Acumulación de tolerancias (página 2)

Ii = [Vi – Ti, Vi] o Ii = [Vi, Vi +
Ti].

Por lo general, uno especificaría un intervalo de la
tolerancia
Ii = [ci, di] con ci = vi = di

Al ocuparse de un intervalo simétrico o unilateral de
la tolerancia, Ti se le denomina valor de la
tolerancia. Para el intervalo bilateral más general de la
tolerancia Ii = [ci, di] tendríamos dos
tolerancias, a saber T1i = Vi – Ci y T2i = di
– vi. El principio de acumulación de
tolerancias se aplica también en el caso
asimétrico, pero el análisis y la exposición
tienden complicarse, por lo tanto nos centraremos en el caso
simétrico.

En ocasiones se encuentra el término "Rango de la
Tolerancia" el cual se refiere a la dimensión
íntegra de el intervalo de la tolerancia, es decir,
Ti" = di – ci.

La función
f que muestra la
relación de A con X1. . ., Xn se asume
que sea lineal. Para las perturbaciones pequeñas
Xi-Vi de Xi del nominal Vi, asumimos que f
(X1. . ., Xn) es aproximadamente lineal en esas
perturbaciones, es decir

Con los coeficientes conocidos a0, a1. . . .an.

Observamos que no todas las funciones
f son lineales. Una función muy simple f
y no lineal esta dada de la siguiente forma:

Esta función se puede ver como la distancia de un
centro del agujero del origen nominal (0, 0).

El objetivo de
los análisis de una acumulación de tolerancias es
descubrir en qué medida la dimensión A del
ensamble se diferenciará del valor nominal VA,
mientras que Xi no puede variar sobre Ii.

El análisis siguiente se da la vuelta al problema para
solucionarlo. En este caso especificamos la cantidad de
variación que se puede tolerar para A y la tarea
es la de encontrar las tolerancias de la dimensión de la
pieza, Ti, de modo que la tolerancia deseada para el
ensamble para A sea conocida.

MODELO
ARITMÉTICO Y ESTADÍSTICO

4.1 Modelo
Aritmético

El modelo aritmético para las acumulaciones de
tolerancias utiliza los valores
mínimos de dimensiones y de tolerancias para calcular el
máximo y la distancia mínima (separación o
interferencia) entre dos características o porciones.
Éste modelo asume que las dimensiones de la pieza pueden
hacer que cualquier valor dentro del rango de la tolerancia y de
las tolerancias aritméticas acumuladas describan la gama
de todas las variaciones posibles para el criterio del montaje de
interés.

4.2 Modelo Estadístico

Por otra parte, las acumulaciones estadísticas de la tolerancia
evalúan el máximo y los valores
mínimos basados en el cálculo
aritmético absoluto para establecer la probabilidad
de obtener los valores máximos y mínimos, esto
apoyándose en el método del
cuadrado (RSS) o de Monte Carlo de la suma de la raíz, el
cual trataremos más adelante.

Además asume que la dimensión de la pieza
varía aleatoriamente según una distribución normal, centrada en el punto
mediano del intervalo de la tolerancia y con su ±3s (s
=desviación estándar, la cual describe la
extensión de una distribución estadística para la parte de la
variación) para cubrir el intervalo de la tolerancia. Para
las tolerancias dadas de la dimensión de la parte esta
clase de
análisis conduce típicamente a tolerancias mucho
más reducidas de la del ensamble, o en otros casos para la
tolerancia dada del ensamble requiere de tolerancias
considerablemente menos rigurosas de la dimensión de la
parte.

Para cualquier trabajo en el
que se incluyan tolerancias se deberán utilizar los dos
modelos sin
excepción: aritmético y estadístico

4.3 Modelos Adicionales

Ya que la experiencia ha demostrado que generalmente los
resultados no son tan precisos como se dice, se ha optado por
minimizar las suposiciones distribucionales antes mencionadas en
varias maneras.

Una de las formas es permitir, con excepción de las
distribuciones normales las cuales sólo cubren el
intervalo de la tolerancia con una extensión más
amplia, pero que aún se centran en el punto mediano del
intervalo de la tolerancia. Esto da lugar a aumentos menos
optimistas que los que se obtienen generalmente bajo
parámetros de normalidad, pero mucho mejor que aquellos
dados por tolerancias aritméticas, especialmente para
cadenas más largas de la tolerancia.

Otra disminución se refiere a centrar la
distribución dentro del punto medio del intervalo de la
tolerancia. Esto se torna difícil de realizar por el hecho
de que no es fácil centrar cualquier proceso
exactamente donde uno quisiera que estuviera, dicha desventaja ha
conducido a cambiar a varios modelos, en los cuales la
distribución se puede centrar en cualquier lugar dentro de
cierta cercanía alrededor del punto medio, así se
considera que la distribución es normal en el rango de
±3s y que aún está dentro de los límites de
la tolerancia.

