Técnicas de optimización (página 3)

Caso 35

MINAGRI (III)

La empresa de
cultivos varios de Baire opera cuatro granjas. La producción de cada granja está
limitada por la cantidad de agua
disponible para irrigación y por el número de
hectáreas disponibles para cada cultivo. Los datos de la Tabla
Nº Uno describen las granjas. Normalmente, la empresa
cultiva Tres tipos de productos,
aunque cada una de las granjas no necesariamente los cultiva
todos. Debido a la limitación en la disponibilidad de
equipos para cosechar, existen restricciones sobre el
número de hectáreas de cada producto que
se cultivan en cada granja. Los datos de la Tabla Nº Dos
reflejan el máximo de hectáreas de cada cultivo que
pueden producirse en cada granja. El agua que se
requiere (expresada en millares de pies cúbicos por
hectárea) para los respectivos cultivos son: seis, cinco y
cuatro.

Las utilidades que se proyectan por hectárea para
cada uno de los tres cultivos son $500.00, $350.00 y $200.00,
respectivamente.

Para mantener una carga de trabajo
equilibrada entre las cuatro granjas, la empresa ha adoptado la
política
de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de
terreno disponible. Plantee un modelo de
Programación Lineal para el problema, que
permita a la empresa determinar la cantidad (hectáreas) de
cada cultivo, que deben plantarse en cada granja, para que se
maximicen las utilidades totales esperadas

Tabla Nº Uno

Tabla Nº Dos

Caso 36

Ministerio del Turismo
(MINTUR)

La empresa del MINTUR de Santiago de Cuba debe
asignar personal a cinco
operadores disponibles. El administrador de
línea tiene a su disposición datos de prueba que
reflejan una calificación numérica de productividad
para cada uno de los cinco trabajadores en cada uno de los
trabajos. Estos datos se obtuvieron a través de un examen
de operación y prueba administrado por el departamento de
Ingeniería
Industrial (véase la siguiente tabla). Suponiendo que
un operador puede ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que
conduzca a la asignación óptima.

Caso 37

CUBAPAPEL

La empresa cubana de papel trabaja para las diferentes
empresas
productoras de caja de cartón. La empresa fabrica rollo de
papel "estándar" de 120 pulgadas de ancho. Sin embargo, no
necesariamente todos los pedidos son para este ancho. Es
frecuente que la empresa reciba pedidos de rollos más
angostos. Para satisfacer esos pedidos, los rollos más
angostos se cortan de los rollos estándar. Para el mes
siguiente, la empresa ha comprometido pedidos para el siguiente
número de rollos:

La gerencia de la
empresa desearía determinar el número mínimo
de rollos estándar que se requieran para satisfacer esta
demanda.
Plantee un modelo de PL apropiado para el problema.

ESTUDIO DE CASOS PARA SER RESUELTOS POR EL
LECTOR

Caso 38

Cadenas de tiendas "CARACOL"

Una tienda perteneciente a la Cadena "Caracol" tiene una
sola caja de salida, atendida por un cajero que también
hace las veces de empacador cuando no hay demasiados clientes. Los
clientes llegan a la caja según un proceso
poissoniano, a una tasa media de 30/hora. El tiempo que el
cajero necesita para obtener el monto de las compras de un
cliente, empacar
la mercancía y cobrar se distribuye exponencialmente, con
una media de dos minutos. Siempre que hay tres clientes o
más en la caja (incluido aquél a quien se
está atendiendo), un segundo empleado de la tienda tiene
órdenes de ayudar al cajero a empacar las ventas. Cuando
los dos empleados trabajan juntos, el tiempo de servicio para
un cliente sigue distribuyéndose exponencialmente, pero
con una media de un minuto.

Determínense:

1. el número de clientes que se encuentra
   simultáneamente en la caja de salida;
2. tiempo que un cliente debería permanecer en la
   caja de salida, y
3. tiempo que un cliente debería esperar
   permanecer en la fila, antes de que se calcule el monto de sus
   compras.

Caso 39

Cadena independiente S.A.

Una tienda que expende tabacos y diarios y que pertenece
a una cadena independiente de tiendas atiende a los clientes a
razón de un promedio de uno cada 30 segundos, con distribución exponencial. Los clientes
llegan de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de
tres por minuto, y pueden esperar por el servicio si el
dueño está ocupado con otro cliente. Determinado
número de clientes deciden no esperar y hacen sus compras
en otro lugar. La probabilidad de
que un cliente que llega rechace es n/3, donde n es el
número de clientes que ya se encuentra en la tienda. Si la
ganancia promedio/ cliente es 0.30. ¿Qué ganancias
espera perder el representante de la tienda por concepto de
clientes que parten y hacen sus compras en otro lugar?

