Las propiedades de integrales
indefinidas de una función se
basan en las propiedades de las derivadas ya que
cualquier propiedad de
las derivadas implica una propiedad correspondiente en las
antiderivada.
La Integral indefinida cumple con propiedades de linealidad,
es decir:
* f y g son dos funciones
definidas en un conjunto R de números reales
* 
Antiderivada.
* k es un número real.
MÁXIMOS Y
MÍNIMOS (Absolutos y relativos)
En la gráfica se pueden observar una serie de
puntos donde el ciclista pasa de "subir" a "bajar" o bien de
"bajar" a "subir". Esos puntos son donde alcanza la cima de una
montaña o bien donde se encuentra en el punto más
bajo del recorrido. Tiene por tanto sentido que intentemos
clasificar también dichos puntos y que a los puntos donde
se alcanzan las cimas los llamemos máximos y a
los puntos donde alcanza las menores alturas los llamemos
mínimos. Un máximo que no esté en
los extremos la función tiene que pasar de creciente a
decreciente y que en los mínimos que no están en
los extremos la función tiene que pasar de ser decreciente
a ser creciente.
También se puede definir de la siguiente manera:
Sea a un punto del dominio de
definición de f, diremos que en a se
alcanza:
a) Un máximo relativo si
b) Un
máximo absoluto si 
c) Un mínimo relativo si
d) Un
mínimo absoluto si
TRAZADOS DE
CURVAS
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA
DERIVADA
Criterio de la primera derivada:
Se procede de la siguiente forma:
. Se halla la segunda derivada, se iguala a cero
y se resuelve la ecuación resultante.
. Con los puntos en los que se anula la derivada
dividimos el dominio en intervalos.
. Se estudia el signo de la derivada en un punto
cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.
Criterio de la segunda derivada:
Este procedimiento
consiste en:
. calcular la primera y segunda derivadas
. igualar la primera derivada a cero y resolver
la ecuación.
. sustituir las raíces (el valor o
valores de X)
de la primera derivada en la segunda derivada.
. sustituir los valores de
las raíces de la primera derivada en la función
original, para conocer las coordenadas de los puntos
máximo y mínimo.
Función Creciente.
MONOTONÍA
* Función Creciente.
Si la función f(x) derivable en (a, b), entonces: f(x)
creciente en 
* Función Decreciente
Si la función f(x) derivable en [a, b],
entonces: f(x) es decreciente en 
Nota: La desigualdad estricta se cumple cuando
f(x) es estrictamente creciente o decreciente.
CONCAVIDAD
Determinar el sentido de la curvatura de una
función, para ello definamos los siguientes conceptos:
Una función f es cóncava hacia arriba (o
convexa) en un punto a si la gráfica de la
función se queda en un intervalo de centro a por
encima de la recta tangente a la gráfica en
(a,f(a)), es decir, si 
es la ecuación de la recta tangente en
un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava
hacia arriba en el punto a si
Una función es cóncava hacia arriba
en un intervalo si es cóncava hacia arriba en todos
los puntos de ese intervalo.
Una función f es cóncava hacia abajo
(o cóncava) en un punto a si la gráfica
de la función se queda en un intervalo de centro a
por debajo de la recta tangente a la gráfica en
(a,f(a)), es decir, si 
es la ecuación de la recta tangente en
un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava
hacia abajo en el punto a si 
Una función es cóncava hacia abajo en un
intervalo si es cóncava hacia abajo en todos los
puntos de ese intervalo.
VALORES EXTREMOS
* Máximo-Mínimo
Una función f(x) tiene un máximo (mínimo)
absoluto en el punto x0, si y sólo si
en tal caso f(x0) se llama máximo (mínimo)
absoluto de f.
* Máximo-Mínimo Relativos.
Diremos que f(x) tiene un máximo o mínimo
relativo en x0 si f(x) tiene un máx. (min.) Absoluto en
x0, en algún entorno de x0.
* Necesidad para la Existencia de Valores Extremos.
Sea f definida en [a, b] y sea f derivable en [a, b], excepto
tal vez en un numero finito de puntos de [a, b]. Entonces si f(x)
es un máximo relativo, x debe satisfacer una de las
siguientes condiciones:
1. f'(x) = 0
2. f'(x) no existe en x
3. x es un punto extremo de [a, b]
Esta afirmación no dice que puntos dan extremos
relativos, pero si da todos los candidatos a extremos
relativos.
* Suficiencia para la Existencia de Valores Extremos.
A. Criterio de la primera derivada.
Sea f continua en [a, b] al cual pertenece el punto
crítico x1, y es derivable en todos los puntos del mismo
(a excepción, quizá del mismo punto x1). Si:
La función tiene un máximo en el punto x1, cuyo
valor es f(x1).
La función tiene un mínimo en el punto x1, cuyo
valor es f(x1).
B. Criterio de la Segunda Derivada.
Si f'(x) = 0, entonces en x = x1 la
función tiene: un máximo relativo si f''(x1) < 0
y un mínimo relativo si f''(x1) > 0.