Esto significa que mientras permitamos un cierto cambio en el
rango requerimos una reducción simultánea en
variabilidad. Entonces los cambios se apilan en la peor manera.
La variación correspondientemente reducida de las
distribuciones que se cambiaron de lugar se acumula
estadísticamente. La tolerancia total del montaje se
convierte entonces en una suma de dos porciones (en el peor de
los casos), consistiendo en un cambio aritméticamente
acumulado y en un término que refleja las distribuciones
estadísticas acumuladas que describen la variación
de las piezas.

Resulta que las tolerancias aritméticas y
estadísticas son sub partes de este modelo más
general, el cual fue requerido para unificar materias. Sin
embargo, hay otra manera de lidiar con los cambios que aparentan
ser nuevos, al menos en la forma presentada aquí. Se
aprovechan las distribuciones estadísticas de las piezas y
estadísticas en el peor de los casos con la
distribución estadística de la variación
reducida en la parte distribución dimensional. Sin
embargo, allí fue precisado que conduce a resultados
optimistas. La razón de esto era un defecto en la
manipulación de la reducción de la variación
de la dimensión de la pieza causada por los cambios al
azar. Cuando se trata de una tolerancia acumulada bajo un cambio,
con alguna de ellas se tiene que tener especial cuidado, ya que
pudiera no lograrse el ensamble.

Entendiendo las tolerancias, los conceptos, y los
límites creados por estos estándares es necesario
realizar cálculos muy precisos.

MEAN SHIFTS O CAMBIOS
NEGATIVOS

Hasta ahora hemos supuesto que la dimensión XI
debe estar centrada respecto al valor nominal Vi. Esto
usualmente resulta difícil y costoso. Tales cambios se
realizan deliberadamente (enfocados a la condición
máxima de material MMC). En otras ocasiones el desgaste de
la herramienta, provoca que a menudo uno no pueda hacer que el
centro nominal de Vi quede exactamente en la pieza. Un
cambio en la distribución del XI lejos de los
centros nominales respectivos causará otro cambio,
también en el criterio A del ensamble. Esto
aumentará el riesgo del no
ensamble, puesto que cambiará de posición la curva
normal más hacia un final del requerido por diseño
en el ensamble [-K0, K0].

Este problema se ha intentado resolver introduciendo factores
de la inflación c, con el único requisito de
mantener una distribución para XI que siga siendo
simétrica alrededor de Vi. Esto resulta
perjudicial si se asume una variación más alta,
pero todavía obligando a XI a estar en el
intervalo de la tolerancia Ii = [Vi – Ti, Vi + Ti].

Este factor c de inflación explica una
variación más alta dentro de Ii, como
efecto secundario, y también se ocupa de los cambios
negativos, puesto que causa un ajuste de tolerancias en dicha
parte de un diseño.

Un cambio negativo se presenta persistentemente, lo que hace
que su efecto sea esencial, mientras que una variación
inflada expresa la variación que cambia de sección
en sección, y permite así corregir el error.

Esto va a producir otro cambio excéntrico, este re
centralizado agregará variabilidad total del proceso, es
decir, los cambios del medio se transforman físicamente en
variabilidad. Es cuestionable el hecho de que lo anterior sea una
buena estrategia. Un
cambio producirá típicamente partes rechazadas
solamente en un lado del intervalo de la tolerancia, mientras que
la variabilidad debido al re centralizado ocasionará
rechazos en ambos lados de la parte.

El tratamiento de los cambios negativos está dado por
?i = µi – Vi. Debemos tener en cuenta la
posibilidad de cambios perjudiciales, así que mantendremos
la idea de un intervalo de la tolerancia, es decir, el
ith de la dimensión de la pieza XI
aún será contenido en el intervalo Ii de
la tolerancia. Si se asume que la distribución de
XI es normal, entonces su rango de ±3si
queda dentro de Ii.

Fig. 2 Distribuciones normales cambiadas sobre
el intervalo de tolerancia

(Tolerance stack analysis methods a critical
review, pág 22, Noviembre 1995)

En la Fig. 2 se muestra como cuando si decrece,
|?i| consigue el rango más grande. Para los
intervalos fijos de la tolerancia esto significa que se pueden
producir cambios negativos más grandes teniendo una
variación más ajustada. Esto significa que la
distribución de XI está cambiada de
posición para Vi -Ti o Vi +Ti, sin
variación.

En realidad no es fácil ajustar la variación de
un proceso de producción de la pieza. Es más
práctico ensanchar el intervalo Ii de la
tolerancia de la dimensión de la pieza o aumentar el
Ti. Para realizar un mejor análisis de
acumulación de tolerancia se realiza s en términos
crecientes de Ti, el efecto será el mismo desde
el punto de vista del método. Con el incremento de Ti,
si parecerá haber sido reducido con respecto a
Ti.

Los cambios negativos generalmente no son prioritarios, ya que
son poco realistas y nos conducen de nuevo al peor caso de la
tolerancia. Para evitar esto, la cantidad de los cambios
perjudiciales se toman en cuenta con un rango del límite
de tolerancia.

