1.
Objetivos
3.
Operaciones con segmentos
4. Problemas de auto
evaluación
5.
Proporcionalidad
6.
Indicaciones
7.
Angulos
8.
Teoremas
9.
Solucionario
10. Problemas de
autoevaluación
cognitivo:
1.- Comprender los axiomas, postulados, teoremas y
corolarios que rigen a la geometría
axiomática.
2.- Conocer y desarrollar capacidades de
deducción y lograr demostraciones, mediante un conjunto de
razonamientos.
Procedimental:
1.- Manifestar habilidades para deducir, demostrar
teoremas y problemas de
aplicación.
2.- Correlacionar, y organizar los diferentes subtemas
de estudio y su verdadera utilización.
Actitudinales:
1.- Desarrollar, confianza en sus habilidades matemáticas y lógicas puestas al
servicio de
las distintas demostraciones.
2.- Alcanzar actitudes de
orden, perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel
del conocimiento
de la geometría
plana.
Introducción
Conceptos Fundamentales E Importancia Del Estudio De La
Geometria
Proposicion
Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno
y solo uno de los términos verdadero o falso.
Las proposiciones más comunes que se utilizan
son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.
Axiomas
Es una verdad que no requiere demostración y se
la cumple en todas las ciencias del
conocimiento.
Postulados
Es una proposición aceptada como verdadera. A
diferencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en
geometría, los mismos que no se han constituido al azar,
sino que han sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la
geometría
Teorema
Es la proposición cuya verdad necesita ser
demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede
utilizar para la demostración de otros teoremas, junto con
axiomas y postulados.
Un teorema consta de: hipótesis y tesis:
Hipótesis: son las
condiciones o datos del
problema
Tesis: es la propiedad a
demostrarse.
Corolario
Es la consecuencia de un teorema demostrado.
Razonamiento Logico
Cuando una persona se
empeña en una "reflexión clara" o en una
reflexión rigurosa, está empleando la disciplina del
razonamiento lógico.
Demostraciones
Es un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad
de la proposición junto con axiomas y
postulados.
Una demostración bien elaborada solo puede
basarse en proposiciones antes demostradas, la
demostración también es necesaria para fundamentar
la generalidad de la proposición que se
demuestra.
Por medio de las proposiciones, las verdades
geométricas se reducen a un sistema armonioso
de conocimientos científicos.
Metodos De Demostraciones
Metodo Inductivo
Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades
particulares para obtener mediante ellos una verdad
general.
Metodo Deductivo
Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades
generales para obtener mediante ellos una verdad
particular.
La mayoría de los problemas
geométricos se demuestran usando el método
deductivo.
Procedimiento De Una Demostracion
La demostración formal de un teorema consiste en
cinco partes
- El enunciado del teorema.
- Hacer un gráfico que ilustre el
teorema. - Una afirmación de lo que es el dato (s) en
términos del gráfico ( hipótesis ). - Una afirmación de lo que debe probarse ( tesis
). - Demostración: Es una serie de razonamientos
lógicos establecidos mediante definición, axiomas
y postulados aceptados y teoremas probados en anterioridad.
Toda demostración debe constar de afirmaciones y
razones.
Importancia
¿Por qué estudiar geometría? El
alumno que empieza a estudiar geometría, puede preguntar
con toda razón : ¿Que es la geometría?
¿Que gano con estudiarla?.
Uno de los beneficios de la geometría es que el
estudiante adquiere un criterio al escuchar leer y pensar. Cuando
estudia geometría, deja de aceptar a ciegas proposiciones
e ideas y se le enseñe a pensar en forma clara y critica,
antes de hacer conclusiones.
Otro es el adiestramiento en
el uso exacto de idioma y en la habilidad para analizar un
problema nuevo, para diferenciar diferenciar sus partes cruciales
y aplicar la perseverancia, originalidad y razonamiento
lógico para resolver el problema.
Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias
matemáticas y los matemáticos han
aportado a nuestra cultura y
civilización.
