El vector (página 2)

Partes: 1, 2

VECTORES EQUIVALENTES

Dos vectores son
equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el
mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar
, , …, o con negrita,
u, v…

Se dice que un vector fijo tiene la misma
dirección que otro si los segmentos que los definen
pertenecen a rectas paralelas.

VECTORES NULO

En matemáticas, un vector
nulo o vector cero se refiere a un vector que posee
módulo (longitud) cero.

Por ejemplo, en el plano cartesiano, el vector nulo es el
vector (0,0), es decir, que inicia y termina en el origen. Su
representación gráfica es un punto.

En general en un espacio vectorial arbitrario V, el
vector u nulo es el vector nulo si u + v =
v + v + u para cualquier vector
v.

Fijando una base, se tiene que el vector nulo
siempre tiene las coordenadas (0,0, …, 0).

El vector cero es un caso especial de tensor cero. Es
el resultado del producto escalar por el número
0.

VECTORES UNITARIOS

En álgebra lineal, un
vector unitario es un vector de módulo uno.
Frecuentemente se lo llama también versor o vector
normalizado.

MODULO DE UN VECTOR

El módulo de un vector es la longitud del segmento
orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre
positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

VECTOR LIBRE

Es todo vector del plano que tiene mismas
características: mismos módulo, dirección y
sentido.

Un vector libre es, pues, el conjunto de los vectores del
plano que tienen mismo módulo, misma dirección y
mismo sentido. Se llama vector libre a cada una de las clases de
segmentos orientados equipolentes. Por tanto, cada vector libre
está definido por un módulo, una dirección,
y un sentido. Un vector libre queda caracterizado por su
módulo, dirección y sentido. El vector libre es
independiente del lugar en el que se encuentra.

PROYECCIÓN DE
UN VECTOR

La proyección se expresa por la forma:, y viene dada
por:

El vector proyección de: sobre se calcula
por:

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN RECTA

La proyección de un vector A sobre una recta r es otro
vector cuya dirección coincide con la de la recta, cuyo
punto de aplicación es el mismo de A, y cuyo extremo se
obtiene trazando desde el extremo de A una perpendicular sobre la
recta. Designaremos a la proyección de A sobre r por A
sobre r

El modulo de la proyección de un vector sobre una recta
es fácil de determinar en función
del modulo del vector y del ángulo θ formado por el
vector y la recta.

SUMA Y RESTA DE
VECTORES

Una forma gráfica sencilla para sumar vectores es
usando el método del
paralelogramo, que consiste en trazar las paralelas a los
vectores hasta formar y la suma correspondería a la
diagonal que va del origen hasta el vértice más
lejano (ver dibujo).

Lo mismo es aplicable a la resta de vectores: –

El método del paralelogramo se puede deducir otra forma
gráfica de sumar y restar vectores que queda clara con el
siguiente dibujo.
El método consiste en desplazar el vector B al final del
vector A y unir el origen con el final del vector B (el
método es similar para la resta de vectores [A -B],
sólo debe cambiarse el sentido del vector B a -B y sumar
este último al vector A:

MULTIPLICACIÓN DE
VECTORES

Un vector encierra más información que un número, nos da
(en el caso de una dimensión) la magnitud, que es un
número, y el sentido, si apunta hacia la izquierda o la
derecha en el eje x.

¿Cuál es el significado que asociamos a
(3,7 )?

Si el número es positivo, como es el caso de 3,7, lo
que hace es multiplicar el largo del vector (su magnitud, que es
un número) por 3,7,o el número que instalemos
delante del vector. El resultado es que la nueva magnitud del
vector es el producto de la
antigua por el número dado. Si el número es
negativo, la operación es idéntica, salvo que el
vector cambia su sentido.

PROPIEDADES DE LA
ADICIÓN DE VECTORES

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio.
Cada vector posee unas características que son:

·
Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el
punto exacto sobre el que actúa el vector.

·
Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es
preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para
saber cuál es el módulo del vector, debemos medir
desde su origen hasta su extremo.

·
Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta
que lo contiene.

·
Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo
del vector, indicando hacia qué lado de la línea de
acción
se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de
referencia de los vectores, que estará formado por un
origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia
permite fijar la posición de un punto cualquiera con
exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es
el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

PRODUCTO ESCALAR DE
VECTORES

El producto escalar de vectores se puede definir de dos
maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra
geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica,
que tiene un significado intuitivo.

