Enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática utilizando un simulador geométrico desde el enfoque de la teoría de los conceptos nucleares (página 3)

• Mediante una tabla de valores: es
  más trabajosa pero se logra la representación
  haciendo los cálculos de los puntos, ejemplo:

• Mediante un enunciado: es menos precisa pero muy
  práctico, ejemplo: el recorrido de una persona de su
  casa a su trabajo en
  relación al tiempo.

• Mediante su representación gráfica: es
  la más usada porqué permite apreciar el comportamiento global de una función,
  por ejemplo las que tenemos seguidamente.

1. Para comprender el comportamiento de la
   función cuadrática es necesario analizar cada
   una de sus características o elementos importantes
   tales como: coeficientes de los términos
   cuadráticos, lineal e independiente, así como
   los cortes con los ejes, vértice y puntos
   máximos y mínimos.

   1. f (x) =
      ax2+bx+c.

      Al término cuadrático
      (ax2) se le asocia un coeficiente "a" donde
      este cuando es mayor que uno (a > 1), podemos observar
      que a medida que este crece el comportamiento de la
      función es comprimirse positivamente hacia el eje
      de las ordenadas "y".

      f(x) = ax2 si
      a>1

      

      Si ahora al término cuadrático se
      le asocia un coeficiente "a" donde este es mayor que cero
      pero menor que uno (0 < a < 1), podemos observar
      que a medida que este se hace más pequeño
      el comportamiento de la función se expande hacia
      el eje de las abscisas "x".

      f (x) = ax2 si 0 < a <
      1

      

      Si al término cuadrático se le
      asocia un coeficiente "a" donde este es menor que cero (a
      < 0), podemos observar que a medida que este se hace
      más pequeño el comportamiento de la
      función se comprime negativamente hacia el eje de
      las ordenadas negativo "- y" (Oaxaca, J. y Valderrama, M.
      2000).

      f(x) = ax2 si a <
      0

      

      Hasta ahora hemos observado como es el
      comportamiento de la función cuadrática con
      un término cuadrático, pero que ocurre si
      además posee un término lineal, ahora su
      forma será:

      f(x) = ax2 + bx, si el
      coeficiente del término cuadrático a > 0
      la parábola es cóncava hacia arriba y posee
      un mínimo, pero si a < 0, entonces la
      parábola es cóncava hacia abajo y posee un
      máximo, pero observemos como se comporta la
      función al agregar el término
      lineal.

   2. Análisis del parámetro "a" de la
      función cuadrática

      f(x) =
      ax2+bx+c.

      Cuando b > 0

      

      Cuando b < 0

      

      De las gráficas se observa que cuando b
      > 0, el desplazamiento de las parábolas es a la
      izquierda, y cuando el valor
      de b < 0 el desplazamiento es a la derecha, en ambas
      situaciones a medida que el valor absoluto de "b" aumenta
      la ordenada del vértice de la parábola se
      hace más negativa. En los dos casos las
      parábolas coinciden en el origen.

   3. Análisis del parámetro "b" de la
      función cuadrática

      f(x) = ax2 + bx +
      c.

      Ahora se analizara el comportamiento de la
      función cuadrática cuando el término
      independiente se ve modificado, manteniendo constantes
      los
      valores de
      "a" y
      "b"

      

      En la gráfica se observa que el
      desplazamiento de las parábolas es vertical, es
      decir la ordenada del vértice se hace más
      positiva si C > 0 y es más negativa si
      C < 0; conservando las características
      del efecto que proporciona el término
      cuadrático y el término lineal.

   4. Análisis del parámetro "c" de la
      función cuadrática

      Existe un único punto de corte con el eje
      "y", que es el (0, c)

      Los cortes con el eje "x" se obtienen
      resolviendo la ecuación ax2 + bx + c
      = 0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en
      uno o en ninguno, depende del discriminante
      (b2 – 4ac).

      Intersección con el eje "y": Como
      todos los puntos de este eje tienen la abscisa x=0, el
      punto de corte de la parábola con el eje "y"
      tendrá de coordenadas (0, c).

      Intersección con el eje "x": Como
      todos los puntos del eje "x" tienen la ordenada y= 0,
      para ver estos puntos de corte se resuelve la
      ecuación de segundo grado ax2 + bx + c
      = 0.