3. Operaciones con
segmentos
Punto
Elemento geométrico que tiene posición
pero no dimensión, sin embargo las palabras
posición y dimensión no se definen, por lo tanto la
palabra punto no se define.
Representacion Grafica
Se lo hace por medio de una marca ( . o x
)
Denominacion
Por medio de una letra mayúscula.
ejemplo: .A B(x ,y) C(x, y, z)
Recta
Es una figura geométrica, en la cual un punto que
se encuentra entre otros dos tiene la misma distancia a estos; se
prolonga indefinidamente en ambas direcciones.
Representacion Grafica
Denominacion
Por medio de dos letras mayúsculas que
representan a dos puntos cualquiera en la recta.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
o por medio de una letra mayúscula cerca de la
recta.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
Puntos Colineales
Son los puntos, elementos de una misma recta.
Plano
Un plano esta determinado por:
- Tres puntos no colineales.
- Una recta y un punto externo.
- Dos rectas que se intersecan.
- Dos rectas paralelas.
Representacion Grafica
Denominacion
Por medio de letras mayúsculas en los
vértices de una representación
gráfica.
Segmento
La parte de la recta AB entre A y B, incluido los puntos
A Y B se llama segmento.
Representacion Grafica
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
Denominacion
Por los extremos del segmento : AB
El numero que expresa a que distancia se encuentra A de
B se llama medida o longitud de AB . usaremos el
símbolo mAB para denotar la longitud de AB.
Operaciones Con Segmentos
Consiste en encontrar un segmento de longitud igual a la
suma de las longitudes de los segmentos dados.
(Para ver el gráfico faltante haga click en
el menú superior "Bajar Trabajo")
m PQ = mPA + mAB + mBQ
m AP = mPB – mAP
mAB = mPQ – mPA – mBQ
Solucionario
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
H) AM = MB
PA + BP
PM = PA – AM T) PM =
PM = PB + BM 2
2PM = PA + PM
PA + PB
PM = 2
2)AP M B
H) AM = MB
PM = BP – MB PB – PA
PM = -PA + MA T) PM =
2PM = BP – PA
BP – PA
PM =
3) Sobre un recta se toman los puntos A, B, C, D, E, F,
consecutivamente, de modo que BE = 5/8 AF. Calcular AF sabiendo
que : AC + BD + CE + DF = 39u.
H ) BE = 5/8AF
AC + BD + CE + DF = 39u
AC + BD + CE + DE + EF = 39u
T ) AF =
AF + BD + DE = 39u
AF + BE = 39u
AF + 5/8AF = 39u
13/8AF = 39u
AF = 2
4) (Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
H) AB = BC
BE = AD – AB + DE
DE = EF
BE = FC + BC – EF
AD + C
2BE = AD + FC
T) BE =
5)(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
H) AB = BC
CD = 2AC
AM = BC + CD – AC
+AM – MD AM = MD
AM = AB + 2AC – AC +AM-MD T) AM = AB + AC
AM = AB + A
6)(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
AC + CD
H) AB =
BD2 – 2BD + 1 = 0
(BD – 1)(BD – 1)= 0
BD2 – 2BD + 1 = 0 BD = 1
AD = ?
