Estadística aplicada (página 2)

Enviado por Yair

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Mientras mas pequeña sea la desviación
típica es más probable. Obtener un valor cercano a
la media, mientras mayor sea la desviación típica,
es mas probable encontrar u obtener un valor a cercano a la
media, mientras mayor sea la desviación, es mas probable
encontrar u obtener un valor alejado de la media.

Todo esto se resume de la sig. Forma:

TEOREMA DE
TCHEBYCHEFT O CHEBYSHEV

La proporción de cualquier conjunto de observaciones
que caen dentro de desviaciones
típicas, medidas a partir medidas a partir de la media es
al menos.

, esto es que
estén en y

Donde es cualquier numero
mayor 1

Ejemplo

Del ejemplo:

Al menos que porcentaje de observaciones caerá dentro
de 3 desviaciones típicas a partir de la medio
Soluciones:

Sol.

Ó 88%

Ó 75%

Ó 93%

El teorema indica que:

Para

Al menos de las
observaciones caen dentro de dos observaciones estándar de
la media.

Es decir cuartos o
más de las observaciones cae en el intervalo

Similarmente.

Al menos de las observaciones de
cualquier distribución caen en el intervalo

Ejemplo:

A lo mas ¿Que porcentaje de un digito de observaciones
caerá? a) mas allá de dos observaciones
típicas medidas a partir de la media.

b) Mas allá de 3 desviaciones
típicas

Luego 1- proporción dentro del intervalo

1- =

c) 1- proporción dentro del
intervalo

REGLA DE
LA NORMAL

Def. Para uno distribución de frecuencia
simétrica, en forma de campana.

a) aproximadamente el 68% ó 68.27% de
los datos caerán en el intervalo formando a una
desviación típica a partir de la media (i, e. el
valor de la desviación típica a ambos lados de la
media) comprendidos entre y

c) Aproximadamente el 95% o 95.45%
están comprendido entre y
(z` doble del
valor de las desviaciones típica ambos lados de la media)
ó en el intervalo medida a dos desviaciones típicas
a partir de la media

d) El 99.73% ó casi el valor% de los
datos caerá dentro y
(es decir el
triple del valor de la desviación típica a ambos
lados de la media)

COEFICIENTE DE
VARIACIÓN

Indica la magnitud relativa de la desviación
estándar con respecto a la media de la
distribución.

El coeficiente de variación es útil cuando se
desea:

Comparar la variabilidad de 2 conjuntos de datos con
respecto al nivel general, de los valores de cada
conjunto.
Se empleo para comparar la variabilidad entre dos grupos de
datos referidos o distintos sistemas de unidades de medida. Por
ejemplo kilogramos y centímetros.
Comparar la variabilidad entre dos grupos obtenidos por dos
o más personas.
Comparar dos grupos de datos que tienen distinta
media.
Determinar si cierta es consistente con cierta
varianza.

La formula a usar es:

c.v=

si
c.v
0
% implica que la media es buena como valor central

c.v 100%
implica que la media es mala como valor central

Ejemplo:

Un fabricante de tubos de televisión tiene dos tipos de
tubos A Y B los tubos tienen unas duraciones medias respectivas
de.

1,495hrs
SA= 290 hrs.

1,875
hrs.
SB= 310 hrs.

¿Qué tubo tiene mayor a)Dispersión
absoluta

b) Variación o dispersión
relativa?

SOL. a) Dupersion absoluta de

A: SA=
280h B: SB=
310h

El tipo B
tienen la dispersión absoluta mayor

B) Coeficiente de variación.

A: CV= = Ó
18.7%

B: CV= Ó 16.5%

Luego:

Es el tipo A que tiene mayor variación o
dispersión relativa.

Obs.

v Si CV < 0.5 entonces es confiable

Es adecuado
su representación como medida de tendencia central.

v Si CV > 0.5 Entonces no es
confiable.