   5. Los cortes con ejes cartesianos

      Dependiendo del valor del discriminante
      (D) de la ecuación, se pueden presentar tres
      situaciones distintas:

      Si D > 0, donde D =
      b2 – 4ac, entonces la ecuación
      tiene dos soluciones reales y distintas y la
      parábola cortará al eje "x" en dos
      puntos.

      Si D = 0, donde D =
      b2 – 4ac, la ecuación tiene una
      solución real y, por tanto, la parábola
      cortará al eje "x" en un punto (que
      será el vértice).

      Si D < 0, donde D =
      b2 – 4ac, la ecuación no tiene
      soluciones reales y no corta al eje x, Por lo que la
      parábola puede abrir hacia arriba o hacia abajo,
      pero sobre el eje "x" o por abajo del eje "x",
      según sea el caso.

   6. Discriminante de una función
      cuadrática.

      También llamados "raíces",
      representa los valores de "x" cuya imagen
      tiene valor cero, (x, 0). Al ser cuadrática
      sólo se obtiene, como máximo dos valores,
      denominados x1 y
      x2.

      Para calcular los ceros de la función
      cuadrática Se aplica la fórmula general ya
      conocida. Como una de las
      características de la parábola es que esta
      es simétrica con respecto al eje focal, entonces
      la abscisa del vértice corresponderá al
      punto medio entre ambos valores de la
      abscisa, esto es:

      Xm = -b/2a, Ym = f
      (-b/2a), lo cual nos da el vértice de la
      parábola, que es:

      V (Xm, Ym) = (-b/2a, f
      (-b/2a)).

      Cuando la parábola abre hacia arriba, al
      vértice se le considera el punto mínimo,
      pero cuando abre hacia abajo, es el punto
      máximo.

   7. Ceros de la función cuadrática,
      vértice, máximos y
      mínimos
   8. Gráfica de una función
      cuadrática: creciente y decreciente.
2. Características

Para graficar una función cuadrática se
debe tener por lo menos tres puntos, "los cortes con los ejes" y
el vértice.

Parábola f(x) =
x2 + 5x + 6

La ordenada al origen es – 6, por lo tanto sabemos que
el punto (0, 6) pertenece a la función.

Hallamos el vértice de la
parábola:

Vx = -b/2a -5/2(1) = -5/2

Vy = f(-b/2a) (-5/2)2 + 5(-5/2) + 6 =
-49/4

V = (-2.5, – 12.5)

Con estos tres puntos podemos trazar la
parábola:

La gráfica decrece desde y la
gráfica crece desde x = -2.5 hasta +

1. 1. En este capitulo se pretende esquematizar y
      describir todo el proceso metodológico a emplear
      durante la
      investigación, detallando cada una de las
      etapas o fase propuestas para llevar a cabo nuestra
      investigación.

   2. Introducción

      

      Figura 2. Diseño a implementar en la
      investigación.

   3. Diseño general de la
      investigación.
      1. Fase inicial
   4. Metodología de la
      investigación
2. DISEÑO
   DE LA INVESTIGACIÓN

Durante esta fase de la investigación se pretende
aplicar dos pruebas de
evaluación (ver Anexo) y la construcción de la Red Básica
Conceptual, las cuales son las siguientes:

1. Prueba inicial: esta consistirá en un
   test
   diagnóstico sobre los conceptos
   más relevantes para comprender el tema de la
   función cuadrática.
   1. Índice de coherencia
   2. Índice de similaridad con la Red
      Básica Conceptual
   3. Índice de complejidad
2. Redes iníciales: consistirá en
   la construcción de redes pathfinder del
   concepto de
   la función cuadrática, utilizando el programa
   MicroGoluca y una lista de términos previamente
   seleccionados. Para las redes se evaluaran tres
   índices:
3. Red Básica Conceptual: será
   nuestra red de la ciencia
   la cual se construirá utilizando los criterios aplicados
   en las investigaciones
   de Violeta H. (2007) y Arias J. (2008).

1. Esta consistirá en utilizar una unidad
   didáctica adaptada a la teoría de los conceptos nucleares,
   para la enseñanza del concepto de la
   función cuadrática empleando un simulador
   geométrico, dicha unidad didáctica se aplicara a los
   estudiantes de III de magisterio de la clase de
   informática II del segundo
   cuatrimestre del presente año.

