La Función Gamma (página 2)

Estas propiedades pueden ser usadas para extender
G(z) desde su definición inicial a todo el plano complejo
(exceptuando los puntos en los cuales es singular) por
continuación analítica.

Definiciones alternativas

Las siguientes definiciones de la función
Gamma mediante productos
infinitos, debidas a Euler y Weierstrass respectivamente, son
válidas para todo complejo z que no sea un entero
negativo:

donde γ es la constante de
Euler-Mascheroni.

Es sencillo mostrar que la definición de
Euler satisface la ecuación funcional dada arriba como
sigue. Dado

También puede obtenerle la siguiente
representación integral:

Obtención de la ecuación funcional
usando integración por partes:

Obtener G(1) es sencillo:

Ahora obtendremos una expresión para G(n +
1) como una función de G(n):

Usamos integración por partes para
resolver la integral:

En el límite inferior se obtiene
directamente:

En el infinito, usando la regla de
L'Hôpital:

Por lo que se anula el primer término,
lo que nos da el
siguiente resultado:

La parte derecha de la ecuación es
exactamente nG(n), con lo que hemos obtenido una relación
de recurrencia:

G(n + 1) = nG(n).

Apliquemos la fórmula a unos pocos
valores:

Propiedades

General

De la representación integral se
obtiene:

Otras ecuaciones
funcionales importantes de la función Gamma son la
fórmula de reflexión de Euler:

y la fórmula de duplicación:

La fórmula de duplicación es un
caso especial del teorema de multiplicación:

Una propiedad
básica y muy útil de la función Gamma, que
puede obtenerse a partir de la definición mediante
productos infinitos de Euler es:

Quizá el valor
más conocido de la función Gamma con argumento no
negativo es

La cual puede obtenerse haciendo z = 1 / 2 en la
fórmula de reflexión o en la fórmula de
duplicación, usando la relación de la
función Gamma con la función beta dada más
abajo con x = y = 1 / 2 o haciendo la sustitución
en la
definición integral de la función Gamma, con lo que
se obtiene una integral Gaussiana. En general, para valores
impares de n se tiene:

(n: impar)

donde n!! denota al doble factorial.

Las derivadas de la
función Gamma vienen dadas por la función
poligamma. Por ejemplo:

A partir de la representación integral de
la función Gamma, se obtiene que su derivada
n-ésima es:

La función Gamma tiene un polo; polo de
orden 1 en z = – n para todo número natural y el cero. El
residuo en cada polo es:

Valores de la función Gamma

Artículo principal: Valores de la
función Gamma:

Aproximaciones

La función Gamma se puede calcular
numéricamente con precisión arbitrariamente
pequeña usando la fórmula de Stirling o la
aproximación de Lanczos.

Para argumentos que sean múltiplos enteros
de 1/24, la función Gamma puede ser evaluada
rápidamente usando iteraciones de medias aritmético
geométricas (véase Valores de la función
Gamma).

Debido a que tanto la función Gamma como
el factorial crecen muy rápidamente para argumentos
moderadamente grandes, muchos programas de
computación incluyen funciones que
devuelven el logaritmo de la función Gamma. Este crece
más lentamente, y en cálculos combinatorios es muy
útil, pues se pasa de multiplicar y dividir grandes
valores a sumar o restar sus logaritmos.

Aplicaciones de la
función Gamma

Cálculo fraccionario:

La n-ésima derivada de axb (donde n es un
número natural) se puede ver de la siguiente manera:

como n! = G(n + 1) entonces donde n puede ser cualquier
número donde gamma esté definido o se pueda definir
mediante límites.