REGLAS O
TéCNICAS DE CONTEO

Obs. Nos sirve para determinar sin enumerar directa el
número de resultados posibles de un experimento particular
o el número de elementos de un conjunto particular.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

DEF. Si un experimento puede resultar de maneras distintas y
correspondientes a cada una de estas, un segundo experimento
puede resultar, de maneras
distintas y si después efectuados. El tercer experimento
puede realizarse de maneras
distintas, y así sucesivamente.

El experimento combinado puede resultar de:

FORMAS

Ejemplo

1.- ¿Cuántos puntos muéstrales hay un
punto o muestral cuando se lanzan un par de dados uno ala
vez?

SOL. El 1er dado puede caer en cualquiera de formas

El 2do dado
puede caer en cualquiera de formas

El par de dados
puede caer en

Formas

Si se lanza una moneda 4 veces entonces el numero de puntos
muéstrales es:

3.- Una persona de sexo femenino tiene 10 blusas, 5 faldas y
12 pares de zapatos.

¿Cuantas maneras distintas se puede vestir?

SOL.

Luego:

Formas de
vestir

4.- pendiente

Supóngase que una placa de un automóvil consta
de dos letras distintas seguida de 3 dígitos de los
cuales de los cuales el primero no cero.

¿Cuánto placas diferentes pueden grabarse?

5.- cuantos menos que consisten de sopa, emparedado, postre y
un refresco existen, si se pueden seleccionar entre 4 sopas
diferentes, 3 clases de emparedados, 5 postre y 4 refrescos.

Luego:

240 tipos de menos

6.- En un estudio medico, los pacientes se clasifican en 8
formas diferentes de acuerdo con su tipo de sangre
y su
presión sanguínea (baja, normal o alta).

Encuentre el número de formas posible para clasificar a
un paciente.

Tipos de
sangre

Presión

Formas de
clasificación.

Los estudiantes de un colegio privado de humanidades se
clasifican como estudiantes de primer año, de segundo de
penúltimo o de último, también de acuerdo
con su sexo: hombre o mujeres. Entre en número total de
clasificaciones posibles para los estudiantes de este
colegio.

Sol.

Luego

= 4*2= 8
clasificaciones posibles

2.- Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y
en 4 colores distintos para cada uno. Si la zapatería
desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos los
estilos y colores ¿Cuántos pares diferentes
deberán colocar e el aparador?

Sol.

Estilos

Colores

Luego

5*4= 20

3.- Un contrato de construcción ofrece casas con cinco
distintos tipos de distribución, tres tipos de techo y dos
tipos de alfombrado ¿De cuantas formas diferentes puede un
comprador elegir una casa? Muestre el número total de
selecciones empleando un diagrama de árbol.

Formas diferentes
de elegir una
casa
sea D: distribución

T:
Techos

4.- Puede comprarse un medicamento para la cura del asma ya
sea liquido en tabletas o en capsulas, a 5 diferentes fabricantes
y todas la presentaciones en concentración regular o alta
¿en cuantas formas diferentes puede un medico recetar la
medicina a un paciente que sufre de este padecimiento.

Sol.

Luego por el principio fundamental de conteo

Formas diferentes
de recetar la medicina

5.- En un estudio de economía de combustibles, se
prueban 3 carros de carreras con 5 diferentes marcas de gasolina,
en 7 sitios de pruebas en distintas regiones del país si
se utiliza 2 pilotos en el estudio y las pruebas se realizaron
una vez bajo cada conjunto de condiciones ¿Cuántas
se necesitarían?

Sol.

Luego

Se necesitan

6.- ¿En cuantas formas diferentes puede contestarse 9
preguntas de cierto o falso?

Sol. 512

Preguntas

Por el principio fundamental del conteo

Formas diferentes
de contestar 9 preguntas

7.- Si una prueba de selección múltiple consta
de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas de los cuales
sola (una es la respuestas) y es correcta.

a) ¿En cuantas formas
diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada
pregunta?

b) ¿En cuantas formas puede un
estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener
todas las respuestas incorrectas?

Sol.

a) 1024

b) 243

Por el principio fundamental de conteo

Formas diferentes de
escoger una respuesta.

Suponiendo que para cada pregunta estas tres son las
incorrectas luego por el principio fundamental de conteo.