2. Fase experimental
3. Fase final

Al igual que la fase inicial, se aplicara las siguientes
pruebas de evaluación de aprendizaje (ver
Anexo).

1. Test final: consistirá en el mismo test
   aplicado al inicio de la investigación con el objetivo de
   observar la mejoría, si existe, del rendimiento de los
   estudiantes después de la enseñanza.
2. Redes finales: también se
   construirán las redes asociativas pathfinder de cada
   estudiante después de la enseñanza del concepto
   de la función cuadrática con la unidad
   didáctica y el simulador geométrico para
   después contrastar los resultados con los obtenidos en
   el test final.

Figura 3. Esquema general del
proceso metodológico de la
investigación

• REALIZACIÓN
  PRÁCTICA

1. En este apartado se pretende describir
   detalladamente lo realizado durante la investigación,
   así como la muestra
   seleccionada, sus características y criterios de
   selección, además, los
   instrumentos e indicadores que se utilizaron en el desarrollo
   de la misma.

2. Introducción

   Esta etapa se desarrolló con el
   propósito de determinar los conocimientos previos que
   los estudiantes tenían sobre la función
   cuadrática y a al ves, encontrar algunos conceptos
   nucleares en su estructura
   cognitiva sobre el tema (ver anexo). Para lograrlo ese
   cometido, se decidió obtener esa información con dos test diferentes los
   cuales son:

3. Etapa diagnóstico

   El test estaba constituido por 19 preguntas sobre
   los diferentes conceptos fundamentales para el
   aprendizaje de la función cuadrática como
   ser: pendiente, variable, constante, ecuación general
   cuadrática, parábola, curva, gráfica,
   corte en los ejes, plano cartesiano, punto, vértice,
   tabla de valores y ejemplos prácticos como el
   lanzamiento de proyectiles.

   Para determinar los conceptos mínimos que
   debe un estudiante tener para saber identificar, relacionar,
   construir y aplicar la función cuadrática, se
   realizó una revisión bibliográfica tanto
   en los textos que se utilizan en la enseñanza
   secundaria en la comunidad
   autónoma de Extremadura, España
   como en otras investigaciones realizadas del tema. Obteniendo
   así una lista de conceptos mínimos de
   referencia y los cuales también nos sirvieron para
   construir nuestra red básica conceptual.

   Su estructura era cerrada donde los alumnos, de cada
   pregunta, seleccionaban de las opciones la más
   correcta, aunque en algunos casos podían seleccionar
   más de una opción según la pregunta, al
   principio se pensó en un test con preguntas abiertas,
   sin embargo considerando que la mayoría de los
   estudiantes de la muestra seleccionada pertenecían a
   la carrera de magisterio en la especialidad de educación
   física y que dentro de esta el concepto de la
   función cuadrática no esta dentro del
   programa.

   Por esa razón y par evitar que surgiera muy
   poca información o información incompleta, el
   test se estructuro con preguntas cerradas, para facilitarles
   a los estudiantes las opciones de las respuestas y así
   darle pista de la temática, aun así, se
   presento que algunos estudiantes no contestaron algunas
   preguntas del test (ver anexo).

   La recogida de los datos se
   realizó utilizando la plataforma del campo virtual de
   la Universidad de Extremadura (moodle), los
   estudiantes bajan el test usando su login (código) de la clase de
   informática II y luego lo contestaban inmediatamente
   para luego subirlo a la plataforma de la Universidad. Esta
   herramienta nos facilito grandemente para llevar a cabo la
   recogida de la mayoría de los datos de la
   investigación.

4. Test inicial

   Se construyeron redes pathfinder iníciales de
   los estudiantes, utilizando el programa de computo
   MicroGoluca, el cual es un software
   desarrollado por D. Vítor Godinho en su trabajo de
   investigación sobre software y su aplicación en
   las redes conceptuales en el 2007 y dirigido por los Dres.
   Luengo y Casas.

   El programa MicroGoluca nos permite construir las
   redes pathfinder y obtener las matriz de
   peso de cada sujeto, las cuales íbamos a utilizar
   después para analizar con los indicadores de
   similaridad y coherencia.

   Para la construcción de las redes, los
   estudiantes iban determinando las relaciones entre pares de
   conceptos, de una lista de términos previamente
   seleccionados y que forman parte de lo que llamamos Red
   Básica Conceptual (RBC) (tabla 1), este par de
   conceptos era lanzado arbitrariamente por el programa, y los
   estudiantes con el cursor determinaban la magnitud de la
   relaciones de los conceptos dados en ese momento.

