Un nuevo período, y más crítico,
empezó en 1812 cuando Gauss publicó la
célebre memoria que
contenía por primera vez un estudio riguroso de la
convergencia de las series infinitas. Pocos años
más tarde, Cauchy (en 1821) introdujo una
definición analítica del concepto de
límite y expuso los fundamentos de la teoría
moderna de convergencia y divergencia de las series infinitas.
Con ello quedó claro que una serie infinita de
números tiene suma finita si la serie es convergente, o lo
que es lo mismo: si la serie converge, entonces tiene suma
finita.
Cuando nos encontramos con una serie infinita de
números hay dos cosas que debemos determinar: a) si la
serie converge o no, b) si converge, ¿cuál es su
suma? La mayor dificultad para tratar de dilucidar ambas
cuestiones es poder
determinar el término n-ésimo de la sucesión
de las sumas parciales. En realidad, puede decirse que son raras
las series en las que es posible hallar una fórmula que
nos de la suma de los n primeros términos de la serie. Por
tanto, si para determinar la convergencia de la serie es preciso
hallar el límite cuando n tiende a infinito del
término n-ésimo de la sucesión de las sumas
parciales, cave la pregunta: ¿de qué manera podemos
saber en el caso general el carácter de la serie?
De suerte que se han desarrollado criterios que permiten
determinar el carácter de la serie sin tener que hallar el
término n-ésimo de la sucesión de las sumas
parciales. Existe un número bastante amplio de criterios,
unos más apropiados que otros para este o aquel tipo de
serie, que nos permite realizar semejante cálculo.
Ahora bien, no existe un criterio único, una metodología universal que resuelva el
problema en cuestión. La determinación del
término n-ésimo de la sucesión de las sumas
parciales de una serie es un problema que su solución
abriría las puertas al problema de determinar de manera
muy sencilla si una serie converge o no y, si converge,
¿cuál es su suma? Veamos.
DESARROLLO:
Supongamos que conocemos el término
n-ésimo de la sucesión que las sumas parciales nos
da la serie. La tarea que nos ocupa es, conocimiento
el término n-ésimo de la sucesión en
cuestión, encontrar el término n-ésimo de la
sucesión de las sumas parciales. Para simplificar la
cuestión, traslademos el análisis al terreno de las funciones.
Evidentemente, el término n-ésimo de una
sucesión es una función,
pero que sólo toma valores
enteros. Es decir, el conjunto de partida son los números
naturales. Por ejemplo, la sucesión de Zenón tiene
la forma
m = f(n) = (1/2)n, con n por 1, 2, 3, 4,
… (I)
Aquí utilizamos, en lugar de las variables x,
y, z, etc.; las variables n, m, ñ, etc., para denotar que
se tratan de variables discretas. La tarea consistirá en,
conociendo f(n), encontrar la función, digamos g(n), que
es el término n-ésimo de la sucesión de las
sumas parciales. ¿Se puede establecer una especie de
cálculo, al estilo del infinitesimal, que resuelva el
problema planteado? Pensamos que sí, que sí se
puede. Llamemos este nuevo cálculo, cálculo
finitesimal (por analogía al infinitesimal).
Supongamos que tenemos la función m = g(n). Si a
esta función le aplicamos el operador "m*", que consiste
en calcular
m* = g(n+1) – g(n), (II)
se obtiene una nueva función, digamos m = f(n),
que le llamaremos derivada finitesimal de la función m =
g(n). Aquí el término "finitesimal" se toma por
analogía al cálculo infinitesimal.
Este operador es análogo al de derivada
infinitesimal, lo único que cambia es que se aplica para
variables discretas y para cuando el incremento tiende a 1 (se
puede calcular el límite cuando el incremento tiende a 1
de la razón de la diferencia de la función
incrementada menos la función sin incrementar dividido el
incremento).
Apliquemos, ahora, el operador "/m", que es el inverso a
la operación de derivación finitesimal. Podemos
llamarle integral finitesimal, por analogía al
cálculo infinitesimal.
Del concepto de que este operador es inverso en
relación al de derivación finitesimal se deduce
que
/m = /f(n) = g(n) (III)
De modo que se tiene
/m* = m
De aquí que
g(n+1) – g(n) = f(n) (IV)
Es evidente que la integración finitesimal de la
función m=f(n) nos retrotrae a la función m=g(n),
que no es más que la función que al derivarla de
forma finitesimal nos da la función m=f(n).
Supongamos entonces que la función m=f(n) es el
término n-ésimo de la sucesión que sus sumas
parciales nos da la serie. ¿Qué es lo que queremos
encontrar? La función que es suma de la sucesión de
sumas parciales. Se puede demostrar que este término
n-ésimo, la función digamos m=g(n), es el resultado
de operar sobre la función que surge de la
integración finitesimal de la función m=f(n), que
es término n-simo de la sucesión cuyas sumas
parciales da la serie. Veamos.