CASO 40

MITRANS

Una oficina estatal
de transporte
tiene tres equipos de investigación de seguridad, a los
que se llama continuamente y cuyo trabajo consiste en analizar
las condiciones de la carretera en las cercanías de cada
accidente fatal ocurrido en caminos estatales. Los equipos son
igualmente eficientes; cada uno destina un promedio de dos
días a investigar y realizar el informe de un
accidente con el tiempo real aparentemente distribuido en forma
exponencial. Según parece, el número de accidentes
fatales en caminos estatales, sigue un proceso poissoniano, con
una tasa promedio de 300/año. Determine para este proceso
L, Lq, W- y Wq-
.

MITRANS

Caso 41

Una estación de servicio en un camino real tiene
sólo una bomba para despachar gasolina. Los
automóviles llegan a comprar gasolina siguiendo un proceso
poissoniano, con una tasa promedio de 10/hora. Aparentemente el
tiempo necesario para dar servicio a un automóvil se
distribuye exponencialmente, con una media de 2 min. En la
estación cabe un máximo de cuatro
automóviles y las leyes locales de
tránsito prohíben que los autos esperen
en la vía pública.

Determine:

a) El número promedio de automóviles que
se encuentran simultáneamente en la
estación;

b) el tiempo promedio que un cliente debe esperar para
obtener servicios una
vez que logra entrar en la estación;

c) la tasa promedio de pérdida de ingresos por
aquellos clientes que se van a realizar su compra a otro lugar
cuando la estación está llena, si la venta promedio es
de $15.00.

Caso 42

Ministerio de Comercio
Interior (MINCIN)

Los clientes llegan a una peluquería con una tasa
promedio de 5/h, con los tiempos reales de llegada con
distribución de poisson. Hay un peluquero disponible en
todo momento y hay cuatro sillas para los clientes que llegan
cuando el peluquero está ocupado. El reglamento local de
prevención de incendios
limita el número total simultáneo de clientes
dentro de la tienda, en todo momento, a un máximo de
cinco.

A los clientes que llegan cuando la peluquería
está llena, se les niega la entrada y se les da por
perdido. El tiempo de servicio del peluquero se distribuye
exponencialmente, pero la media cambia de acuerdo al
número de clientes en la peluquería. Conforme se
llena la peluquería, el peluquero trata de acelerar el
servicio, pero en realidad se vuelve menos eficiente,
según se muestra en la
siguiente tabla:

Determine:

a) el número promedio de personas que se
encuentran simultáneamente en la tienda;

b) el tiempo estimado que un cliente deberá
esperar para el servicio y

c) el porcentaje de tiempo que el peluquero permanece
ocioso

Caso 43

MINBAS

Una empresa del MINBAS que utiliza la formula
clásica CEP ha determinado que se deben colocar seis
pedidos por año para sus materias primas y utilizar un
inventario de
seguridad de una unidad, basado en la siguiente
distribución de demanda durante el período de
tiempo de anticipación del pedido:

El cargo de llevar el inventario por unidad/ año
es de $12.

1. ¿Cuál es el punto de
   partida?
2. ¿Cuál es el número esperado de
   faltantes?
3. ¿Cuál es la probabilidad de un
   faltante?
4. ¿Cuál es el costo
   implícito/unidad de los faltantes que la gerencia ha
   supuesto al escoger este inventario de seguridad?

Caso 44

Refinería HNOS. DÍAZ

Sea Dt la demanda mensual de una de
las piezas más importantes de la torre de craqueo de la
"Refinería Hermanos Díaz" de Santiago de Cuba. De
datos históricos se ha obtenido la siguiente
distribución de probabilidad
Dt:

DEMANDA MENSUAL

Dt para cualquier mes
t es una variable no controlable. La variable controlable
es el suministro Ot, para cualquier mes
t. Sea St el número de piezas
utilizadas en el mes t.

Entonces St= Dt
≤Ot

Puesto que es política de la refinería
vender a otra refinería del país al costo cualquier
exceso de piezas, la utilidad total
obtenida en la operación de un mes es:

Precio de venta Número de piezas = $ 20
St

Para resumir debemos simular:

St= Dt si Dt ≤
Ot

St= Ot si Dt >
Ot

Utilidad total = 20 St

La refinería está considerando las dos
políticas siguientes de pedido.