   Figura 4. Pantalla inicial de la
   recogida de datos del programa MicroGoluca

   

   Para eso se tuvo que explicar muy bien a los
   estudiantes sobre lo que se pretendía realizar con
   este programa, ya que como se observa en la lista de los
   términos seleccionados todos están
   relacionados, más sin embargo los estudiantes
   tenían que determinan quienes tenían más
   relación que otros.

   Al principio se dieron algunas dificultades por el
   desconocimiento del funcionamiento del programa por parte de
   los estudiantes y por otras surgidas por el aula de nuevas
   tecnologías, pero se resolvieron inmediatamente
   haciéndoles a los estudiantes una pequeña
   demostración de la misma.

   El propósito de construir estas redes
   pathfinder, era de constatar la estructura cognitiva que
   tienen los estudiantes inicialmente sobre el concepto de la
   función cuadrática y de esa manera
   valiéndonos de la teoría de los Conceptos
   Nucleares, identificar aquellos conceptos nucleares en la red
   de los alumnos y que nos permitiera desarrollar nuestra
   unidad didáctica y de esa manera, enseñanza el
   tema con el simulador reforzando estos conceptos nucleares
   que sirven de medios
   inclusores a la estructura cognitiva del alumnos.

   De igual manera la aplicación y recogida de
   los datos de las redes iníciales de los alumnos, se
   realizó utilizando la plataforma del campo virtual de
   la Universidad de Extremadura (moodle).

   Aunque el programa MicroGoluca fue instalado
   previamente en cada uno de los ordenadores de los
   estudiantes, así como la lista de términos y
   una guía sobre el uso del programa.

   Después que se construyeron las redes
   pathfinder los estudiantes subieron el archivo
   producido por el programa MicroGoluca y que contenía
   la información para la construcción de las
   redes y matrices
   de análisis.

   Figura 5. Pantalla principal
   del programa MicroGoluca con la lista de
   términos

   

5. Redes Pathfinder iníciales

   Para comprender mejor nuestra RBC, describiremos su
   concepto y la metodología y criterios que se aplica
   para construir la misma.

   1. Es nuestra red de la ciencia sobre el concepto de la
      función cuadrática y representa
      gráficamente las relaciones de los conceptos
      elementales de la temática. También podemos
      decir que es la representación esquematizada de la
      ciencia sobre este concepto a través de las redes
      asociativas pathfinder.

   2. Definición

      Para construir la red básica conceptual o
      red de la ciencia, se siguió el proceso utilizado
      por Hidalgo V. (2007) en su investigación sobre
      las redes pathfinder y Arias J. (2008) en su tesis
      doctoral sobre la metodología de
      evaluación de los cursos virtuales:

      Figura 6. Proceso de
      construcción de la Red Básica Conceptual
      (RBC) o Red de la Ciencia

      

   3. Construcción de la Red Básica
      Conceptual

      Se realizó una revisión
      bibliográfica de los libros
      de texto
      que se utilizan en la enseñanza media de la
      función cuadrática en la Comunidad
      Autónoma de Extremadura, España, obteniendo
      así una lista preliminar de conceptos, que se dan
      a continuación:

      Tabla 1.

      Términos presentes
      el la enseñanza del concepto de la función
      cuadrática en los textos de educación media de Extremadura,
      España

      Conceptos Matemáticos					Conceptos Cotidianos
      Curva	Punto	Vértice	Variable	Simetría	Un paragua
      Gráfica	Continuidad	Volumen	Constante	Discontinuidad	Salto de trampolín
      Parábola	Área	Término lineal	Crecimiento	Discriminante	Faros de los coches
      Función	Dominio	Término cuadrático	Término constante	Decrecimiento	Antenas parabólicas
      Pendiente	Rango	Eje de simetría	Punto mínimo	Tabla de valores	Chorro de agua
      Ecuación general cuadrática	Plano cartesiano	Corte en los ejes	Punto máximo	Ejes del plano cartesiano	Lanzamiento de un balón

   4. Revisión de literatura
   5. Selección de conceptos más
      relevantes
6. Red Básica Conceptual (RBC)

Se seleccionaron los conceptos más relevantes
(ver tabla 2 y gráfica 1) tomando como criterio de
selección los que más aparecían en la
literatura y que
se utilizaban en los problemas
resueltos y propuestos. Es decir su frecuencia de
aparición en el texto.

