Pensamiento matemático, filosófico y complejo (página 2)

Comenzaremos  con uno de los mas notables matemáticos, físicos y filósofos de la Era Moderna, el
francés Henri Poincaré. En el ámbito de las
ciencias se
destacó en la solución del probema de los tres
cuerpos en el contexto de la cual descubrió que un
problema relativamente sencillo como el de la atracción
gravitatoria entre dos cuerpos, se vuelve extraordinariamente
complicado cuando se trata de extender a tres cuerpos. A partir
de tal complicación  y de su solución,
estableció Poincaré las bases de lo que en la
actualidad se conoce como Teoría
del Caos.  A Poincaré se debe el desarrollo del
Analysis Situs o Topología  y en el seno de ésta
propuso la famosa Conjetura que lleva su nombre y que fue
resuelta en el 2006 por Grigori Perelman. Episodio famoso en la
carrera de Henri Poincaré lo constituyo su versión
de la Teoría Especial de la Relatividad enviada a la
publicidad
sólo unos dias después de haberlo hecho Einsten por
lo cual no se le reconoció como su inventor. Como
filósofo Poincaré se destacó tanto como
científico, al ser  el propulsor de la corriente
positivista del convencionalismo según la cual los
supuestos matemáticos sólo son como
convenciones  o acuerdos en la comunidad
científica que permiten  realizar razonamientos
logicamente aceptables.

Continuamos ahora con uno de los mas brillantes
pensadores de los útimos tiempos.

El matemático y filósofo inglés
Bertrand Russll nació en 1872 y en su larga vida
alcanzó gran renombre en las disciplinas con las cuales lo
he calificado aunque el mayor destaque  dentro de la ciencia lo
obtuvo por sus aportes a la lógica
matemática.

La lógica
matemática
constituye una forma de tratar la lógica clásica
mediante procedimientos
semejantes a los de la matemática. Como la
matemática, específicamente como el álgebra,
utiliza símbolos y signos de
operaciones
que en este caso se denominan lógicas. Tales
procedimientos permiten efectuar deducciones así como
verificar la veracidad o falsedad de proposiciones y
juicios.

La elaboración de los contenidos en la forma que
propicia su utilidad actual,
particularmente    en las ciencias que derivan de
la cibernética, se debe principalmente a la
publicación por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en
1910, del libro
Principia Matemática.

La obra de Bertrand Russell y especialmente la
desarrollada en la lógica matemática está
relacionada con la teoría de los conjuntos
creada a finales del XlX por el alemán Georg Cantor,
teoría que para su exposición
utiliza una simbología y una operatoria muy parecida a la
de la lógica matemática. El concepto de
conjunto en la teoría de Cantor es el mismo que se utiliza
en el lenguaje
común, conjunto de personas, conjunto de letras en los
cuales por lo general no importa el orden de sus
elementos.

Un concepto muy importante al cual nos vamos a
referir  de nuevo mas adelante  es el de conjuntos
relacionados. Se dice que dos conjuntos están relacionados
cuando a cada uno de los elementos de uno de ellos se le puede
hacer corresponder un elemento del otro sin que sobre ni falte
ninguno por relacionar

La teoría de los conjuntos sirve de base a la
teoría de los números, dada esta circunstancia y la
de la similitud de estas teorías
con la lógica matemática, Bertrand Russell
dedicó gran parte de sus investigaciones  al desarrollo de una
teoría según la cual las matemáticas pueden fundamentarse
exclusivamente en la lógica, teoría que se conoce
como Logicismo. En sus intentos de desarrollar el Logicismo,
surgieron paradojas que al no poder resolver
satisfactoriamente, entorpecieron el fluir de razonamientos de
Russell en su empeño logicista. Ante esas dificultades,
Russell apeló a una cadena de suposiciones ad hoc o
introducción de conceptos como el de
clase parecido
al de conjunto, y  surgieron conceptos como el de
proposiciones atómicas las cuales según 
Russell eran los componentes últimos de las proposiciones
mas generales. Pero las paradojas seguían sin resolverse
como la del cretense Epiménides al decir"Todos los
cretenses mienten" con lo cual, al ser dicho por un cretense, la
proposición quedaba desmentida. De esa manera se
llegó al Teorema de Kurt Godel que afirma que no hay un
sistema completo
de axiomas en el sentido de que siempre queda algo que no puede
explicarse dentro de ese tipo de sistema de afirmaciones. Sbre el
logicismo trabajó independientemente de Russell, en
esa  época el lógico y matemático
alemán Gottlob Frege.