Formas de escoger
una pregunta y tener todas las respuestas incorrectas.

Un estudiante de primer año debe tomar un curso de
ciencia uno de humanidades y otro de matemáticas. Si se
puede escoger entre cualquiera 4 cursos de ciencia, 4 de
humanidades y 4 de matemáticas, ¿en cuantas formas,
puede acomodar su horario?

Sol.

Formas de
acomodar su horario

DIAGRAMA DE
ÁRBOL

Es un dibujo que se usa para enumerar todos los resultados
posibles de una serie de experimento. Donde cada experimento
puede suceder en un número finito de manera:

Ejemplo:

Dado A= B=
C=

Hallar los puntos muéstrales usando el
diagrama del árbol

Por la regla del conteo será

Puntos
muéstrales.

Ejemplos

Se va a formar un comité de 3 miembros compuestos por
un representante de los trabajadores uno de la
administración y uno del gobierno.

Si hay 3 candidatos de los trabajadores

Si hay 2 de la administración y 4 del gobierno

Determinar cuantos comités diferentes puedan
conformarse empleando

a) El principio fundamental de
conteo

b) Un diagrama de árbol

Sol.

a) Candidatos de los
trabajadores.

Candidatos de
los admón.

Candidatos
del gobierno

Comités.

b) sea Trabajadores

Admón.

Gobierno

Luego

NOTACIÓN
FACTORAL

DEF: Dado un numero N entero positivo definimos el factorial
de n denotado por n! como

n! = …… 3. 2.
1

Ejemplo:

CONVIENE DEFINIR: 0!=1

PERMUTACIONES

DEF.

Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de
objetivos.

DEF. Una permutación de n objetos distintos tomados de
en r es una elección ordenada I de entre

El número de permutaciones de n objetos tomados de r en
r vienen dado por:

Obs. El número de permutaciones de objetos tomado de n a
la vez.

Observación1: Se toma en cuenta el orden, sin
reemplazo.

DEF: Supongamos que tenemos M objetos que se van a seleccionar
de n objetivos
con orden y sin reemplazo

1er elto lo podemos seleccionar M objetos

2do elto lo podemos seleccionar M-1 objetos

3er elto lo podemos seleccionar M.2 objetos

AMO elto lo podemos seleccionar M-(n-1) objetos.

Por el principio fundamental de conteo o los n objetos se
pueden seleccionar de:

. . . . .
.. Maneras.

1.- El número de permutaciones de las letras tomadas de
dos a la vez es

= 6 Estás
son:

Ab ba ac
ca bc cb

2.- De un grupo de 40 alumnos se van a seleccionar 5 para
ocupar

1.- La presidencia

2.- Otro para ocupar la tesorería de una planilla

3.- Otro la secretaria de la planilla

4.- Otro para ocupar E cargo de difusión de la
planilla

5.- Otro para ocupar el cargo de relaciones publicas.

Sol.

3.- Se sacan dos boletos de la lotería, entre 20
posibles, para el segundo y 1er premio encuentre el numero
de puntos muéstrales en el espacio.

Sol.

1ro
2do

Un testigo de un accidente de transito en el que el causante
huyó, le indica al policía que el numero de
matricula del automóvil tenia las letras RLH seguidas por
tres dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Si el
testigo no puede recordar los otros dígitos pero esta
seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el
número máximo de registro de automóvil que
debe verificar el policía.

Sol.

El número de
registro es 9×8= 72

Como los tres números son diferentes se trata de
permutaciones

En cuantas formas pueden llenar las 5 posiciones iniciales de
un equipo de baloncesto (con 8 jugadores que pueden ocupar
cualquiera de ellas?

Sol.

Como importa el orden se trata de permutaciones.

Encuentre el número de formas en las cuales pueden
asignarse 6 profesores a las 4 secciones de un curso
introducciones de sicología, si ninguno cubre más
de una sección.

Sol.

Como importa el orden se trata de una permutación

Entonces.

4.- Supóngase que una placa de un automóvil
consta de 2 letras seguidas de 3 dígitos de los cuales el
1ro no es cero.