Obteniendo así los siguientes
conceptos:

• Curva
• Gráfica
• Parábola
• Función
• Punto
• Eje de simetría
• Ecuación general cuadrática
• Vértice
• Corte en los ejes
• Tabla de valores
• Ejes del plano cartesiano
• Término cuadrático

Tabla 2. Términos relacionados
con el aprendizaje y enseñanza del concepto de la
función cuadrática

Como se puede ver en la tabla de arriba, los conceptos
que tienen mayor frecuencia en el tema de la función
cuadrática, en los textos de 4to de la ESO, y de I de
Bachillerato de dos editoriales reconocidas en España, son
los que aparecen en el centro del cuadro y dentro de las casillas
de color. Es
importante señalar que el concepto de "parábola" es
el término que más menciona los textos para
explicar el concepto de función cuadrática, el cual
nos da una idea intuitiva sobre algunos conceptos nucleares que
podría existir en esta temática.

Gráfico 1.

1. Lista final de conceptos

Por último y después de analizar los
conceptos resultantes de la revisión bibliográfica
y por sugerencia del equipo de investigación, se
decidió suprimir dos conceptos de la lista preliminar, los
cuales son los siguientes:

• Gráfica: por encontrarse en la
  unión de los conceptos de curva y corte con los ejes
  cartesiano.
• Término cuadrático: de igual
  manera porqué esta incluido en el concepto de
  ecuación general cuadrática.

Obteniendo así la lista final de los
conceptos:

• Curva
• Parábola
• Función
• Punto
• Eje de simetría
• Ecuación general cuadrática
• Vértice de la parábola
• Corte en los ejes
• Tabla de valores
• Ejes del plano cartesiano.

Ya con los conceptos definitivos se construyo La Red
Básica Conceptual la cual es un mapa pathfinder de la
ciencia que figura la estructura cognitivamente del concepto de
la función cuadrática, es decir que si
pudiéramos preguntarle a la ciencia sobre el tema de la
función cuadrática y construirle un mapa pathfinder
con los conceptos seleccionados, entonces obtendríamos la
Red Básica Conceptual.

El propósito de construir la RBC fue el de
encontrar un patrón que nos permitiera utilizar como red
referencial y que de esa manera podamos determinar el grado de
acercamiento o similitud de las redes finales de los alumnos,
después de haber recibido el proceso de enseñanza
usando el simulador del tema mencionado.

1. Criterios de construcción de la Red
   Básica Conceptual

Para construir la Red Básica Conceptual (RBC) se
siguieron los siguientes criterios, los cuales ya han sido
utilizados en investigaciones anteriores de Hidalgo, V. (2007) y
Arias, J. (2008):

• Primero se definieron cada uno de los conceptos que
  componen la red: estas definiciones fueron producto de
  una revisión bibliográfica en varias fuentes como
  ser: textos, diccionarios
  e investigaciones.
• Después determinamos el grado de
  relación que tenían cada uno de los conceptos
  mediante una matriz de la RBC o Red de la Ciencia.
• Para determinar el grado de relación entre los
  conceptos se busco que conceptos (T1) dentro su
  definición contenían a otros conceptos (T2),
  dando a esa relación un valor de 100.
• Se le asigno un valor de 66 a la relación
  entre dos conceptos (T1y T2) cuando un concepto (T1) contiene a
  otro segundo (T2) y este a otro tercero (T3), es decir una
  relación de segundo orden.
• Después a una relación del tercer orden
  y para un enlace del cuarto nivel se le asigno un valor de
  33.
• Por último a una relación del cuarto
  orden o superior, se le asignó el valor "0".

Tabla 3.Definiciones de conceptos de la Red
Básica Conceptual (RBC)

Tabla 4.

Matriz de la Red Básica
Conceptual

Con la matriz anterior se logro construir la red
básica conceptual introduciendo la información al
programa Knot-Mac de la siguiente manera. Primero el encabezado
del texto es la información necesaria para que el programa
Knot pueda construir y analizar la red pathfinder.

El titulo de la red, el número nodos, las cifras
decimales, el menor valor, el valor mayor. La frase
similar indica la que se construirá según la
similaridad y la frase lower triangular indica que los
datos se presentan en forma triangular decreciente.

