¿El Algebra Lineal tiene puntos de contacto con el Cálculo? (Ampliación de una propuesta de tratar dos temas en uno)
- ¿Qué
conceptos englobamos en la categoría
Extremos? - ¿Qué es un
punto de extremo absoluto o global sobre un conjunto A para una
función real de n variables reales? - Teorema
de Fermat - Ludwig
Otto Hess (1811-1874) - Conclusiones
Introducción
Generalmente en las bibliografías que tratan el
Cálculo
Diferencial de funciones reales
de varias variables
reales pues al abordar la teoría
de extremos locales de tales funciones aun cuando se exponga la
teoría en forma general solo se ilustra la
aplicación de teoremas correspondientes en el caso de dos
variables independientes. Con este documento tengo el objetivo de
ilustrar algunos ejemplos de resolución de ejercicios de
búsqueda de puntos de extremo local para funciones reales
de dos o tres variables independientes (aunque la teoría
se expondrá para el caso de n variables independientes)
por lo que solo abordaré el caso de extremos no
condicionados o sea de extremos libres.
Objetivos:
- Reactivar algunos conceptos y teoremas relacionados
con los extremos de funciones de varias
variables. - Ilustrar mediante la resolución de
ejercicios cómo determinar puntos de extremo local de
una función real de tres variables reales
diferenciables mostrando a su vez la vinculación con
el Algebra
Lineal.
Desarrollo
Recordemos algunos aspectos teóricos
esenciales.
¿Qué conceptos englobamos en la
categoría Extremos?
- Pues los máximos y mínimos.
¿Qué es un punto de extremo absoluto o global
sobre un conjunto A para una función real de n variables
reales?
Es un punto de A en el cual la función alcanza el
mayor o el menor valor respecto
al resto de los valores
que toma dicha función en los puntos de A.
En símbolos:
Sea una función 
decimos que 
es un punto de máximo
absoluto o global si para todo 
es verdadero que 
.
Sea una función 
decimos que es un punto de mínimo absoluto
o global si para todo es verdadero que 
¿Y cuándo hablamos de puntos de
extremo local o relativo?
Pues cuando el máximo o el mínimo lo es
respecto al resto de los valores que
toma la función en cierto entorno del punto (este entorno
se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respecto al
esto de los valores de la función en todos los
demás puntos de A.
Sea una función
decimos que
es un punto de máximo local o relativo si
existe al menos un número positivo 
tal que para todo 
es
verdadero que 
.
En símbolos:
Sea una función
decimos que es un punto de mínimo local o relativo
si existe al menos un número positivo
tal que para todo
es verdadero que 
.
Ejemplos:
El punto
es un punto de mínimo absoluto y local
para la función definida por 
El punto
es un punto de máximo absoluto y local
para la función definida por 
.
Es importante que usted tenga en cuenta que aunque estos
dos ejemplos anteriores ha sido la casualidad que el extremo
local es a la vez global en general esto no es así. Tal es
el caso de la función definida por 
la cual tiene un mínimo
local en (1;-1) es igual a -1 pero este mínimo no es
global (¿Por qué?).
Obsérvese además que según la
definición un punto de extremo relativo tienen que ser un
punto interior del conjunto A por lo que puede darse el caso que
hayan extremos globales y no locales. Tal es el caso de la
función definida por
la cual tiene extremos globales y no locales en
el conjunto
.
Trate de justificar usted esta afirmación
utilizando sus conocimientos sobre extremos o inmediatamente
después de haber leído este material u otro
análogo!
Al igual que en el caso de funciones de una variable una
función de varias variables puede alcanzar un extremo
local en puntos donde puede o no ser diferenciable. ¿Pero,
en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede
alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge
en el teorema siguiente el cual es una extensión del
llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias
variables aunque solo será enunciado para el caso de tres
variables.
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