Dichos límites se toman en cuenta para el error en la
fabricación y se deben fijar. Lo siguiente es útil
referente a |?i| como ?i de la fracción
de Ti, es decir, |?i| = ?i Ti con 0 = ?i =
1. Los límites comprendían a |?i|,
ahora la equivalencia se expresa como los límites en
?i, a saber ?i = ?0i o dicho de otra forma:

|?i| = ?0iTi

Generalmente es más razonable indicar los
límites comprendiendo |?i| en proporcionalidad a
Ti. Una razón de esto es que el Ti
captura hasta cierto punto la variabilidad

La variabilidad es también responsable de la
variación negativa de µi, es decir, que hay una
cierta proporcionalidad entre los dos fenómenos de la
variación. Una vez que tales límites negativos de
se expresen en términos proporcionales a Ti,
entonces se asume un límite común para estos
factores de proporcionalidad, sabiendo que ?01 =. . . = ?0n =
?0.

Tener un límite común ?0 para todas las
dimensiones de la parte XI no es necesario, pero ayuda a
simplificar el ajuste según cambios perjudiciales.

Ahora vemos la dimensión XI de la pieza como la suma de
dos o tres contribuciones:

Donde µi es el cambio alrededor las dimensiones
individuales de la pieza, ith, y donde se juntan;
?i es la cantidad por la cual XI se
desvía de µi cada vez que la parte se
produce. El término ?i varía según
una cierta distribución con el cero y la variación
Podemos pensar que
los términos en ?i + ?i son la desviación
total de XI con respecto del valor nominal Vi.
Sabiendo que µi se diferencia de Vi por el cambio negativo
?i, entonces cada dimensión de la parte
tendrá su propia desviación ?i de
µi.

Sin embargo, esta última desviación será
diferente a partir de la dimensión XI. Por lo
tanto los ensambles resultantes experimentarán diversas
desviaciones, esto cada vez que se. Sin embargo, el ?i
será igual de ensamble a ensamble.

Lo anterior se puede representar de la siguiente manera:

Y así obtenemos:

Donde:

µA = Cambio de A.

VA= Ensamble nominal.

?A =Cambios negativos en el ensamble.

?A =Captura la variación de A de
ensamble a ensamble, teniendo la siguiente variación:

Acumulación aritmética de cambios
negativos

La variación de A con respecto ensamble nominal
VA es el conjunto de dos contribuciones, nombrado el
cambio negativo del ensamble ?A = µA – VA y la
variación del ensamble ?A que representa a la
suma de "n" contribuciones al azar y d esta manera
susceptible a la acumulación de tolerancias.

La cantidad por la cual el µA difiere de
VA se representa:

(5)

Esto es exactamente lo que sucede con los cambios negativos,
en donde asumimos que todos estos cambios suceden en la dirección más desfavorable. La
desigualdad de la ecuación (5) puede ser una igualdad para
que todo ai ?i tenga el mismo signo.

Se puede utilizar el método CLT para tratar el
?A como aproximación normal y variación
de esta manera se
puede esperar un 99.73% de las variaciones del ensamble de
?A y así queden en el rango
±3s?A. Así el 99.73% de las dimensiones
del ensamble quedarán dentro de:

µA ±3s?A

La ecuación (5) limita la cantidad por la cual el
µA difiere de VA, así que se junta este aditamento
con el límite anterior de 99.73% de los intervalos y se
espera que las dimensiones A del ensamble estén en el
rango siguiente:

(6)

Debido a que se incluye en método del peor caso en los
cambios negativos, generalmente se considera bueno sí el
0.27% de los criterios del ensamble quedan fuera del intervalo de
la ecuación (6). Ese porcentaje está correcto
cuando el cambio del el ensamble es cero. Puesto que el
µA cambia de posición a la derecha o a la
izquierda de VA, sólo uno de estos extremos
estará fuera de los rangos del intervalo de
tolerancia.

Se asume que si debe disminuir a la vez que|?i|
aumenta, para mantener el requisito XI ? Ii. Si asumimos
una distribución normal para XI, significa que
requerimos que el rango ±3si alrededor de
µi esté contenido dentro de Ii. La
capacidad Cpk satisface a la ecuación:

Sí tenemos la cantidad más alta de
variación, es decir, Cpk = 1, tenemos:

3si = (1 – ?i) Ti (7)

Debido a que la ecuación 3si = Ti no ha
sufrido alteraciones se puede interpretar de dos maneras, las
cuales son:

• 1. si necesita ser reducido por el factor
  (1-?i)

• 2. Ti necesita ser aumentado en el factor
  1 (1-?i) para acomodar un cambio de ± 3?i
  Ti.