Para sus objetivos,
Frege introdujo una categoría llamada volumen del
concepto. No trataré de definir esta categoría sino
de dar una idea de lo que era para Frege. El concepto "lados del
cuadrado" tiene el mismo   "volumen" que el
concepto "estaciones del año", "vértices del
cuadrado", etc. Todos evidentemente, son conjuntos relacionados
con un conjunto de letras como "a b c d" y claro está
define el número 4.

Esto que parece una banalidad, tiene gran importancia en
teoría de los números pues constituye la forma
abstracta  de definir lo que es un número natural.
"Número natural es el ente común a conjuntos
relacionados entre si". Esto es fácil de entender, por
ejemplo: el número 12 es el ente común a las horas
de un reloj tradicional, a los apóstoles de Jesús,
a los meses del año, a las uvas que algunos comen
recibiendo el Año Nuevo, etc

En definitiva, el Logicismo no logró su objetivo de
reducir las matemáticas a lo lógica  pero en
su intento se lograron aportes al adecuado uso de la
lógica matemática en las matemáticas en
general, que si bien no las sustituyen  coadyuvan a su mejor
entendimiento y manejo.

La lógica matemática de la cual Bertrand
fue indiscutible artífice, es básicamente la
lógica clásica concebida por Aristóteles con  acertadas
modificaciones cuya característica fundamental es el uso
de una simbología, también utilizada en la
teoría de los conjntos, y el establecimiento de
operaciones con esos símbolos, operaciones que se asemejan
a las de la aritmética y el
álgebra.               
                      

La larga vida, fructífera hasta el final mismo,
de Bertrand Russell le permitió aportar su talento a
diferentes aunque relacionadas vertientes de la actividad humana,
la gran parte de cuyos resultados han quedado plasmados en su
voluminosa obra escrita. Paralelamente al matemático y
lógico, la historia recordará al
filósofo y al humanista. Como la mayor parte de quienes
acceden a la filosofía a partir de las ciencias exactas,
Russell siguió espontáneamente la línea de
pensamiento
del Positivismo  moviéndose entre sus
variantes empiristas y realistas principalmente, coincidiendo
unas veces y discrepando otras con los criterios de John Stuart
Mill, David Hume y Joh Locke entre otros. Alguien con quien
estuvo siempre en desacuerdo fue con Ludwig Wittgenstein y su
interpretación  lingüística de la filosofía. El
pensamiento filosófico russeliano se  centró
preferentemente en la especulación acerca de la
relación entre la realidad objetiva y la
interpretación o hipótesis que sobre ésta hacemos.
Este problema es el que de una forma o de otra está
presente como tema fundamental de reflexión en los
diferentes sistemas
filosóficos que han pasado a la historia y siempre es tema
de debate el de
si es posible conocer en su esencia, en su absoluta objetividad,
la "cosa en si" kantiana,  el mundo exterior a cada ser, o
si sólo  es posible el
conocimiento subjetivo através de lo que aportan
nuestros sentidos. El dilema parece no tener solución,
conocer la "cosa en si" sin la mediación de los sentidos, se
nos presenta como el tratar de ver el mundo que nos rodea o como
dice Russell "lo que está allá afuera", sin los
ojos, oirlo sin los oídos. Sobre este tema se nos ocurre
el siguiente símil. Imaginemos un individuo que
de alguna manera ha logrado vivir desde que tiene uso de
razón en una habitación absolutamnte cerrada y que
sólo tiene conocimiento
de lo que el supone hay "allá afuera"es por medio de lo
que observa en la pantalla de un televisor que le presenta
imágenes del supuesto mundo exterior. Al
individuo le asalta la duda de que si será real lo que ve
o sólo son imágenes de un video instalado
en su equipo.  A nuestro sujeto se le posiblita salir de la
duda practicando una abertura een la pared de su
habitación, pero nada similar podemos intentar los seres
reales.         
                                         

El interés
científico- filosófico de Russell se
desplazó también hacia la física
particularmente en su divulgación rigurosa como se
advierte en sus excelentes obras didácticas "El ABC de los
Átomos" y el "ABC de la Relatividad".

Corrientes filosóficas de las ciencias como el
Costructivismo se oponen a criterios de Russell como el el del
infinito actual y la aceptación de la Teoría de los
Conjuntos de Cantor. Niegan también los construcionistas
el  Principio del Tercero Excluido de la lógica
formal.             

