Método Mínimos cuadrados.
En este método se
consideran todos los datos.
Primeramente debemos calcular los valores de
las expresiones:
å x = |
å y = |
å xy = |
å x2 = |
N = número de datos. |
Estos valores deben
ser reemplazados en el sistema de
ecuaciones:
este sistema debe ser resuelto para las
incógnitas a y b. Con los valores obtenidos para las
constantes a y b la ecuación lineal o curva de ajuste por
método de mínimos cuadrados quedaría
así:
Ej. Con los datos del ejercicio anterior se tiene
que:
å x = | 21 |
å y = | 34 |
å xy = | 137 |
å x2 = | 91 |
N = número de datos. | 6 |
Curva de ajuste parabólica.
Método libre.
Para determinar una curva de ajuste parabólica
por el método libre, se deben elegir tres
puntos
A(x1, y1); B(x2,
y2); C(x3, y3) de los n datos
conocidos, formando con ellos el siguiente sistema de
ecuaciones:
este sistema debe ser resuelto para las
incógnitas a, b y c. Con los valores obtenidos se
construye la
ecuación
Ej. La producción quincenal de cobre se
presenta en la siguiente tabla:
Quincena | 1ª | 2ª | 3ª | 4ª | 5ª | 6ª |
Producción en ton. | 2 | 6 | 4 | 8 | 5 | 9 |
Consideremos los puntos (3, 4), (5, 5) y (6, 9). El
sistema para determinar la curva de ajuste parabólica
libre tiene por expresión:
Con los resultados obtenidos se construye la curva de
expresión
Método Mínimos
cuadrados.
En este método se consideran todos los datos.
Primeramente debemos calcular los valores de las
expresiones:
å x = |
å y = |
å xy = |
å x2 = |
å x3 = |
å x4 = |
å x2y |
N = número de datos. |
Estos valores deben ser reemplazados en el sistema de
ecuaciones:
para determinar los valores de las incógnitas a,
b y c.
Con los valores obtenidos se construye la
ecuación parabólica de ajuste por mínimos
cuadrados
Ej. Con los datos de la producción quincenal de
cobre indicada en la siguiente tabla:
Quincena | 1ª | 2ª | 3ª | 4ª | 5ª | 6ª |
Producción en ton. | 2 | 6 | 4 | 8 | 5 | 9 |
La tabla de cálculos es:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | S | 21 |
y | 2 | 6 | 4 | 8 | 5 | 9 | S | 34 |
x^2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | S | 91 |
x^3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | S | 441 |
x^4 | 1 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | S | 2275 |
x*y | 2 | 12 | 12 | 32 | 25 | 54 | S | 137 |
x^2*y | 2 | 24 | 36 | 128 | 125 | 324 | S | 639 |
con los valores obtenidos para a, b y c se construye la
Ecuación parabólica de ajuste por el método
de mínimos cuadrados dada por la expresión:
Mejor curva de ajuste.
La curva de ajuste que tenga el menor valor para la
expresión , donde y son los datos originales y
ye son los datos obtenidos en las diferentes
ecuaciones, será llamada MEJOR CURVA DE AJUSTE.
Ej. Considerando los datos dados en el ejemplo anterior
y las ecuaciones lineales obtenidas se concluye que la curva
lineal obtenida por el método de mínimos cuadrados,
es la mejor curva de ajuste.
Así lo podemos confirmar en el cuadro
siguiente:
å
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 21 |
Y | 2 | 6 | 4 | 8 | 5 | 9 | 34 |
X2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 91 |
XY | 2 | 12 | 12 | 32 | 25 | 54 | 137 |
Y libre | 2 | 3,4 | 4,8 | 6,2 | 7,6 | 9 | |
Y min cuad | 3,93 | 4,62 | 5,32 | 6,01 | 6,71 | 7,41 | |
(Y-Y libre)2 | 0 | 6,76 | 0,64 | 3,24 | 6,76 | 0 | 17,4 |
(Y-Y min cuad)2 | 3,7 | 1,9 | 1,7 | 3,9 | 2,9 | 2,5 | * 16,8 |
Ej. En cuanto a las parábolas de ajuste
obtenidas, se desprende que la curva parabólica de ajuste
libre es la mejor.