AB = AD – BD
AB = AD/2
2AB = AD
2(AD – BD) = AD
2AD – 2 = AD
-2 = – AD
2 = AD
7)(Para ver el gráfico faltante haga click
en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) BC = CD
T) AC2 = AB . AD + BD2
AC = AB + BC
AC = AD – CD
2AC = AB + AD
2AC = AB + AB + BD
(2AC)2 = (2AB + BD)2
4AC 2 =
4AB2 + 4AB.BD + BD2
AC2 =
4AB2/4+ 4AB.BD/4 + BD2/4
AC2 = AB2 + AB.BD + BD2/4
AC2 = AB2 + AB(AD – AB) +
BD2/4
AC2 = AB2 + AB.AD – AB2 +
BD2/4
AC2 = AB.AD + BD2/4
8)(Para ver el gráfico faltante haga click
en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) MB = MC
AB = AM – BM
T) AB2 + AC2 = 2(AM2 +
BM2)
AC = AM + MC
AB2 = ( AM – BM )2
AC2
= ( AM + MC )2
AB2 = AM 2 – 2AM.BM +
BM2
AC2 = AM2 + 2AM.MC +
MC2
AB2 + AC2 =
2AM2 + 2BM2
AB2 +
AC2 = 2(AM2 + BM2)
9)(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
H) BC = DC
AB = a
AC = AB + BC AC = m
AC = AD – CD AD = b
2AC = AB + AD T) m = ab + (b –
a)2/4
2AC = AB + AB + BD
2AC2 = ( 2AB + BD )2
4AC2 =
4AB2 + 4AB.BD + BD2
AC2 =
AB2 + AB.BD +BD2/4
AC2 = AB2 + AB (AD – AB) +
BD2/4
AC2 = AB2 + AB.AD –AB2
+BD2/4
AC2 = AB.AD + BD2/4
m = ab + (b – a)2/4
10) (Para ver el gráfico faltante haga click en
el menú superior "Bajar Trabajo")
H1) AB.CD = 2AD.BC
T) 2/AB + 1/AD = 3/AC
1)AB.BC = 2AD.BC H2) AB.CD = 7BC.AD
AB(AD – AC) = 2AD(AC – AB) T) 1/AD + 7/AB = 8/AC
AB.AD – AB.AC = 2AD.AC – 2AD.AB
AB.AD + 2AD.AB – AB.AC = 2AD.AC
3AB.AD = AB.AC + AD.AC
3AB.AD = AC(AB + AD)
3/AC = 2AD/AB.AD + AB/AB.AD
3/AC = 2/AB + 1/AD
2)AB.CD = 7BC.AD
AB(AD – AC) = 7(AC – AB)ADÇ
AB.AD – AB.AC = (7AC – 7AB)AD
AB.AD – AB.AC = 7AC.AD.7AB.AD
8AB.AD = 7AC.AD + AB.AC
8AB.AD = AC(7AD + AB)
8/AC = 7AD/AB.AD + AB/AB.AD
8/AC = 7/AB + A/AD
11) (Para ver el gráfico faltante haga click en
el menú superior "Bajar Trabajo")
AC + BD + CE = 44u H) AC + BD + CE = 44u
AE – CE + AE – AB – DE + CE = 44u AE = 25u
2AE – AB –2AB = 44u DE = 2AB
2(25u) – 3AB = 44u T) AB = ?
50u – 3AB = 44u
– 3AB = 44u –50u
AB = -6 / 3
AB = 2
4. Problemas de auto
evaluación
Indicaciones:
1 ) Estudie el capitulo y luego conteste cada
numeral.
2 ) La evaluación
de la prueba es de 4 puntos c/u. Total 20 / 20
3 ) Si algún literal no puede resolver, vuelva a
ensayar, luego de haber estudiado nuevamente el
capitulo.
Cuestionario
1.- Sea una recta en la se tima los puntos A, B, C, y D,
de tal manera que: a AB + BC = 28 m. Calcular la longitud del
segmento MC, si m es el punto medio de AB
2.- En una recta sean los puntos consecutivos A, B, C, D
y E; tal que F sea el punto medio de AB y G punto medio de DE.
además AB =BC y CD = DE. También AB + DE = 10.
Calcular FG.
3.- En una recta, se toman los puntos consecutivos A, B,
C, D, de tal manera que AC = 28 y BD = 36. Calcular la longitud
del segmento MN, siendo M y N Puntos medio de AB y CD,
respectivamente.
4.- En una recta se toman los puntos consecutivos A, B,
C y D, de tal manera que :1/ AB + 1/AD = 2/AC donde AB = 2, CD =
3. Calcular la longitud BC.
5.- en una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C
y D. Hallar AD, sabiendo que AC + BD = 16m, y BC =
4m
Razon
Es una comparación de una cantidad respecto a
otra cantidad semejante, el resultado es un numero abstracto, es
decir no tiene unidades.
Una razón es una fracción, por lo tanto,
todas las propiedades que tiene una fracción se aplica a
las razones.