De (IV) se tiene que
g(n+1) – g(n) = f(n)
Si sustituimos en la función anterior la variable
n por los Naturales y sumamos término a término,
obtenemos la serie
a2 – a1 = f(1)
+ a3 – a2 = +
f(2)
+ a4 – a3 = +
f(3)
+ a5 – a4 = +
f(4)
+ … = + …
+ ak – ak-1 = +
f(k-1)
+ ak+1 – ak = + f(k)
= ak+1 – a1
F(1) + f(2) + f(3) + f(4) + … + f(k) =
ak+1 – a1 (V-a)
Señalemos que, como puede verse, los
términos intermedios en la suma anterior se anulan, de
modo que la suma da el término:
ak+1 – a1
Pero "ak+1 – a1" es la
evaluación de la función g(n) para
k+1 menos la evaluación de la función g(n) para n=1
y es, a su vez, la diferencia que surge entre el incremento de la
función m=g(n) en 1 y la sustitución de la
función en cuestión en 1, también. De
aquí que este término es la expresión g(n+1)
– g(1). De igual modo, f(k) no es más que f(n) para
cuando k=n. Así resulta que:
f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) = Límite
(g(n+1) – g(1)), (V-b)
con g(n) = /f(n) y n que tiende a infinito.
Por tanto, se tiene el teorema que dice que el
término general que nos da la suma de una serie, al hacer
tender n a infinito, es la diferencia que se obtiene al restar la
función incrementada en 1, que es integral finitesimal de
la función que es término general de la
sucesión que sus sumas parciales forma la serie, menos la
evaluación de la función en 1, que es integral
finitesimal de la función que es término general de
la sucesión que sus sumas parciales da la
serie.
Por tanto, conociendo la función m=f(n), que es
término general de la función cuyas sumas parciales
de la serie, podemos encontrar la función que, al operar
sobre ella, nos da la suma de la serie. Toda el problema estriba
en poder integrar de forma finitesimal la primera
función.
Tomemos, por ejemplo, la función
m = (1/2)n/(-1/2) (VI)
Calculemos su derivada finitesimal
m* = (1/2)n+1/(-1/2) –
(1/2)n/(-1/2) = (1/2)n
Esta sucesión es la de Zenón, es decir
½, ¼, 1/8, …
Supongamos, entonces, que queremos encontrar la suma de
la serie de Zenón, es decir
½ + ¼ + 1/8 + …
Para ello, calculemos la integral finitesimal de la
función m = (1/2)n
Tomemos el caso general donde la base es un
número a cualquiera. Sea m=an .Su derivada
será m* = an+1-an =
an.(a-1). Pero la derivada finitesimal de una
constante por una función es el producto de la
constante por la derivada de la función. Esto se puede
demostrar fácilmente. De aquí que la integral
finitesimal de la función m=an sea la misma
función m=an, pero dividida por la constante
(a-1). Para el caso de la de Zenón será,
entonces
m = (1/2)n/(-1/2) , que es la propia
función (VI).
Claro que podíamos habernos ahorrado estos
cálculos, pero queríamos mostrar cómo se
obtuvo (VI).
Si ahora queremos encontrar la suma de la serie de
Zenón a partir de la integral finitesimal, tenemos que
calcular la diferencia
ak+1 – a1
Sabemos que
ak = (1/2)n/(-1/2) ,para
n=k
De donde, la integral finitesimal será
m = (1/2)n+1/(-1/2) –
(1/2)1/(-1/2) = 1 – (1/2)n
(VII)
En este caso, se tiene la serie
½ + ¼ + 1/8 + … = Límite (1-
(1/2)n) ,con n que tiende a infinito.
Para encontrar la suma basta con calcular el
límite cuando n tiende a infinito de la función que
es "término" de la serie, es decir (VII). En este caso,
como puede verse, el resultado es 1, que es la suma de la serie
de Zenón.
Notemos que el operador que desarrollamos anteriormente,
la derivada finitesimal, puede tener una interpretación geométrica muy
simple.
Sean p1(x1, y1) y
p0(x0, y0) dos puntos cualquiera
del plano Oxy. La recta que pasa por estos dos puntos
tendrá la ecuación
y =
((y1-y0)/(x1-x0)).x
–
((y1-y0)/(x1-x0).x0
– y0 (VIII)
Es decir, tendrá la forma y = a.x + b ,con a por
pendiente. De aquí que la expresión que aparece en
(VIII) delante de x represente la pendiente en cuestión.