Tomemos dos vectores y , y
llamemos al ángulo que ellos
forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores
es:

En que y corresponden a las longitudes de los
vectores y ,
respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse que

$begin{displaymath} vec a cdot vec a = vertvec a vert^2. end{displaymath}$

Si usamos la representación cartesiana, se tiene
que:

$begin{displaymath} vertvec a vert^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2, end{displaymath}$

Es decir, se satisface el teorema de Pitágoras,
conocido de nuestros estudios de geometría
elemental. Indudablemente, la definición del producto
escalar de vectores puede usarse para definir el ángulo
entre dos vectores,

$begin{displaymath} cos (alpha) = frac{vec a cdot vec b }{vertvec a vertvertvec bvert}. end{displaymath}$

De acuerdo a la definición dada, es fácil ver
que el producto escalar de dos vectores puede también
definirse usando las componentes cartesianas de los vectores,

$begin{displaymath} vec a cdot vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z. end{displaymath}$

COMBINACIÓN
LINEAL

Un vector se dice que
es combinación lineal de un conjunto de vectores
$A = { x_1, x_2, x_3,...,x_n }$ si existe una forma de
expresarlo como suma de parte o todos los vectores de
multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente
escalar , de forma
que:

$x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = sum_{i=1}^n a_i x_i$ .

Así, es combinación lineal de
vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de
elementos de .

Un (elemento de un espacio vectorial) es
combinación lineal de un conjunto de vectores si
existe una cantidad finita, pero a su vez se encuentra regida por
la ley de Bohegiher
IV de elementos de que
denotaremos por , y esa misma
cantidad de escalares (elementos del cuerpo sobre el que el espacio vectorial está construido)
, de forma que

$x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = sum_{i=1}^n a_i x_i$ .

Así, es combinación lineal de
vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de
elementos de .

Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice
que z es combinación lineal de x y de
y, porque podemos escribir $z = x + frac{3}{2} y$ sin más que despejar la z.
De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas
variables se
podría expresar como combinación lineal de las
otras dos.

En otras palabras, cuanto de cada vector del conjunto
necesito para que, cuando se combinen linealmente
dichos elementos, pueda formar al vector en
cuestión.

DEPENDENCIA
E INDEPENDENCIA
LINEAL

En álgebra lineal, un
conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de
ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los
restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0,
0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes,
mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo
son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Los
vectores que no son linealmente independientes son linealmente
dependientes.

Sea {v1, v2,…, vn} un
conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si
existen números 'a1, a2,…,
an, no todos iguales a cero, tal que:

$a_1 mathbf{v}_1 + a_2 mathbf{v}_2 + cdots + a_n mathbf{v}_n = mathbf{0}.$

Nótese que el cero en el lado derecho es el vector nulo, no el número cero. y el
conjunto de vectores nulos forma la matriz
nula.

Si tales números no existen, entonces los vectores son
linealmente independientes.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la
independencia lineal así:

Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es
linealmente independiente si ∀

Esta idea es importante porque los conjuntos de
vectores que son linealmente independientes y generan a un
espacio vectorial, forman una base para dicho espacio.

Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes
e independientes encontramos:

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y
solamente si alguno de los vectores es combinación
lineal de los demás.
Si un conjunto de vectores es linealmente independiente
cualquier subconjunto suyo también lo es.

Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que
ninguno de ellos es combinación de los demás,
escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser
combinación de los otros.

Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente
también lo es todo conjunto que lo contenga.

Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente
si y solo si tiene algún vector que es
combinación lineal de los demás, si metemos este
conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo
el vector que es combinación lineal de otros, por tanto,
el conjunto más grande sigue siendo linealmente
dependiente.

Dependientes e independientes

De los pares de vectores que ves en la escena di cuáles
son linealmente dependientes e independientes. Para los que sean
linealmente dependientes escribe las combinaciones lineales que
permiten escribir cada uno de ellos en función del
otro.(Para ello puedes moverlos, como siempre) Después
compruébalo pulsando el botón azul del control
combinaciones lineales.

BASE DE UN ESPACIO
VECTORIAL

Dos vectores a y b de V2, linealmente independientes, forman
una base de V2, puesto que cualquier vector de V2, incluso ellos
mismos, se puede escribir como combinación lineal de a y
b, es decir, estos dos vectores generan todo el espacio
vectorial.

Al conjunto formado por un punto cualquiera del plano, O,
sobre el que situaremos los orígenes de a y b, y los dos
vectores a y b, lo llamamos sistema de referencia en el plano, y
lo denotamos (O, a, b)

VECTORES UNITARIO

Vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son
unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son
perpendiculares entre sí y corresponderán a cada
uno de los ejes del sistema de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector
unitario
o también denominado
.

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector
unitario
o también denominado
.

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector
unitario
o también denominado

OPERACIONES CON
NÚMEROS IMAGINARIOS

Potencias de la Unidad Imaginaria:

i =

i2 = -1

i3 = -i

i4 = 1

Para determinar el resultado de cualquier potencia de la
unidad imaginaria "i" se toma su exponente, se lo divide por 4
(cuatro), y el resto de esa división que será
siempre menor que 4 (cuatro), será en definitiva el
valor buscado
que quedará encuadrado dentro de la primeros cuatro
valores de la
tabla anterior.