Política 1 Sea O t =
Dt – 1

Política 2 Sea O t =
__—Dt -1 + Dt –
2__

2

¿Qué política proporcionará
la mayor utilidad?

SOLUCIÓN DE
LOS ESTUDIOS DE CASOS

Caso 1

Fábrica de Fertilizantes de
Nuevitas

Identificación: Análisis de actividad.

Consideraciones:

1. Se trata de un problema de análisis de
   actividad.
2. Cómo utilizar recursos
   escasos para lograr la combinación de dos tipos de
   fertilizantes, de manera que la empresa obtenga el
   máximo de utilidades.
3. No está claro cuál es la utilidad por
   cada tipo de fertilizante, hay que deducirla.

Se confecciona el siguiente estado:

Hay dos tipos de fertilizante:

Fertilizante 5-5-10

Fertilizante 5-10-5

Para el 5-5-10

Costo del nitrato por ton. (0.05)(200) =
$10.00

Costo del fosfato por ton. (0.05)(80) = 4.00

Costo del potasio por ton. (0.10)(160) =
16.00

Costo de los ingredientes inertes (0.80)(10) =
8.00

Costo total, menos mezclado $38.00

Más: Costo de mezclado 15.00

Costo total $53.00

Utilidad: $71.50 – $53.00 = $18.5

Para el 5-10-5

Costo del nitrato por ton. (0.05)(200) =
$10.00

Costo del fosfato por ton. (0.10)(80) = 8.00

Costo del potasio por ton. (0.05)(160) = 8.00

Costo de los ingredientes inertes. (0.80)(10) =
8.00

Costo total, menos mezclado $34.00

Más: Costo de mezclado 15.00

Costo total $49.00

Utilidad: $60.00 – $49.00 = $11.00

Definición de las variables:

X1 = Toneladas métricas de
fertilizantes 5-5-10 a producir para el siguiente mes.

X2 = Toneladas métricas de
fertilizantes 5-10-5 a producir para el siguiente mes.

Planteamiento de las restricciones:

• Disponibilidad de nitrato: 0.05X1 +
  0.05X2 ≤ 1100
• Disponibilidad de fosfato: 0.05X1 + 0.1
  X2 ≤ 1800
• Disponibilidad de potasio: 0.10 X1 + 0.05
  X2 ≤ 2000

Función objetivo: MAX Z = 18.5
X1 + 11X2

Caso 2

Empresa Cubana de Calzado

Identificación: Análisis de
actividad.

Consideraciones:

2. Encontrar la mejor combinación de la
   producción.
3. Maximizar la utilidad.
4. Recursos: * Horas disponibles 1200

* Efectivo $ 16.560

4. Las utilidades hay que calcularlas.

Definición de las variables:

X1 = Total de pares de zapatos tipo
Primavera a producir el próximo mes.

X2 = Total de pares de zapatos tipo Botines
a producir el próximo mes.

X3 = Total de pares de zapatos tipo
Pantuflas a producir el próximo mes.

Planteamiento de las restricciones

• Disponibilidad en horas:

3.5 X1 + 2.5 X2 + 2
X3 ≤ 1200

• Disponibilidad en dinero:

4(3.25 X1 + 4.5 X2 + 2
X3) + 10(3.5 X1 + 2.5 X2 + 2
X3) + 3000 ≤ 16,560

• Demanda:

X1 ≥ 30; X2 ≥ 55;
X3 ≥ 32

• No negatividad:

X1, X2, X3 ≥
0

Función objetivo:

MAX Z = 60 X1 + 64 X2 + 50
X3 – [10(3.5 X1 + 2.5 X2 + 2
X3) + 4.5 X2 + 2 X3) + +
3000]

Caso 3

Empresa Cubana Taino

Identificación: Análisis de
actividad

Consideraciones:

1. Se producen dos tipos de bombas: normal
   y extra grande.
2. El proceso de manufactura
   implica 3 actividades: ensamblado, pintura y
   pruebas.
3. Se conocen las utilidades de ventas para cada una de
   las bombas.
4. Se conoce el tiempo requerido y el disponible para
   cada actividad.

Objetivo: Maximizar las utilidades por la venta de las
bombas normal y extra grande.

Definición de las variables:

X1 =Cantidad de bombas tipo normal a
fabricar semanalmente.

X2 = Cantidad de bombas tipo extra grande a
fabricar semanalmente.

