Técnicas de optimización (página 2)

Metodología de las Técnicas
de Optimización

Las Técnicas de Investigación
de Operaciones aparecen en los años 50, a partir de
entonces comienza a desarrollarse la metodología para su utilización..
Sus antecedentes se localizan en las investigaciones
de Isaac Newton,
George Dantzing, Charnes y Cooper, Ackoff, Churchman y
Zimmerman.

Esta metodología se sustenta en los siguientes
supuestos:

• alternativa en las decisiones;
• posibilidades de crear una base informática;
• posibilidades mínimas de poder
  aplicar los resultados.

En este proceso existe
una secuencia de pasos para llegar a la obtención de los
objetivos
propuestos:

• observación e identificación del
  problema;
• formulación general;
• construcción del modelo;
• generación de una solución;
• prueba y evaluación de la
  solución;
• implantación;
• perfeccionamiento y desarrollo.

No es conveniente saltar ningún paso.

Observación

Se analiza el fenómeno como tal, las
interrelaciones que tiene, las posibles variables, el
sistema
organizativo bajo el cual se encuentra el fenómeno, se
escuchan los criterios de expertos, se analiza el cumplimiento de
las premisas fundamentales de las técnicas de
optimización, que son:

• Alternativa de decisión.
• Condiciones de linealidad o no.
• Mínimas condiciones
  organizativas.

Se define conceptualmente cuál es el problema a
resolver, se enuncian los objetivos y se establecen hipótesis, se consulta la bibliografía especializada.
Se realizan contactos inter-especialistas y por último se
elabora una ficha con un pequeño historial resumen de toda
la observación realizada.

Formulación

Es un problema secuencial, se empieza con una
formulación inicial basado en lo anterior y se perfecciona
en la medida en que se plantea el problema y se obtienen las
primeras soluciones.
Muchas veces el análisis del resultado incide en la
formulación. Ésta tiene dos aspectos: general y
concreto.

La formulación general se utiliza en
publicaciones científicas, en ponencias y eventos.

Un ejemplo de formulación concreta son los
estudios de casos y los informes de
tesis
así como los informes ejecutivos que se entregan a los
directivos de empresas una vez
culminado el
trabajo.

La formulación del problema consta de los
siguientes aspectos:

a) Fenómeno que se aborda.

b) Lugar y tiempo.

c) Pequeña descripción de lo que se quiere
lograr.

d) Posibilidades de obtener la información y de solucionar el
problema.

e) Los objetivos principales y secundarios

Planteamiento Matemático

Es una respuesta a la formulación del
problema

I) Planteamiento Matemático General.

El planteamiento matemático general consta de
índices, variables, parámetros, restricciones y
función
objetiva.

Este planteamiento se utiliza en publicaciones, eventos,
o cuando se tiene una idea de cómo se podrá modelar
un fenómeno dado. El aspecto de las variables,
restricciones y función objetivo se
trata bajo los mismos lineamientos del planteamiento concreto de
trabajo.

Los parámetros se definen con la misma
rigurosidad que las variables (cualitativa y cuantitativamente y
tiempo). Los índices reflejan las diferentes combinaciones
que se pueden dar con las variables.

II) Planteamiento Matemático.

Se utiliza en el proceso de aplicación y al igual
que la formulación es secuencial. Puede ser corregido o
perfeccionado cuándo se tiene la solución del
problema.

Consta de tres momentos:

a) Definición de la variable.- Puede hacerse una
a una o de forma general (si la cantidad de variables a definir
es grande), y a su vez incluye tres aspectos:

• aspecto cualitativo: ¿qué es la
  variable?
• aspecto cuantitativo: ¿en qué unidad
  se mide?
• definición temporal: ¿qué
  período de tiempo abarca?

La variable representa el elemento incógnito en
el problema.

Este momento es esencial en el planteamiento del
problema, pues una mala definición de las variables
repercute en la solución y proporciona un
disparate.

b) Planteamiento de las restricciones. – Lo
fundamental de este paso es cuidar la homogeneidad que debe
existir entre el término de la derecha y la
expresión de la izquierda, la cual está compuesta
por varios elementos, los que deben ser homogéneos, para
que al sumarse permita una lógica
comparación.

En este sentido el signo de la restricción es un
aspecto clave. Si se desea que la suma de la expresión de
la izquierda sea como mínimo el valor de la
derecha, el signo será mayor o igual, también se
utiliza el menor o igual si se desea que la expresión de
la izquierda sea cuando más el valor de la derecha. Si se
aspira a que sean exactamente iguales se utilizará el
símbolo de igualdad.

c) Planteamiento de la función objetivo. –
Debe reflejar de una forma clara el objetivo del problema. Si es
máximo o si es mínimo en muchos casos su
planteamiento es relativamente fácil, en otros se llega a
través de una secuencia de expresiones algebraicas que
finalmente deben hacerse corresponder con el objetivo deseado. En
ocasiones, la función objetiva se plantea en forma
ponderada de una variable y haciendo caso omiso del valor
numérico encontrado al final.

Solución, análisis y corrección
de resultados

Teniendo en cuenta el desarrollo de los sistemas
informáticos, es posible acceder fácilmente a
softwares profesionales para dar solución a los modelos
matemáticos diseñados. De igual manera,
diseñar sistemas informáticos especiales es otra
práctica común en estos tiempos. En este sentido,
este punto se ha ido por encima de la formulación y del
planteamiento. Una vez obtenida la solución se requiere
hacer determinadas comprobaciones que confirmen los resultados.
Estas comprobaciones repercuten en la formulación y
planteamiento del problema y en la verificación de los
parámetros utilizados, los cuales ya han sido determinados
previamente mediante una base informática preestablecida,
es decir; mediante la estadística o los criterios de un experto
incluso mediante las técnicas borrosas.