El nombre de Bertrand Russell apareció muy a
menudo en los medios en los
años 60 y 70.  Obtuvo el Premio Nobel en 1950, se
destacó como pacifista y tal como aparece  en el
Diccionario de
Lógica de la autora rusa Alexandra
Guétmanova,  "impugnaba las teorías que
predicaban la absorción del hombre por la
Sociedad y
el
Estado".

Hata aquí hemos hecho referencia a paradigmas de
la ciencia y la
filosofía que pudiéramos llamar clásicos,
toca ahora referirnos al trascedental surgimiento  a
mediados del pasado siglo XX de nuevos paradigmas que sin
sustituir a los clásicos en cuanto a contenido, si
modifican significativamente los criterios de certidumbre y
exactitud por aquellos de alguna manera sustentados. Por ende, a
tono con los nuevos paradigmas el dicurrir filosófico y
científico muestra su
influencia. Aunque tesis como el
de la totalidad de David Bohm según la cual la naturaleza de
la realidad en general y de la conciencia en
particular es un coherente todo, nunca estático o completo
pero en interminable proceso de
desarrollo, han tenido impacto en el ámbito
científico y filosófico, sin lugar a dudas es la
Teoría de la Complejidad y sus vertientes, la que ha
venido a ocupar junto con las Teorías de la Relatividad y
la Mecánica
Cuántica, relevante lugar entre los paradigmas del
momento.

Comenzaremos nuestra referencia a la Teoría de la
Compleidad, ocupándonos de sus conceptos definitorios como
es el de complejidad.

La complejidad es una forma de analizar, de reflexionar
sobre determinados aspectos de la naturaleza, la sociedad y el
pensamiento, los cuales presentan ciertas características
que los clasifican como sistemas  de comportamiento
complejo. Asociado al concepto de complejidad aparece el concepto
de caos y ambos conforman lo que ha dado en llamarse Teoria del
Caos y la Complejidad, constituyendo uno de los paradigmas del
pensamiento científico actual.

Los sistemas de comportamiento complejo necesitan para
ser determinados, de un  programa que
medirá el grado de complejidad por la cantidad de información que contenga En términos
matemáticos, por el número de bits o longitud del
programa.  Característica esencial de estos sistemas
es el hecho de que constituyen colectivos en los que surgen
propiedades al constituírse éstos  que no
presentaban sus  elementos aisladamente. A éstas se
les llama propiedades emergentes. Las variaciones en la cantidad,
valor  y
propiedades en general de los sistemas que estudia la
complejidad, no lo hacen de forma   directamente
proporcional o como se dice en matemáticas de forma
lineal, sino de forma no lineal. La no linealidad se evidencia al
no presentar las variables del
sistema dinámico, potencias desiguales a uno.

Las variaciones que experimentan los sistemas de
propiedades complejas pueden llegar a situaciones en que no sean
predecibles y que muy pequeñas de éstas en las
condiciones hasta cierto momento existentes, provoquen grandes
cambios irregulares, no periódicos, en las propiedades,
cantidades o valores del
sistema. Se dice entonces que se ha llegado al caos, teniendo
este vocablo una connotación especial en la teoría
que estudia la complejidad. Es un concepto que, como otros de la
Teoría de la Complejidad. tuvo su origen en las
matemáticas y fue estudiado con mas amplitud por el
climatólogo norteamericano Edward Lorenz. Hay ecuaciones o
sistemas de ecuaciones que a partir de ciertos valores de las
variables, los valores
que siguen resultan impredecibles, aperiódicos, se dice
entonces que se ha llegado al caos determinista, determinista
porque se somete, aún con las características
citadas,  a regularidades que se estudian y se tratan
con  métodos de
las ciencias exactas, naturales y humanísticas.

Esa característica de los sistemas en
régimen de caos, de pequeñas causas provocando
notables cambios en los efectos, ha pasado a la cultura
pudiéramos decir popular, descrita como que "el aleteo de
una mariposa en New York es capaz de provocar un tiempo
después un huracán en Beiguin, lo que ha motivado
que el caos sea conocido como Efecto Mariposa. Y ya llegado a
este punto podemos ir comprendiendo como conceptos como el de
caos y otros de la Complejidad, manejados inteligentemente y con
cabal entendimiento del concepto en su significado originario,
pueden ser extrapolados a otras ramas del conocimiento universal
y con procedimientos análogos de razonamiento a los
originarios, enriquecer teorías de disciplinas como, 
economía, sociología, filosofía, psicología
además de las distintas ramas de la ciencia,
física, química, biología, que fueron
donde surgieron los conceptos básicos de la
Complejidad.

