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Derivada de Funciones (página 2)




Enviado por Eleazar José García



Partes: 1, 2

           
Luego, la pendiente exigida es:

1.2)   Determine la pendiente de la recta
tangente a la curva  en el punto

Solución:

           
Apliquemos la ecuación (A), con

           
Ahora, cuando  entonces,

 

por consiguiente:

           

Por lo tanto, la pendiente buscada es:

Derivada de una Función

           
La derivada de una función f, es una
función denotada por tal que para
cualquier x del dominio de f 
está dada por:

si este límite existe.

           
Si  es un número
del dominio de f, entonces:

si este límite existe.

           
El proceso de calcular la
derivada de una función se denomina derivación o
diferenciación, es decir, la derivación o
diferenciación es el proceso mediante el cual se
obtiene a partir de f. Si
una función tiene derivada en todo su dominio, se dice que
es una función diferenciable.

Ejercicios resueltos 2.

2.1)  Determine la derivada de aplicando la
ecuación (B).

Solución:

2.2)  Determine la derivada de la función

Solución:

           
Apliquemos la ecuación (B),

2.3)  Determine la derivada de la función

Solución.

           
Aplicando la ecuación (B), tenemos,

Otras notaciones para la derivada de una función f
son:   y 

Teorema 1.

           
Si una función f es diferenciable en un punto
entonces,  f
es continua en

           
Una función f puede no ser diferenciable en
 por alguna de las
siguientes razones:

1.  La función es discontinua en
 (Ver figura 2)

2.  La función es continua en
pero la gráfica de
f tiene una recta tangente vertical en el punto donde
 (Ver figura 3)

3.  La función f es continua en
pero la gráfica de
f no tiene recta tangente en el punto donde
(Ver figura 4). La
continuidad no implica diferenciabilidad.

  

          
                          

La figura 5 muestra la gráfica de una
función que no es diferenciable en los puntos donde
 y  La gráfica
está compuesta por tres curvas. En el punto
 se han trazado las
siguientes rectas: T1 tangente a la curva de la
izquierda y T2 tangente a la curva central, las
cuales evidentemente tienen pendientes diferentes. Igualmente se
han trazado en el punto las rectas
tangentes T3 y T4 que
igualmente tienen diferentes pendientes. Esta experiencia nos
conduce a pensar en derivadas laterales, lo que
estudiaremos a continuación.

 Derivadas
Laterales

           
i)  Si f es una función definida en
entonces, la derivada
por la derecha
de f en denotada
por  está definida
por:

si el límite existe.

           
ii)  Si f es una función definida en
entonces, la derivada
por la izquierda
de f en denotada por
 está definida
por:

si el límite existe.

Ejercicios resueltos 3.

3.1)  Determine si la función f es
diferenciable en

           

Solución.

           
Puesto que f está definida por trozos, se calculan
las derivadas laterales en

           

Como entonces, f no es
diferenciable en

3.2)  Decida si la función  es diferenciable
en  2.

Solución.

           
Puesto que:

Ahora, siendo entonces, g no
es diferenciable en 2.

3.3)   Determine si la función
 es diferenciable en

Solución.

Ahora, cuando  entonces,

 

luego,

 Cuando  entonces,

 

luego,

Puesto que,  entonces, h
es diferenciable en

           
El proceso del cálculo de la derivada de
una función aplicando la fórmula (B) es muy largo y
laborioso, por lo tanto, a continuación se proporcionan
algunos teoremas que permiten determinar las derivadas con mayor
facilidad; con la finalidad de familiarizarnos con las
notaciones, la derivada se expresará con alguna de las tres
expresiones equivalentes  ó
.

Teorema 2. Derivada de una función
constante.

           
Si donde c es una
constante, entonces:

Ejemplo.

           
Si entonces,

Teorema 3. Derivada de una función
potencial.

           
Si donde n es un
número racional, entonces:

Ejemplo.

           
Si entonces,

Teorema 4. Derivada del producto de una función
por una constante.

           
Si g es una función definida por  donde f es
una función y c una constante, entonces:

Ejemplo.

           
Si entonces,

A partir del resultado obtenido en el ejemplo anterior,
podemos enunciar el siguiente teorema.

Teorema 5. Derivada del producto de una función
potencial por una constante.

           
Si donde
 n es un número entero positivo y
c una constante, entonces:

Teorema 6.  Derivada de una adición de
funciones.

           
Si  son
funciones y si f es una función definida por:
 y si
 existen,
entonces:

Ejemplo.

           
Determine  si

           

Teorema 7. Derivada de un producto de
funciones.