La solución de un problema no debe ser comentada
hasta tanto no se haya verificado la validez y adaptación
al campo de aplicación, en caso contrario esto puede ser
perjudicial en la introducción de los resultados.

Validación

En la práctica se lleva a cabo mediante los
juegos de
implementación definidos en la Teoría
de Lewin – Shein. Estos juegos se desarrollan simulando algunos
de los componentes del sistema bajo estudio, y utilizando como
herramienta de simulación
los resultados obtenidos (Juego; proceso
simulador de resultado).

Introducción de resultados

La introducción implica la estrategia o
acción
en el sistema que ha sido modelado y que va a tener en cuenta los
resultados obtenidos. Claro que la dinámica productiva muchas veces en muy
rápida pero para introducir los resultados en la
práctica se hacen necesario su seguimiento de manera que
se pueda corregir cualquier alteración que surja en el
proceso.

Estudios de
Casos

Caso 1

Fábrica de Fertilizantes de
Nuevitas

Joaquín Hernández, sub.- director de
producción de la Fábrica de
Fertilizantes de Nuevitas, necesita plantear la
combinación de fertilizantes para el siguiente mes y no
tiene claro cómo va a proceder para elaborar el plan. La
fábrica de fertilizantes de Nuevitas es una empresa
pequeña de productos
químicos que fabrica, entre otros artículos, dos
tipos de fertilizantes que se elaboran combinando ingredientes
que se compran con proveedores
externos. Cada mes, Hernández tiene que planear la
cantidad de cada tipo de fertilizantes que debe producirse. Su
plan debe tomar en consideración el costo de los
ingredientes, el precio de
venta de los
fertilizantes y las restricciones impuestas al uso de los
recursos de
la empresa:
mano de obra, materias primas o tiempo de
máquina.

Consideraciones de producción

Los dos fertilizantes que se fabrican son las mezclas
denominadas 5-5-10 y 5-10-5. En cada caso, el primer valor se
refiere al porcentaje que el producto final
tiene de nitrato químico, el segundo valor se refiere al
porcentaje del fosfato que aparece en el producto final y el
tercer valor da el porcentaje de potasio.

El fertilizante se estabiliza con un material de relleno
que podría ser barro. Por ejemplo, el 5-5-10 está
elaborado con un 5% de nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio y
el 80% restante es barro. La empresa
distribuidora comprará cualquier cantidad de ambos
fertilizantes y está dispuesta a pagar $71.50 por tonelada
de 5-5-10 y $60 por tonelada del 5-10-5. Este mes, la
disponibilidad y costos de
materias primas son 1 100 toneladas de nitrato a $200 por
tonelada, 1 800 toneladas de fosfato a $80 cada una y 2 000
toneladas de potasio a $160 cada una. El relleno está
disponible en cantidades ilimitadas al precio de $10 por
tonelada; pero para los otros tres ingredientes sólo se
dispone de las cantidades mencionadas antes. No hay restricciones
para el uso de la mano de obra ni tampoco para el empleo de la
maquinaria durante el mes, pero se tiene un costo de $15 por
tonelada por concepto de
mezclado de los fertilizantes. La pregunta que Hernández
debe resolver es: ¿Cómo utilizar los recursos
escasos (nitrato, fosfato y potasio) de que dispone, de manera
que se obtengan las mayores utilidades para la
empresa?

Caso 2

Empresa Cubana de Calzado

La Empresa Cubana de Calzado es una empresa que fabrica
zapatos "Exclusivos".

La empresa produce calzados de exportación para caballeros: Zapato tipo
Primavera, Botines y Pantuflas de estilo abierto.

El gerente de
producción tiene el problema de decidir cuál es el
mejor programa de
fabricación para el siguiente mes. Para lograr este
objetivo debe evaluar que mezcla de fabricación de los
tres estilos producirá la mayor contribución a las
utilidades, al mismo tiempo que satisfaga diversos requerimientos
financieros y de producción. Los datos de la tabla
Nº 1 describen la operación de manufactura
para la empresa y se recopilaron en meses anteriores de
operación. Existe una oferta
ilimitada de piel para el
fabricante; sin embargo se dispone de un máximo de 1 200
horas de producción durante el siguiente mes. El tiempo de
producción cuesta $10.00 por hora; en tanto, el costo por
cada unidad de piel es de $4.00.

La empresa hace todas sus ventas a
mayoristas, que le pagan de inmediato en efectivo toda la
mercancía, por lo cual no tiene cuentas por
cobrar. Los precios de
venta para cada par de zapatos a los mayoristas son de $60.00,
$64.00 y $50.00, respectivamente, para los tres estilos. Los
costos fijos para el siguiente mes de operación son de $3
000 y el saldo actual de efectivo es de $16 560.00.

El gerente de producción tiene comprometidos los
siguientes pedidos para los diferentes estilos: 30 zapatos tipo
Primavera, 55 Botines y 32 Pantuflas de estilo
abierto.

Tabla Nº 1. Datos de producción para la
Empresa Cubana de Calzado.

Pueden venderse todos los pares que se fabriquen durante
el mes, que excedan esos pedidos ya comprometidos. Es decir, el
movimiento de
la producción es tal que todos los zapatos que se
fabriquen en un mes determinado se distribuyen durante el mismo y
por ello no existen inventarios.

