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Derivada de Funciones




Enviado por Eleazar José García



Partes: 1, 2

    1. Resumen
    2. Pendiente de una Recta
      Tangente
    3. Derivada de
      una Función
    4. Derivada de la
      función inversa
    5. Derivada
      implícita
    6. Derivadas
      paramétricas
    7. Bibliografía 

    Resumen

     Una de las ideas básicas en Cálculo
    Matemático es el concepto de
    Derivada. Para introducir dicho concepto se recurre generalmente
    a dos problemas: uno
    Físico, para calcular la velocidad
    instantánea de un móvil, y otro
    Geométrico, para determinar la pendiente de la
    recta tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. Los
    dos problemas conducen al mismo cálculo: el límite
    de un cociente de incrementos cuando el denominador tiende a
    cero. Puesto que, muchos problemas importantes dependen de la
    determinación de la recta tangente a la
    gráfica de una función en un punto
    específico, a continuación se introduce el concepto
    analítico de la pendiente de recta tangente a una
    función en un punto y luego el concepto de derivada de una
    función, derivadas
    laterales, teoremas sobre derivadas, derivación
    implícita, derivadas de orden superior, etc.

    Pendiente de una Recta
    Tangente

               
    Sea f una función que es continua en
    Para definir la pendiente
    de la recta tangente a la gráfica de f en el punto
     consideremos un
    intervalo abierto I que contiene a
     Sea
     otro punto sobre la
    gráfica de f tal que  esté
    contenido en I. La recta que pase por los puntos
    P y Q se denomina recta secante.

               
    Observe que es el cambio del
    valor x
    de  a llamado incremento de
    x,
    y es el cambio del valor de
    de a llamado incremento de
    y.

               
    La pendiente de la recta que pasa por los puntos P y
    Q de la curva de la figura 3.1, está determinada
    por:

               
    Como  la pendiente puede
    escribirse así:

               
    Consideremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el
    punto Q se mueve a lo largo de la curva hacia P.
    Esto es igual a decir que  tiende a
    cero. Si esto sucede la recta secante gira sobre el punto
    P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en el
    punto P, por lo tanto, la pendiente de la recta tangente
    en dicho punto puede ser calculada mediante la siguiente
    ecuación:

    " La notación nos
    indica que la pendiente que calculemos con la ecuación

    (A) es la de la recta tangente a la gráfica de la
    función  en el punto

    " .

    Ejercicios resueltos 1.

    1.1) Calcule la pendiente de la recta tangente a la
    parábola  en el punto

    Solución:

               
    Es evidente que por lo tanto, aplicando
    la ecuación (A) tenemos:

    Partes: 1, 2

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