Suma de números Complejos:

El resultado es otro complejo que se obtendrá sumando
respectivamente las partes reales e imaginarias de los complejos
dados.

Ejemplo: (-3/4 + 5i) + (2 – 3i) = (-3/4 + 2) + (5i –
3i)

= 5/4 + 2i

Producto de Complejos:

• Producto de un Complejo por un Real:

El resultado es otro Complejo que se obtiene multiplicando las
partes del complejo dado por dicho número real.

Ejemplo: (0,3 – 2/3i) .4 = (0,3 .4) + (-2/3i .4)

= 1,2 – 8/3i

• Producto de dos Complejos:

El resultado es otro Complejo que se obtiene multiplicando
cada una de las partes de uno de los complejos por las otras
partes del otro complejo recordando que i2 = -1

Ejemplo: (4/5 – 3i). (-3/7 + 5i) = 4/5. 5i + 4/5.
(-3/7) – 3i. (-3/7) – 3i. 5i

= 4i – 12/35+ 9/7i – 15i2

= -12/35 + 37/7 i + 15

= 513/35 + 37/7i

Complejos Opuestos:

Son aquel par de Complejos que difieren en el signo de la
parte real e imaginaria. Su ubicación en el diagrama
resultará simétrica con respecto al centro del
mismo.

Ejemplo: -2 + 5i

2 – 5i -2 + 5i*

2 – 5i*

Complejos Conjugados:

Son aquel par de Complejos que solo difieren en el signo de
las partes imaginarias. Su ubicación es simétrica
con respecto al eje real.

Ejemplo: -2 + 5i

-2 – 5i -2 + 5i*

-2 – 5i*

Producto de Complejos Conjugados.

El producto de dos Complejos Conjugados dará como
resultado un número real cuyo valor es la suma del
cuadrado de la parte real más el cuadrado de la componente
real e imaginaria.

Ejemplo: (3 – 4i). (3 + 4i) = 9 + 12i – 12i + 16i2

= 9 + 16

= 25

División de Complejos:

• Por un número Real:

Dará por resultado otro Complejo cuya parte Real e
Imaginaria se obtendrá dividiendo el Complejo dado por
dicho Real.

Ejemplo: (14 + 7i) /41 = (14/41) + (7i/41)

= 14/41 + 7/41i.

División de dos Complejos:

Ejemplo: 4+5i -3-4i -12 -16i -15i + 20i2

. =

-3+4i -3-4i 9+16

8 -31i

= 25

= 8/25 – 31/25i

POTENCIA

Producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un
número, letra o por sí misma.

En la potencia an, a es la base y
n el exponente.

POTENCIA DE UNA POTENCIA

La potencia de una potencia equivale a una potencia simple
cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los
exponentes.

La potencia de una potencia de base a es igual a la
potencia de base a elevada a la multiplicación de
ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los
exponentes. Así se obtiene esta potencia

$(a^m)^n = a^{m cdot n}$

DEFINICIÓN DE
NÚMEROS COMPLEJOS

El término número complejo describe la suma de
un número real y un número imaginario (que es un
múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con
la letra i). Los números complejos se utilizan en todos
los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y
notoriamente en la mecánica
cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para
representar las ondas
electromagnéticas y la corriente
eléctrica.

En matemáticas, los números constituyen un
cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el
plano complejo. La propiedad
más importante que caracteriza a los números
complejos es el teorema fundamental del álgebra,
que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n
tiene exactamente n soluciones
complejas.

Los números complejos son una extensión de los
números reales, cumpliéndose que. Los
números complejos representan todas las raíces de
los polinomios, a diferencia de los reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del
álgebra ordinaria, llamada álgebra de los
números complejos, así como de ramas de las
matemáticas puras y aplicadas como variable compleja,
aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran
importancia.

Contienen a los números reales y los imaginarios puros
y constituyen una de las construcciones teóricas
más importantes de la inteligencia
humana. Los análogos del cálculo
diferencial e integral con números complejos reciben
el nombre de variable compleja o análisis complejo.

IGUALDAD DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

1.- 3ix + 2x= 2iy + y +1 3 ( 2 )=2y

3x =2y — 3 ( x )= 2 ( 2x-1 ) 6= 2y

2x = y+1 3x= 4x-2 y = 6/2

-4x + 3x = -2 y = 3

y =2x-1 -x = -2

x = 2

2.- ( x + iy ) ( 1+2i )= -1+8i

( x+iy )= ( -1 +8i ) ( 1-2i )- -1 +2i+8i-16i –
15 + 10i – 3 + 2i

( 1 +2i ) ( 1- 2i ) – 1 + 4 – 5 –

x =3 y =2

CONJUGADO DE NÚMEROS COMPLEJOS

Se llama conjugado de un número complejo al
número complejo que se obtiene por simetría del
dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi y haciendo la
correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a –
bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede
representarse poniendo encima del mismo una línea
horizontal.

