RESUMEN:
En el trabajo se
desarrolla un teorema y sus aplicaciones en la teoría
de series y sucesiones. Con
el mismo se puede calcular suma de series conociendo el
término n-ésimo de la sucesión que es base
de la serie.
INTRODUCCION
La teoría de series y sucesiones tiene sus
antecedentes en la antigüedad clásica. Ya desde la
época de Zenón de Elea se conocen intentos por
comprender los fenómenos matemáticos de series y sucesiones.
Zenón fue un hombre que se
caracterizó por construir muchas aporías, de las
cuales sólo cuatro llegaron hasta nosotros. En una de
ellas él se preguntaba ¿cómo es que Aquiles,
el de los pies ligeros, puede recorrer, es decir correr, el
estadio (125 pasos geométricos u octava parte de una
milla)? El decía: antes de llegar a la meta, Aquiles
tiene que recorrer la mitad del camino. En este momento le resta
la otra mitad. Ahora bien, antes de recorrer la mitad restante,
tiene que recorrer la mitad de esta mitad, de modo que aún
le resta la mitad de esta mitad, es decir la cuarta parte. Pero
antes de recorrer esta cuarta parte restante, tiene que recorrer
su mitad, y así sucesivamente. Evidentemente, siempre
–supone Zenón- le quedará una parte por
recorrer.
Claro que Zenón no intentaba negar que Aquiles
llegase a la meta. Él sólo trataba de mostrar la
aparente imposibilidad racional del movimiento.
Cuentan que Diógenes de Sinope, el cínico,
intentaba refutar estos argumentos caminando en círculos
alrededor de su oponente. Pero una verdad racional no se refuta
demostrando lo contrario, se refuta delatando la falla lógica.
El hecho de que Diógenes sólo atinase a caminar sin
poder decir
nada, muestra
cuán fuerte son los argumentos de Zenón.
Ya en el siglo XVII y XVIII, algunos matemáticos
empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma
ordinaria de conjuntos
finitos a conjuntos infinitos, de manera que en algunos casos la
suma de conjuntos de infinitos números fuese finita. La
idea que propone Zenón en esta aporía es que la
suma de un número ilimitado de cantidades positivas no
puede tener una suma finita.
La sucesión que propone Zenón es la
siguiente: primero el corredor tiene que recorrer la mitad del
estadio, luego la mitad de la mitad restante (es decir, la cuarta
parte), luego la mitad de la mitad de la mitad (es decir, la
octava parte), y así sucesivamente. Es decir, la
sucesión tiene la forma:
½, ¼, 1/8, 1/16, …
Evidentemente, esta sucesión tiene infinitos
términos, cada uno de los cuales es una magnitud positiva.
Fácil es comprender que la magnitud que tiene que recorrer
el corredor viene dada por la serie
½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + …
¿Qué es lo que propusieron los
matemáticos?, que la serie anterior tiene suma positiva
finita, aunque se sumen infinitos términos. Sabemos que en
este caso la suma es 1, es decir la unidad (la unidad que el
estadio representa).
Los primeros investigadores en este dominio
ponían poca o ninguna atención en las cuestiones de convergencia
o divergencia de las series. Trataban las series infinitas como
si fuesen sumas ordinarias, como si estuviesen supeditadas a las
leyes usuales
del álgebra,
sin tener en cuenta que estas leyes no pueden extenderse
universalmente a las series infinitas. Por eso, no es
sorprendente que se haya visto más tarde que algunos de
los resultados obtenidos fuesen incorrectos. Afortunadamente,
muchos de aquellos pioneros tenían una intuición y
destreza poco frecuente, que les evitaba llegar a conclusiones
falsas, aunque no pudieran justificar los métodos
empleados.
Entre los primeros matemáticos que se ocuparon de
las series ocupa un lugar importante Leonar Euler. Euler
descubría una fórmula interesante después de
otra y a la vez utilizaba las series infinitas como concepto
unificador de diversas ramas de las matemáticas, que hasta entonces estaban sin
relación. La extensión del uso de las series
infinitas empezó más tarde, cerca de 50 años
después del nacimiento de Euler, coincidiendo con el
desarrollo del
cálculo
infinitesimal. Nicolás Mercator y Guillermo Brunckor
descubrieron en 1668 una serie infinita para el logaritmo al
intentar calcular el área de un segmento
hiperbólico. Poco después Newton
descubrió la serie binómico. Estos descubrimientos
constituyeron un punto fundamental en la historia de las
matemáticas. Poco después de la muerte de
Euler, el caudal de nuevos descubrimientos empezó a
disminuir y el período formal en la historia de las series
llegó a su término.
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