Planteamiento de las Restricciones:

*De ensamble: 3.6 X1 +4.8 X2
≤ 4800

* De pintado: 1.6 X1 + 1.8 X2
≤ 1980

* De prueba: 0.6 X1 + 0.6 X2
≤ 900

* De producción: X1 ≥ 300

X2 ≥ 180

• No negatividad: X1 , X2 ≥
  0

Función objetivo: MAX Z = 50 X1 + 75
X2

Caso 4

La Empresa Cubana de Aisladores
Eléctricos

Identificación: Análisis de la
actividad.

Consideraciones:

1. Se fabrican tres tipos de aisladores.
2. Se presentan los parámetros de
   producción, costos por hora
   y los precios de
   cada uno.

Objetivo: maximizar las utilidades por
hora.

Definición de las variables:

X1 Número de aisladores de
aplicación general a producir por hora.

X2 Número de aisladores de
aplicación especial a producir por hora.

X3 Número de aisladores de alto
voltaje a producir por hora.

Planteamiento de las restricciones:

* De Horneado: 0.02 X1 + 0.025
X2 + 0.04 X3 ≤ 1

* De lavado y laminado: 0.025 X1 + 0.05
X2 + 0.10 X3 ≤ 1

* De pulimento: 0.04 X1 + 0.05
X2 + 0.10 X3 ≤ 1

* No negatividad: X1, X2,
X3 ≥ 0.

Función objetivo: MAX Z = 6
X1 + 12.5 X2 + 17.5
X3

Caso 5

La Empresa Cubana de Muebles

Identificación: Análisis de la
actividad.

Consideraciones:

1. Producción de dos tipos de escritorios:
   Ejecutivo y Secretarial.
2. Dos plantas
   diferentes.
3. Se conoce el precio de
   venta.
4. Se conocen el tiempo y costo de
   producción.
5. Hay disponibilidad de tiempo y
   financiera.

Objetivo: maximizar la utilidad.

Definición de las variables:

Xij = Tipo de escritorio i a producir en la
planta j por semana. Donde i = 1,2 j = 1,2

Planteamiento de las Restricciones:

• Disponibilidad de tiempo:

7 X11 + 4 X21 ≤ 80

6 X12 + 5 X22 ≤ 50

• Disponibilidad de recursos:

250 X11 + 260 X12 ≤ 2
000

200 X21 + 180 X22 ≤ 2
200

• No Negatividad: Xij ≥ 0;
  А i, j

Función objetivo: MAX Z = 350 (X11 +
X12) + 275 (X21 + X22) –
(250 X11 + 260 X12) – (200
X21 + 180 X22)

Caso 6

Hospital Provincial "Saturnino Lora", Santiago de
Cuba

Identificación: Problema de
dieta.

Consideraciones:

1. Se trata de obtener una dieta óptima
   utilizando dos fuentes de
   alimentos
   que contienen tres tipos nutrientes.
2. Se conocen los costos unitarios de los
   alimentos.
3. Se conocen los requerimientos nutritivos
   mínimos por día.

Objetivo: Minimizar el costo de la dieta que
satisfaga los requerimientos nutritivos establecidos.

Definición de la variables:

Xj = Cantidad de onzas de la fuente
alimenticia i que se requiere por día.

Planteamiento de las Restricciones:

* Nutriente A: 100 X1 + 200 X2
≥ 1000

* Nutriente B: 400 X1 + 250 X2
≥ 2000

* Nutriente C: 200 X1 + 200 X2
≥ 1500

* No negatividad: X1, X2 ≥
0

Función Objetivo: MAX Z = 0.375
X1 + 0.5 X2

Caso 7

Empresa Cubana del Petróleo

Identificación: Problema de mezclas.

Consideraciones:

1. Se utilizan tres tipos de gasolina base de las cuales
   se conoce: el octanaje, presión
   de vapor, disponibilidad y costo por barril.
2. Para fabricar dos tipos de gasolina a comercializar y
   que deben cumplir ciertas especificaciones.

Objetivo: Maximizar las utilidades.

Definición de las variables:

Xij = Barriles de gasolina base tipo i para
producir gasolina comercial tipo j en una semana.

Planteamiento de loas Restricciones:

• De octanaje:

Regular: 108 X11 + 90 X21 +73
X31 ≥ 80

Especial: 108 X12 + 90 X22 + 73
X32 ≥ 100

• Presión de vapor:

Regular: 4 X11 + 10 X21 + 5
X31 ≤ 9

Especial: 4 X12 + 10 X22 + 5
X32 ≤ 6

• Disponibilidad de gasolina base:

Tipo1: X11 + X12 ≤ 32
000

Tipo2: X21 + X22 ≤ 20
000

Tipo3: X31 + X32 ≤ 38
000

• De demanda de gasolina regular:

X11 + X21 + X31 = 30
000

• No negatividad:

Xij ≥ 0; А
i,j

Función objetivo: MAX Z = 21(X11 +
X21 + X31) + 24(X12 +
X22 + X23) – [22(X11 +
X12)+ 20(X21 +
X22)+19(X31 + X32)]

Caso 8

Fondo de Inversión de la Empresa del Níkel
(MINBAS)

Identificación: Selección
de Cartera de Inversión.

