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Factorización de Polinomios (página 2)



Partes: 1, 2

(Algebra de Baldor)

Caso general para factorizar trinomios
de la
forma Monografias.com

Para factorizar trinomios de estas dos
formas utilizaremos un proceso
llamado producto
cruz.

Ejemplo:

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Buscaremos dos factores del primer
término y dos del tercero colocándolos en columna
de modo que al multiplicarlos de forma cruzada (producto cruzado)
la suma de los productos sea
igual al segundo término.

Ejemplo: como

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Ejemplo:

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Buscamos del mismo modo dos factores del
primer término y dos del segundo y seguimos el procedimiento
anterior, tenemos:

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Cubo perfecto de
binomios

Para que una expresión sea el cubo
perfecto de un binomio debe:

  • Tener cuatro
    términos.

  • Que el primer y cuarto término
    sean cubos perfectos.

  • Que el segundo sea el triplo del
    cuadrado de la raíz cubica del primer término
    por la raíz cubica del cuarto termino.

  • Que el tercer termino sea el triplo de
    la raíz cubica del primer termino por el cuadrado de
    la raíz cubica del ultimo termino.

Si todos los términos son positivos,
la expresión dada es el cubo de las raíces cubicas
del primer y ultimo termino.

Si los términos son alternativamente
negativos y positivos, la expresión dada es la diferencia
de las raíces cubicas del primer y ultimo
termino.

Ejemplos:

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Suma o diferencia
de cubos perfectos

Sabemos que:

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y como en toda división exacta el
dividendo es igual al producto del divisor por el cociente,
tendremos:

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En base a lo anterior podemos definir que
la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos
factores:

  • 1. La suma de las raíces
    cubicas de los dos términos.

  • 2. El cuadrado de la primera
    raíz menos el producto de ambas raíces
    más es cuadrado de la segunda. Ejemplo:

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La diferencia de dos cubos perfectos se
descompone en dos factores:

  • 1. La diferencia de sus
    raíces cubicas.

  • 2. El cuadrado de la primera
    raíz más el producto de ambas raíces
    más el cuadrado de la segunda. Ejemplo:

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Suma o diferencia
de dos potencias iguales

Suma.

Ejemplo:

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Reducción
de Fracciones Algebraicas

Reducir una fracción es cambiar su
forma pero no su valor.

Ejemplo

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Para reducir o simplificar una
fracción algebraica, tome en cuenta lo
siguiente:

  • Si el numerador y denominador son
    monomios, efectúe la simplificación utilizando
    ley de la división de monomios y cancele los factores
    comunes.

  • Si el numerador t denominador son
    polinomios, factorice ambos tanto como sea posible y luego
    cancele los factores comunes.

  • El resultado esta dado por los factores
    no comunes del numerador y denominador de la
    fracción.

Se deben tomar muy en cuenta las reglas de
potenciación.

Ejemplo:

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Ejemplo:

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Como numerador i denominador son
polinomios, debemos factorizar ambos tanto como sea posible para
encontrar los factores comunes y simplificar:

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Ahora cancelaremos los factores que se
repiten entre el numerador y denominador:

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Multiplicación y división de
fracciones algebraicas

Multiplicación:

  • 1. Si las expresiones son
    monomios, simplifique numerador y denominador de las
    fracciones tanto como sea posible.

  • 2. Si son polinomios, factorice
    los numeradores y denominadores tanto como sea
    posible.

  • 3. Simplifique los factores
    comunes.

  • 4. Multiplique los numeradores
    juntos y los denominadores juntos.

Ejemplo:

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Ejemplo:

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Factorizando los numeradores
tenemos:

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Factorizando los denominadores
tenemos:

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Ahora la fracción queda
así:

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Cancelamos los factores comunes y obtenemos
la respuesta.

División:

Para dividir fracciones algebraicas
invierta el divisor y luego multiplique las expresiones
racionales resultantes, es decir, cambie la división por
multiplicación y siga el mismo proceso.

Adición y
sustracción de fracciones algebraicas

Para sumar o restar dos fracciones
aritméticas con un denominador común, se suman o
restan los numeradores y se conserva el denominador común.
Este mismo principio se sigue con las fracciones
algebraicas.

Para sumar dos fracciones
aritméticas o algebraicas con diferente denominador se
debe obtener uno igual.

Para hallar el denominador común se
siguen los siguientes pasos:

  • 1. Factorizar el denominador de
    cada fracción.

  • 2. Cuando el mismo factor aparece
    en varios denominadores, se toma el factor que tenga el mayor
    grado.

  • 3. El denominador consta de todos
    los factores no repetidos y los que se repiten se apuntan
    solo una vez.

  • 4. Para hallar los numeradores, se
    divide el denominador común entre cada denominador, el
    cociente se multiplica por el numerador respectivo y se
    reducen los términos semejantes que queden en el
    numerador.

  • 5. Se simplifica la
    fracción que resulte. (Matemática 5, Boanerges
    L. Méndez)

Ejemplo:

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Como los denominadores son diferentes los
factorizaremos para hallar uno común:

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Con lo anterior podemos concluir que el
denominador común es

Con los denominadores ya factorizados
multiplicamos, el cociente del denominador común entre
cada denominador por su respectivo numerador y resulta
así:

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Multiplicando, reduciendo términos
semejantes y cancelando factores comunes queda:

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Con lo anterior podemos concluir que el
denominador común es

Con los denominadores ya factorizados
multiplicamos, el cociente del denominador común entre
cada denominador por su respectivo numerador y resulta
así:

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Resolución
de
Ecuaciones Cuadráticas Completas por el Método
de Factorización

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Ahora igualamos a cero los
factores:

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Por lo tanto las raíces buscadas
son

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Autor:

Jonatan Aaron Maldonado
Figueroa

Partes: 1, 2
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