Caso 3

Empresa Cubana Taíno

La Empresa Cubana Taíno perteneciente al SIME
fabrica dos tipos de bombas
hidráulicas: normal y extra grande. El proceso de
manufactura asociado con la fabricación de las bombas
implica tres actividades: ensamblado, pintura y
pruebas
(control de
calidad).

Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y
prueba de las bombas se muestran en la tabla No.1. La
contribución a las utilidades por la venta de una bomba
normal es $50.00 en tanto que la utilidad por una
bomba extra grande es $75.00. Existen disponibles por semana 4
800 horas de tiempo de ensamble, 1 980 de tiempo de pintura y 900
horas de tiempo de prueba. Por las necesidades mercado es
necesario situar cuando menos 300 bombas normales y 180 de las
extra grandes por semana al Ministerio de la Agricultura. A
los directivos de la empresa les gustaría determinar la
cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente,
con el objetivo de maximizar sus utilidades:

Caso 4

La Empresa Cubana de Aisladores
Eléctricos

La Empresa Cubana de Aisladores Eléctricos,
fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial: aisladores de
aplicación general, de aplicación especial y de
alto voltaje. Cada producto pasa a través de tres operaciones de
producción en la planta: horneado, lavado, laminado y
pulimento. Sólo existe disponible una máquina en
cada una de las respectivas operaciones. La tasa de
producción (en unidades por hora) para cada tipo de
aislador, y en cada operación se muestra en la
siguiente tabla: Los costos de las materias primas asociadas con
la fabricación de los aisladores son de $5.00
(aplicación general), $6.00 (aplicación especial) y
$ 10.00 (alto voltaje). Los costos por hora de las respectivas
operaciones de producción son: $ 250.00 (horneado),
$200.00 (lavado y laminado), y $ 100.00 (pulimento). Los precios
unitarios de venta son $25.00, $39.75 y $67.50 para los tres
productos, respectivamente. A los directivos de la empresa les
gustaría asignar el tiempo utilizado en las diferentes
operaciones, de manera que se maximicen las utilidades por
hora.

Tabla1. Tasas de producción: Empresa Cubana de
Aisladores Eléctricos.

Caso 5

La Empresa Cubana de Muebles

La Empresa Cubana de Muebles mediante una empresa mixta,
produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales. La
empresa tiene dos plantas en las
que fabrica los escritorios. La planta Nº 1, que es una
planta antigua, opera con doble turno (80 horas por semana). La
planta Nº 2 es una planta más nueva y no opera en su
capacidad total. Sin embargo, dado que los administradores
planean operar la segunda planta en un turno doble como el de la
planta Nº 1, se han encontrado operadores para que trabajen
los dos turnos. En estos momentos, cada turno de la planta
Nº 2 trabaja 25 horas por semana. No se paga ninguna prima
adicional a los trabajadores del segundo turno. La tabla
siguiente muestra el tiempo de producción (en horas por
unidad) y los costos
estándar (en dólares por unidad) en cada
planta.

La empresa ha competido con éxito
en el pasado asignando un precio de $350.00 a los escritorios
ejecutivos. Sin embargo, parece que la empresa tendrá que
reducir el precio de los escritorios secretariales a $275.00 con
el objetivo de estar en posición competitiva.

La empresa ha estado
experimentando excesos de costos en las últimas ocho a
diez semanas; por tanto, los administradores han fijado una
restricción presupuestaria semanal sobre los costos de
producción. El presupuesto
semanal para la producción total de escritorios ejecutivos
es de $2 000, en tanto que el presupuesto para los escritorios
secretariales es $2 200. A los administradores les
gustaría determinar cuál es el número de
cada clase de
escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de
maximizar las utilidades.

Tabla Nº 1. Tiempo (hora) y costo (dólares)
Empresa Cubana de Muebles.

Caso 6

Hospital Provincial "Saturnino Lora", Santiago de
Cuba

La Dra. Rafaela Carbonell, dietista del Hospital
Provincial Saturnino Lora, es responsable de la planeación
y administración de los requerimientos
alimenticios de los pacientes. Ella examina en estos momentos el
caso de un paciente al que se le ha restringido a una dieta
especial que consta de dos fuentes
alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de
los dos alimentos que
puede consumir; sin embargo se deben satisfacer los siguientes
requerimientos nutritivos mínimos por día; 1 000
unidades del nutriente A, 2 000 del nutriente B y 1 500 unidades
del nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia Nº 1
contiene 100 unidades de nutriente A, 400 unidades de nutriente B
y 200 unidades de nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia
Nº 2 contiene 200 unidades de nutriente A, 250 unidades del
nutriente B y 200 unidades del nutriente C. Ambas fuentes
alimenticias son algo costosas (la fuente No.1 cuesta $6.00 por
libra y la fuente No.2 cuesta $8.00 por libra), por tanto, la
Dra. Carbonell desea determinar la combinación de fuentes
alimenticias que arroje al menor costo y que satisfaga todos los
requerimientos nutritivos.

Caso 7

Empresa Cubana del Petróleo

La Empresa Cubana de Petróleo comercializa gasolina de dos
grados: la especial y regular. Cada gasolina debe satisfacer
ciertas especificaciones, tales como la presión
máxima de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los
requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por
barril se muestran en la tabla No.1.

Tabla Nº 1. Especificaciones de manufactura y
precio por barril

Se utilizan tres tipos de gasolinas para fabricar las
gasolinas regular y especial. Las características de las
gasolinas base se muestran en la tabla No.2.