Además, y esto es muy importante, la
Teoría del Caos debida a Edward Lorenz, vertiente
principal de la Complejidad,, al mostrarnos que en un momento
dado multitud de procesos se
hacen impredecibles, y que esto es algo que forma parte de la
realidad, que no podemos evitar, el enfrentarnos racionalmente a
esta realidad y actuar en consecuencia, es algo que nos lo
permite el estudio a fondo de la teoría del caos. 
Nos permite trazar estrategias ante
eventualidades en todos los terrenos de la vida. Hace unos
años ocurrió que en México y
mas tarde en varios países asiáticos hubo una
caída estrepitosa de las bolsas de valores, las cuales
comenzando en puntos localizados, se propagaron
caóticamente por casi todo el mundo por lo cual remedando
lo del Efecto Mariposa, se les llamó a esos eventos, Efecto
Tequila al de México y Efecto Dominó al
asiático. Algo similar pero con mas significativas
consecuencias ocurrió en septiembre del 2008, cuando una
caída de valores en Wall Street motivó inmediata
crisis
económica mundial Muy presente estuvo la teoría del
caos y por ende la de la Complejidad en los pasos dados por los
economistas para enfrentar esas crisis. No obstante lo que puede
intuirse de la explicación anterior, no puede olvidarse
que el origen del concepto caos en el contexto, es de
índole matemático.

Ciertos procesos naturales como el aumento de la
población de una especie animal en
determinadas condiciones, puede estudiarse mediante un mapa
iterativo como el logístico :xn+1 = 
kxn(1 – xn)  donde las x representan
las poblaciones en la etapa que se estudia y la anterior, y la k
es la tasa de crecimiento. Para cierto valor de la tasa de
crecimiento, los valores de la población  comienzan a
repetirse periódicamente constituyendo ciclos o
períodos que van aumentando en componetes, llegan a ser
muy largos y a partir de cierto valor de la tasa se pierde la
periodicidad y es cundo se presenta la condición de caos.
Pero es el caso que a las puertas del caos. si colocaramos, los
valores poblacionales de un periódo como puntos de un eje
coordenado, la disposición de éstos adopta un
configuración consistente en la repetición cada
vez  a menor tamaño de un patrón
geométrico, constituyendo lo que se llama un
fractal.

De la repetición cada vez a menor tamaño
de un mismo patrón geomértico se dice que es un
proceso de autosemejanza el cual se realiza manteniendo constante
el factor de reducción, característica llamada
Invarianza de Escala, la cual
se presenta en fenómenos naturales que ocurren a sistemas
complejos lejos del equilibrio
cercanos al punto de transición de fase o punto
crítico.  De la Teoría de los Fractales de
Benoit de Mandelbrot, también se ocupa la Teorá de
la Complejidad.  Con lo visto, nos damos cuenta que
aún  en situación de caos se advierte la
presencia de manifestaciones de orden como las estructura
fractales. Es por eso que al caos que trtamos se le llama caos
determinista. Además no debe pensarse que procesos como
los ciclos a los que nos referimos al estudiar la evolución poblacional mediante el mapa
logístico, son incontrolables, inevitables en sus
caracteríticas. 

La tasa k de crecimiento toma valores que dependen del
medio en el cual ocurre la evolución,  de la
disponibilidad de recursos para la
sobrevivencia sobre lo cual influye la acción
humana con su eficiencia y
voluntad, factores éstos que diferencian las ciencias
sociales de las naturales. La aparente idea de incertidumbre
en el caos determinista en unos casos ,y la periodicidad de
ciclos en otros,   no debe de servir de
explicación smplista y fatalista de la aparición de
crisis económicas y por lo tanto de excusa para no
evitarlas o  prevenirlas.

Otra muy importante vertiente de la Complejidad la
constituye la Termodinámica de No Equilibrio, que, como
su nombre indica tiene su origen en  la
termodinámica, pero que sus conceptos esenciales
extrapolados racionalmente pasan a ser poderoso instrumento
investigativo en disciplinas como la sociología y la
economía. En esta vertiente de termodinámica de no
equilibrio y a partir de los aportes del Nobel belga Ilya
Prigogine., se  hace énfasis  en los conceptos
de equilibrio y orden que partiendo de la termodinámica
son conceptos antagónicos aunque parezca extraño.
En este contexto, el equilibrio es el estado al que
espontáneamente tienden los sistemas y si bien se analiza,
esa tendencia es hacia el desorden. Enciérrese un gas en una caja y
de momento ábrase un extremo de ésta;
espontáneamente las moléculas del gas se
regarán, se desordenarán y en ese desorden
permanecerán, será su estado natural,  su
estado de equilibrio como entiende la
termodinámica.