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
y | 2 | 6 | 4 | 8 | 5 | 9 | |
Y min.cuad. | 2,2 | 4,1 | 5,6 | 6,8 | 7,6 | 8,0 | |
Y libre | 12,3 | 7,0 | 4,0 | 3,2 | 4,9 | 8,8 | |
(Y-Ymin.cuad.)^2 | 0,0 | 3,8 | 2,5 | 1,6 | 6,6 | 1,0 | 15,4 |
(Y-Ylibre)^2 | 106,7 | 1,0 | 0,0 | 22,7 | 0,0 | 0,0 | 130,4 |
Ejercicios.
1. La producción en los primeros cuatro
años, medidas en miles de toneladas, de una empresa
cuprífera está indicada en la tabla
siguiente:
X años | 1 | 2 | 3 | 4 |
Y miles de Ton. | 2.25 | 3.36 | 2.98 | 3.96 |
- Determine una curva lineal de ajuste
libre. - Determine una curva lineal de ajuste por
mínimos cuadrados. - Determine una curva parabólica de ajuste
libre. - Determine una curva parabólica de ajuste por
mínimos cuadrados. - Construya un gráfico en el cual estén
graficadas todas las curvas encontradas. - Determine cual de las curvas de ajuste es la
mejor. - Indique cual es la tendencia hacia los
próximos años, según su respuesta dada
en el punto 1.6.
2. La relación producción – costo de una
empresa
manufacturera está indicada en la tabla
siguiente:
X producción | 10 | 20 | 30 | 40 |
Y millones de $. | 2250 | 3360 | 2980 | 3096 |
- Determine una curva lineal de ajuste
libre. - Determine una curva lineal de ajuste por
mínimos cuadrados. - Determine una curva parabólica de ajuste
libre. - Determine una curva parabólica de ajuste por
mínimos cuadrados. - Construya un gráfico en el cual estén
graficadas todas las curvas encontradas. - Determine cual de las curvas de ajuste es la
mejor.
3. Demuestre que la curva lineal de ajuste por
mínimos cuadrados pasa por el punto ().
Series
cronológicas
Def. A una relación entre dos variables, una
de las cuales es la variable TIEMPO se le
denomina
SERIE CRONOLÓGICA.
Ej. La producción anual de cobre de Chile, es una
serie cronológica.
Ej. La venta mensual de
una empresa X.
Obs. Algunas series cronológicas o de tiempo
son:
- Cíclicas
- Estacionales, dependen de las estaciones en
años sucesivos - Irregulares o al azar
- Secular o de larga duración.
Tabla de una serie cronológica.
X variable tiempo | X1 | X2 | … | … | … | … | Xn |
Y variable | Y1 | Y2 | … | … | … | … | Yn. |
Obs. En una variable tiempo que interviene en una serie
cronológica las unidades de medición pueden ser desde el día,
minutos, segundos, eras, etapas, decenios, milenios,
etc.
Ej. La producción anual de cobre se presenta en
la siguiente tabla:
Año | 1ª | 2ª | 3ª | 4ª | 5ª | 6ª |
Producción en ton. | 20 | 60 | 40 | 85 | 25 | 79 |
Una gráfica sería:
Ej. Con los anteriores datos ¿cuál
sería la producción esperada para los
próximos 5 años?
- Según una curva lineal libre.
- Según una curva lineal mínimo
cuadrado - Según una curva parabólica libre.
Considerar A(1,20), B(4,85), C(6,79) - Según una curva parabólica
mínimo cuadrado - ¿Cuál de todas las curvas encontradas
es la mejor curva de ajuste?
Solución.
a) Consideremos los puntos A(1,20) y B(6,79).