* Para determinar los extremos relativos se calcula la segunda
derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado tiene
signo positivo se tiene un mínimo; si tiene signo negativo
un máximo. Si el resultado sale cero no podemos afirmar
nada y tendríamos que recurrir a la derivada tercera, si
evaluando la derivada sale distinto de cero no es un extremo
relativo, si por el contrario sale cero tendríamos que
recurrir a la cuarta derivada y realizar el mismo proceso que
con la segunda y así sucesivamente hasta que logremos
clasificar ese punto.
Ejemplo:
Halle el máximo global de f(x) = 1 + 12|x| – 3×2 en
[-1, 4]. Grafique.
Solución:
f es derivable sobre R – {0}, porque |x| no es
derivable en x = 0. Esto muestra que 0 es
punto crítico. También -1; 4 son puntos
críticos porque son puntos extremos.
Como f'(x) = 12 – 6x si x > 0 ? f'(x) = -12 – 6x si x <
0, tenemos que x = ±2.
El conjunto de puntos críticos es {0,-1, 4, 2} se
descarta -2 porque no pertenece al dominio, además, f es
continua en el intervalo [-1, 4].
De f(0) = 1; f(-1) = 10; f(4) = 1 ? f(2) = 13 se tiene
máximo de f = 13 y mínimo de f = 1.
Obsérvese que el máximo se produjo en un punto
estacionario y el mínimo en un punto extremo no
derivable.
INTEGRAL
INDEFINIDA DE UN FUNCIÓN
Una condición suficiente para que una función
f admita primitivas sobre un intervalo es que sea
continua.
Si una función f admite una primitiva sobre un
intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en
una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f,
entonces existe un número real C, tal que F1 = F2
+ C. A C se le conoce como constante de
integración. Como consecuencia, si F es una
primitiva de una función f, el conjunto de sus
primitivas es F + C. A dicho conjunto se le
llama integral indefinida de f y se representa como:
o
CONCLUSIÓN
Al hablar de antiderivadas estamos frente a una
operación contraria que es originalmente una derivada.
Para lograr resolver estas operaciones es
necesario tomar en cuenta muchos recursos
aritméticos, esto debido a que no hay un procedimiento
específico por el cual se pueda llegar al resultado sino
por medio de diferentes operaciones.
La antiderivada de una función también puede
recibir el nombre de integral indefinida o primitiva de una
función; cada uno tiene su razón de ser,
antiderivada viene dado porque se hace una operación
contraria para llegar a la función original; integral
indefinida porque existe una constante C que puede dar como
resultado una infinidad de trazados y primitiva porque es una
operación que busca el génesis de la
función. Todas aunque tienen diferentes nombre
relativamente significan lo mismo.
Una antiderivada se diferencia de una derivada por la
existencia de un símbolo llamado integración 
Sus propiedades son muy similares a las de las derivadas, con
solo la anexión una propiedad de linealidad.
Al momento de situarse en la operación intervienen dos
valores fundamentales que son máximos y mínimos
sean estos relativos o absolutos, su importancia deriva de que
mediante el calculo de ellas se logra saber cual es la altura
máxima, media o minima al momento de trazar la curva de
una función, esto da lugar a la monotonía de la
representación que busca la manera de determinar si una
función es creciente o decreciente; también da
lugar a la concavidad, de forma que este permite descubrir hacia
que dirección es cóncava la figura,
mediante el signo de la función, esta puede ser
cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
Los valores extremos de una función vienen dados por
medio del cálculo de
la monotonía, y deja en descubierto la altura
máxima y la minima disminución a la horade trazar
una curva; dando también a altura medias.
La integral indefinida de una función es permisible
solo si esta es continua, y puede ser tan F1 como F2 + C porque a
la hora de derivar esta da como resultado cero pero es necesario
colocarlo para considerar el signo que posee.
A modo de reflexión, es posible observar que hay
instrumentos que calculan las integrales indefinidas
(también las definidas). Pero esto no quita valor al
esfuerzo, aunque meramente operacional, que supone el aprendizaje
del cálculo de integrales. Seguramente la mente se
estructura de
forma que se pueda afrontar otros retos de más calado.
BIBLIOGRAFÍA
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/25-1-u-derivadas.html
http://www.luiszegarra.cl/calculoi/cap9a.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitiva
http://www.monografias.com/trabajos52/integrales-indefinidas/integrales-indefinidas.shtml
http://www.emp.uva.es/inf_acad/hermer/mate2/material/m2_prevt_integracion.pdf
2000. GRAN ENCICLOPEDIA SALVAT. Tomo 16. Salvat
Editores.
ANEXOS
El campo vectorial definido asignando a cada
punto (x, y) un vector que tiene por pendiente
f(x) = (x3/3)-(x2/2)-x. Se muestran tres de las
infinitas primitivas de f(x) que se pueden
obtener variando la constante de integración
C.
TABLA DE INTEGRALES
Autor:
Camila Silva A.
Facilitadora: María Lazarde
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular
para la
Educación Superior
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Experimental Politécnica de la
Fuerza
Armada
Ingeniería Civil
Matemática I
Ciudad Bolívar,
Julio de 2009
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