Figura 7. Matriz triangular de la Red
Básica Conceptual en el programa Knot-Mac

Con los datos de la matriz el programa Knot construye
una red
pathfinder la cual nosotros llamamos Red básica Conceptual
o Red de la Ciencia como se observa en gráfica de la
figura 8.

En la red básica conceptual podemos ver el grado
relación que existe entre cada uno de los conceptos. Si un
concepto esta conectado directamente por un enlace tiene una
relación directa y dentro de su definición utiliza
o aparece determinado conceptos, por ejemplo para definir
curva es necesario mencionar el concepto de punto,
función y parábola por lo que tienen un enlace
directo que los una.

Del mismo modo si un concepto se relaciona con otro a
través de otro concepto, tiene una relación
indirecta por lo que en su definición no aparece este
concepto, pero si el la definición del concepto
intermediario.

Por ejemplo, el concepto de
parábola no se relaciona directamente con el
concepto de función, por lo que no tienen un enlace que
los una directamente sino, a través de otros conceptos,
pero si esta relacionado directamente con los conceptos de curva,
ecuación general cuadrática, eje de
simetría, ejes del plano y de punto.

Figura 8. Red Básica Conceptual
o Red de la Ciencia sobre el concepto de la función
cuadrática

Al igual el concepto de función,
esta directamente relacionado con los conceptos de
ecuación general cuadrática, tabla de valores,
curva, punto y corte con ejes que son representativos del mismo,
aunque no directamente con el término de parábola,
porqué no toda función es una
parábola.

También se observa que los términos
vértice, punto, curva, parábola, función,
ejes del plano cartesiano, corte con ejes y eje de
simetría (8 de 10 términos) tienen más de
dos enlaces, es decir son nodos múltiples, afirmando
así el alto nivel de relación que tienen los
conceptos.

1. Conceptos nucleares de la RBC

De lo obtenido de la RBC se observa varios conceptos
nucleares (aquellos nodos múltiples es decir los nodos con
más de 2 enlaces) que sirven como términos enlace a
la estructura cognitiva del alumno, los cuales son los
siguientes:

1. El punto el cual se relaciona
   directamente con 8 de los 9 conceptos (curva, ejes de
   simetría, parábola, corte con ejes,
   función vértice corte con ejes y tabla de
   valores).
2. El término Curva con 4 enlaces
   (parábola, punto, vértice y
   función).
3. El término Parábola con 5
   enlaces (curva, punto, ejes del plano cartesiano, eje de
   simetría, ecuación general
   cuadrática).
4. Termino Eje de simetría con 3
   enlaces (vértice, parábola y punto).
5. Vértice con 3 enlaces (eje de
   simetría, punto y curva).
6. Ejes del plano cartesiano con 3 enlaces
   (parábola, punto y corte con ejes).
7. Corte con ejes con 3 enlaces (punto,
   ejes del plano cartesiano y función).
8. Función con 5 enlaces (punto,
   tabla de valores, ecuación general cuadrática,
   curva y corte con ejes).

Todos estos términos nucleares (nodos
múltiples) fueron abordados en la unidad didáctica
adaptada a la teoría de los conceptos nucleares por ser
conceptos enlaces para el aprendizaje del concepto de la
función cuadrática.

1. Esta fase de la investigación se llevo a cabo
   desarrollando el tema de la función cuadrática
   al grupo de
   alumnos seleccionados, utilizando una unidad didáctica
   adaptada a la teoría de los conceptos nucleares y el
   simulador geométrico Graphcalc.

   1. La unidad didáctica fue construida (ver
      figura 9) utilizando los conceptos centrales obtenidos
      tanto en el test inicial como en las redes
      iníciales de los alumnos, los cuales hicimos
      referencia a ellos anteriormente (tabla 1).

      Figura 9. Esquema de la unidad
      didáctica aplicada

      

      La temática de la unidad
      didáctica, se desarrollo con los estudiantes de la
      clase de Informática II, quienes cursa la carrera
      de magisterio de la Universidad de Extremadura,
      España (muestra seleccionada) en tres sesiones de
      2 horas cada una en los días 26 de abril, 8 y 16
      de Mayo del año 2008, y para llevar a cabo
      determinada unidad didáctica se plantearon varias
      actividades que se detallan a
      continuación.