Proporcion
Es la igualdad de
dos razones.
Representacion
Si las razones a/b y c/d son iguales, la
proporción puede representarse como:
a/b = c/d.
Denominacion
Se lee " a es a b como c es a
d " o también " a y c son
proposicionales a b y d.
Terminos De Una Proporcion
Son elementos que forman la proporción: Si a/b =
c/d
Extremos a y d
Medios b y c
Antecedentes a y c
Consecuentes b y d
Propiedades De Las Proporciones
a) En una proporción pueden invertirse las
razones
Si a/b = c/d, entonces b/a = d/c. Por ejemplo
2/3 = 8/12 3/12 = 12/8
b) El producto de
los extremos es igual al producto de
los medios.
Si a/b = c/d, entonces ad = bc. Por ejemplo
Si 5/7 = 10/14 70 = 70
c) En una proporción a cada antecedente se puede
sumar su respectivo consecuente, o a cada consecuente sumar su
respectivo antecedente.
Si a/b = c/d, entonces (a+b) / b = (c+d) / b o a/ (a+b)
= c / (c+d)
Ejemplo: Si 4/5 = 20/25 4+5/5 = 20+25/25 o
4/4+5 = 20/25+20
d) En una proporción a cada antecedente se puede
restar su respectivo consecuente, o a cada consecuente restar su
respectivo antecedente.
Si a/b = c/d, a-b/b = c-d/d o a/b-a
=c/d-c
Ejemplo : Si 7/3 = 14/6 7-3/3 = 14-6/6 o 7/3-7
= 14/6-14
e) En una serie de razones iguales, la suma de los
antecedentes, es a la suma de los consecuentes, como uno
cualquiera de sus antecedentes es a su respectivo
consecuente.
Si a/b = c/d = e/f = ….. a+c+e+ … / b+d+f+
… = a/b = c/d = e/f =…
Ejemplo : 1/2 = 3/6 = 12/24 1+3+12/2+6+24 = 1/2
= 3/6 = 12/24.
Divicion Interna De Un Segmento
Consiste en localizar un punto en el interior de un
segmento, tal que forme dos segmentos que están en una
razón dada, m/n
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
Solucion Grafica
Primer caso. (m/n 1)
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
Datos : AB y m n
Segundo Caso. (m/n 1)
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
Datos : AB y n m
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
Tercer caso. (m/n = 1)
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo"
Solucion Analitica
Datos : Coordenadas de A y B y relación
m/n
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
AFIRMACIONES RAZONES
AP/PB = m/n ………….Formando
proporciones
AP+PB/PB = m+n/n …………. Propiedad de
las proporciones
AB/PB = m+n/n …………. Suma de
segmentos
PB = n AB/m+n …………. Despejando AB
x = x2 – PB ………….Según el
gráfico
Si m = n PB = AB/2
Divicion Externa De Un Segmento
Consiste en localizar un punto en la prolongación
de un segmento, tal que formen dos segmento que estén en
una relación dada m/n.
Primer Caso. (m/n 1)
Datos : AB y m n
Solucion Grafica
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo"
Solucion Analitica
Datos : Coordenadas de los puntos A y B y la
relación m/n 1
Afirmaciones Razones
AQ/BQ = m/n ……………. Formando
Proporciones
AQ-BQ/BQ = m-n/n ……………. Propiedad de
las proporciones
AB/BQ = m-n/n ……………. Suma de
segmentos
BQ = n AB/m-n ……………. Despejando BQ
x = x2 + BQ ……………. Por
gráfico
Segundo caso. Si (m/n 1)
Datos : AB y m
Solucion Grafica
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
Solucion Analitica
Afirmaciones Razones
AQ/BQ= m/n …………….. Formando
Proporciones
AQ – BQ/BQ=
m-n/n …………….. Propiedad de las Proporciones
-AB/BQ= -(n-m)/n …………….. Operación de
segmentos
BQ= n AB/n-m …………….. Despejando BQ
x= x2 – BQ
Tercer Caso. Si m/n = 1
Datos: AB y m =
n
Solucion Grafica
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
Solucion Analitica
No existe localizado un punto en el exterior del
segmento por que lar rectas trazadas son paralelas.
