Límite y Continuidad de Funciones

1. Resumen
2. Límite de una
   función
3. Definición de
   límite de una función
5. Infinitésimo
6. Ejercicios
   propuestos 2
7. Funciones
   que crecen sin límite
8. Límites
   indeterminados
9. Ejercicios
   propuestos 3
10. Continuidad
    de una función
11. Bibliografía

Resumen

Estudio del límite de funciones en un
punto; comenzaremos dicho estudio analizando la gráfica de
una función.
Trataremos los teoremas referentes a los límites de
funciones y los límites indeterminados Estudio de la
continuidad de funciones.

Límite de
una función

La noción de límite de una función
en un número (un punto de la recta real) se
presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que
se nos pide dibujar la gráfica de la
función

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la
gráfica por los métodos
conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento
de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos
conjuntos de
valores
x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la
derecha. La siguiente tabla muestra los
correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda x se acerca al
1 por la derecha

f (x) se acerca al 3 f (x) se
acerca al 3

La figura 1 es la gráfica de la
función
y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en
el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no
está definida en el número 1. Es de notar que
ésta gráfica es la de la función menos el punto (1; 3).
La función g se obtiene a partir de la
función f, factorizando el numerador y
simplificando. La discusión anterior conduce a la
siguiente descripción informal: Si f(x)
se aproxima arbitrariamente a un número L cuando
x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el
límite f(x) cuando x tiende a
a es L, y escribimos

Definición
de límite de una función

Sea f una función definida en todo
número de algún intervalo abierto I que
contiene a a excepto posiblemente en el número
a mismo. El límite de f(x) cuando
x se aproxima a a es L, lo cual se escribe
como , si para cualquier
, no importa que
tan pequeña sea, existe una tal que

si entonces

Esta definición indica que los valores de
f(x) se aproximan al límite L
conforme x se aproxima al número a, si el
valor absoluto
de la diferencia puede hacerse tan pequeña como de desee tomando
x suficientemente cerca de a pero no igual a
a.

En la definición no se menciona nada acerca del
valor de f(x) cuando x = a;
recordemos que la función no necesita estar definida en
a para que exista.

Ejemplos 1.

1) Utilicemos la definición para demostrar que

Como la función está definida en todo
intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la
definición para hacer la demostración.

Se debe demostrar que para cualquier existe una tal que

si entonces (A)

si
entonces

si
entonces

si
entonces

Entonces, si tomamos se cumple la proposición (A). Esto
demuestra que