Luego:

6.- De cuentas maneras pueden 10 personas sentarse en una
banca si solo hay 4 puestos disponibles.

Sol.

PERMUTACIONES = CON
REPETICIONES

Def:

El numero de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son
iguales n2 son iguales ….. nr son iguales es:

Donde n=
n1+n2+…..+nr

Ejemplo.

1.- El número de permutaciones de las letras en la
palabra estadística es:

Puesto que
hay

2.- El número de permutaciones diferentes de las 11
letras de la palabra Mississipi que consiste de 1M, 4I, 4s 2p
es:

COMBINACIONES

Def.

Una combinación de n objetos diferentes tomados de r en
r es una selección de r los n objetos. Sin importar el
orden y sin reemplazote los r escogidos.

Es denotado por

Ejemplo:

1.- El numero de combinaciones de las letras A,B,C tomados de
dos en dos es.

3 Estas combinaciones son

ab ac
bc

Observe que ab es la misma combinación que ba.

2.- ¿De cuantas formas pueden elegirse una
comisión de 5 personas de entre 9 personas?

Luego:

3.- De cuantas formas pueden 10 objetos dividirse en dos
grupos de 4 y 6 objetos respectivamente.

Sol.

Esto es lo mismo que el numero de ordenaciones de 10 objetos
de los cuales 4 objetos son iguales y los otros 6 también
son iguales.

Esto es:

Ejemplo:

De cuantas formas se pueden seleccionar 6 preguntas de un
total de 10

Sol: Como no hay orden se trata de combinaciones

Luego:

n=10

r=6

2.- Cuantos comités diferentes de 3 hombres y 4 mujeres
pueden formarse con 8 hombres y 6 mujeres.

Sol. La forma en que se pueden elegir 4 mujeres de un total de
6 n2 =

POR EL PRINCIPIO
FUNDAMENTAL DE CONTEO

EL NUMERO DE COMITé ES:

3.- De cuantas formas puede un grupo de 10 personas dividirse
en a) dos grupos de 7 y 3 personas b) tres grupos de 4, 3 y 2
personas.

a)
b)

Ejercicio

1.- Cuatro matrimonios compraron 8 lugares por concierto
ó en cuantas formas diferentes pueden sentarse.

a) sin restricciones

b) si se sienta por pareja

c) si todos los hombres se sientan juntas a la derecha de
todas las mujeres.

a)8!= 40320

b) 4! 2! 2! 2! 2! = 384

c) 4! 4!= 576

2.- a) ¿De cuantas maneras pueden formarse 6 personas
para subir a un autobús?

b) si 3 de ellas insisten en seguirse una una ala otra
¿en cuantas formas es esto posible?

c) 2 personas se rehúsan a seguirse una ala otra
¿en cuantas formas es esto posible?

Sol.

a) 6! =720

b) 3! 4!=144

c) 6!"5! 2!=480

SUGERENCIA PARA
DIAGNOSTICAR DE APLICACIÓN DE REGLA DE CONTEO

1.- Una de las tres reglas: de conteo de esta sección
puede ser aplicable a un problema de probabilidad si los puntos
muéstrales son identificables por un número fijo de
características.

2.- La regla m.n puede ser aplicable si las
características referidas en 1 se toman una sola de cada
un solo digito si fuesen tomadas de un solo digito

La regla que puede ser aplicables son las de
permutación y combinación.

3.- La regla de combinaciones puede ser aplicable si las
características se toman de un solo digito y el
reordenamiento de las características no produce otro
punto muestral.

4.- La regla de permutaciones puede ser aplicable si las
características se toman de un digito y cada
reordenamiento de ellas corresponde a un nuevo punto
muestral.

Ejemplo:

De un total de 5 matemáticos y 7 físicos se
forma un comité de 2 matemáticos y 3
físicos, ¿de cuantas formas pueden formarse

Si:

a) Puede pertenecer a el cualquier
matemático, físico

b) Un físico determinado debe
pertenecer al comité

c) Dos matemáticos determinados
no pueden estar en el comité

Sol.

a) 2 matemáticos de un total de
5 pueden elegirse de formas