           
Si f y g son funciones y h una función
definida por  y si
 y  existen,
entonces:

Ejemplo.

           
Sea  determine

           
Apliquemos el teorema 7:

Teorema 8. Derivada de un cociente de
funciones.

           
Si f y g son funciones y h una función
definida por  donde
y si  y  existen,
entonces:

Ejemplo.

           
Calcule

           
Debemos aplicar el teorema 8:

           
Para determinar la derivada de una función compuesta, se
aplica uno de los teoremas más importantes del Cálculo
llamado  " Regla de la Cadena" .

Teorema 9. Derivada de una función compuesta
(Regla de la Cadena).

           
Si g es una función diferenciable en x y la
función h es diferenciable en  entonces, la
función compuesta  es
diferenciable en x, y su derivada es:

Ejemplo.

           
Sean  y  Determinar

           
La función está definida por

           
Para aplicar la regla de la cadena necesitamos calcular
 y  Como
 entonces,
 y así:
 Además, como
 luego,

           
Por lo tanto,

           
Calcular la derivada de numerosas funciones aplicando la
fórmula (B) es muy laborioso y complicado, por tal
razón, a continuación se suministra la siguiente
tabla:

 Tabla de derivadas usuales.

 
 

 

 

Ejercicios resueltos 4.

4.1)  Calcule la derivada de la función

Solución.

           
Debemos aplicar el teorema 8 y la regla de la cadena,
así:

4.2)   Dada la función  determine

Solución.

           
Apliquemos la regla de la cadena en cada sumando.

           
En efecto,

4.3)   Derive la función

Solución.

           
Apliquemos la fórmula para derivar el logaritmo neperiano de
una función y resolvamos las derivadas indicadas.

           
Efectivamente,

4.4)   Determine la derivada de la
función

Solución.

           
Apliquemos el teorema 7 y resolvamos las derivadas
señaladas, así,

    

4.5)   Calcule la derivada de la
función

Solución.

           
Aplicando la fórmula que aparece en tabla de derivadas
usuales, tenemos que,

4.6)   Dada la función
calcular

Solución.

           
En efecto,

Derivada de la función
inversa

           
Si la función es diferenciable
con respecto de x, entonces, es
diferenciable con respecto de y, y se verifica la
siguiente relación:

           
                                  

Ejercicios resueltos 5.

5.1)   Determine la derivada de la
función aplicando la
relación (D).

Solución.

           
Si  entonces,
 por ende,
aplicando la relación (D), tenemos que,

 

5.2)   Sea  calcule
 usando la
relación (D).

Solución.

           
Puesto que,  entonces,
luego, si usamos la
relación (D), obtenemos,

5.3)   Empleando la relación (D),
determine la derivada de

Solución.

           
Como,  entonces,
 en
consecuencia,

5.4)   Valiéndonos de la relación
(D), calcule la derivada de

Solución.

           
Siendo entonces,
así que,

5.5)   Dada la función
calcule
 utilizando la
relación (D).

Solución.

           
Ya que,  entonces,
luego,

 Derivada
implícita

           
Existen funciones que no pueden expresarse explícitamente.
Por ejemplo, no se puede resolver la ecuación
 para y en
términos de x. Pueden existir una o más
funciones  tales que
 cuando esto es
así, se dice que la función f  está
definida implícitamente.

           
Ahora, la derivada de y con respecto a x puede
determinarse mediante la diferenciación
implícita.

Ejercicios resueltos 6.

6.1)  Determinemos dada  la
ecuación

Solución.

           
Para calcular la derivada pedida, diferenciemos ambos miembros
de la ecuación con respecto de x y despejemos
así:

           
 

6.2)   Sea  hallar

Solución.

           
Diferenciemos ambos miembros con respecto de x y
despejemos

6.3)   Siendo, hallar

Solución.

           
Diferenciando ambos miembros con respecto de x y
despejando  obtenemos,

6.4)   Determine de la ecuación

Solución.

Debemos diferenciar ambos miembros con respecto de x
y luego despejemos 

           
Supongamos que una partícula se mueve en un plano, de
manera tal que sus coordenadas  de su
posición en cualquier tiempo t, están
dadas por las ecuaciones:       
y

           
Para cada número t del dominio común de
f y g, la partícula se encuentra en el punto
y el conjunto de todos
estos puntos describe una curva plana C recorrida
por la partícula. Las ecuaciones y  se llaman
ecuaciones paramétricas de C y la
variable t se llama parámetro.

           
Si eliminamos el parámetro de las ecuaciones
paramétricas, se obtiene una ecuación en x e
y, la cual es denominada ecuación cartesiana
de C.

