

En las expresiones siguientes, hallar la
representación numérica más simple de
y:

Resolver para x las siguientes ecuaciones:

Problemas y ejercicios de la
ecuación de la hipérbola

253. Hallar la ecuación y la excentricidad de la
hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5,
0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

254. Hallar las coordenadas de los
vértices y de los focos, las ecuaciones de las
asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9×2 –
16y2 = 144.

255. Hallar la ecuación de la hipérbola de
foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0,
0).

256. Hallar la ecuación de la hipérbola de
foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3,
2).

257. Hallar la ecuación de la hipérbola de
foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2,
-5).

258. Representa gráficamente y determina las
coordenadas de los focos, de los vértices y la
excentricidad de las siguientes hipérbolas.

259. Representa gráficamente y determina las
coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la
excentricidad de las siguientes hipérbolas:

2

260. Hallar la ecuación de una
hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.

261. El eje focal de una hipérbola mide 12, y la
curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su
ecuación.

• 262. Dada la siguiente ecuación de
  parábola y²+24x+18y-135=0, determine:

• a) Las coordenadas del
  vértice.

• b) La distancia focal

• c) Que tipo de parábola es.

Tipo 4

• Cóncava hacia la izquierda.

• d) Las coordenadas del foco

F (h-p, k)=F (9-6,-9)

F (3,-9)

• e) Las coordenadas de los puntos extremos del
  Latus Rectum.

• f) La ecuación de la
  Directriz.

X=9+6

X=15

• 263. Encontrar la
  ecuación de la parábola con foco F (-2,1) y
  directriz x=2.

• El vértice de la parábola se encuentra
  en el punto medio desde la directriz hasta el foco, es decir
  a 2 unidades a la derecha del foco.

V (p, k)=V (-2+2,1)=V (0,1)

• Del inciso anterior, la distancia del vértice
  al foco es de 2 unidades, es decir p=2.

• La parábola en cuestión es
  cóncava hacia la izquierda, ya que la directriz se
  encuentra a la derecha del vértice; por lo que la
  ecuación es de la forma:

(y-k)²=-4p(x-h) por lo que la ecuación
pedida será:

(y-1)²=-4(2) (x-0)

(y-1)²=-8x

• 264. Si la ecuación
  (y+1)²=6(x+2), encontrar:

• a) Coordenadas del vértice

• b) Coordenadas del foco

• c) Ecuación de la recta
  directriz

Solución:

• a) De la ecuación (y+1)²=6(x+2),
  obtenemos h=-2 y k=-1.

Luego: Las coordenadas del vértice son V
(-2,-1).

• b) Para calcular las coordenadas del foco,
  debemos hallar p.

• Por la ecuación sabemos que 4p=6, por tanto
  p=, y que la
  parábola abre sus ramas en el sentido positivo del eje
  x.

• Por consiguiente el foco esta sobre el eje de
  simetría y su distancia al vértice es

Luego: las coordenadas del foco son:

F (-2+, -1) = F (-, -1)

• c) La recta directriz se encuentra a p unidades
  del vértice en sentido contrario al foco.

Luego: la ecuación de la directriz es

x = -2-, es decir, x =

• 265. Encuentra la medida del
  ángulo ? para cada caso. (medida en
  radianes).

• a) S = 4.6 cm, r = 7.8 cm, ? =
  ?

T = s / r

T = 4.6 cm / 7.8 cm

T = 0.5897 rad

• b) S = 0.256 m, r = 1.25 m, ? =
  ?

T = s / r

T = 0.256m / 1.25 m

T = 0.2048 rad

• c) S = 56 cm, r = 31 cm, ? =
  ?

T = s / r

T = 56 cm / 31 cm

T = 1.8065 rad

• 266. Encuentra la medida
  del arco en cada caso.

• a) S = ?, r = 4.63 cm, ? = 0.2365
  rad

S = r ?

S= (4.63 cm)(0.2365 rad)

S= 1.0950 cm

• b) S = ?, r = 46.25 cm, ? = 1.2564
  rad

S = r ?

S = (46.25 cm)(1.2564 rad)

S = 58.1085 cm

• c) S = ?, r = 0.247 m, ? = 2.5894
  rad

S = r ?

