Diseño por esfuerzo cortante de flechas sólidas de sección transversal circular sujetas a torsión (página 2)

En estas condiciones nuestro problema es ya de torsión
pura, y si queremos encontrar los pares resistentes presentados
por la flecha en varias de sus secciones transversales,
procederemos igual que en el problema anterior, considerando que
el par externo vale T = P r.

Problema.- En la siguiente figura, encontrar el par
resistente en las secciones A-A y C-C.

Esfuerzo cortante.

Si una flecha de sección circular ( en nuestro
curso solo veremos la transmisión de carga de
torsión a través de flechas de sección
circular, que son las que se emplean normalmente para realizar
este trabajo), se
encuentra sujeto a una carga de torsión, se desarrollan
fuerzas cortantes en las caras de sus secciones transversales; el
producto de
estas fuerzas por sus distancias al eje longitudinal "O" de la
flecha, nos da un momento, y la suma de los momentos de todas las
fuerzas que se desarrollan en la cara de una sección
transversal es el par resistente presentado por la flecha en esa
sección transversal. En la figura 4(a) se ilustra la
acción
de estas fuerzas cortantes.

Ya que estas fuerzas son tangentes a las caras de las
secciones transversales, producen esfuerzos cortantes Ss, la
ecuación general que relaciona estas fuerzas cortantes (o
tangentes) P, con los esfuerzos cortantes es Ss=P/A, en la que A
es el área de una superficie elemental, tal como las que
se muestran sombreadas en la Figura 4(b), y P es la fuerza
cortante que actúa en dicha superficie.

Las fuerzas cortantes y los esfuerzos cortantes
actúan en una dirección perpendicular al radio vector que
une el centro de la sección transversal con la superficie
elemental que se este considerando. Vamos entonces a encontrar
una ecuación que nos relacione el par aplicado motriz en
una sección transversal cualquiera (que ya vimos es igual
al par resistente en dicha sección transversal), con los
esfuerzos cortantes desarrollados en la cara de la misma
sección transversal; con el propósito de tener un
criterio de diseño
para flechas.

Para encontrar esta ecuación, tenemos que
considerara ciertas las siguientes suposiciones:

1.- Una sección de la flecha que es plana antes
de la torsión, permanece plana después de la
torsión; esto significa que una sección transversal
de la flecha, no se alabea o comba después de la
carga.

2.- El diámetro de la flecha no cambia durante la
carga.

3.- Los esfuerzos están en el rango
elástico del material con el que está construida la
flecha; es decir, los esfuerzos están debajo del
límite de proporcionalidad al cortante y se les aplica la
Ley de
Hooke

4.- Las deformaciones por cortante varían
linealmente desde cero en el eje de la flecha, hasta un
máximo en las fibras mas alejadas.

Los resultados obtenidos en la práctica confirman
la veracidad de estas suposiciones.

De acuerdo con la ultima suposición, puesto que
las deformaciones varían proporcionalmente, desde cero en
el eje de la flecha, hasta un máximo en las fibras mas
alejadas, y de acuerdo a la tercera suposición que dice
que se cumple la Ley de Hooke; los esfuerzos también
varían desde cero en el centro de la flecha, hasta un
máximo en las fibras extremas.

Según esto, los esfuerzos cortantes en un delgado
anillo "n" concéntrico con el eje de la flecha, son
iguales en magnitud en cada una de las superficies elementales
que se muestran cuadriculadas en la figura 4(b), ya todas se
encuentran a la misma distancia del centro de la
flecha.

De acuerdo con la figura 4(b), dichos esfuerzos Ss son
proporcionales a los esfuerzos cortantes máximos
Ssmáx que actúan en las fibras extremas de la
flecha. Esta relación según los triángulos semejantes de la figura 4(b) es
entonces:

.

Puesto que los esfuerzos cortantes máximos son
los que pueden producir fractura en la flecha, tenemos que
encontrar primero una ecuación que nos relacione el par
motriz T con dichos esfuerzos máximos.

Para encontrar esta ecuación, vamos a seguir
estos tres pasos:

1.- Vamos a encontrar la fuerza cortante resultante que
actúa sobre un delgado anillo "n" cuyo radio es ?, y se
muestra en la
figura 4(b). A esta fuerza lavamos a denominar Pn.

2.- Calculamos entonces el momento producido por esta
fuerza con respecto al eje longitudinal de la flecha, llamaremos
dT a este momento.

