Indice
1.
Introducción
2. Variación de
parámetros
3. Teoría
general
4. Teorema
5.
Bibliografía
Este es un método
para resolver ecuaciones
lineales no homogéneas, éste sólo se aplica
a una clase restringida de ecuaciones. No
obstante, la ventaja consiste en que, cuando este método es
el pertinente, por lo general es más fácil de
emplear que los otros métodos.
En primer lugar este método se aplica a
ecuaciones del tipo:
donde las 
son constantes y 
es una función
que se puede anular mediante la aplicación de un operador
con coeficientes constantes. Así que, por ejemplo, no se
puede emplear este método para resolver una
ecuación de la forma (1), en el cual 
Como preparación
para el método de coeficientes indeterminados,
reescribimos (1) en notación operacional:
Ahora estamos listos para establecer el procedimiento
general. Por evidencia, hemos dividido este procedimiento en
tres etapas.
Etapa I Para resolver la ecuación (2), comenzamos
por encontrar un operador con coeficientes constantes que anule a
(Si no existe
dicho operador el método no se aplica). Se aplica el
operador en ambos miembros de (2), obteniendo una ecuación
lineal homogénea de orden más alto:
en la cual, el primer factor del operador es el anulador
de 
Etapa II Enseguida, se resuelve (3) mediante el
método de ecuaciones con coeficientes constantes. La
ecuación auxiliar ya se encuentra parcialmente
factorizada, lo cual nos ahorra algo de trabajo:
Obtenemos la solución completa de (3):
Comparando (4) con la solución de la
ecuación homogénea relacionada asociada con (2),
decidiremos, cuáles de los coeficientes son arbitrarios
para la solución de (2). Los coeficientes restantes
serán los coeficientes indeterminados.
Etapa III Los términos de (4) que contienen los
coeficientes indeterminados constituyen una solución de
(2). Sustituimos la suma de estos términos en (2) para
determinar los valores de
los coeficientes indeterminados. Por último, se introducen
estos valores en
(4).
Ejemplo. La ecuación 
se resuelve de la siguiente
forma:
En notación operacional, (5) se transforma
en:
Se procede a anular el miembro derecho:
Completando la etapa I del proceso. A
continuación, se resuelve (6) formando la ecuación
auxiliar:
Y factorizando tenemos:
De las raíces 
y
obtenemos la
solución de (6)
en las que se reconocen los dos últimos
términos como la solución de la ecuación
homogénea relacionada asociada con (5). Por tanto C y E
son constantes arbitrarias para la solución de (5), lo
cual deja A y B como los coeficientes indeterminados. Ahora, la
etapa II está completa.
En la etapa III se establece 
y diferenciamos dos veces:
Luego sustituimos estas funciones en
(5):
Ordenando términos, este resultado se simplifica
en:
lo cual conduce a las dos ecuaciones:
Estas ecuaciones se satisfacen con los
valores:
Por último, se introducen estos valores en (7)
para formar la solución completa de (5):
Si se fuera a resolver la ecuación lineal no
homogénea:
empleando la reducción de orden, se
tendría que elegir entre dos soluciones:
o 
que corresponden a dos soluciones de
la ecuación homogénea relacionada, la cual es una
ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones
anteriores debería conducir a una ecuación lineal
de primer orden no separable que requiere ser resuelta. Sin
embargo, existe una forma más sencilla de resolver la
ecuación (1), en la que se combinan las dos sustituciones
(2) de la manera siguiente:
Aquí se reemplaza y por dos funciones
desconocidas u y v.
Para la ecuación 
, en primer lugar, se deben calcular 
y 
para sustituir en (1). Según la regla del producto se
obtiene:
Al calcular la siguiente derivada se requiere aplicar
cuatro veces la regla del producto. No
obstane, en esta parte se puede aprovechar el hecho de que hemos
reemplazado una función desconocida por dos: puede haber
algo de flexibilidad en la elección de funciones u y v que
satisfagan la ecuación dada. En particular, suponga que
buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de
los términos que aparecen en (4) unos con otros. Dicha
cancelación simplificará el proceso. El
enfoque correcto (esto es, el que sabemos que funciona bien), es
el que consiste en buscar u y v, tales que los términos
y 
que aparecen en (4) se
cancelen unos con otros:
Entonces podemos calcular 
directamente de
El resultado, según la regla del producto,
es:
Cuando se sustituye este resultado y(3) en la
ecuación dada (1), se llega a:
En el cual se cancela un número de
términos, y sólo nos queda:
Así, para que u y v satisfagan (1), sus derivadas deben
satisfacer (6). Además, se ha supuesto que estas derivadas
satisfacen la ecuación (5). Así tenemos los dos
requisitos:
que son precisamente dos ecuaciones lineales
(algebraicas, no diferenciales) con dos incógnitas
y 
. Resolver el sistema de
ecuaciones para y
en
términos de x es relativamente fácil; luego, u y v
se obtienen por integración.
Si se multiplica la ecuación (5) por x y se suma
el resultado a (6), tenemos:
y entonces:
Ahora se puede sustituir el resultado anterior en (5) o
bien en (6) para producir 
. El resultado es
y entonces:
Omitimos las constantes de integración puesto que sólo se
necesita una solución. Por último, volviendo a (3),
tenemos:
Y tenemos así una solución de la
ecuación (1). La solución completa de la
ecuación es:
En cuya expresión se ha sumado la solución
de la ecuación homogénea relacionada como es usual.
Sin embargo, es posible alguna simplificación. Se pueden
combinar dos términos y escribir:
donde se ha reemplazado 
por la constante arbitraria A más
simple.
En general, para resolver una ecuación lineal de
segundo orden:
sustituimos:
Donde 
y
son dos
soluciones linealmente independientes de la ecuación
homogénea resultante asociada con la ecuación (7).
(Por lo tanto, éste es un método para resolver una
ecuación no homogénea cuando se conoce la
solución completa de la ecuación homogénea
resultante). Al llevar a cabo la variación de
parámetros, se debe recordar la siguiente pareja de
ecuaciones:
Éstas son las condiciones que deben satisfacer
y de tal manera que u y v
satisfagan la ecuación dada (7) cuando se sustituyen,
según se plantea en (8). (Mientras que las ecuaciones (9)
y (10) son condiciones suficientes, pudieran no ser condiciones
necesarias).
Una solución de la ecuación:
está dada por:
donde y
son cualesquiera
dos soluciones linealmente independientes de la ecuación
homogénea relacionada, asociada con (11), si las derivadas
de u y v satisfacen las condiciones:
Así que, para resolver una ecuación de la
forma (11), se deben seguir los pasos siguientes:
- Encontrar
y 
. - Resolver (13) y (14), obteniendo así
y 
en términos de
x. - Integrar y para
obtener u y v (no se necesitan constantes de
integración). - Introducir u y v en (12) para producir y.
y 
.
y Marcus, Daniel A.
Ecuaciones Diferenciales
Tercera impresión.
Compañía Editorial Continental, S.A. de
C.V.
Autor:
Universidad
Nacional Autónoma de México
Escuela Nacional
de Estudios Profesionales
Campus Aragón
México
D.F. a 1 de noviembre del 2000