           
A partir de una ecuación cartesiana podemos obtener una
ecuación paramétrica, y viceversa.

Ejemplos.

           
1)  Para determinar unas ecuaciones paramétricas
de   se procede de la
manera siguiente: puesto que, la variable y está
expresada en función de x, hacemos
 e
 por lo tanto, las
ecuaciones paramétricas de  son:

     
y     

           
2)  Obtenga la ecuación cartesiana de la curva
definida por las ecuaciones paramétricas

    
y    

           
Para eliminar el parámetro t, se elevan al cuadrado
los dos miembros de cada ecuación paramétrica y se
suman, así:

           

           
A continuación se darán tres definiciones de
términos relacionados con las curvas planas, las cuales
serán aplicadas posteriormente.

Curva lisa.

           
Una curva plana C definida por las ecuaciones
paramétricas

  y 

se dice que es lisa o
suave en el intervalo cerrado  si
y son continuas en

y además,  y
no son cero
simultáneamente en cada

Ejemplo.

           
Sea C la curva definida por las ecuaciones
paramétricas

   
y   

Como   y  
 son continuas
para todo  y además, no
son cero simultáneamente en cualquier t, entonces
la curva C es lisa.

           
Si un intervalo I puede partirse en un número
finito de subintervalos en los que la curva C es suave,
entonces se dice que C es lisa a trozosen
I.

Curva
cerrada.

           
Una curva plana C definida por las ecuaciones
paramétricas

  y 

se dice que es cerrada si el punto
inicial  coincide con el
punto final

Fig.
3.5

           
La figura 3.5 muestra una curva cerrada y lisa donde los puntos
A y B coinciden.

Curva simple.

           
Una curva plana C definida por las ecuaciones
paramétricas

  y 

se dice que es simple entre los
puntos  y
 si
 es diferente del
punto  para todo
 y
 diferentes del
intervalo abierto

           
" Una curva simple no se cruza a sí misma"
.

           
En la figura 3.5 se muestra una curva cerrada simple
lisa.

Derivadas
paramétricas

           
Supongamos que una curva lisa C está definida
paramétricamente por  y 
 y que éste
par de ecuaciones define al menos una función
diferenciable h para la cual  La derivada de
cada función h, denotada por está relacionada
con  y
 mediante la
siguiente ecuación:  Si
podemos dividir miembro
a miembro entre  para
obtener:

                                                 

           
Para hallar la derivada  a la
igualdad anterior la
derivamos con respecto a x:

           
Para hallar la derivada  derivamos
 con respecto a
x, y se procede de manera similar para determinar 
etc.

           
Puesto que, las derivadas paramétricas que hemos
considerando son funciones dependientes del parámetro "
t" , las siguientes fórmulas son alternativas para
hallar las derivadas paramétricas:

Primera derivada paramétrica:

Segunda derivada paramétrica:

Tercera derivada paramétrica:

Cuarta derivada paramétrica:

                   

n-ésima derivada
paramétrica:

Ejercicio resuelto
7.

           
Dadas las ecuaciones paramétricas   y  
 determine
 y

Solución.

           
Como   y 
 entonces
  y

           
Usando la fórmula alternativa tenemos que:

           

3.17  Derivada de orden
superior.

           
Si la función f es diferenciable en todo su
dominio, entonces su derivada  se  le llama
primera derivada de f o primera función
derivada
. Si la función  es también
diferenciable, entonces la derivada se
denomina segunda derivada de f o segunda
función derivada
… Si continuamos derivando
n veces, entonces la derivada  es llamada
n– ésima derivada de f. La función
f puede representarse como  

           
A continuación conoceremos las distintas notaciones para
las derivadas de orden superior:

Primera derivada:

Segunda derivada:

Tercera derivada:

Cuarta derivada:

            

n-ésima derivada:

           
Para familiarizarnos con la derivación de orden superior,
veamos con detenimiento el desarrollo de los siguientes
ejemplos.

 Ejercicios resueltos
8.

8.1)   Las derivadas  y
 de
 son:

 

8.2)   Las derivadas  y
 de
 son:

Bibliografía

[1]  Rabuffetti Hebe T. Introducción al
Análisis
Matemático
, décima edición.

[2]  Apostol Tom M. Calculus, segunda
edición.

 

 

 

 

Autor:

Eleazar José García

Profesión: Licenciado en
Matemática

Profesor de Matemática de 4º y
5º Año dependiente del Ministerio del Poder Popular para la
Educación

Profesor (contratado) de Cálculo 1 y 2 de
la UNELLEZ-Núcleo San Carlos

País: Venezuela

Partes: 1, 2
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