Reemplazando en la ecuación
b) Comprobar que es: y = 5,49x + 33,29
c) Comprobar que es: y = – 4,93×2 + 46,33x –
21,40
d) Comprobar que es: y = – 0,08×2 + 6,07x
+32,52
e) Comprobar que la mejor curva de ajuste de las cuatro
anteriores es la curva parabólica por mínimos
cuadrados.
Ejercicios.
1. La venta semestral en los primeros tres años,
medidas en millones de pesos, de una empresa cuprífera
está indicada en la tabla siguiente:
X semestre | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Y millones de pesos. | 2.25 | 3.36 | 2.98 | 3.96 | 1.58 | 2.59 |
- Determine una curva de tendencia lineal
- Determine una curva parabólica de
tendencia. - Construya un gráfico en el cual estén
graficadas las curvas encontradas. - Determine cual de las curvas de tendencia es la
mejor. - Indique cual es la tendencia de venta semestral
hacia los próximos dos años, según su
respuesta dada en el punto 1.4.
2. El costo mensual, en los meses impares, de una
empresa manufacturera está indicada en la tabla
siguiente:
X mes | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Y millones de $. | 3250 | 6360 | 2580 | 5096 | 4530 |
- Determine una curva de tendencia
lineal. - Determine una curva parabólica de
tendencia. - Construya un gráfico en el cual estén
graficadas las curvas encontradas. - Determine cual de las curvas de tendencia es la
mejor.
Regresión.
Def. La curva Y = aX + b, donde los valores de a y b se
obtienen mediante el método de
mínimos cuadrados se denomina CURVA de
REGRESIÓN LINEAL de y sobre X.
Obs.
– Análogamente se define X = aY + b como la CURVA
de REGRESIÓN LINEAL de y sobre Y.
– Existen curvas de regresión parabólicas,
trigonométricas, exponenciales, logarítmicas,
etc…
Ej. Determine las curvas de regresión
lineal de X y de Y de los datos dados en la siguiente
tabla:
X (peso en Kg.) | 45 | 48 | 53 | 56 |
Y (altura en Mts.) | 1,56 | 1,67 | 1,62 | 1,65 |
Solución.
– Regresión lineal de X.
Construyendo el sistema de ecuaciones
lineales
Luego, la curva de regresión lineal de X es:
Y[Mts.] = 0,032*X[Kgs.] + 0,0192.
– Regresión lineal de Y.
Construyendo el sistema de ecuaciones
lineales
Luego, la curva de regresión lineal de
Y es: X[Kgs.] = 31,12*Y[Mts.] + (-0,0478)
= 31,12*Y[Mts.] – 0,0478.
Algunas estimaciones según estas curvas
son:
- si X = 60 Kgs. Þ Y
= 1,93 Mts. - si Y = 1,70 Mts. Þ
X = 52,85 Kgs.
Ejercicios.
1. Los datos entregados en la tabla corresponden a la
producción de trigo, en quintales, de un
agricultor.
Año | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 |
Producción (Qq.) | 234 | 456 | 675 | 324 | 267 | 547 | 212 | 359 | 468 | 123 |
- Determine las curvas de regresión lineal de
ambas variables. - Haga una tendencia de producción, hacia los
próximos 5 años, según regresión
lineal de la producción. - ¿Qué producción se espera para
el año 2008?
2. Los datos entregados en la tabla corresponden al IPC
anual.
Año | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 |
IPC (%) | 2,4 | 4,5 | 6,7 | 3,4 | 0,7 | 0,4 | 2,2 | 3,5 | 6,8 | 1,2 |
2.1 Determine las curvas de regresión lineal de
ambas variables.
2.2 Haga una tendencia del IPC hacia los próximos
10 años, según regresión lineal del
IPC.
2.3 Según la curva encontrada en 2.1 ¿En
qué año se espera un IPC de 0%?
Autor:
Prof. Carlos Valdes Villaseñor
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