De esta manera obtenemos:

Con esta representación de 3s?A por lo menos
99.73% de todas las dimensiones A del ensamble
estarán en el rango:

(8)

En la ecuación (8) ith de la fracción
?i aparece en dos lugares, en la suma (aumentando
?i) y bajo la raíz (disminuyendo ?i).
Entonces:

Seguido de esto, ?i hará más grande el
intervalo de la ecuación (8). Si todas las fracciones
cambiadas ?j son limitadas por ?0, podemos
limitar así la variación del criterio A
del ensamble a:

La ecuación anterior se reduce a:

Es una combinación cargada de acumulación de
tolerancias Ti tanto aritméticas como y
estadísticas. Se pueden ver como un acercamiento
unificado, Greenwood sugirió en (1987) que sí
?0 = 0 sería tolerancia estadística pura y
sí ?0 = 1 entonces sería tolerancia
puramente aritmética.

Se puede ver fácilmente que:

Esta desigualdad, contrasta la diferencia entre
acumulación aritmética y el método RSS.

Mientras ?0 > 0 encontramos que este
tipo de acumulación Ti de las tolerancias
esté en orden n. Esto se ve lo más
claramente posible cuando |ai|Ti = T y |ai| = 1
todo el Ii. Entonces:

El cual está relacionado con n pero es reducido por el
factor ?0. Así el aumento posible de conformidad
serial del 99.73% al 99.865%. Este incremento en el ensamble se
podría convertir de nuevo a 99.73% poniendo el factor
2.782/3 = 0.927 frente a la raíz cuadrada en la
ecuación (9). El valor 2.782 representa el 99.73% de la
distribución normal estándar.

Sí nos preocupáramos únicamente por que
la distribución normal no exceda los límites de la
acumulación de tolerancias, entonces podemos reducir
nuestro factor acostumbrado 3 en 3s?A a
2.782. La acumulación de tolerancias que resulta
del intervalo entonces será:

(10)

La variación de ?i es normal, con el medio
cero y la variación Esta estimación de la normalidad se
puede reducir como antes si se asume que existe una
distribución simétrica sobre un intervalo finito,
Ji, centrado en cero. Este intervalo finito,
después de centrarlo en µi, quedará
dentro del intervalo Ii de la tolerancia. Así Ji
será más pequeño de Ii. Esta
reducción en variabilidad es la contraparte de reducir
si conforme |?i| incrementa.

En la Fig. 3 se muestran los intervalos de tolerancias y las
distribuciones cambiadas con la reducción de
variabilidad.

Si Ii está en el centro de Ti y
si su cambio perjudicial es |?i|, entonces el intervalo
reducido Ji sería:

La distribución fi sobre el
intervalo Ji, tiene variación . Esto nos lleva a lo
siguiente:

En el cual, el factor c depende del tipo de la
distribución, el dato se obtiene de la tabla 1. Usando la
formula (6):

Fig. 3 Intervalos de tolerancia y las
distribuciones cambiadas

((Tolerance stack analysis methods a critical
review, pág 29, Noviembre 1995)

La ecuación (8) cambia a:

11)

Pero aún no se indica si ?i aumento el
intervalo en (11) o no. Si se deriva, se obtiene:

Sí:

Sólo sí c = 1 y mientras (1 –
?j)2no sea la
contribución a:

Si ?i ?0 entonces:

En la mayoría de los casos las derivaciones son
negativos y que la anchura máxima del intervalo conforme a
?i = ?0 está en ?i = ?0 para i = 1.
. . , n. Entonces tendríamos A dentro
de:

(12)

De esta manera se tiene un 99.73% (o 99.865%) de éxito
asegurado. Este último porcentaje se deriva otra vez del
método CLT aplicado a ?A. Aprovechando el 99.865%
podríamos incluir el factor 0.927 de la reducción
dentro de (12)

(13)

Con menos del 99.73% de aseguramiento.

APILADO
ARITMÉTICO DE LA TOLERANCIA (PEOR CASO)

Este tipo de análisis asume que todas las
dimensiones de la parte Xi están limitadas a
Ii. Analiza qué gama de la variación se
puede inducir en A variando todas las dimensiones n de
la pieza de X1,…, Xn independientemente (en el sentido
no estadístico) sobre los intervalos respectivos de la
tolerancia. Claramente, el valor más grande de

Se obtiene tomando el valor mas grande (mas pequeño) de
Xi ? Ii = [ci, di] siempre que: ai > 0 (ai <
0). Por ejemplo si a1 < 0, entonces el término
a1(X1 – V1) se convierte en el positivo mas grande cuando tomamos
X1 < V1 y así en el punto final mas bajo ci of Ii. De
esta manera el valor máximo posible para A es:

De forma similar obtenemos el valor mínimo
para A:

Si los intervalos de tolerancia Ii son
simétricos alrededor del valor nominal Vi,
tenemos que: Ii = [Vi – Ti, Vi + Ti] o di – Vi =
Ti, y ci – Vi = -Ti, encontramos:

Donde:

(1)

Esto es la acumulación simétrica para el
ensamble. Por otra parte, los coeficientes |ai|, son, de
todas formas, una suma directa de las Ti, de donde se
toma el nombre de acumulación de tolerancias
aritmético.