S = (0.247 m)(2.5894 rad)

S = 0.6396 m

• 267. Encuentra la medida
  del radio en cada caso.

• a) S = 4 m, r = ?, ? = 4.3654
  rad

r= s / ?

r= 4 m / 4.3654 rad

r= 0.9163 m

• b) S = 1.25 cm, r = ?, ? = 0.1568
  rad

r= s /?

r= 1.25 cm / 0.1568 rad

r= 7.97 cm

• c) S = 78 cm, r = ?, ? = 4.9632
  rad

r = s / ?

r= 78 cm / 4.9632 rad

r = 15.72 cm

• 268. Convierta de Radianes
  a Grados Decimales.

• a) T = 12.2568 rad

• b) T = -2.6589 rad

• c) T = 7.2698 rad

• 269. Convierta de Radianes
  a Grados Sexagesimales.

• a) T = 4.2396 rad

Primero a Grados Decimales:

Luego a Grados Sexagesimales:

242.9112

– 242

___________

0.9112

X 60

___________

54.672

– 54

___________

0.672

X 60

___________

40.32

Por lo tanto 4.2396 radianes equivale a
242° 54? 40.32??

• 270. Convierta
  de Grados Decimales a Radianes.

a) ? = 26.569°

b) ? = 12.3656°

c) ? = 26.8°

• 271. Convierta de Grados
  Sexagesimales a Radianes.

• a) T = 46° 5? 47??

Primero a Grados Decimales

Luego a Radianes

Demuestre las siguientes
identidades:

275. Determinar la
longitud del eje mayor y del eje menor, las
coordenadas de los focos y hacer la gráfica de la
curva definida por la ecuación:

Solución:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre
100 y simplificando se tiene:

Que corresponde a una elipse vertical.

Por lo tanto como se
tiene que =25
y= 4. Resultando
que a=5 y b=2.

De acuerdo a esto, la elipse intercepta a los ejes de
coordenadas en los puntos

Eje Mayor =2a= 10 y Eje Menor=2b=4.

Por otra parte si entonces Sustituyendo los valores:

Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros

En consecuencia las coordenadas de los focos son

La siguiente figura muestra los
resultados obtenidos:

• 276.  Resolver el siguiente sistema de tres
  ecuaciones con tres incógnitas mediante el
  método de Cramer.

• 277. Resolver el siguiente sistema de tres
  ecuaciones con tres incógnitas mediante el
  método de Gauss.

• 278. Resolver el siguiente sistema de tres
  ecuaciones con tres incógnitas mediante el
  método por eliminación.

• 279.  Resolución por
  igualación

Tenemos que resolver el sistema:

esto significa, encontrar el punto de
intersección entre las rectas dadas, de las cuales se
conoce su ecuación.

Despejamos una de las dos variables en
las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente
(en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si
los primeros miembros son iguales los segundos también lo
son, por lo tanto:

Luego:

 Reemplazamos el valor de x
obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la
segunda):

Operamos para hallar el valor de
y:

y=2

Verificamos, en ambas ecuaciones, para
saber si realmente (x ; y) = (4;2):

 Ahora sí, podemos asegurar que
x= 4 e y = 2

Realice este mismo ejemplo despejando x al
comienzo y reemplazando en las dos ecuaciones.

• 280.  Resolución por
  sustitución.

Tenemos que resolver el sistema:

Despejamos una de las variables en una de
las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera
ecuación):

Y la reemplazamos en la otra
ecuación:

Operamos para despejar la única
variable existente ahora:

 Reemplazamos el valor de x obtenido
en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la
primera):

 Hallamos la respuesta x=4, y = 2,
obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado
que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Realice este mismo ejemplo despejando x al
comienzo.

• 281.  Resolución por
  reducción

Tenemos que resolver el sistema:

El objetivo es
eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas
aditivas, sabiendo que una igualdad no
cambia si se la multiplica por un número.

También sabemos que una igualdad no
se cambia si se le suma otra igualdad.

Si se quiere eliminar la x, ¿por
qué número debo multiplicar a la segunda
ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga
cero?

