Derivada de Funciones (página 2)

Enviado por Eleazar José García

Partes: 1, 2

Luego, la pendiente exigida es:

1.2) Determine la pendiente de la recta
tangente a la curva en el punto

Solución:

Apliquemos la ecuación (A), con

Ahora, cuando entonces,

por consiguiente:

Por lo tanto, la pendiente buscada es:

Derivada de una Función

La derivada de una función f, es una
función denotada por tal que para
cualquier x del dominio de f
está dada por:

si este límite existe.

Si es un número
del dominio de f, entonces:

si este límite existe.

El proceso de calcular la
derivada de una función se denomina derivación o
diferenciación, es decir, la derivación o
diferenciación es el proceso mediante el cual se
obtiene a partir de f. Si
una función tiene derivada en todo su dominio, se dice que
es una función diferenciable.

Ejercicios resueltos 2.

2.1) Determine la derivada de aplicando la
ecuación (B).

Solución:

2.2) Determine la derivada de la función

Solución:

Apliquemos la ecuación (B),

2.3) Determine la derivada de la función

Solución.

Aplicando la ecuación (B), tenemos,

Otras notaciones para la derivada de una función f
son: y

Teorema 1.

Si una función f es diferenciable en un punto
entonces, f
es continua en

Una función f puede no ser diferenciable en
por alguna de las
siguientes razones:

1. La función es discontinua en
(Ver figura 2)

2. La función es continua en
pero la gráfica de
f tiene una recta tangente vertical en el punto donde
(Ver figura 3)

3. La función f es continua en
pero la gráfica de
f no tiene recta tangente en el punto donde
(Ver figura 4). La
continuidad no implica diferenciabilidad.

La figura 5 muestra la gráfica de una
función que no es diferenciable en los puntos donde
y La gráfica
está compuesta por tres curvas. En el punto
se han trazado las
siguientes rectas: T1 tangente a la curva de la
izquierda y T2 tangente a la curva central, las
cuales evidentemente tienen pendientes diferentes. Igualmente se
han trazado en el punto las rectas
tangentes T3 y T4 que
igualmente tienen diferentes pendientes. Esta experiencia nos
conduce a pensar en derivadas laterales, lo que
estudiaremos a continuación.

Derivadas
Laterales

i) Si f es una función definida en
entonces, la derivada
por la derecha de f en denotada
por está definida
por:

si el límite existe.

ii) Si f es una función definida en
entonces, la derivada
por la izquierda de f en denotada por
está definida
por:

si el límite existe.

Ejercicios resueltos 3.

3.1) Determine si la función f es
diferenciable en

Solución.

Puesto que f está definida por trozos, se calculan
las derivadas laterales en

Como entonces, f no es
diferenciable en

3.2) Decida si la función es diferenciable
en 2.

Solución.

Puesto que:

Ahora, siendo entonces, g no
es diferenciable en 2.

3.3) Determine si la función
es diferenciable en

Solución.

Ahora, cuando entonces,

luego,

Cuando entonces,

luego,

Puesto que, entonces, h
es diferenciable en

El proceso del cálculo de la derivada de
una función aplicando la fórmula (B) es muy largo y
laborioso, por lo tanto, a continuación se proporcionan
algunos teoremas que permiten determinar las derivadas con mayor
facilidad; con la finalidad de familiarizarnos con las
notaciones, la derivada se expresará con alguna de las tres
expresiones equivalentes ó
.

Teorema 2. Derivada de una función
constante.

Si donde c es una
constante, entonces:

Ejemplo.

Si entonces,

Teorema 3. Derivada de una función
potencial.

Si donde n es un
número racional, entonces:

Ejemplo.

Si entonces,

Teorema 4. Derivada del producto de una función
por una constante.

Si g es una función definida por donde f es
una función y c una constante, entonces:

Ejemplo.

Si entonces,

A partir del resultado obtenido en el ejemplo anterior,
podemos enunciar el siguiente teorema.