El valor calculado paradebe ahora ser comparado con QA, de
esto depende el éxito del ensamble. Si todas las partes de
la pieza satisfacen sus requerimientos de tolerancias
individualmente Xi ? Ii y si es calculada con la ecuación (1) y
satisface a QA, entonces se espera que todas las piezas
involucradas van a ensamblar a la perfección.

En el caso donde |ai| = 1 y Ti = T para
i = 1,., n, entonces nT, esto se da, por ejemplo, si la
tolerancia dl ensamble crece linealmente con un número
"n" de dimensiones. Si el propio ensamble requiere que
QA =
.004", entonces las tolerancias comunes de la pieza deben
ser .

Cuando se tiene un "n" grande de piezas se puede dar lugar a
que los requisitos sean excesivamente reducidos para la
tolerancia de la parte, lo cual resulta costoso. Ésta es
la característica que suele restarle valor a este tipo de
análisis para la acumulación de tolerancias.

Lo anterior es el resultado del acercamiento excesivamente
conservador de acumular las desviaciones del "peor caso" de las
medidas nominales de las piezas .En realidad este Peor caso
debería ocurrir muy rara vez, puesto que solo sucede
cuando se realiza deliberadamente.

No se debe asumir que todos los requisitos para la tolerancia
Xi ? Ii serán cumplidos. Si pasa esto no se puede
garantizar el 100% del ensamble. Esta suposición requiere
de la inspección de todas las piezas. Casi siempre esto se
lleva a cabo realizando una simple evaluación. Esta forma de inspección
es mucho más simple que lo requerida para tolerancia
estadística. Al final, las medidas Xi de la pieza van a
ser requeridas, por lo menos para las muestras, para demostrar la
estabilidad del proceso. Las muestras de las medidas de la parte
son más favorables individualmente que sobre el comportamiento
del ensamble completo. Para las muestras de los datos del pasa-no
pasa esto sería mucho más difícil. Puede
haber una compensación del costo.

MÉTODO DE
MONTE CARLO

El método Monte Carlo estima la variación
dimensional en un ensamblaje, debido a las variaciones
dimensionales y geométricas de los distintos componentes
del mismo.

Conocida o estimada la distribución de las variables de
entrada, podemos estimar la variable de salida (en el
ensamblaje), de forma estadística y la distribución
que sigue, siempre y cuando se conozca la función de
ensamblaje.

La simulación
consiste en seleccionar valores aleatorios para las dimensiones
de entrada independientes, de sus respectivas distribuciones
probabilísticas, y calcular las dimensiones resultantes de
la función ensamblaje. El proceso se realiza de forma
iterativa si la función es implícita.

Si la función vectorial de ensamblaje es
explícita además de utilizar el método de
Monte Carlo, se puede utilizar el método de DLM (Direct
Linearization Method), que utiliza las matrices
algebraicas y restricciones cinemáticas, para estimar la
variación de las variables cinemáticas o de
ensamblaje y predecir el número de piezas rechazadas.

Si se utiliza el método Monte Carlo, estimamos la
media, la desviación típica y coeficiente de
curtosis, pudiendo compararse las características del
ensamblaje a las de una muestra.

Los ensamblajes rechazados por estar fuera de los
límites, pueden ser contados durante la simulación,
o sus percentiles en las salidas del método de Monte
Carlo, pudiendo estimar los rechazos. La distribución
más utilizada es la normal o de Gauss, cuando no se conoce
su distribución. El número requerido para el
muestreo es
función de la exactitud en la variable de salida.

Gao (1995) realizó un estudio de siete mecanismos en
2D, uno en 3D, incluyendo en dos de ellos control de
tolerancias geométricas, además de las
dimensionales. Comparó el método Monte Carlo con el
método DLM, obteniendo los siguientes resultados:

• El método DLM es preciso estimando la
  variación del ensamblaje. Es también preciso en
  predecir los rechazos de ensamblajes, en la mayoría de
  los casos, excepto cuando el número de restricciones
  cinemáticas no lineales es alto.

• El tamaño de la muestra tiene gran influencia en
  predecir los ensamblajes rechazados en el método Monte
  Carlo, pero el efecto es pequeño en la
  simulación de las variaciones del ensamblaje, para
  tamaño de muestreo mayor de 1.000 simulaciones.

• Las restricciones no lineales en los ensamblajes, pueden
  causar un cambio significativo en el resultado de las
  dimensiones cinemáticas del ensamblaje y en la
  simetría de la distribución.

• Para muestreo superior a 30.000, es más preciso el
  método Monte Carlo, que el método DLM en
  predecir la variación del ensamblaje.

• Para muestreo superior a 10.000 es más preciso el
  método Monte Carlo, que el método DLM en
  predecir los ensamblajes rechazados. Por debajo de este
  muestreo la predicción de rechazos da peor
  resultado.