De esta manera se puede calcular por ejemplo, la
1/2 derivada de x, de x2 e inclusive de una constante c =
cx0:

Método de la Máxima
Verosimilitud:

Existen diversos métodos
para estimar los parámetros de la distribución Weibull: Basado en la
relación de los parámetros con diversos percentiles
de la distribución es utilizado por la simplicidad del
cálculo
(Bailey y Dell,1973); otro método
más preciso, el de máxima verosimilitud (Zarnoch y
Dell, 1995), este último ampliamente aceptado, como las
derivadas parciales con respecto a los parámetros de la
distribución Weibull deben ser iguales a cero en el
máximo, el método selecciona a la solución
de esas 2 ecuaciones como los estimados de los parámetros
de la distribución Weibull. Si se contabilizan los tiempos
de vida en la r-ésima falla, o no se contabilizan y
entonces r=n, las ec. son:

La primera ec. se resuelve para β mediante
métodos numérico. Entonces la segunda da el
estimado de a. Los anteriores cálculos son fáciles
en computadora,
si se contabilizan los tiempos de vida en el tiempo To, se
modifican los términos que tienen el factor n-r
sustituyendo a cada t, por To.

Ejemplo de aplicación en el
Método de la máxima Verosimilitud:

Se puede apreciar en el gráfico siguiente
realizado en el programa statgraphics los
parámetros de weibull (forma y escala),
encontrados utilizando la función gamma con el
método de la máxima verosimilitud; con la ayuda de
la función gamma se puede encontrar la fiabilidad como se
observa en la resolución gráfica.

Figura N°3. Gráfico de Weibull
para el mes de mayo en m/s.

Fuente: Elaboración propia-2009

Así también podemos encontrar los
parámetros estadísticos de la función
weibull en función de a y C, para ello hay que calcular
algunos valores con la función gamma.

Figura N°4. Cuadro estadístico de
un año.

Fuente: Elaboración propia-2009

Software para
calcular la función Gamma

Para calcular la función gamma, un
programa a
utilizar es Excel, con la
función GAMMA.LN.

GAMMA.LN: Devuelve el logaritmo natural de la
función gamma, G(x).

Sintaxis:GAMMA.LN(x)

X  es el valor cuya función GAMMA.LN
se desea calcular.

GAMMA.LN se calcula como:

donde:

Para obtener la función Gamma de la
función Gamma logarítmica natural:

Se escribe la fórmula:
=EXP(GAMMA.LN(x)).

Ejemplo1:

=GAMMA.LN(4): Logaritmo natural de la
función gamma a 4 (1,791759).

=EXP(GAMMA.LN(4)): (1,791759) es el exponente
aplicado a la base e (6).

Ejemplo2:

Tabla N°1. La función gamma en
función del parámetro β de la
distribución Weibull.

Conclusiones

Se ha comprobado que matemáticamente la
función gamma extiende el concepto de
factorial a los números complejo, haciendo
excepción a los enteros negativos y ceros.

La función gamma es importante, su amplia
utilización en la gran variedad de funciones de fiabilidad
de dispositivos o sistemas, permite
realizar mejores cálculos (ejm. Método de la
máxima verosimilitud).

Bibliografía

[1] Wikipedia; Función Gamma; en: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma.

[2] LLANOS Marco; Formulario; NUEVO FORMULARIO DE CIENCIAS;
Lima-Perú; Editorial: San Marcos E.I.R.L.; 2007;pg.
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[3] Ayuda de excel; GAMMA.LN; en:
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[4] TAMBORERO DEL PINO José; NTP 331:
Fiabilidad: la distribución de Weibull; Centro nacional de
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en:www.mtas.es/insh/ntp/ntp_331.htm.

[5] PECE Martha G.; USO DE LA FUNCIÓN WEIBULL PARA
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Estero-Argentina; 2000; en:http:150.185.136.100/scielo.php?scrip=sci_arttext&pid=S0556-66062000000200006&Ing=es&nrm=iso&tlng=es.

[6] P. RAMÍREZ
Karina;Tesis;
EVALUACIÓN ENERGÉTICA COMPARATIVA DEL SISTEMA
HÍBRIDO EÓLICO-FOTOVOLTAICO (SHEFV) DE BAJA
POTENCIA EN EL
DISTRITO DE TACNA; Tacna-Perú; 2009, pg. 160.

Autora:

Bach. Karina P. Ramírez

Escritora/Física/Investigadora
y desarrolladora experimental en energías renovables y
software.

Datos del artículo:

Fecha de realización: 11 de abril del
2009

CATEGORÍA: Tecnología

Tacna, Perú