Division Amonica De Un Segmento
Consiste en dividir un segmento interno y externamente
de una misma razón.
Si P y Q dividen armónicamente al segmento AB, se
tiene:
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
En la división armónica debe verificarse
la división interna y externa.
Solucionario
1) Si P y Q dividen armónicamente al AB, entonces
la relación correcta es:
a) AP/PB = AB/BQ b) PB/AP = BQ/AQ c) AB/PB =
AQ/BQ
e)NINGUNA
Solución : b) PB/AP = BQ/AQ
2) Dado un AB de coordenadas ( -159; 136 ) , encontrar
las coordenadas de los puntos que dividen el segmento en cinco
partes de igual medida.
3) Dado un AB de coordenadas ( -369 ; 391 ) , encontrar
la coordenada del punto P que divide internamente al AB en
relación 7/13.
H) m = 7, n = 13
m/n 1
AB= 760
Afirmaciones Razones
T) X = ?
1.- AP/PB = m/n Formando proporciones
2.- (AP + PB)/PB = (m + n)/n Aplicando ley de las
proporciones
3.- AB/PB = (m + n)/n Suma de segmentos
4.- PB = AB.n/m + n Despejando PB
5.- PB = (760 . 13)/7 + 13 Remplazando
hipótesis
6.- PB = 494 Operaciones
7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto final
y PB
8.- X = 391 – 494 Remplazando afirmación
6, e hipótesis
9.- X = -103 Operaciones
4) Dado un AB de coordenadas (-113 ; 207 ) , encontrar
la coordenada de un punto P que divide internamente al AB en
relación 27/13.
H) m = 27, n = 13
m/n 1
AB = 320
Afirmaciones Razones
T) X = ?
1.- AP/PB = m/n Formando proporciones
2.- (AP + PB)/PB = (m + n)/n Aplicando ley de las
proporciones
3.- AB/PB = (m +n/)n Suma de segmentos
4.- PB= AB.n/m + n Despejando PB
5.- PB = (320 . 13)/27 + 13 Remplazando
hipótesis
6.- PB = 104 Operaciones
7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto
final y PB
8.- X = 207 – 104 Remplazando afirmación
6, e hipótesis
9.- X = 103 Operaciones
5) Dado un AB de coordenadas ( -117; 63) , encontrar la
coordenada de un punto Q que divide externamente al AB en
relación 37/19.
H) m = 37, n = 19
AB = 180
T) X = ?
Afirmaciones Razones
1.- AQ/AB = m/n Formando proporciones
2.- (AQ – QB)/QB = (m – n)/n Aplicando ley
de las proporciones
3.- AB/QB = (m – n)/n Suma de
segmentos
4.- QB = AB.n/m –n Despejando QB
5.- QB = (180 . 19)/37 – 19 Remplazando
hipótesis
6.- QB = 190 Operaciones
7.- X = X2 – QB Diferencia entre el punto final
y QB
8.- X = 63 – 190 Remplazando afirmación
6 e hipótesis
9.- X = – 127 Operaciones
6) Dado un AB de coordenadas ( -69 ; 387 ) , encontrar
la coordenada de un punto Q que divide externamente al AB en
relación 23/47
H) m = 23, n = 47
m/n 1
AB = 456
T) X = ?
Afirmaciones Razones
1.- AQ/QB = m/n Formando proporciones
2.- (AQ – QB)/ QB = (m – n)/n Aplicando ley
de las proporciones
3.- -AB/QB = (m – n)/n Suma de
segmentos
4.- AB/QB = (n – m)/n Multiplicando por -1
5.- QB = AB.n/n – m Despejando QB
6.- QB = (47 . 456)/47 – 23 Remplazando
hipótesis
7.- QB = 893 Operaciones
8.- X = X2 – QB Diferencia entre el punto final
y QB
9.- X = 387 – 893 Remplazando afirmación
7 e hipótesis
10.- X = – 506 Operaciones
7) Dado un AB de coordenadas (-369; 387) encontrar las
coordenadas de los puntos P y Q que dividen al AB en
relación, 39/17, armónicamente.