• Para muestreo de 100.000 o superior los resultados son
  razonablemente precisos.

Posteriormente Cvetko (1998) comprueba la influencia del
tamaño de la muestra en la simulación por el
método Monte Carlo, comparando el error cometido en un
ensamblaje entre muestras de 1.000 y 10.000 ensamblajes, con
intervalo de confianza de 68%. Comprobando que:

– Las medias y las variaciones son suficientemente
próximas.

– Los momentos de tercer y cuarto orden (simetría y
curtosis), pueden no ser próximos.

MÉTODO RSS
PARA EL TOLERADO ESTADÍSTICO

Presentaremos el método bajo cierto sistema del
estándar de suposiciones, primero se asume que una
distribución normal describe la variación de la
pieza, después llevando esto a otras distribuciones se
aborda el teorema de límite central (CLT), y finalmente se
trata la aplicación para la determinación del
riesgo del no-ensamble.

Tolerado Estadístico Con Variación
Normal

Las siguientes suposiciones estándares son hechas a
menudo al principio del método de tolerado
estadístico. Esto no se debe aceptar necesariamente en el
valor de cara.

Aleatoriedad

Más que asumir que Xi puede bajar dondequiera
en el intervalo Ii de la tolerancia, incluso al punto
que alguien seleccionó deliberadamente, en este caso
asumiremos que Xi varía aleatoriamente
según algunas distribuciones con las densidades fi
(x), i = 1. . . , n, y funciones de distribución
acumulativas:

La idea es que la mayor parte de las Xi
ocurrirán dentro de Ii, es decir, la mayor parte
de el área bajo densidad fi
(x) ocurre entre los puntos finales de Ii. Por lo
tanto es aceptable cierta fracción de las dimensiones que
quedan fuera de Ii. Esto nos libera de tener que
examinar cada dimensión de la parte para saber si hay
conformidad con el intervalo Ii.

En lugar de eso, asumimos que los procesos que
producen las dimensiones de la pieza son estables (en control
estadístico) y que estas dimensiones de la parte estas
dentro de los límites de tolerancia. Esto es comprobada
muestreando solamente cierta porción de piezas y midiendo
los Xi.

Independencia

La suposición de la independencia
es probablemente la más esencial del tolerado
estadístico. Permite una cierta cancelación de la
variación del valor nominal.

Si se trata a Xi como variables al azar,
también exigimos que estas variables al azar sean
independientes. Esto significa que la desviación Xi
– Vi no tiene nada hacer con la desviación de
Xj – Vj para i ? j. Las desviaciones no serán
predominante positivo o predominante negativa, de hecho,
esperamos conseguir una mezcla de desviaciones negativas y
positivas que permitirán una cierta cancelación de
la variación.

La aleatoriedad por sí sola no garantiza tal
cancelación, especialmente no cuando toda la
variación de la dimensión de la parte va en la
misma dirección. Este último fenómeno es
exactamente lo que la suposición de la independencia
intenta excluir.

La suposición de la independencia es razonable cuando
las dimensiones de la parte pertenecen a diversos procesos de
fabricación o maquinado. Sin embargo, se pueden presentar
situaciones donde esta suposición sea cuestionable. Por
ejemplo, piezas similares o que vengan del mismo proceso, se
podrían utilizar en el mismo ensamble. La
dilatación también puede afectar de forma diferente
a las piezas.

Distribución

Nos gustaría tener datos sobre la variación de
la dimensión de la pieza, pero generalmente se carece de
esta en la etapa del diseño. Por esa razón uno
asume a menudo que el fi es una distribución
normal o de Gauss sobre el intervalo Ii. Ya que este
último es un intervalo finito y la densidad de Gauss se
extiende sobre la línea real R= (-8, 8), uno de ellos debe
adoptar un compromiso. Consiste en preguntar que el área
bajo densidad fi sobre el intervalo Ii debe
representar la mayor parte del área total bajo
fi, es decir:

Fig. 4 Distribución normal por encima
del intervalo de tolerancia

(Tolerance stack analysis methods a critical
review, pág. 11, Noviembre 1995)

De hecho, la mayoría propone:

Esta probabilidad (~1)
resulta de escoger fi para ser una densidad de Gauss µi
= Vi en el centro del intervalo de la tolerancia con
desviación estándar si = Ti/3, es
decir:

Donde

Es la distribución normal estándar,
de esta manera tenemos: Ii = [Vi – Ti, Vi + Ti] = [µi –
3si, µi + 3si]

Y:

Donde:

Es la función de distribución
acumulativa normal estándar.

De esta manera 0.9973 es el resultado de tres
suposiciones:

• i) La distribución de Gauss
  fi.

• ii)  Vi = µi, es decir,
  el proceso de la dimensión de la pieza se centra en el
  valor nominal.

• iii) Ti = 3si.