3.- Sumamos los momentos producidos por todos los
anillos concéntricos que se tienen en la cara de dicha
sección transversal de la flecha. Este momento es el par
resistente T presentado por la flecha en dicha sección
transversal.

De acuerdo a la figura 4(b) los esfuerzos cortantes en
cada una de de las área elementales sombreadas en un
anillo "n" cuyo radio es ?, son todas iguales, figura 4(b). Por
lo tanto cada esfuerzo cortante Ssn produce fuerzas iguales en
cada una de las áreas elementales; la fuerza total se
puede obtener sumando aritméticamente las magnitudes de
todas esas fuerzas sobre las áreas elementales, ya que
todas ellas tienen el mismo sentido de giro con respecto al eje
longitudinal. Esta fuerza resultante será
entonces:

Pn = Ssn dA

En la que dA es la superficie total del anillo "n". El
momento de esta fuerza con respecto al eje longitudinal
será:

dT=Pn ?= ? Ssn dA

de la figura (d) tenemos que:

Por lo tanto:

Ssn= Ss máx ?/c

Sustituyendo este valor de Ssn
en la ecuación para dT, se tiene:

dT=

sumando todos estos momentos dT debidos a todos los
anillos concéntricos en la sección transversal se
tiene:

T =

Pero

En que J es el momento polar de inercia de la
sección transversal de la flecha con respecto a su centro
de simetría, o sea con respecto al eje longitudinal de la
flecha. Sustituyendo este valor en la expresión que nos da
T, tenemos:

T=

De donde:

Ssmáx =

Esta ecuación que nos relaciona el esfuerzo
cortante máximo en la sección transversal con el
par externo es la que andábamos buscando. En el caso de
secciones transversales circulares:

J =

Por lo tanto, si el diámetro D de la flecha
estás expresado en pulgadas, el momento polar
estará en pulg4. En la expresión

Ssmáx =

Ssmáx es el esfuerzo cortante máximo en la
sección transversal de la flecha en lb/pulg2. T, par
externo resultante aplicado a la flecha, que es igual al par
resistente en pulg-lb; J es el momento polar de inercia de la
sección transversal con respecto a su centro en
pulg4.

Si queremos encontrar el esfuerzo cortante en un anillo
"n", cuyo radio es ?, la expresión anterior se
convertirá en:

Ss =

Siendo ? el radio del anillo que estemos
estudiando.

Problema.- En una flecha maciza de acero, el par
aplicado es de 6280 pulg-lb, y el esfuerzo cortante permisible es
Ssperm = 8 000lb/pulg2. Determinar el diámetro necesario
D.

Datos:

T= 6280 pulg-lb

C =

J=

Ssperm. = 8 000

Ssperm =

Ssperm =

8 000 =

D3= 4. 00

D =

D = 1.58" Este es el diámetro necesario, por
supuesto en el mercado no lo
vamos a encontrar exacto a nuestras necesidades, por lo que se
tendrá que ir al inmediato superior.

Bibliografía

Fitzgerald, Robert W. Resistencia de materiales. Fondo Educativo Interamericano,
S. A. y Representaciones y Servicios de
Ingeniería, México,
1970

Sloane, Alvin. Mechanics of materials, The
MacMillanCo.EEUU,1960

Balanzá, Julio C. Resistencia de materiales
teoría
y práctica. Universidad Veracruzana, Xalapa Ver.,
México, 1993.

Autor:

M. en C. Julio César de Jesús
Balanzá Chavarria

Nacimiento: 16 de mayo de 1941, Tampico, Tamaulipas,
México.

Jubilado del departamento de Mantenimiento
Equipo Dinámico e Instrumentos de PEMEX Exploración
Producción de Poza Rica, Veracruz,
México.

Títulos Obtenidos:

Ingeniero Mecánico Electricista de la Facultad
Nacional de Ingeniería de la UNAM

M en C. Diseño Mecánico, Mención
Honorífica en el IPN.

Certificante in "Professional Studies In Education"
Issued By Association Of Colleges, the Bradford College and the
Warwickshire college of the U.K.

Certificante in "English as a Foreign Languaje"
Warwickshire College, U.K.

Libros:

Diseño del Nuevo Alumbrado del parque de
Base-Ball en Poza Rica, Veracruz (Tesis
Licenciatura UNAM)

"Resistencia de
Materiales Teoría y Problemas"
Editado por la Universidad
Veracruzana.

"Diseño del Balancín Elevador de una
Unidad de Bombeo Mecánico Petrolera Mark II" (Tesis
Maestría en el IPN)

Cinco artículos publicados en Monografias.com