H) m = 39, n = 17
m/n 1
T) X = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = m/n Formando proporciones
2.- (AP + PB)/PB = (m – n)/n Aplicando ley de las
proporciones
3.- AB/PB = (m + n)/n Suma de segmentos
4.- PB = AB.n/m+n Despejando PB
5.- PB = (17 . 756)/ 39 + 17 Remplazando
hipótesis
6.- PB = 229,5 Operando
7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto final
y PB
8.- X = 387 – 229,5 Remplazando
afirmación 6 e hipótesis
9.- X = 157,5 Operando
10.- AQ/QB = m/n Formando proporciones
11.- (AQ – QB)/QB = (m – n)/n Aplicando ley
de las proporciones
12.- AB/QB = (m – n)/n Suma de
segmentos
13.- QB = AB.n/m-n Despejando QB
14.- QB = (756 . 17)/39 – 17 Remplazando
hipótesis
15.- QB = 584,18 Operando
16.- X´ = X2 + QB Suma entre el punto final y
QB
17.- X´ = 387 + 584,18 Remplazando
afirmación 15 e hipótesis
18.- X´ = 971.98 Operaciones
8) Dado un AB de coordenadas (-759; 863), encontrar las
coordenadas de los puntos P y Q que dividen armónicamente
al AB en elacion 11/29
H) m = 11, n = 29 Q A P B
m/n 1
T) X = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = m/n Formando Proporciones
2.- (AP + PB)/BP = (m + n)/n Aplicando ley de las
proporciones
3.- AB/BP = (m + n)/n Suma de segmentos
4.- PB = AB.n/m + n Despejando PB
5.- PB = (1622 . 29)/11 + 24 Remplazando
hipótesis
6.- PB = 1175,95 Operando
7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto final
y PB
8.- X = 863 – 1175,96 Remplazando
afirmación 6 e hipótesis
9.- X = -312,95 Operando
10 .- AQ/ BQ = m/n Formando proporciones
11.- (AQ – QB)/QB= (m – n)/n Aplicando ley
de las proporciones
12.- -AB/QB = (m – n)/n Suma de
segmentos
13.- AB/QB = (n – m)/n Multiplicando por
-1
14.- QB = AB.n/n – m Despejando QB
15.- QB = (1622 . 29)/29 – 11 Remplazando
hipótesis
16.- QB = 2613,22 Operaciones
17.- X´ = X2 – QB Diferencia entre el
punto final y QB
18.- X´ = 863 – 2613,22 Remplazando
afirmación 16 e hipótesis
19.- X´ = -1777,22 Operando
9) (Para ver el gráfico faltante haga click
en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) PA = 10u
PB = 30u
AC/5 = BC/3
T) PC = ?
Afirmaciones Razones
1.- AC/5 = BC/3 Por hipótesis
2.- PC – PA/5 = PC – PB/3 Operaciones con
segmentos
3.- PC – 10u/5 = PC – 30u/3 Remplazando
hipótesis
4.- 5PC – 150 = 3PC –
30 Transposición de términos
5.- PC = 60 Despejando PC
10) Dado un AB de coordenadas ( -69 ; 183 ) , encontrar
la relación m/n, si PB = 49
(P divide internamente al AB)
H) PB = 49
AB = 252
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = m/n Formando proporciones
2.- (AB – PB)/PB = m/n Suma de
segmentos
3.- (252 – 49)/49 = m/n Remplazando
hipótesis
4.- 303/49 = m/n Operando
5.- 29/7 = m/n Simplificando
11) Dado un AB de coordenadas ( -47 ; 78 ) , encontrar
la relación m/n, si AP = 55
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
( P divide internamente al AB)
H) AP = 55
AB = 125
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = m/n Formando proporciones
2.- AP/(AB – AP) = m/n Suma de
segmentos
3.- 55/(125-55) = m/n Remplazando
hipótesis
4.- 55/70 = m/n Operando
5.- 11/14 = m/n
12) Dado un AB de coordenadas ( -37 ; 75 ) , encontrar
la relación m/n 1, si BQ =152 (Q divide
externamente al AB).