Teorema 5. Derivada del producto de una función
potencial por una constante.

Si donde
n es un número entero positivo y
c una constante, entonces:

Teorema 6. Derivada de una adición de
funciones.

Si son
funciones y si f es una función definida por:
y si
existen,
entonces:

Ejemplo.

Determine si

Teorema 7. Derivada de un producto de
funciones.

Si f y g son funciones y h una función
definida por y si
y existen,
entonces:

Ejemplo.

Sea determine

Apliquemos el teorema 7:

Teorema 8. Derivada de un cociente de
funciones.

Si f y g son funciones y h una función
definida por donde
y si y existen,
entonces:

Ejemplo.

Calcule

Debemos aplicar el teorema 8:

Para determinar la derivada de una función compuesta, se
aplica uno de los teoremas más importantes del Cálculo
llamado " Regla de la Cadena" .

Teorema 9. Derivada de una función compuesta
(Regla de la Cadena).

Si g es una función diferenciable en x y la
función h es diferenciable en entonces, la
función compuesta es
diferenciable en x, y su derivada es:

Ejemplo.

Sean y Determinar

La función está definida por

Para aplicar la regla de la cadena necesitamos calcular
y Como
entonces,
y así:
Además, como
luego,

Por lo tanto,

Calcular la derivada de numerosas funciones aplicando la
fórmula (B) es muy laborioso y complicado, por tal
razón, a continuación se suministra la siguiente
tabla:

Tabla de derivadas usuales.

Ejercicios resueltos 4.

4.1) Calcule la derivada de la función

Solución.

Debemos aplicar el teorema 8 y la regla de la cadena,
así:

4.2) Dada la función determine

Solución.

Apliquemos la regla de la cadena en cada sumando.

En efecto,

4.3) Derive la función

Solución.

Apliquemos la fórmula para derivar el logaritmo neperiano de
una función y resolvamos las derivadas indicadas.

Efectivamente,

4.4) Determine la derivada de la
función

Solución.

Apliquemos el teorema 7 y resolvamos las derivadas
señaladas, así,

4.5) Calcule la derivada de la
función

Solución.

Aplicando la fórmula que aparece en tabla de derivadas
usuales, tenemos que,

4.6) Dada la función
calcular

Solución.

En efecto,

Derivada de la función
inversa

Si la función es diferenciable
con respecto de x, entonces, es
diferenciable con respecto de y, y se verifica la
siguiente relación:

Ejercicios resueltos 5.

5.1) Determine la derivada de la
función aplicando la
relación (D).

Solución.

Si entonces,
por ende,
aplicando la relación (D), tenemos que,

5.2) Sea calcule
usando la
relación (D).

Solución.

Puesto que, entonces,
luego, si usamos la
relación (D), obtenemos,

5.3) Empleando la relación (D),
determine la derivada de

Solución.

Como, entonces,
en
consecuencia,

5.4) Valiéndonos de la relación
(D), calcule la derivada de

Solución.

Siendo entonces,
así que,

5.5) Dada la función
calcule
utilizando la
relación (D).

Solución.

Ya que, entonces,
luego,

Derivada
implícita

Existen funciones que no pueden expresarse explícitamente.
Por ejemplo, no se puede resolver la ecuación
para y en
términos de x. Pueden existir una o más
funciones tales que
cuando esto es
así, se dice que la función f está
definida implícitamente.

Ahora, la derivada de y con respecto a x puede
determinarse mediante la diferenciación
implícita.

Ejercicios resueltos 6.

6.1) Determinemos dada la
ecuación

Solución.

Para calcular la derivada pedida, diferenciemos ambos miembros
de la ecuación con respecto de x y despejemos
así:

6.2) Sea hallar

Solución.

Diferenciemos ambos miembros con respecto de x y
despejemos

6.3) Siendo, hallar

Solución.

Diferenciando ambos miembros con respecto de x y
despejando obtenemos,

6.4) Determine de la ecuación

Solución.