Para ordenar las moléculas del gas de nuevo
habría que hacer fuerza sobre
ellas, empujarlas hacia la ca.ja. El orden no es
espontáneo, hay que imponerlo, bien que lo sabemos. Pero
un sistema equilibrado no suele ser útil. Un gas en una
jeringuilla sin émbolo, está desordenado, en
nuestro contexto equilibrado, pero no produce movimiento. Si
lo comprimimos con un émbolo, lo ordenamos, lo
desequilibramos pero estará apto para realizar un trabajo cuando
soltemos el émbolo y se expanda. Es por ello que, aunque
parezca paradójico, para lograr movimiento es necesario
propiciar el no equilibrio. Manejado racionalmente este hecho
puede resultar positivo en importantes momentos.

 En los saltos cualitativos de cambio de
estructuras
socioeconómicas, se suelen presentar  en el momento
de producirse, inestabilidades, desequilibrios, que pueden tomar
la forma de contradicción entre las fuerzas productivas y
las relaciones de producción aunque esto no signifique una
necesidad histórica. La termodinámica de no
equilibrio predice y así se cumple, que a partir de la
inestabilidad, del no equilibrio, la estructura se estabiliza en
un nuevo estado. Pero como todo orden hay que mantenerlo pues no
es espontáneo como vimos. Para lograr ese orden sostenido
gran aporte hace la Teoría de la Complejidad sobre todo en
la vertiente de la termodinámica de no equilibrio
debidamente extrapolada desde sus conceptos originarios.
Así como hemos visto que en general el no-equilibrio es lo
deseado, se presentan casos en los cuales lo deseable es que un
organismo no alcance  el no-equilibrio pues no deseamos su
estbilización. Un ejemplo nos lo presenta el distinguido
médico colombiano Dr. José Félix
Patiño quien estima que un ente indeseado como es el cáncer,
en su tratamiento ha de buscarse el que no alcance el no-
equilibrio para que no logre  mantener su maligno
ordenamiento. .

En la actualidad a nivel mundial se realizan intensos
estudios de la Complejidad. .En los planes de estudio de las
enseñanzas superior y media aparecen destacados espacios
dedicados a la Teoría de la Complejidad a nivel
mundial.

 Debemos expresar nuestra opinión de que,
quienes seducidos por el sugerente significado que algunos de los
términos del glosario de la
Complejidad tienen en el lenguaje
común como caos y complejidad, se sienten motivados a
incursionar en extrapolaciones de conceptos,   antes
deben adentrarse en los fundamentos originarios de los mismos
casi todos concebidos en el campo de las matemáticas y las
ciencias
naturales, para evitar caer en lo metafórico y en la
posible apropiación errónea de
conceptos.

Conclusiones

Hemos presentado los elementos que en nuestra
opinión evidencian de qué forma se imbrican el
pensamiento matemático y el filosófico en la
matemática, teniendo en cuenta su estatus peculiar dentro
de las ciencias acorde con los paradigmas clásicos y
modernos que rigen su desarrollo. Para nuestro objetivo 
hemos presentado sucintamente a autores y obras que han marcado
hitos en el devenir del conocimiento universal.  
Especial énfasis hemos hecho en el rol que en el contexto
cientifico-filosófico de nuestros días  han
desempeñado la Teoría de la Complejidad y la de la
Totalidad de Bohm.

Bibliografía

Bohm, D. 2004. Wholenes and Implicate Order. Rouledge
Classics. New York.

Gleick, J. 1988. Caos. Penguin Books. New
York.

González, J. 2001. Ciencia, Arte y
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Holguín.

González, J. y R. Ávila. 2004. La Ciencia
que Emerge con el Siglo. Editorial Academia. La
Habana.

Strogatz, S, 2000. Non Linear Dynamics and Chaos.
Perseus Books Publishing. Cambridge.

Autor

Joaquín González
Álvarez

Graduado de Eneñanza Superior de Física y
de Optometrista por la Universidad de la
Habana.

Prefesor Universitario de Física
(Jubilado)

Autor de varios libros de
texto y
divulgación de sus especialidades, así como de
innumerables artículos científicos publicados en
Cuba, España,
Mexico y Nicaragua.

Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de
Física radicado en Estados
Unidos.