Consideraciones:

1. Se deben invertir los $2 000 000
2. El riesgo no debe
   ser superior a 0.20
3. El período promedio debe ser cuando menos
   cinco años y cuando más puede invertirse el 25%
   de la cartera de bienes
   raíces y acciones
   especulativas.

Definición de las variables:

Xj = Proporción de la cartera que se
invierte en el tipo de inversión j, en el período
que se designe.

Xj toma variable entre 0 y 1.

Como no se especifica el monto para algún tipo de
inversión, da un monto total.

Planteamiento de las Restricciones:

• De inversión total: X1 +
  X2 + X3 + X4 + X5 +
  X6 = 1
• Del factor riesgo: 0.02 X1 + 0.01
  X2 + 0.38 X3 + 0.45 X4 + 0.07
  X5 + 0.35 X6 ≤ 0.20
• Período de inversión: 8 X1
  +2 X2 + 5 X3 + 6 X4 + 2
  X5 + 4 X6 ≥5
• Legal: X4 + X6 ≤
  0.25
• No negatividad: Xj ≥ 0, j =
  1,2,3,4,5,6

Función objetivo: MAX Z= 0.085 X1 +
0.09 X2 + 0.085 X3 + 0.143 X4 +
0.067 X5 + 0.13 X6

Caso 9

EMPRESA AVÍCOLA NACIONAL

Identificación: Análisis de
actividad.

Consideraciones:

1. Hay gallinas y huevos.
2. Las gallinas tienen dos objetivos:
   poner huevos y utilizarlos para reproducir.
3. El huevo tiene un solo objetivo: para
   incubar.

Definición de las variables:

Xt = Cantidad de gallinas incubando en el
período t.

Yt = Número de gallinas que ponen
huevos en el período t.

Zt = Número de huevos que se incuban
en el período t.

t = 1, t = 2, t = 3

Planteamiento de las Restricciones:

Para t = 1: 4X1 + Z1 =
100

X1 + Y1 = 100

Para t = 2: 4 X2 + Z2 =
12Y1

Para t = 3: 4 X3 + Z3 =
12Y2

No negatividad: Xt , Yt ,
Zt , ≥ 0, t = 1,2

Función Objetivo: MAX Z=3 (4 X1
+ 4 X2 + 4 X3) + Z1 +
Z2 + Z3

Caso 10

Planta Mecánica "Taíno"

Identificación: Portafolio de
inversión.

Consideraciones:

1. Se busca asignar capital para
   los proyectos de
   crecimiento durante los próximos 4
   años.
2. Hay limitación de recursos.
3. Se conoce el valor
   presente estimado y lo que requiere cada proyecto en los
   siguientes años.
4. Se conoce la disponibilidad de fondos.

Objetivo: Maximizar el valor
presente.

Definición de las variables:

Xj = Valor proporcional que indica la
medida en que financia el proyecto j.

Xj = 1 Indica que el proyecto se financia
completamente.

Xj < 1 Señala que se somete a
análisis su solución.

Planteamiento de las restricciones:

• Requerimiento de capital por año:

Año 1: 30,000 X1 + 12,000
X2 + 30,000 X3 + 20,000 X4
≤ 65,000

Año 2: 40,000 X1 + 8,000
X2 + 20,000 X3 + 30,000 X4
≤ 80,000

Año 3: 40,000 X1 + 20,000
X3 + 40,000 X4 ≤ 80.000

Año 4: 30,000 X1 + 4,000
X2 + 20,000 X3 + 10,000 X4
≤ 50,000

● No Negatividad: Xj ≥
0

Financiamiento fraccionario de un proyecto:

0 ≤ Xj ≤ 1 j = 1, 2, 3, 4

Función Objetivo: MAX Z = 180,000 X1 +
20,000 X2 + 72,000 X3 + 80,000
X4

Caso 11

CUBANACAN, S. A (Estudio de Mercadotecnia)

Identificación: Problema de
Mercadotecnia.