La respuesta es -2. Veamos:

Con lo que obtenemos:

 Y la sumamos la primera
obteniéndose:

-7y = -14

y = 2

Reemplazar el valor obtenido de y en la
primera ecuación:

Y finalmente hallar el valor de
x:

Ejercicio: Resuelve por este método:

• 282.  Resolución por
  determinante

Sabemos que un determinante se representa
como:

Este se calcula de la siguiente manera:
????a·d – b·c

Sea el sistema:

a1x + b1y = c1

a2x + b2 y = c2

El valor de x está dado
por:

e

Resolvamos el sistema::

El punto de intersección de las
rectas dadas es {(4, 2)}

• 283. Dada la ecuación reducida de la
  elipse hallar las
  coordenadas de los vértices de los focos y la
  excentricidad.

• 284. Hallar la ecuación de la elipse de
  foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4,
  2).

• 286. Representa gráficamente y
  determina las coordenadas de los focos, de los
  vértices y la excentricidad de las siguientes
  elipses.

• 287. Representa gráficamente y
  determina las coordenadas de los focos, de los
  vértices y la excentricidad de las siguientes
  elipses.

• 288. Halla la ecuación de la
  elipse conociendo:

• 289. Determina la ecuación
  reducida de una elipse sabiendo que uno de los
  vértices dista 8 de un foco y 18 del otro.

• 290. Halla la ecuación reducida de una
  elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su
  excentricidad es 3/5.

• 291. Escribe la ecuación reducida de la
  elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide
  4.

• 292. La distancia focal de una elipse es 4. Un
  punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente.
  Calcular la ecuación reducida de dicha
  elipse.

• 293. Escribe la ecuación reducida de la
  elipse que pasa por los puntos:

• 294. Hallar las coordenadas del punto medio de
  la cuerda que intercepta la recta: x + 2y – 1 = 0 en la
  elipse de ecuación: x2 + 2y2 = 3.

• 295. Determina la ecuación reducida de
  un elipse cuya distancia focal es y el área del rectángulo
  construidos sobre los ejes 80 u2.

• 296. Una empresa fabrica dos tipos de
  microcomputadoras: el modelo A con 256 K en RAM y el modelo B
  con 128 K en RAM. Diariamente, la empresa puede fabricar un
  máximo de 75 microcomputadoras del modelo A y 50 del
  modelo B. Una unidad del modelo A se fabrica en 8 h y una del
  modelo B en 3. El número de empleados puede
  proporcionar un total de 630 h de trabajo diario. La utilidad
  por la venta de cada computadora del modelo A es de US $20 y
  por una del modelo B, de US $27. ¿Cuántas
  computadoras de cada tipo es necesario fabricar diariamente
  para que la utilidad sea máxima?

Solución: Si x e y representan el numero de
microcomputadoras del modelo A y del
modelo B producidas cada día, respectivamente, entonces
tenemos las siguientes restricciones.

0=x=75 No es posible fabricar más de 75
microcomputadoras del modelo A.

0=y=50 Es posible fabricar un máximo de 50
microcomputadoras del modelo B

8x+3y=630 Solo es posible trabajar 630 h
diarias.

La utilidad P
está dada por P=20x+27y. Esta es la función
objetivo.

El conjunto de puntos factibles es la región
sombreada de la figura. Aunque el procedimiento es
bastante largo, es posible demostrar que la solución del
problema está en el límite de la región
factible. En consecuencia, y debido a que esta región
está acotada por un polígono, la solución es
un vértice o uno de los lados del
polígono.

Probaremos ahora el valor de la función objetivo
en cada uno de los cinco vértices de la región
factible. Si evaluamos la función objetivo P=20x+27y en
cada uno de estos vértices, obtendremos la siguiente tabla
de valores.

En la tabla podemos ver con claridad que la utilidad
máxima ocurre cuando se fabrican diariamente 60
microcomputadoras del modelo A y 50 del modelo B.