H) m/n 1
AB = 112
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AQ/BQ = m/n Formando Proporciones
2.- AB + BQ/BQ = m/n Suma de segmentos
3.- (112 + 152)/152 = m/n Remplazando
hipótesis
4.- 264/152 = m/n Operaciones
5.- 33/19 = m/n Simplificando
13) Dado un AB de coordenadas (-228; 563), encontrar la
relación m/n 1, si AQ = 791 ( Q divide
exteriormente al AB).
H) m/n 1
AB = 791
T)m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AQ/BQ = m/n Formando proporciones
2.- AQ/(AQ + BQ) = m/n Suma de segmentos
3.- 791/(791+791) = m/n Remplazando
hipótesis
4.- 791/1582 = m/n Operaciones
5.- = m/n Simplificando
15) Si los puntos P y Q dividen armónicamente al
AB en relación m/n 1, cuál es la
relación m/n si: PB = 3420 y BQ = 16074
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
H) m/n 1
PB = 3420, BQ = 16074
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/QB = m/n Formando
proporciones
2.- X/3420 = 12654 – X/16074 Suma de seg. y
remplazando hipótesis
3.- 16074X = 43276680 – 3420X Aplicando ley de las
proporciones
4.- 19494X = 43276680 Transposición de
términos y operaciones
5.- X = 43276680/194994 Despejando X
6.- X = 2220 Operando
7.- 2220/3420 = m/n Remplazando X e igualando con
m/n
8.- 111/171 = m/n Simplificando
16) Si los puntos P y Q dividen armónicamente al
AB en relación m/n 1, cual es la relación
m/n si : AB = 792 y PQ = 274.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
H) AB = 792, PQ = 274
m/n 1
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB =AQ/BQ = m/n Formando proporciones
2.- X/(792-X) = 274 – X/1066 –
X Remplazando hipótesis y sumade segmentos
3.- 1066 – X2 = 217008 – 274X +
792 + X2 Ley de las proporciones.
4.- X2 – 1066X + X2
–274X – 792X + 217008 = 0 Igualando a 0 y
multiplicando por -1
5.- 2X – 2132X + 217008 = 0 Términos
semejantes
6.- X2 – 1066X + 108504 =
0 Multiplicando por ½
7.- X = 1066 10662
– 4(108544) /2 Aplicando formula de ecuación
de 2do grado
8.- X = 114,02 Operando
9.- X/(792 – X) = m/n Por afirmación
1
10.- 114,02/(792 – 114,02) = m/n Remplazando
X
11.- 114,02/677,98 = m/n Operando
17)Si los puntos P y Q dividen armónicamente al
AB en relación m/n 1, cual es la relación
m/n si; AB = 5640 y PQ = 12654.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
H) AB = 5640 PB = 12654
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/BA = m/n Formando
proporciones
2.- X/5640 – X = 12654 – X/18294 –
X Remplazando hipótesis y suma de segmentos
3.- 18294X –X2 = 71368560 –5640X
–12654X +X2 Aplicando ley de las
proporciones
4.- X2-18294X +X2+71368560
-12654X+5640X =0 Multiplicando por -1 e igualando a 0
5.- 2X2 – 36588X + 71368560 = 0
Términos semejantes
6.- X2 – 18294 + 35684280 =
0 Multiplicando por ½
7.- 18294 (18294)2
– 4(35684280) /2 Aplicando formula de
ecuación de 2do grado
8.- X = 2220 Operaciones
9.- X/ 5640 – X = m/n Por afirmación
1
10.- 2220/5640 – 2220 = m/n Remplazando
X
11.- 2220/3420 = m/n Operando
18) Dados los puntos A y B de coordenadas (-27; 29),
determinar BS tal que BS2 = AB.AS (S en un punto
situado entre A y
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
B).
H) BS2 = AB.BS
AB = 56
T) BS = ?