      1. La parábola una curva
         interesante
   2. Unidad didáctica
2. Etapa experimental

Esta consistió en una presentación en
power point
donde se le daba a conocer a los alumnos sobre la importancia que
tiene el concepto de función cuadrática tanto en el
medio científico como en la vida cotidiana, las diferentes
presentaciones de la función cuadrática y los
puntos referenciales de la parábola (ver
anexos).

Los estudiantes fueron reunidos en el aula de laboratorio de
las nuevas tecnologías donde se les expuso la
temática con el propósito de darles a conocer la
aplicabilidad de la parábola en la vida cotidiana, tomando
en cuenta que unos de los conceptos que los alumnos más
asocian al concepto de la función cuadrática es su
representación gráfica, la
parábola.

El contenido de la presentación fue el
siguiente:

• La función cuadrática en la vida
  cotidiana
• Sus representaciones gráficas, tabla de
  valores y ecuación general
• Puntos interesantes de la gráfica
  parabólica
• Como se puede representar a través de un
  simulador
• Evaluación de los términos de la
  función cuadrática
• Elementos importantes de la
  parábola.

Se consideraron los conceptos nucleares encontrados en
nuestra red básica conceptual y test inicial mencionados
anteriormente.

1. El propósito de esta actividad fue motivar a
   los estudiantes a conjeturar a través de la
   exploración grupal del simulador el tema de
   función cuadrática, para eso continuamente se
   le motivaba a utilizar las potencialidades del simulador, al
   inicio los alumno no sabían que experimentar,
   más si embargo con un poco de orientación, los
   alumnos fueron explorando las ventajas que tiene la
   herramienta para la comprensión de un concepto como el
   caso de la función cuadrática.

   A medida que los estudiantes exploraban el programa,
   iban dándose cuenta de las características de
   la función cuadrática como: tipo de
   representación gráfica, ecuación
   general, tabla de valores, vértice, interceptos en los
   ejes cartesiano, puntos máximo y mínimo, las
   cuales fueron expuestas sobre una hoja de papel como elemento
   resumen de lo obtenido en la exploración del
   simulador, también escribieron sus impresiones sobre
   las características del simulador y sus ventajas al
   emplear en el aula de clase.

   Algunas de las conclusiones que se obtuvieron de la
   exploración realizada por los estudiantes, fueron el
   análisis del comportamiento de cada uno de los
   términos que compone la ecuación general
   cuadrática (término cuadrático, lineal e
   independiente), cuando se varia sus coeficientes y que se
   pueden observar en su gráfica parabólica, de
   esa manera los estudiantes, por si solos, observaban el
   efecto que tiene cada uno de sus términos tanto en los
   valores negativos, positivos y fraccionarios.

   También expresaron lo fácil que se
   puede obtener usando el simulador, los puntos de corte en los
   ejes coordenados, el valor del vértice de la
   gráfica y el eje de simetría. Otro elemento
   interesante que los estudiantes dieron a conocer en sus
   impresiones al emplear el simulador geométrico fue la
   construcción de la parábola en tercera
   dimensión, la cual les llamo mucho a atención ya que en la enseñanza
   tradicional esto sería imposible de
   realizar.

   Figura 10. Pantalla principal
   del simulador geométrico GraphCalc

   

2. Exploración grupal del
   simulador
3. Observaciones y conjeturas de la
   exploración

Una vez terminada la actividad de la exploración,
la cual duro aproximadamente 1 hora clase, se prosiguió a
escribir en una hoja de papel lo observado y experimentado con el
simulador referente al tema de la función
cuadrática. Muchos de los alumnos expresaron su
opinión sobre las posibilidades una herramienta dentro del
aula de clase.

Algunas de las impresiones y conclusiones que los
alumnos escribieron son:

1. Hemos observado que al ir modificando los signos y
   aumentando los valores de los números, la apertura de la
   parábola cambia.
2. También observo que si escribo un
   número decimal la parábola es abierta y cuando un
   número mayor entero por ejemplo 5 la parábola es
   más cerrada.
3. Este programa nos ha sorprendido por su gran utilidad, nos
   ha parecido curioso, ya que esta experiencia práctica
   nos ha servido para comprobar de una manera sensorial lo visto
   en tiempo atrás.
4. La aplicación didáctica es muy
   interesante ya que aparece atractiva para los alumnos,
   porqué facilita el aprendizaje.
5. El término x2 hace que la curva se
   estreche si cambiamos el número y se da vuelta si
   cambiamos el signo
6. Probamos que la gráfica en 3D se ve
   perfectamente los puntos de corte con los ejes y
   vértice.
7. He resuelto un problema utilizando el cálculo
   del punto máximo de la curva.
8. Es posible graficar otras funciones con
   este ordenador, he intentado con la funcione lineal y
   exponencial.