Las primeras dos suposiciones hacen posible que el factor
3 en 3si produce la probabilidad 0.9973. Esto
es una opción extensamente aceptada aunque hay otras. Por
ejemplo, Mansoor (1963) prefiere el factor 3.09 dando por
resultado una probabilidad de 0.999 para la conformidad con la
tolerancia de la dimensión de la pieza.

El teorema de límite central se utiliza para demandar
normalidad para la suma de los contribuidores. Se asume que la
persona que
produce la pieza apuntará la dimensión nominal de
la parte, pero por varias razones habrá desviaciones del
nominal, las cuales se acumulan en la desviación total del
nominal, entonces se sostiene que es normal. Así los
valores XI se juntarán con mas frecuencia
alrededor del Vi nominal y darán menos lugar a
obtener valores lejanos.

Siguiendo las suposiciones anteriores, podemos tratar el
criterio de ensamble:

A = a0 + a1X1 +. . . + anXn

Como una variable aleatoria de Gauss

µA = a0 + a1µ1 +. . . + anµn = a0 + a1V1
+. . . + anVn = VA

Y con una variante:

La primera ecuación establece que el significado de
µA con A coincide con el valor nominal
VA de A. Este resultado de una dependencia
lineal de A en la dimensión de la parte
Xi y del hecho de que el significado de todas las
dimensiones de la parte coinciden con sus respectivos valores
nominales. La formula anterior se puede reescribir de la
siguiente manera:

Si llamamos obtenemos la conocida fórmula de RSS
para acumulación de tolerancia estática:

(2)

Ya que A es una distribución, podemos contar
con que un 99.73% de todos los criterios de ensamblaje A
van a están en el rango cercano a o a su valor nominal VA,
así que se espera que sólo el 0.27% de los
ensambles fallen.

8.2 Tolerado estadístico usando CLT

La distribución de Gauss para todas las dimensiones de
la parte XI se ha cuestionado mucho basándose en
que

• Los datos de la parte contradicen la normalidad.

• Los cambios dan lugar a una mezcla total de las
  distribuciones normales.

• El ensamblaje tiene mas altas probabilidades de fallar que
  las predichas con el tolerado estadístico.

En este método se permiten distribuciones más
generales para las variaciones de la pieza XI. Sin
embargo, insistiremos que el µi de XI
aún coincide con el calor nominal
Vi.

El teorema del límite central (CLT) se utiliza para
moderar las suposiciones de la normalidad para las dimensiones de
la pieza XI. Se utilizan las suposiciones
siguientes:

1. Cuando XI, i = 1. . . , n, es
estadísticamente independiente.

2. La distribución fi que gobierna a la
distribución de XI tiene µi = Vi y
la desviación estándar si.

3. Las contribuciones de la variabilidad de todos los
términos en la combinación lineal A son
insignificantes cuando "n" es muy grande, es decir:

Bajo estas condiciones, el método de CLT
establece que la combinación lineal:

A = a0 + a1X1 +. . . + anXn

Tiene una distribución aproximadamente
normal con:

µA= a0 + a1µ1 +. . . + anµn =
a0 + a1V1 +. . . + anVn = VA

Con la siguiente variación:

La suposición 3 elimina las situaciones donde una
pequeña cantidad de términos en la
combinación lineal tienden a variar tanto que hunden por
completo la variación de los términos restantes. Si
estos pocos términos dominantes tienen distribuciones
anormales, no se pude esperar que la combinación lineal
tenga una distribución aproximadamente normal.

A pesar de las suposiciones distribucionales para las
dimensiones de la pieza tenemos que el criterio A del
ensamble está aproximadamente distribuido normalmente y su
µA coincide con el VA deseado del valor
nominal (porque nos ocupamos de una combinación lineal, y
puesto que asumimos µi = Vi). De la normalidad
aproximada de A podemos contar en cerca del 99.73% de
todos los criterios del ensamble para quedar dentro de [VA – 3sA,
VA + 3sA].

Éste es casi el mismo resultado que antes, excepto por
un punto. Anteriormente asumimos una relación entre el
si de la dimensión de la pieza y el Ti
de la tolerancia, conociendo esto, decimos que Ti = 3si.
Esto es por el hecho de que bajo la suposición de
normalidad casi todas las piezas (99.73%) van a estar dentro del
rango de ±3si del valor nominal Vi =
µi. Sin la suposición de normalidad dicho rango
no se podría asegurar. Sin embargo, la desigualdad de
Camp-Meidell establece que para las distribuciones
simétricas y unilaterales fi con variación
finita si2 tenemos:

Aquí la simetría significa que si fi (Vi +
y) = fi (Vi – y) para toda y, de esta manera
µi = Vi. Un modalidad significa que fi(Vi +y) = fi(Vi +y")
para todo 0 =|y| =|y"|, es decir, la distribución baja
conforme nos alejamos del centro, o por lo menos no aumenta.
Aunque esto cubre una amplia gama de distribuciones razonables,
el número 0.9506 no lleva con él el mismo grado de
certeza que 0.9973.