Consideraciones:

1. La variable consiste en determinar el número
   de dólares de publicidad que
   debe invertirse en cada revista.
2. Determinar el número de anuncios que debe
   colocar en cada revista.
3. Se cuenta hasta con $38 000.00 dólares para
   invertir en publicidad y una determinada estructura
   de los clientes por edad, ingreso, educación.
4. Y también se cuenta con una información complementaria de la cantidad
   de lectores por revista y restricciones en cuanto al
   número máximo y mínimo de anuncios y el
   costo por anuncio.
5. El eje del problema es determinar cómo
   distribuir los $ 38 000 entre las tres revistas de tal manera
   de lograr la mayor efectividad de los anuncios.

Definición de la variables:

X1 = Cantidad de dólares que se
deben invertir en la revista A, en el período que se
analiza.

X2 = Cantidad de dólares que se
deben invertir en la revista B, en el período que se
analiza.

X3 = Cantidad de dólares que se
deben invertir en la revista C, en el período que se
analiza.

Planteamiento de las Restricciones:

• Disponibilidad en efectivo: X1+
  X2 + X3 ≤ 38,000
• Sobre el máximo de anuncios: (X1
  /500) ≤ 36

(X2 /750) ≤ 40

(X3 /800) ≤ 45

• Sobre el mínimo de anuncios que se deben
  hacer:

(X1 /500) ≥ 9

(X3 /800) ≥ 5

• No Negatividad: X1 , X2 ,
  X3 ≥ 0

Función Objetivo:

Para maximizar la exposición
efectiva (la efectividad que tenga la revista).

• Hallar primero el índice de lectura:

Índice de la lectura
de la revista A: (0.40) (40) + (0.35) (60) + (0.25) (30)
=0.445

Índice de lectura de la revista B: (0.40) (70) +
(0.35) (50) + (0.25) (20) = 0.505

Índice de la revista de la lectura C: (0.40) (60)
+ (0.35) (40) + (0.25) (60) = 0.530

• Lectores por revistas:

Revista A: (0.445) (789 000) = 351 105

Revista B: (0.505) (940 000) = 474 700

Revista C: (0.530) (1 250 000) = 662 500

Maximizar la exposición efectiva (un dólar
que invierta produzca la mayor cantidad de lectores).

Esto se calcula dividiendo la cantidad de lectores entre
el costo de un anuncio.

Exposición efectiva: Cantidad de lectores
por anuncio y por peso.

Revista A: (351 105)/ 500 = 702 Lectores por
dólar.

Revista B: (474 700)/ 750 = 633

Revista C: (662 500)/ 800 = 828

MAX Z = 702 X1 + 633 X2 + 828
X3

Caso 12

Hospital Clínico Quirúrgico de Santiago
de Cuba

Identificación: Planificación de Calendarios.

Consideraciones:

Los horarios (turnos) de 4 horas.

1. Hay una necesidad de enfermeras, un máximo y
   un mínimo en cada horario.

Objetivo: Minimizar el número total de
enfermeras que cumpla con la necesidad del hospital, a partir de
no violar las 8 horas de trabajo continuo como
máximo.

Definición de las variables:

Xt = Número de enfermeras comenzando a
trabajar en el turno t.

t= 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Xt Variable Entera

Planteamiento de las Restricciones:

• Sobre el máximo y el mínimo de
  enfermeras en cada turno.

150 ≤ X6 + X1 ≤
170

120 ≤ X1 + X2 ≤
135

160≤ X2 + X3 ≤
165

90 ≤ X3 + X4 ≤
120

30 ≤ X4 + X5 ≤
40

60 ≤ X5 + X6 ≤
75

• No Negatividad Xt ≥ 0

Función Objetivo: min. Z = X1
+ X2 + X3 + X4 + X5
+ X6

Caso 13

Laguna Blanca

Identificación: Análisis de
actividad.

Consideraciones:

1. Confeccionar el plan 1994 de
   una empresa
   agrícola, el plan tiene que maximizar el valor de la
   producción.
2. Se ofrecen indicadores:
   rendimiento, fuerza de
   trabajo y riego.
3. Se conocen las disponibilidades.
4. La empresa produce dos tipos de vianda:
   plátano y yuca.

Definición de las variables:

X1 = Producción de plátano en t
para el año 1994.

X2 = Producción de yuca en t para el
año 1994.