La Empresa Cubana del petróleo
se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,00
barriles de gasolina regular por semana. No se tiene compromisos
con respecto a la gasolina especial. A la empresa le
gustaría determinar el plan de manufactura para las dos
clases de gasolina que maximice las utilidades.

Tabla2. Características de la gasolina
base.

Caso 8

Fondo de Inversión de la Empresa del Níkel
(MINBAS)

El Ing. Rafael Hernández es un analista
financiero para una empresa productora de Níkel. El
comité financiero le ha pedido que prepare recomendaciones
de inversión para los $2 000,000 del fondo de
inversión de la empresa. El comité ha sugerido
diversificar las inversiones
asignando el fondo entre los siguientes instrumentos:
certificados de depósito, bonos de la
tesorería, acciones con
buen historial, acciones especulativas, bonos de empresas y
bienes
raíces. El Ing. Hernández ha estimado un
rendimiento anual para cada clase de inversión, asimismo,
ha desarrollado un factor de riesgo para cada
una de ellas, que señala la probabilidad de
que el rendimiento real de las inversiones en esa clase sea
inferior al rendimiento esperado. Por último, ha elaborado
un pronóstico del número promedio de años en
que se espera obtener al rendimiento deseado para la clase
respectiva de inversión. Esta información se brinda
en la Tabla Nº 1.

El Comité Estatal de Finanzas de la
provincia han indicado que le gustaría tener un
período promedio ponderado de inversión de cuando
menos cinco años. El comité ha señalado
también que el factor promedio ponderado de riesgo no debe
ser superior a 0.20. La ley
prohíbe que se inviertan más del 25% de las
inversiones estatales en bienes raíces y acciones
especulativas. ¿Qué recomendación debe hacer
el Ing. Hernández si se pretende maximizar el rendimiento
sobre la inversión de $2 000,000?

Tabla 1. Rendimientos esperados y factores de
riesgo.

Caso 9

Empresa Avícola Nacional

La Empresa Avícola Nacional ha decidido repartir
una determinada cantidad de gallinas para el abastecimiento de
carne al sector campesino y en
un futuro de huevos. Esta política se debe a
que no se distribuirá a las zonas rurales carne y huevos
en un futuro próximo.

Se le entregan a cada campesino 100 gallinas y 100
huevos. De acuerdo a la raza entregada y para que se obtenga un
aproximado de un 100% de fertilidad cada gallina puede incubar
cuatro huevos. Por otra parte el campesino debe mandar
también al centro cercano de incubación huevos para
incubar.

Cada gallina puede poner en el período 12 huevos.
En una primera etapa todos los huevos deben ser utilizados para
la reproducción, pues de la producción
de pollos que se obtengan se le entregarán a otros
campesinos. La relación de beneficio es de tres a uno de
los pollos obtenidos por medios de
gallinas con respecto a la incubación, debido a los
gastos que
ocasiona el traslado y energía del centro de
incubación y que se le cobra al campesino.

El campesino quiere saber qué política
seguir en cuanto a la estructura
óptima que debe tener, en gallinas poniendo y en
incubación durante tres períodos y si debe o no
utilizar el centro de incubación de la zona.

Analice el problema y dé su respuesta.

Caso 10

Planta Mecánica "Taino"

La Planta mecánica Taino enfrenta el problema de
determinar qué proyectos de
"crecimiento" debe emprender en los próximos 4
años.

La planta tiene una cantidad limitada de fondos para
inversiones de capital, por
tanto, no puede financiar todos los proyectos.

A cada uno de estos se le a caracterizado determinando
su valor presente y el requerimiento (costo) asociado de capital.
Cada proyecto tiene
diferentes requerimientos de capital para los próximos
cuatro años. En la siguiente tabla se muestran el valor
presente estimado, los requerimientos de capital disponible
proyectado para cada uno de ellos.

Tabla1. Valor actual, requerimientos de capital
disponibles.

A los administradores de la Planta Mecánica Taino
les gustaría desarrollar un plan de asignación de
capital que muestre las erogaciones que debe hacer para cada uno
de los cuatro años y qué proyectos se deben
financiar bajo el plan general.

Caso 11

CUBANACAN S.A. (Estudio de Mercadotecnia)

Considérese el caso de CUBANACAN S.A., organización que ha decidido invertir hasta
$38 000 en publicidad para
opciones turísticas en Cuba. Algunos
estudios de investigación realizados por la empresa han
mostrado que el mercado que desea para las opciones
turísticas está compuesto en su mayor parte por
hombres entre 20 y 45 años de edad, los que tienen
ingresos de
$15 000 o más, el grupo de
investigación
de mercado ha decidido que las características de los
clientes tiene
una importancia relativa de acuerdo con los siguientes
pesos:

Características del cliente
Peso

Edad (20-45) 0.45

Ingresos ($15 000 ó más) 0.35

Educación (2 años de universidad)
0.25

Los gerentes del departamento de mercadotecnia de
CUBANACAN S.A. han decidido utilizar los servicios de
una agencia de publicidad para que les ayude a desarrollar un
plan que les permita alcanzar al cliente potencial en forma
más efectiva.

Después de estudiar las características de
los clientes, la agencia de publicidad ha sugerido que la empresa
considere colocar publicidad en tres revistas de consumo
popular en el exterior.

Por brevedad simplemente denominaremos a las revistas A,
B y C.

La tabla a continuación señala
cuáles son las características de los consumidores
de las tres revistas.

Tabla Nº 1. Características de los lectores
de revistas: CUBANACAN S.A.