Ahora bien, los puntos p1 y p0 pueden ser
interpretados como dos puntos consecutivos (para valores
naturales de n) de la función m=f(n). De aquí que
se pueda escribir p1(n1, m1) y
p0(n0, m0), de donde la
pendiente toma la forma
(m1-m0)/(n1-n0)
(IX)
Pero como p1 y p0 son dos puntos
consecutivos de la función m=f(n), entonces
n1= n0 + 1 y m1=
m0+ 1 (X)
Al mismo tiempo, de (X)
y de lo que sabemos
m0 = f(n0) y m1 =
f(n1) = f(n0 + 1)
Si ahora sustituimos en (IX) los valores
anteriores, tenemos
(f(n0+1) –
f(n0))/(n0 +1 – n0) =
f(n0+1) – f(n0)
El miembro de la derecha de la anterior es la derivada
finitesimal de la función m=f(n) evaluada para
n=n0, y como partimos de la pendiente de la recta que
pasa por (n0, m0); entonces el operador en
cuestión (la derivada finitesimal) es la pendiente de la
recta que pasa por el punto p0 y el consecutivo a
él en la función m=f(n). Esta es la
interpretación de este operador.
En fin, si conocemos el término general de la
sucesión que es base de la serie, podemos (en principio)
encontrar el "término" que nos permite sumar la serie.
Todo estriba en poder encontrar la integral finitesimal de aquel
término n-ésimo (el de la
sucesión).
Notemos que por esta vía se puede encontrar
fácilmente el "término" suma de las series que
tienen por base sucesiones con
términos n-ésimo del tipo de funciones
polinómicas. Así, las integrales
finitesimales son:
- si m = n, la integral será m = n2/2
– n/2 + c - si m = n2, la integral será m =
n3/3 – n2/2 + n/6 + c - si m = n3, la integral será m =
n4/4 – n3/2 + n2/4 +
c - si m = n4, la integral será m =
n5/5 – n4/2 + n3/3
– n/30 + c - etc.
Para que se entienda esto, hagamos los pasos de un caso.
Sea la función m = n2. Supongamos que queremos
encontrar su integral. La buscamos por m = n3.
Derivemos esta última. Obtenemos m = 3n2 + 3n +
1. Debemos, ahora, anular el primer coeficiente, es decir 3. Como
la derivada finitesimal de una constante por una función
es la constante por la derivada de la función, entonces la
integral finitesimal de una constante por una función es
la constante por la integral finitesimal de la función, de
modo que hay que buscar por m = n3/3. Al derivarla nos
da la función m = n2 + n + 1/3. Debemos, ahora,
anular el resto del polinomio de orden menor, conservando la
parte principal. Para ello le restamos lo que será la
integral de m = n, es decir buscamos por la fórmula m =
n3/3 – (n2/2 – n/2). Derivemos esta
expresión. Nos da la expresión m = n2 +
1/3. Debemos, ahora, anular el término 1/3.
Restémosle n/3, que es la integral finitesimal de 1/3.
Tenemos entonces la expresión m = n3/3 –
n2/2 + n/2 – n/3, es decir m = n3/3
– n2/2 + n/6, que al derivarla nos da m =
n2. Y como queremos el caso general, debemos sumar a
este polinomio el sumando o la constante c. En general, por esta
vía se pueden encontrar la integral finitesimal de toda
función polinómica.
Supongamos ahora que tenemos la
sucesión
1, 8, 27, 256, …,n3
Y queremos encontrar la suma de sus primeros 99
términos. No podemos sumar la serie hasta infinito porque
es divergente, pero podemos pretender sumar una cifra limitada de
términos. Se comprenderá que calcular cada
término (elevando al cubo) y después sumarlos es
una ardua tarea. Pero podemos abreviar la tarea usando el teorema
anterior de forma modificada. Veamos.
La integral finitesimal de m=n3 es (como
vimos) m = n4/4 – n3/2 +
n2/4. Aquí, podemos ignorar el término
c. Usando la integral finitesimal de m=n3, podemos
calcular dicha suma.
Del teorema anterior sabemos que la suma desde 1 hasta k
de los k primeros términos de la sucesión f(n) es
la diferencia que surge al evaluar la función g(n) en k+1
y restarle g(1), donde g(n) es /f(n). Así:
1 + 8 + 27 + …+ f(99) = g (99+1) – g(1),
con g(n) por /f(n).
Sustituyendo:
= (100)4/4 – (100)3/2 +
(100)2/4 – 14/4 + 13/2
– 12/4
= ¼ x 108 – ½ x 106
+ ¼ x 104
Esta es la suma en cuestión.
CONCLUSIONES
El desarrollo en
extensión de un cálculo de este tipo, al que
llamamos finitesimal, podría abrir las puertas a muchos
problemas
matemáticos.
Autor:
Evelio Pérez Fardalez
BREVE BIOGRAFÍA DEL AUTOR: Mi
nombre es Evelio A. Pérez Fardalez. Nací en Sancti
Spíritus, Cuba. Mis
estudios iniciales fueron de economía industrial en la Universidad
Central de Las Villas. Más tarde de ocupé de la
filosofía, de la que me gradué en
1984 en la Universidad Estatal de Moscú. Soy, actualmente,
profesor de
filosofía del Instituto de Medicina de
Sancti Spíritus, Cuba.
Sancti Spíritus, Cuba. Mayo, 21 de
2008
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