Debemos diferenciar ambos miembros con respecto de x
y luego despejemos

Supongamos que una partícula se mueve en un plano, de
manera tal que sus coordenadas de su
posición en cualquier tiempo t, están
dadas por las ecuaciones:
y

Para cada número t del dominio común de
f y g, la partícula se encuentra en el punto
y el conjunto de todos
estos puntos describe una curva plana C recorrida
por la partícula. Las ecuaciones y se llaman
ecuaciones paramétricas de C y la
variable t se llama parámetro.

Si eliminamos el parámetro de las ecuaciones
paramétricas, se obtiene una ecuación en x e
y, la cual es denominada ecuación cartesiana
de C.

A partir de una ecuación cartesiana podemos obtener una
ecuación paramétrica, y viceversa.

Ejemplos.

1) Para determinar unas ecuaciones paramétricas
de se procede de la
manera siguiente: puesto que, la variable y está
expresada en función de x, hacemos
e
por lo tanto, las
ecuaciones paramétricas de son:

2) Obtenga la ecuación cartesiana de la curva
definida por las ecuaciones paramétricas

Para eliminar el parámetro t, se elevan al cuadrado
los dos miembros de cada ecuación paramétrica y se
suman, así:

A continuación se darán tres definiciones de
términos relacionados con las curvas planas, las cuales
serán aplicadas posteriormente.

Curva lisa.

Una curva plana C definida por las ecuaciones
paramétricas

se dice que es lisa o
suave en el intervalo cerrado si
y son continuas en

y además, y
no son cero
simultáneamente en cada

Ejemplo.

Sea C la curva definida por las ecuaciones
paramétricas

Como y
son continuas
para todo y además, no
son cero simultáneamente en cualquier t, entonces
la curva C es lisa.

Si un intervalo I puede partirse en un número
finito de subintervalos en los que la curva C es suave,
entonces se dice que C es lisa a trozosen
I.

Curva
cerrada.

Una curva plana C definida por las ecuaciones
paramétricas

se dice que es cerrada si el punto
inicial coincide con el
punto final

Fig.
3.5

La figura 3.5 muestra una curva cerrada y lisa donde los puntos
A y B coinciden.

Curva simple.

Una curva plana C definida por las ecuaciones
paramétricas

se dice que es simple entre los
puntos y
si
es diferente del
punto para todo
y
diferentes del
intervalo abierto

" Una curva simple no se cruza a sí misma"
.

En la figura 3.5 se muestra una curva cerrada simple
lisa.

Derivadas
paramétricas

Supongamos que una curva lisa C está definida
paramétricamente por y
y que éste
par de ecuaciones define al menos una función
diferenciable h para la cual La derivada de
cada función h, denotada por está relacionada
con y
mediante la
siguiente ecuación: Si
podemos dividir miembro
a miembro entre para
obtener:

Para hallar la derivada a la
igualdad anterior la
derivamos con respecto a x:

Para hallar la derivada derivamos
con respecto a
x, y se procede de manera similar para determinar
etc.

Puesto que, las derivadas paramétricas que hemos
considerando son funciones dependientes del parámetro "
t" , las siguientes fórmulas son alternativas para
hallar las derivadas paramétricas:

Primera derivada paramétrica:

Segunda derivada paramétrica:

Tercera derivada paramétrica:

Cuarta derivada paramétrica:

n-ésima derivada
paramétrica:

Ejercicio resuelto
7.

Dadas las ecuaciones paramétricas y
determine
y

Solución.

Como   y
entonces
  y

Usando la fórmula alternativa tenemos que:

3.17 Derivada de orden
superior.

Si la función f es diferenciable en todo su
dominio, entonces su derivada se le llama
primera derivada de f o primera función
derivada. Si la función es también
diferenciable, entonces la derivada se
denomina segunda derivada de f o segunda
función derivada… Si continuamos derivando
n veces, entonces la derivada es llamada
n– ésima derivada de f. La función
f puede representarse como