El objetivo no sería maximizar el número
de exposiciones para todos los lectores de la publicidad, sino
más bien, maximizar el número de clientes
potenciales que se exponen a la publicidad. De acuerdo a lo
anterior es necesario determinar el número de
dólares de publicidad que debe invertirse en cada revista para
maximizar la exposición
efectiva, y determinar también el número de
anuncios que debe colocarse en cada revista.

Caso 12

Hospital Clínico Quirúrgico de Santiago
de Cuba

En el Hospital Clínico Quirúrgico de
Santiago de Cuba un grupo de investigadores de la Facultad de
Ciencias
Económicas y Empresariales ha detectado una
situación referente a la mejor utilización del
grupo de enfermeras que posee el hospital, ya que este personal
especializado escasea en estos momentos.

Después de la aplicación de la
técnica conocida como "Tormenta de Ideas" se detecta la
siguiente situación:

El problema sería minimizar el número
total que cumpla con la necesidad del hospital a partir de no
violar las 8 horas de trabajo continuo como
máximo.

Caso 13

Laguna Blanca

Con motivo de la nueva división organizativa de
las empresas estatales, al administrador de
unas de las fincas de la Granja "Paquito Rosales" de la Empresa
de Cultivos Varios de Laguna Blanca se le piden criterios sobre
la confección de su plan para el año
1994.

A tales efectos y para simplificar el problema se hace
énfasis sólo en que se confeccione el plan tomando
como base plátanos y yuca con riego y teniendo en cuenta
el suelo tipo
A.

El administrador solicita la ayuda de un grupo
multidisciplinario, experto en técnicas de
optimización para que dé sus criterios al respecto.
Después de un análisis basado en las
técnicas de dirección se llega a determinar que en la
finca se cuenta con las siguientes posibilidades.

¿Cuál sería el planteamiento
matemático del problema

Caso 14

Empresa Minera de Cuba

La empresa minera de Cuba desea llevar a cabo una
aplicación en la búsqueda del petróleo en el
centro y oriente del país. Para eso tiene tres proyectos
diferentes.

Ahora, la empresa tiene el problema de determinar
qué contratista del exterior llevará a cabo los
proyectos.

Se recibieron tres cotizaciones de Francia,
Inglaterra y
Holanda. Las cotizaciones presentadas por los distintos
contratistas se muestran en la siguiente tabla. Las cantidades en
las cotizaciones se expresan en decenas de millares de
dólares.

Tabla 1. Cotizaciones de mejoramiento de caminos
(decenas de millares de dólares).

El problema consiste en determinar cómo asignar
los proyectos para minimizar los costos totales de todos ellos.
Se asume que a cada contratista se le asignará un solo
proyecto.

Caso 15

CITMA

El CITMA de Santiago de Cuba ha recibido un
millón de CUC (Pesos Convertibles) para la
ejecución de un proyecto de reducción de
emanaciones contaminantes. El proyecto implica la
instalación de filtros y plantas de reciclaje de
desechos en cuatro fuentes de contaminación de la provincia; y existen
seis industrias
interesadas en él: Fábrica de Cerveza,
Fábrica de Cemento,
Fábrica de Pastas y Caramelos, Refinería, Molinera
y Recapadora. Los datos disponibles aparecen en la tabla
siguiente:

Los requisitos a cumplir son:

• Maximizar la reducción de
  contaminantes
• El tiempo de instalación promedio no debe
  superar los cinco meses.
• Si se escoge la Fábrica de Cerveza debe
  escogerse Pastas y Caramelos.
• Entre Refinería y Molinera debe escogerse al
  menos uno de ellos.

Construya el planteamiento matemático de
trabajo.

Caso 16

Agricultura Urbana

El Organopónico "26 de Julio" dispone de 150
hectáreas de tierra que
puede dedicar a la siembra de tomate,
lechuga, rábano, calabaza y pepino. La fuerza de trabajo
disponible asciende a 2 400 horas-hombres y se conoce que es
necesario cinco, ocho, siete, seis y cuatro horas-hombres para
sembrar una hectárea de cada cultivo. En el caso de la
calabaza se necesita una fuerza de trabajo adicional de 1.5
horas, si es que se decide sembrar este cultivo.

En caso de que se decida su inclusión en el plan
de siembra, se deben garantizar al menos 550 quintales de tomate
y a lo sumo 900 quintales de calabaza. De acuerdo a las normas
técnicas, pueden obtenerse 20 quintales de tomate y 35
quintales de calabaza por cada hectárea
sembrada.

El órgano de gobierno local
exige como restricción que de los tres primeros cultivos
sólo pueden incluirse a lo sumo dos de ellos.

Se desea maximizar la ganancia conociendo que las
utilidades por hectárea son $ 270.00, $200.00, $340.00,
$250.00 y $300.00 para cada cultivo, respectivamente.

Construya el planteamiento matemático de
trabajo.

Caso 17

MINAZ

El MINAZ fabrica un producto derivado de la caña
que se exporta y tiene una demanda que
aumenta y disminuye: La demanda que se ha pronosticado para los
próximos cuatro meses es 1 800, 2 200, 3 400 y 2 800,
respectivamente. Debido a las variaciones en la demanda, los
administradores del MINAZ han encontrado que en algunos meses
existe producción en exceso, lo cual ocasiona grandes
costos de manejo y almacenamiento;
en tanto que en otros meses la empresa no está en
posibilidades de cubrir la demanda. La empresa puede fabricar 2
400 artículos por mes, en sus turnos normales. Utilizando
tiempo extra es posible fabricar 800 artículos mensuales
adicionales. Debido a los mayores costos de mano de obra en
tiempo extra, se produce un aumento de $7.00 por cualquier
artículo que no se fabrique durante el turno normal. Los
administradores han estimado que se incurre en un costo de
almacenamiento de $3.00 por cualquier artículo que se
fabrique en un mes determinado y que no se venda durante el
mismo. Se desea determinar un programa óptimo de
producción que minimice el incremento de los costos extra
y el almacenamiento. El programa debe satisfacer las
demandas.