• 297. Cada semana, una compañía de
  productos electrónicos fabrica artículos de
  entretenimiento para el hogar. Algunos productos son
  reproductores de discos compactos (CDs) y televisores (TVs).
  El número de horas necesarias para fabricar cada
  artículo, el costo de los materiales y las utilidades
  se muestran en la tabla siguiente, en cuyo último
  renglón se observa la cantidad máxima de cada
  artículo disponible por semana. ¿Cuántos
  aparatos de cada tipo debe producir la compañía
  para obtener la utilidad máxima?

Solución: Debido a que la compañía
gana US $67 por cada reproductor y solo US $58 por cada
televisor, podría sugerirse que sólo fabrique
reproductores. Como semanalmente se dispone de 488 h de tiempo y para
fabricar un reproductor se requieren 3.5 h, es posible fabricar
un total de

488 ÷ 3.5 = 139.4
reproductores

Para elaborar cada reproductor se requieren US $112 de
material, de modo que para un total de 139 aparatos se necesitan
112 x 139 = $ 15,568. Desafortunadamente sólo se dispone
de US S13,500 por semana para material.

Siguiendo un razonamiento semejante, advertimos que no
sería prudente fabricar tantos reproductores como se
pudiera con el dinero
disponible para material. Debido a que para elaborar cada
reproductor se necesitan US $112 de material y se dispone de US
$13,500, entonces ¿Por qué no fabricar

$13,500 ÷ $112 =120.5
reproductores?

En consecuencia, sería posible manufacturar 120
reproductores de CD
semanalmente (y obtener también semanal 120 x $67 =
$8,040). Para fabricar estos aparatos se requieren 120 x 3.5 =
420 h. Así, quedarían 68 h como tiempo sin manufactura,
aunque tampoco se contaría con fondos para producir
televisores. La compañía debe fabricar
reproductores y aparatos de televisión, de modo que esta
solución no es aceptable.

Ahora veremos cual es la solución más
optima a partir de la programación
lineal para ver cuantos reproductores y cuantos televisores
deben fabricarse para obtener la utilidad
máxima.

Si c representa el número de reproductores y t el
número de televisores que es posible fabricar en una
semana, entonces la utilidad semanal P es

P = 67c+58t

Esta ecuación, P = 67c+58t, es la función
objetivo.

El tiempo de manufactura no puede ser mayor a 448 h, de
modo que 3.5c+4t = 488.

El costo de los
materiales no
puede ser mayor a US $13,500, entonces 112c+75t =
13,500.

Por
último, suponemos que c = 0 y t = 0. Estas dos
desigualdades contienen signos de
igualdad porque queremos permitir la respuesta posible (aunque
inesperada) de que sólo deben fabricarse reproductores y
ningún televisor, o sólo televisores y
ningún reproductor. Ahora ya tenemos la función
objetivo y cuatro restricciones. La grafica de las restricciones
se muestra en la figura.

Tres vértices de la región factible son
(0,0), (0,120) y (120,0). El cuarto vértice de la
región factible lo determinamos al resolver
simultáneamente el sistema de ecuaciones

3.5c+4t=448

112c+76t=13,500

De donde encontraremos que c = 92.92 y t=40.69. Estas
cantidades no son enteras, de modo que la solución
aún no está clara. Si redondeamos las cantidades
hasta el número entero más próximo.
Podríamos concluir que deben fabricarse 93 reproductores y
41 televisores. No obstante, para hacer lo anterior se necesitan
489.5 horas de manufactura y 13,532 dólares de materiales
a la semana. Estas dos cantidades exceden lo
permitido.

La alternativa es redondear hacia arriba una de las
cantidades en cuestión y hacia abajo la otra. Así
se obtienen las dos posibilidades siguientes.

c = 92 y t = 41

c = 93 y t = 40

Para determinar la respuesta sustituimos cada par de
valores en la función objetivo P=67c+58t y vemos que
pareja de números produce la ganancia máxima.
Cuando

c=92 y t=41: P=67(92)+58(41)

P=$ 8,542

c=93 y t=40: P=67(93)+58(40)

P=$ 8,551

En consecuencia, la compañía
obtendría la utilidad máxima, $ 8,551, cuando
fabrique 93 reproductores y 40 televisores.

Autor:

Carlos Arturo Acosta
Bustos

Especialista en
matemáticas

Noviembre, 2009.

UNAN 2010