Según los comentarios escritos por los alumnos
después de trabajar con el simulador, se observa que han
identificado algunas características principales de la
función cuadrática de una manera particular y
abierta.

1. Práctica con el simulador

Después de la exploración y de escribir
las conclusiones e impresiones de la misma, se les pidió a
los estudiantes que resolvieran, utilizando el simulador, una
práctica, como actividad del tema, la cual tenía
como propósito que los estudiantes aplicaran por si solos
esos conocimientos adquiridos de la función
cuadrática y a la vez reflexionar sobre la utilidad que
tiene el uso de estas herramientas
en nuestra aula de clase.

Dicha práctica contenía actividades donde
se reforzaban los conceptos centrales de nuestra unidad
didáctica, como los siguientes:

Ejercicio 1

• Comportamiento de la curva parabólica
  dependiendo la modificación de los coeficientes de los
  términos de la función
  cuadrática.

Ejercicios 2

• Análisis de puntos interesantes de la
  parábola: vértice, interceptos con ejes
  cartesianos y puntos máximos y
  mínimos.
• Aplicar el concepto de la función
  cuadrática para resolver un problema
  práctico.

Toda la actividad se desarrollo siempre utilizando la
plataforma del campo virtual de la Universidad de Extremadura
(Moodle) ya que nos permitía facilitar tanto los programas como la
recogida de los datos y las prácticas de la
clase.

TABLA 5. CONTENIDO DE LA UNIDAD
DIDACTICA EMPLEADA

Figura 11. Diseño de clase con uso del
simulador*

• Adaptado de las clases impartidas por el Dr. Ricardo
  Luengo con un simulador.

1. En esta última etapa de la
   investigación, consistió en aplicar dos
   evaluaciones a los estudiantes, después de haber
   realizado todas las actividades experimentales (unidad
   didáctica), las cuales fueron: un test final o post-
   test y la construcción de redes pathfinder finales con
   el programa MicroGoluca.

   1. Este consistió en aplicarles el test
      inicial a todos los estudiantes de la muestra. El
      propósito de aplicar el mismo test al final fue
      para hacer una comparación entre lo obtenido
      inicialmente y después de su experiencia, de esa
      manera determinar si hubo mejora o no en el rendimiento
      sobre el tema de la función
      cuadrática.

      El test fue valorado con un máximo de
      puntaje posible de 26, cada respuesta correcta se le
      asignaba un 1 pts., en algunos casos algunas pregunta
      tenia un valor de 4 pts. Y otras 1 pts. Dependiendo del
      número de respuestas correctas posibles que esta
      tenía. Por ejemplo: en la pregunta 4 donde el
      alumno tenia 4 alternativas posibles correctas y solo
      marcaba 3 de ellas pues de le asignaba solamente 3 pts. Y
      viceversa.

      Después fue convertido a una escala
      de 10 para facilitar su análisis y
      comparación, por ejemplo si un alumno obtuvo una
      nota de 23 punto del total de 26 se convertía a
      una escala de 10 así: x = (23×10)/26 = 8.85
      pts.

      En otros casos como la pregunta 1, 2, 3 y 15 no
      se les asigno ningún valor ya que proporcionaban
      información relacionada con datos particulares de
      los alumnos y que no correspondía a una
      evaluación especifica.

      Este instrumento fue contestado por los
      estudiantes utilizando siempre la plataforma del campo
      virtual de la Universidad de Extremadura (moodle), ellos
      bajan el documento de la misma y lo rellenaran en los
      espacios que se le indicaban, después que
      habían terminado el test se les solicito que lo
      subieran a la plataforma con su login (código)
      especifico y por último cuando se terminaba la
      clase se recogía toda la información de la
      plataforma en folder virtuales asignados para cada
      estudiantes para luego ser analizados e
      interpretados.

   2. Test final
2. Etapa final