Caso 18

Política de Inversiones de
CUBANACAN

CUBANACAN S.A. desea invertir $ 600 000 (CUC) de acuerdo
a un análisis de alternativas para colocar ese capital. La
inversión Tipo Uno está disponible en cada uno de
los próximos seis años y se espera que produzca un
rendimiento de 28%, por cada peso invertido, al momento de su
vencimiento, al final de tres años. La inversión
Tipo Dos también está disponible en cada uno de los
próximos seis años: esta inversión
rendirá $1.16 por cada peso convertible invertido y vence
al final de dos años. La inversión Tipo Tres
está disponible sólo al principio del segundo
año y rinde $1.50 al final del cuarto año por cada
peso convertible invertido. La inversión Tipo Cuatro
está disponible en cualquier momento después del
tercer año y produce un rendimiento del 40% al final de
dos años. La oportunidad final de inversión, la
Tipo Cinco, está disponible sólo una vez, al
principio del año Uno. Esta inversión
rendirá $ 1.45 por cada peso convertible invertido, pero
no vence sino hasta principios del
año Cinco. Cuando las inversiones vencen están
disponibles para reinversión. A la
organización le gustaría determinar el programa
de inversiones que maximice el rendimiento de la inversión
total para un período de seis años (es decir, al
final del sexto año).

Caso 19

SEDER Universitario

La entrenadora del equipo de Baloncesto de
la Universidad de Oriente desea completar el equipo
representativo del centro, escogiendo a cuatro jugadores entre
seis candidatos. Los datos de cada aspirante son:

Requerimientos del problema

Garantizar que los seleccionados tengan un promedio de
edad no superior a los 19 años

Seleccionar al menos 1 y a lo sumo 2 defensas

Si se selecciona a Eduardo debe incluirse también
a Santiago y viceversa

Maximizar la estatura total

Caso 20

Fábrica del Ministerio de la Industria
Básica (MINBAS)

Una planta produce 5 tipos de rotores para motores
eléctricos. El almacén de
la planta puede guardar hasta 300 rotores de tipo I, ó
hasta 350 del tipo II ó hasta 400 del tipo III ó
hasta 375 del tipo IV ó hasta 250 del tipo V.

Al iniciar la producción de cada tipo de rotor,
ocurre un gasto de fijo $ 100 para los de tipo I, III y V y un
gasto fijo de $ 120 para los de tipo II y IV.

El costo de un rotor es de $4.00, $5.50, $6.20, $8.00 y
$ 11.50 para los tipos I, II, III, IV y V respectivamente.
Elabore el modelo matemático que minimice el
costo.

Caso 21

FAR

El comando estratégico de bombardero de occidente
recibe instrucciones de interrumpir la producción de
tanques del enemigo. El enemigo tiene cuatro plantas claves
situadas en diferentes ciudades y la destrucción de una de
ellas produce efectivamente la paralización de la
producción de tanques.

Existe una aguda escasez de
combustibles que limita la cantidad a 48 000 galones para una
misión:
cualquier bombardero debe tener, en caso de ser mandado a una
ciudad, una cantidad de combustible suficiente para ir y volver,
más 100 galones de reserva.

La ubicación de las plantas y su vulnerabilidad
al ataque para bombardeos del tipo1 y 2 es:

¿Cuántos bombarderos de cada tipo deben
despacharse y cómo deben ser distribuidos en cada planta
para maximizar la posibilidad de éxito?

Caso 22

Empresa de Bebidas y Licores

La Empresa de Bebidas y Licores recibe determinadas
especificaciones para fabricar tres tipos de ron para exportar a
Inglaterra.

Para ello cuenta con tres rones bases de diferentes
añejamientos: A, B y C. Estos rones base se mezclan de
acuerdo con especificaciones que limitan al máximo y el
mínimo de A y C en cada mezcla, tal como se muestra en la
siguiente tabla:

Las cantidades disponibles de cada uno y sus precios
son:

Establezca el programa de producción que maximiza
las utilidades.

Caso 23

MINTUR

El equipo de psicólogos del MINTUR realiza una
investigación de mercado en el exterior sobre la
posibilidad de viajar a Cuba. A tales efectos, el equipo de
Turoperadores contratados le asigna cuotas de visitas, las cuales
se detallan a continuación; así como la posible
probabilidad de respuesta en diferentes horas del día y la
noche, y su duración en minutos.

¿Cómo se deben distribuir las visitas
entre los tres tipos de unidad familiar y las distintas partes
del día, a fin de que se cumplan las cuotas
señaladas y se maximice la posibilidad de
respuesta?

Caso 24

MINBAS

El problema es elaborar un plan óptimo de
electricidad
que minimice cierta función económica cuyos
componentes son el costo total de las inversiones más los
gastos de administración actualizados con la tasa de
interés del mercado, y que satisfaga en cualquier
momento el consumo, es decir, que proporcione cuando menos las
tres magnitudes que a continuación se
señalan:

a) La potencia
garantizada, medida por hora, de los consumos durante las horas
hábiles de los días de trabajo en invierno, que es
1.692 megavatios.

b) La potencia máxima, medida por hora, de los
consumos durante las cuatro horas de máximo consumo diario
de los mismos días hábiles en invierno, que es de
2.307 megavatios.

c) Satisfacer como máximo la energía anual
consumida, que es de 7.200 miles de megavatios por
hora.

