- Introducción
- Componente de un vector. Que es un
vector - Proyección de un
vector - Suma y resta de
vectores - Multiplicación de
vectores - Propiedades de la
adición de vectores - Producto escalar de
vectores - Combinación
lineal - Dependencia e
independencia lineal - Base de un espacio
vectorial. Vectores
unitarios - Operaciones con
números imaginarios - Potencia. Potencia de
una potencia - Definición de
números complejos. Igualdad,
conjugado, suma, resta, división - Propiedades del
conjunto y del módulo (valor
absoluto) para la visión de números
complejos - Bibliografía
INTRODUCCIÓN
Las nociones de vectores están implícitamente
contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y
de las velocidades, conocidas hacía el fin del siglo
XVII.
Es en relación con la representación
geométrica de los números llamados imaginario, como
las operaciones
vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente
realizadas, sin que el concepto de
vector este aún claramente definido. Fue mucho más
tarde, y gracias al desarrollo de
la geometría
moderna y de la mecánica, cuando la noción de vector
y de operaciones vectoriales se concretó.
El alemán Grassman, en 1844, por métodos
geométricos introdujo formalmente las bases del cálculo
vectorial ( suma, producto
escalar y vectorial.
El inglés
Hamilton, por cálculos algebraicos, llegó a las
mismas conclusiones que Grassman; empleó por primera vez
los términos escalar y vectorial.
Hacia el final del siglo XIX, el empleo de los
vectores se generalizó a toda la física. Bajo la
influencia de los ingleses Hamilton Stokes, Maxwell y Heaviside,
y del americano Gibbs (quien utilizó la notación
del punto para el producto escalar y del x para el producto
vectorial), se amplió el cálculo vectorial,
introduciendo nociones más complejas, como los operadores
vectoriales: gradiente, divergencia y rotacional.
COMPONENTE DE UN
VECTOR
Es muy común que representemos un vector utilizando los
valores de sus
componentes.
Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que
se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de
coordenadas situado en el origen del vector.
El siguiente simulador dibuja automáticamente las
componentes del vector A. Puedes pulsar y arrastrar con el
ratón el extremo del vector.
QUé ES UN VECTOR
El vector es un concepto que proviene de la física, en
la que se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes
vectoriales. Mientras que la magnitud escalar se expresa con un
número (por ejemplo, la masa de un cuerpo, el volumen, la
capacidad de un depósito, la temperatura…), en la vectorial se necesita
además la dirección y el sentido. Por ejemplo, cuando
nos referimos a un movimiento, no
basta con indicar el desplazamiento (módulo), sino
también la dirección y el sentido del movimiento.
Con este concepto podemos describir en física la velocidad, la
aceleración, la fuerza…
Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos
están dados en un orden (segmento orientado). Se
representa como AB (con una flecha en la parte superior) siendo A
y B los extremos. Los puntos en que comienza y termina el vector
se llaman origen y extremo, respectivamente.
VECTORES OPUESTOS
Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de
aplicación, módulo y dirección pero sentido
contrario. Así el vector opuesto a 
es
.
VECTORES PARALELOS
Es aquel que en ningún momento de su
prolongación corta al otro vector paralelo a el.
VECTORES ORTOGONALES
Dos vectores son ortogonales si su
producto escalar es cero.
Si además de ortogonales los vectores son unitarios se
llaman ortonormales.
A veces nos piden construir una base ortonormal a partir de
otra base que no es ortonormal. Esto se puede hacer por el
método de
Gram-Schmidt.
Sea B = {b1,b2,b3} una base
que no es ortonormal. Los vectores:
c1 = b1
c2 = b2 –
c1.b2/c1.c1(c1)
c3 = b3 –
c1.b3/c1.c1(c1)
–
c2.b3/c2.c2(c2)
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