Afirmaciones Razones
1.- BS2 = AB.AS Por
hipótesis
2.- BS2 = AB(AB – BS) Suma de
segmentos
3.- BS2 = AB2 –
AB.BS Destrucción de segmentos
4.- BS2 = 562 – 56BS Por
hipótesis
5.- BS2 +56BS – 3136 = 0 Operaciones e
igualando a 0
6.- BS = -56 562 +
4(-3136) /2 Aplicando formula de ecuación de
2do grado
7.- BS = 34,61 Operaciones
19) Si los puntos P y Q dividen armónicamente al
AB ( m/n 1), calcular AB si: PB.BQ =28 y BQ –PB =
7.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
H) PB.BQ = 28
BQ – PB = 7
T) AB = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/BQ = m/n Formando
proporciones
2.- (AB – PB)/PB = (AB + BQ)/BQ Operaciones con
segmentos
3.- BQ.AB – BQ.PB = PB.AB + PB.BQ Aplicando ley de las
propiedades
4.- BQ.AB – PB.AB = 2BQ.PB Transposición
de términos
5.- AB(BQ – PB) = 2BQ.PB Factor
común
6.- AB(7) = 2(28) Por hipótesis
7.- AB = 8 Operaciones
20)(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
H) P y Q dividen armónicamente al AB
AM = MB
T) MB2 = MP. MQ
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/QB = m/n Formando
proporciones
2.- (AM+MP)/(MB- MP) =(AM+MQ)/(MQ-MB) Operaciones con
segmentos
3.- (MB+MP)/(MB- MP) =(MB+MQ)/(MQ-MB) Remplazando
hipótesis
4.- MB.MQ – MB2 + MP.MQ – MP.MB = Aplicando
ley de las proporciones
MB2 + MB.MQ – MP.MB – MP.MQ
5.- –2MB2 = 2MP.MQ Términos
semejantes
6.- MB2 = MP.MQ Operaciones
21) Si P y Q dividen armónicamente al AB en
relación m/n 1, demostrar que:
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
2/AB = 1/AP+ 1/AQ
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/BQ = m/n Formando
proporciones
2.- AP/AB – AP = AQ/AQ – AB Suma de
segmentos
3.- AQ.AP – AP.AB = AQ.AB – AP.AQ Aplicando
ley de las proporciones
4.- 2AQ.AP = AQ.AB + AP.AB Transposición de
términos
5.- 2/AB = 1/AQ + 1/ AP Transposición de
términos ysimplificando
22) Si p y Q dividen armónicamente al AB en
relación m/n 1, demostrar que:
(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")
2/AB = 1/AP – 1/AQ
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/QB = m/n Formando
proporciones
2.- AP/AB – AP = AQ/AQ + AB Suma de
segmentos
3.- AP.AQ + AP.AB = AB.AQ – AQ.AP Aplicando ley de
las proporciones
4.- 2AP.AQ = AB.AQ – AP.AB Transposición
de términos
5.- 2AP.AQ = AB(AQ – AP) Factor
común
6.- 2/AB = 1/AP – 1/AQ Transposición de
términos
23) (Para ver el gráfico faltante haga click en
el menú superior "Bajar Trabajo")
H) A y C dividen armónicamente al BD
AD = 5 AB, XA = 20, XC = 35
T) XB = ? ; XD = ?
Afirmaciones Razones
1.- BC/CD = BA/AD Formando proporciones
2.- (AC – AB)/(AD – AC) = AB/AD Suma de
segmentos
3.- (15 – AB)/(5AB – 15) =
AB/5AB Remplazando hipótesis y simplifica
4.- 75 – 5AB = 5AB – 15 Aplicando ley de
proporciones
5.- AB = 9 Despejando AB y términos
semejantes
6.- m/n = 1/5 Remplazando afirmación 5 e
hipótesis
7.- XB = 35 – 6 Restando BC de Xc
8.- XB = 29 Operaciones
9.- XD = 35 + 30 Sumando XD y CD
10.- XD = 65 Operaciones
Página siguiente  |