Para satisfacer el consumo, se emplean diferentes tipos
de instalaciones con las siguientes
características:

Por otra parte, se cuenta con los datos
siguientes:

1. Tasa de interés:
   8% anual
2. Valor del combustible para un kilovatio hora $
   0.13.

Caso 25

Balance Sectorial

Se conocen los siguientes datos técnicos y
económicos de la economía del
municipio San Luís:

• El sistema comprende tres sectores: (1), (2) y (3).
  Las industrias (1) y (2) poseen dos tecnologías
  alternativas para producirse el mismo producto.
• Los coeficientes de insumo en pesos convertibles, de
  bienes y servicios, de las actividades que comprende el sistema
  son las siguientes:

• Los precios en divisas de
  las exportaciones e importaciones
  son:

• Capital y mano de obra especializada necesarios por
  unidad de producción:

• Demanda final interna que se debe
  satisfacer:

• Las deudas que pueden contraerse en divisas
  internacionales ascienden a 50 unidades monetarias como
  máximo.
• Se ha determinado una disponibilidad de 1 200
  horas-hombre para mano de obra especializada.

Plantear y resolver el modelo de programación
lineal para minimizar el requerimiento de
capital.

Caso 26

CEATEM

El director de una empresa de abastecimiento a
vehículos automotores, en Santiago de Cuba recibe piezas
para después distribuirlas a diferentes unidades de venta
en la provincia. Cada mes puede vender cualquier cantidad que
quiera siempre que no sobrepase la existencia al principio del
mes y también puede comprar todo lo que necesita para
entregar al final del mes, con la condición de que su
existencia total no exceda de 500 artículos, Para los
siguientes seis meses, tiene el pronóstico de costo y
precios de venta, libres de error, que se detallan a
continuación:

Si actualmente tiene una existencia de 200 unidades,
¿Cuál debería ser su
política?

Caso 27

INDER

El Instituto Nacional de Deportes y Recreación
(INDER) decide crear una empresa mixta para fabricar tres tipos
de abrigos para la exportación: deportivo, formal y
ejecutivo. Debido a la naturaleza
competitiva de esta actividad y a la gran demanda de mano de obra
de la industria, es de gran importancia mantener satisfechos a
los empleados. Los gerentes de la empresa consideran que una
medida importante para satisfacer las necesidades de sus
empleados es ofrecerles trabajo de tiempo completo, aún
cuando esto exija producir en exceso e incurrir en algunas
pérdidas. Los gerentes esperan que la demanda de sus
productos siga siendo bastante elevada. De hecho, para satisfacer
parte de la demanda, podría ser necesario operar en tiempo
extra.

Las tres líneas de abrigos se fabrican en dos
departamentos. La siguiente tabla es un programa semanal de
requerimientos de mano de obra y materiales
para el proceso de fabricación. Los precios unitarios para
las tres líneas son $100.00 $150.00 y $250.00,
respectivamente. Los gerentes han determinado que a un nivel
normal de producción los costos variables son de $70.00,
$80.00 y $100.00, por abrigo, respectivamente. Los costos de
tiempo extra son $2.00 por hora, por encima del salario normal,
para el departamento Nº Uno y $3.00 para el Nº Dos. Los
materiales extra pueden adquirirse a un costo de $2.00 por yarda,
por encima del costo normal.

Requerimientos de recursos, mano de obra y
materiales.

La gerencia de la
empresa ha pronosticado que la demanda del mercado para el abrigo
deportivo es de 1 000 unidades por semana, y la demanda de las
otras dos líneas es de 500 y 200 unidades,
respectivamente. El nivel de equilibrio de
producción es de 100 unidades del producto uno (deportivo)
y 50 unidades de cada uno de los otros dos productos.

Para analizar el problema, se han identificado, en orden
de prioridad, las siguientes metas:

1. Utilizar toda la capacidad de producción
   disponible, es decir. No debe existir tiempo muerto en
   ningún departamento.
2. Alcanzar los niveles de producción de punto de
   equilibrio en cada unas de las líneas de
   productos.
3. Dado que es probable que exista escasez de mano de
   obra en el departamento Dos, y dado que puede enviarse personal
   en tiempo extra a ese departamento, el tiempo extra aquí
   puede ser mayor que en el departamento Uno. Sin embargo, el
   tiempo extra del departamento Dos debe estar limitado a 600
   horas.
4. Alcanzar una meta de utilidades semanales de $20 000.
   00
5. Satisfacer todas las demandas del mercado. Dentro de
   esta meta deben utilizarse ponderaciones distintas para
   reflejar la contribución unitaria normal a las
   utilidades.

Caso 28

INDER (II)

El INDER ha creado una empresa que fabrica y vende tres
líneas de raquetas de tenis: A, B, y C para la
exportación. El proceso de manufactura de las raquetas
pasa a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere
tres horas de tiempo de producción en la operación
Nº Uno. En la operación Nº Dos la raqueta A
requiere Dos horas de tiempo de producción; la raqueta B
requiere cuatro horas y la C, cinco. La operación Nº
Uno tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la
operación Nº Dos tiene suficiente mano de obra para
operar 80 horas a la semana. El grupo de mercadotecnia del INDER
ha proyectado que la demanda de la raqueta tipo A no será
de más de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C
son de calidad similar,
se ha pronosticado que la demanda combinada para ésta
será, en total de diez o más, pero no más de
30 por semana. La venta de la raqueta A da como resultado $7.00
de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan
utilidades de $8.00 y $8.50, respectivamente.
¿Cuántas raquetas del tipo A, B y C deben
fabricarse por semana, si la empresa busca maximizar sus
utilidades? Plantee el problema como un modelo estándar de
programación lineal.