Dado un número complejo (x,y) el complejo conjugado
sería (x,-y).

Si al número complejo lo representamos por n; n = (x
,y) el complejo conjugado se representa por n; n = (x ,-y) con
una raya encima del número.

SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen
su suma como:

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

Propiedades de la Suma de Números Complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes
propiedades:

· Conmutativa

Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la
igualdad:

(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )

Ejemplo:

(2 – 3i ) + (-3 + i ) = (2 – 3) + i (-3 + 1) = -1 – 2i

(-3 + i ) + (2 – 3i ) = (-3 + 2) + i (1 – 3) = -1 – 2i

· Asociativa

Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:

[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) +
(e + fi )]

Ejemplo:

[(5 + 2i ) + (3 – 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 – 2i ) + (-9 + 8i )
= -1 + 6i

(5 + 2i ) + [(3 – 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i )
= -1 + 6i

· Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que

(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi

El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le
llama «cero».

RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

La resta z – w de los números complejos
z = a + b i, w = c + d i, es la suma de z y
del inverso aditivo de w,

z – w = z + (-w) = (a + b i) + (-c – d i) = (a – c)
+ (b – d) i

Ejemplos:

(9 – 5i) – (4 + 7i) = (9 – 4) + (-5 + 7)i
= 5 + 2i.

(3 – 5i) – (6 + 7i) = (3 – 6) + (-5 – 7)i
= -3 – 12i.

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el
divisor por el conjugado de éste, así el divisor
pasará a ser un número real.

Como en la multiplicación, podemos representar los
complejos por vectores, para poder
comprobar los resultados

PROPIEDADES DEL
CONJUNTO Y DEL MÓDULO (VALOR ABSOLUTO) PARA LA
VISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Como los números complejos no
conforman un conjunto ordenado en
el sentido de los reales, la generalización del concepto no es
directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que
proporciona una definición alternativa y equivalente para
el valor absoluto:

$a| = sqrt{a^2}$

De esta manera, dado cualquier número complejo de la
forma

Con x e y números reales,
el valor absoluto o módulo de
z está definido formalmente por:

$z| = sqrt{x^2 + y^2}$

Como los números complejos son una
generalización de los números reales, es
lógico que podamos representar a estos últimos
también de esta forma:

$|x + i0| = sqrt{x^2 + 0^2} = sqrt{x^2} = |x|$

De modo similar a la interpretación geométrica del valor
absoluto para los números reales, se desprende del
Teorema de
Pitágoras que el valor absoluto de un número
complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el
origen,
y más en general, que el valor absoluto de la diferencia
de dos números complejos es igual a la distancia entre
ellos.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE
NÚMERO COMPLEJO

El valor absoluto de los complejos comparte todas las
propiedades vistas anteriormente para los números reales.
Además, si

Es el conjugado de z,
luego podemos ver que:

Esta última fórmula es la versión
compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en
esta sección.

Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el
operador de multiplicación, podemos pensar en el valor
absoluto como un endomorfismo del grupo
multiplicativo de los números complejos.

CONCLUSIÓN

Una magnitud que tiene una dirección y sentido al mismo
tiempo y los
vectores se representan con segmentos rectilíneos
orientados, utilizando los vectores se puede resolver
gráficamente cualquier problema relacionado con el
movimiento de
cualquier objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

El uso sencillo de los vectores así como los
cálculos utilizando vectores quedan ilustrados en este
diagrama, que muestra el
movimiento de una barca para atravesar una corriente de agua. El
vector a, u A, indica el movimiento de la barca durante un
determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas
tranquilas; el vector b, o $, representa la deriva o empuje de la
corriente durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real
de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y
de la corriente, se representa con el vector c, u B. Utilizando
vectores, se puede resolver gráficamente cualquier
problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la
influencia de varias fuerzas.

Los problemas de
adición y sustracción de vectores, como el
anterior, se pueden resolver fácilmente utilizando
métodos
gráficos, aunque también se pueden
calcular utilizando la trigonometría. Este tipo de cálculos
es de gran utilidad para resolver problemas de navegación
y movimiento en general; también se utilizan en la
mecánica y otras ramas de la física.
En las matemáticas de nuestros días, un vector es
considerado como un conjunto ordenado de cantidades con
determinadas reglas para su utilización. El
análisis vectorial (es decir, el álgebra, la
geometría y el cálculo de
cantidades vectoriales) aparece en las matemáticas
aplicadas en todos los campos de la ciencia e
ingeniería.