Aún no tenemos un vinculo entre la desviación
estándar si y la tolerancia de la
dimensión Ti. Si la distribución de
Xi tiene un rango finito, entonces se podría
igualar ese rango finito con un rango de tolerancia
±Ti cercano a Vi. En el caso de la fi de
Gauss esto no es posible, pero se resuelve optando por el rango
de ±3si = ±Ti. Cuando se unifica el rango
finito con el rango de la tolerancia [Vi – Ti, Vi + Ti],
encontramos la conexión entre TA y Ti. Puesto que
2Ti es un rango finito, la distribución puede ser
manipulada por un simple cambio, el cual también afecta la
desviación estándar de la distribución por
el mismo factor y si y Ti serán proporcionales
entre si. Es decir, se puede estipular lo siguiente:

cTi = 3si.

Donde "c" es un factor específicamente para el
tipo de distribución. La opción de unir esta
proporcionalidad de nuevo a 3si facilita la
comparación con la distribución normal, para la
cual tendríamos c = cN = 1.

Asumiendo que el tipo de distribución
(más no necesariamente su localización y escala) es igual
para todas las dimensiones de la pieza, tenemos:

Esto nos lleva a las fórmulas para la
acumulación de tolerancias, que coinciden con la
ecuación (2), excepto por le factor de inflación
c. Si el tipo de la distribución cambia de parte
en parte tendremos diversos factores C1. .. Cn, entonces
necesitamos utilizar una la siguiente fórmula para
acumulación de tolerancias más complicadas:

(3)

Donde c = (c1,. . ., cn).

La figura 5 muestra los diferentes tipos de
distribución:

Fig. 5 Intervalos de tolerancia, distribuciones
y factores

(Tolerance stack analysis methods a critical
review, pág 17, Noviembre 1995)

En la siguiente tabla se indican los valores para el factor
"c" para las distribuciones anteriores:

Tabla 1. Factores de distribución

(Tolerance stack analysis methods a critical
review, pág 18, Noviembre 1995)

Evaluación del riesgo de
acumulación usando tolerado estadístico

Aquí analizaremos el riesgo de ensamblaje, es decir, la
probabilidad de que un ensamble no se lleve a cabo por no
satisfacer sus requerimientos. Anteriormente asumimos que todas
las dimensiones Xi poseen distribuciones
simétricas centradas en sus valores nominales µi
= Vi y sus variaciones si2, respectivamente.

El requisito para que un ensamble sea exitoso es |A – VA|
=K0, donde K0 es un número predeterminado
basado en el diseño. Entonces tenemos que evaluar P
(|A-VA| > K0). De acuerdo con el método de CLT,
(A-VA) /sA = (A-µA) /sA es aproximadamente una
variable estándar. Así el riesgo de ensamble se
toma como:

(4)

Cuando K0 es igual a el riesgo de no ensamble
seria:

El resultado de esta ecuación es el mismo valor
obtenido anteriormente, el cual complementa al valor 0.9973, que
como se mencionaba anteriormente es el porcentaje de éxito
para el ensamble.

9.
CONCLUSIÓN

Después de analizar y estudiar en que consiste cada uno
de los métodos
utilizados en acumulación de tolerancias, se puede
concluir que la parte mas importante de todo diseño es el
dibujo de
ingeniería, en el cual se debe dimensionar
correctamente cada parte de la pieza, así como incluir
tolerancias precisas para que en el proceso de producción sean fáciles de
interpretar y reducir el fallo del ensamble. La forma de lograr
eso y evitar el desperdicio, tanto de tiempo,
esfuerzo y recursos es
utilizando correctamente los métodos descritos.

10.
APLICACIONES

Las acumulaciones de tolerancias sirven a los ingenieros
para:

• Estudiar relaciones dimensionales dentro de un
  ensamble.

• Dar medios para calcular tolerancias de la parte.

• Comparar ofertas del diseño.

• Producir dibujos completos.

Además de que debemos de tener en cuenta los siguientes
factores al realizar un diseño o un ensamble:

• Temperatura operacional de las piezas o del ensamble.

• Desgaste.

• Desviación de componentes después del
  ensamble.

• La posibilidad o la probabilidad que las piezas
  estén levemente fuera de especificación
  (solamente de inspección pasajera).

• La sensibilidad o la importancia de la acumulación
  (qué sucede si las condiciones del diseño no se
  cumplen).

11.
REFERENCIAS

Dygdon, John Thomas & Murrieta Murrieta
Jesús Elmer

Dibujo y comunicación gráfica

Editorial Pearson Educación

Fritz Scholz Research and Technology Boeing
Information & Support Services

Tolerance Stack Analysis Methods: A Critical
Review http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES/TOLSTACK.pdf

November 1995

García, José Isidro

Fundamentos del diseño mecánico

Publicado por Universidad del
Valle

Autor:

Diana Alejandra Rivas Olivas

Catedrático: Prof. Pedro Zambrano

Instituto Tecnológico de Chihuahua

04/05/2009