Restricciones:

• Disponibilidad de tierra: 0.033 X1 + 0.04
  X2 ≤ 70
• Disponibilidad de fuerza de trabajo: X1 +
  1.6 X2 ≤ 2 500
• Riego en octubre: 30 X1 + 26 X2
  ≤ 57 900
• Riego en noviembre: 40 X1 + 34
  X2 ≤ 115 200
• No Negatividad: X1 , X2 ≥
  0

Función Objetivo: MAX Z = 6.06
X1 + 4.5X2

Caso 14

Empresa Minera de Cuba

Identificación: Selección del
personal.

Consideraciones:

1. Serie de proyectos (3).
2. Contratistas.
3. Se conocen los costos que cada contratista pide por
   el proyecto.

Objetivo: El problema consiste en seleccionar a
los contratistas que minimicen los costos para la
realización del proyecto.

Definición de las variables:

Xij = Selección del contratista i al
proyecto j.

i = 1,2,3 j = 1,2,3

Planteamiento de las Restricciones:

• Cada contratista debe elegir un proyecto.

X11 + X12 + X13 =
1

X21 + X22 + X23 =
1

X31 + X32 + X33 =
1

• Cada proyecto solo puede ser ejecutado por un solo
  contratista:

X11 + X21 +X31 =
1

X12 + X22 + X32 =
1

X13 + X23 + X24 =
1

• No Negatividad: Xij ≥ 0 ; ∆
  ij

Función Objetivo:

Min. Z = 28 X11 + 32 X12 + 36
X13 + 36 X21 + 28 X22 +30
X23 +38 X31 +34 X32 +40
X33

Caso 15

CITMA

Identificación: Evaluación
de proyectos.

Consideraciones:

1. Se deben seleccionar cuatro fábricas de un
   universo de
   seis para concretar el proyecto
2. Variable binaria
3. Se conocen las disponibilidades de tiempo y de
   recursos financieros
4. Exclusión entre variables

Objetivo: El problema consiste en seleccionar las cuatro
fábricas, entre las seis que se proponen, de tal manera
que se maximice la reducción de contaminantes,
considerando las restricciones de tiempo, de presupuesto y de
exclusión entre las variables.

Definición de variables:

XJ = Selección de la
fábrica j j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 0 ≤
XJ ≤ 1 XJ = Entera

X1 = Seleccionar la Fábrica de
Cerveza

X2 = " " " Cemento

X3 = " " " Pastas y Caramelos

X4 = " " Refinería

X5 = " " Molinera

X6 = " " Recapadora

Planteamiento de las restricciones.

Restricción para la disponibilidad de
presupuesto:

200X1 + 300X2 + 250X3 +
350 X4 + 100X5 + 150X6 ≤ 1
000 000

Restricción de disponibilidad de
tiempo:

90X1 + 120X2 + 80X3 +
150X4 + 60X5 + 60X6 ≤
180

Si se escoge la Fábrica de Cerveza debe
escogerse la Fábrica de Pastas y Caramelos

X1 – X3 ≤ 0

Entre Refinería y Molinera debe escogerse al
menos uno

X4 + X5 ≥ 1

Función Objetivo

MAX Z = 28X1 + 35X2 +
30X3 + 40X4 + 20X5 +
25X6

Caso 16

Agricultura Urbana

Identificación: Programación en Enteros. Cargo Fijo.
Alternativa de producción.

Consideraciones:

1. Hay restricciones con los recursos (disponibilidad de
   tierra y de tiempo).
2. Hay gastos fijos de
   tiempo para la producción de determinados
   productos.
3. Hay alternativas de producción
4. Se deben considerar variables auxiliares de carácter entero (binarias).

Objetivo: El problema consiste en designar qué
cantidad de tierra (en hectáreas) se debe asignar a la
producción de cada tipo de cultivo, para que, considerando
los elementos restrictivos, se maximicen las
ganancias.

Definición de variables:

X1 = Hectáreas de tierra dedicadas a
la producción de tomate

X2 = " " " " " lechuga

X3 = " " " " " rábano

X4 = " " " " " calabaza

X5 = " " " " " pepino

δ1 = Variable
auxiliar binaria, asociada a la variable esencial
X1

δ2 = Variable
auxiliar binaria asociada a la variable esencial
X2

δ3 = Variable
auxiliar binaria asociada a la variable esencial
X3

δ4 = Variable
auxiliar binaria asociada a la variable esencial
X4

X j ≥ 0

0 ≤ δ j
≤ 1 y Entera

Planteamiento de las restricciones

Disponibilidad total de horas-hombre:

5X1 + 8X2 + 7X3 +
6X4 + 4X5 + 1,5
δ4 ≤ 2
400

Disponibilidad total de tierra:

X1 + X2 + X3 +
X4 + X5 ≤ 150

Restricciones de ligadura (Cota superior) entre las
variables esenciales y auxiliares:

X1 ≤ 150
δ1

X2 ≤ 150
δ2

X3 ≤ 150
δ3

X4 ≤ 150
δ4

Restricciones para el cumplimiento de los planes de
producción condicionales:

X1 ≥ (550/20)
δ1

X4 ≥ (900/35)
δ4

Restricciones de carácter excluyente entre tipos
de producciones:

δ1 +
δ2 +
δ3 ≤ 2

Función objetivo:

MAX Z = 270.00X1 + 200.00 X2 +
340.00 X3 + 250.00 X4 + 300.00
X5

Caso 17

MINAZ

Identificación: Producción e
Inventario.

Consideraciones:

1. Demanda conocida en un horizonte de
   planificación a 4 meses.
2. Costo de tiempo extra conocido.
3. Costo de almacenamiento conocido.
4. Producción desconocida. (Puede hacerse en
   tiempo normal o tiempo extra).

Objetivo: Determinar la cantidad de unidades que deben
fabricarse durante el tiempo normal y el tiempo extra para
minimizar los costos totales.

Definición de variables:

Xj = cantidad de artículos a producir
en tiempo normal en el mes j.

Yj = Cantidad de artículos a producir
en el tiempo extra en el mes j.

Zj = Cantidad de artículos a almacenar
en el mes j.

Planteamiento de las restricciones:

• El número total de unidades que se fabriquen
  en los turnos normales o extras, menos el inventario en el mes
  j debe satisfacer la demanda.

Mes 1: X1 + Y1 –
Z1 = 1 800

Mes 2: X2 + Y2 +Z1
-Z2 = 2 200

Mes 3: X3 + Y3 + Z2 –
Z3 = 3 400

Mes 4: X4 + Y4 + Z3 =
2 800

• De la capacidad de producción en tiempo
  normal:

X1≤ 2 400 X2 ≤ 2 400
X3 ≤ 2 400 X4≤ 2 400

• De la capacidad de producción en tiempo
  extra:

Y1 ≤ 800 Y2 ≤ 800
Y3≤ 800 Y4 ≤ 800

• No Negatividad: Xj , Yj ,
  Zj ≥ 0 j=1,2,3,4

Función Objetivo: min. Z= 7 (Y1
+ Y2 + Y3 + Y4) +
3(Z1 + Z2 + Z3 +
Z4)

Z4 = 0 Ya que no debe quedar nada en el
tiempo normal.

Caso 18

Política de Inversiones de
CUBANACAN

Identificación: Cartera de
inversión.

Consideraciones:

1. Hay una restricción por cada
   período.
2. La clave del problema es saber que los fondos
   disponibles para la inversión en cualquier año
   depende de las acciones que se hayan emprendido en años
   anteriores.

Objetivo: Obtener el rendimiento máximo
de 600 000 dólares al final del
período.

Definición de las variables:

Xij = Tipo de inversión i a realizar
en el periodo j.

Planteamiento de las Restricciones:

• Año 1: El dinero
  total que se invierte en las inversiones 1, 2, 5, 6 sea igual
  al total del dinero disponible.

X11 + X21 + X51 +
X61 = 600 000

• Año 2: El dinero total que se invierte en las
  inversiones 1, 2, 3, 6 al principio del año 2 es igual a
  lo que no se invierte en el año 1.

X12 +X22 + X32
+X62 = X61

• Año 3: El total de dinero que se invierte en
  los tipos 1, 2, 6 a principio del año 3 debe ser igual
  al dinero no ocupado en el año 2 más la
  inversión producida en el tipo 2 que se realizó
  en el año 1.

X13 +X23 +X63 =
X62 + 1.16X21

• Año 4: El total de dinero que se invierte en
  los tipos 1, 2, 4, 6 a principio del año 4 debe ser
  igual al dinero no ocupado en el año 3 más las
  inversiones que vencieron al año 3.

X14 + X24 +X44
+X64 = X63 +1.28 X11 +1.16
X23

• Año 5: El total de dinero que se invierte en
  los tipos 2, 4, 6 al principio del año 5 más las
  inversiones que terminan en el año 4 excepto la
  inversión del tipo 3 en el año 2.

X25 + X45 + X65 =
X64 +1.45 X51 +1.28 X12 +1.16
X24

• Año 6: X66 = X14 +
  X45 + X25 + X65
• No Negatividad: Xij ≥ 0 ⊬
  i,j

Función Objetivo: MAX Z = 1.28
X14 +1.4 X45 +1.16 X25 +
X66