Caso 29

SIME

El Ministerio para la Industria Sideromecánica
(SIME) fabrica piezas de metal para motores tipo
Tainos. Las piezas se fabrican en procesos de
forjado y refinación y son necesarias cantidades
mínimas de diversos metales. Cada
pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado.
Existen cuatro tipos de mineral disponible para el proceso de
forjado y refinación. El mineral de tipo Uno contiene
cuatro onzas de plomo, dos de cobre y dos de hierro colado por
libra. Una libra de mineral de tipo dos contiene dos onzas de
plomo, seis de cobre y seis de hierro colado. Por último
el mineral de tipo cuatro contiene dos onzas de plomo, tres de
cobre y ocho onzas de hierro colado por libra. El costo por libra
para los cuatro minerales es
$20.00, $30.00, $60.00 y $50.00 respectivamente. A los directivos
del SIME le gustaría mezclar los minerales de manera que
satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el
costo de fabricación. Defina las variables de
decisión y plantee el modelo apropiado de
Programación Lineal (PL). El mineral tipo 3 tiene 3, 4,
7.

Caso 30

Ministerio de la Agricultura (MINAGRI)

La empresa de semillas produce tres tipos de turrones
que se venden a mayoristas, los cuales a su vez los venden a
expendios al menudeo. Los tres tipos son Normal, Especial y Extra
y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50 por libra, respectivamente.
Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas
y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son:

Maní: $0.90 por libra.

Pasas: $1.60 por libra.

Algarrobo: $1.50 por libra.

Los requerimientos de las mezclas son:

Normal: Igual al 20% del total de todas las
mezclas

Especial: cuando menos 20 % de cada ingrediente y no
más de 50% de cualquiera de ellos.

Extra: cuando menos 25% de pasas y no más de 25%
de maní.

Las instalaciones de producción hacen que haya
disponibles por semana como máximo 1 000 libras de
maní, 2 000 de pasas y 3 000 de algarrobo. Existe un costo
fijo de $2 000.00 para la fabricación de las mezclas.
Existe también la condición de que la mezcla normal
debe limitarse al 20% de la producción total. Plantee un
problema de PL para maximizar las utilidades.

Caso 31

Empresa del petróleo y sus
derivados

Los supervisores de la producción de la
refinería de petróleo de Cienfuegos deben programar
dos procesos de mezclado. Cuando se realiza el proceso Uno,
durante una hora se consumen 100 barriles de petróleo
nacional y 300 barriles de petróleo importado. De manera
similar, cuando se efectúa el proceso Dos, durante una
hora, se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 200
barriles de petróleo importado. Con respecto a la
producción, el proceso Uno genera 4 000 galones de
gasolina y 1 750 galones de petróleo para uso
doméstico por hora de operación. El proceso Dos
genera 3 500 galones de gasolina y 2 500 galones de
petróleo para uso doméstico, por hora. Para la
siguiente corrida de producción, existen disponibles 1 200
barriles de petróleo nacional y 1 800 barriles de
petróleo importado. Los contratos de
venta exigen que se fabriquen 28 000 galones de petróleo
para consumo doméstico. La contribución a las
utilidades por hora de operación para los procesos Uno y
Dos son $1 000 y $1 100, respectivamente.

A usted se le plantean las siguientes
interrogantes:

1. Plantee un modelo de Programación Lineal para
   determinar el programa de producción que maximice la
   contribución total. Asegúrese de indicar las
   unidades de medición para sus variables de
   decisión y las unidades en las que se mide cada
   restricción.
2. La Comisión Nacional de Energía puede
   emitir un dictamen que limite la producción total de
   gasolina a no más de la mitad del petróleo que se
   fabrique para uso doméstico. ¿Qué
   restricción debe añadirse al modelo para plantear
   esta condición?

Caso 32

Empresa de Aeronáutica Civil

La empresa de Aeronáutica Civil opera un
avión que combina pasajeros y carga entre los aeropuertos
de la Habana, Santiago, Bayamo y Tunas. Debido a los elevados
costos de operación, el avión no sale hasta que
todas sus bodegas hayan sido cargadas.

El avión tiene tres bodegas: inferior, media y
superior. Debido a las limitaciones en el espacio de las bodegas,
no puede llevar más de 100 toneladas de carga en cada
viaje.

No deben llevarse más de 40 toneladas de carga en
la bodega inferior. Con fines de equilibrio la bodega intermedia
debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior. Sin
embargo, no deben llevarse más de 60 toneladas de carga en
las bodegas media y superior combinadas.

Las utilidades por el transporte son
de $8 por tonelada de carga en la bodega inferior $10 por
tonelada de carga en la bodega intermedia y $12 por tonelada de
carga en la bodega superior, después de deducir todos los
gastos necesarios. Plantee un problema de Programación
Lineal para determinar la forma de cargar el avión que
proporcione las mayores utilidades.

Caso 33

MINAGRI (II)

La Empresa de Cultivos Varios de Palma Soriano tiene 130
hectáreas en las que producen tres artículos:
frijol, maíz y
maní. Los productos de la empresa son para consumo de sus
miembros y para ventas al exterior. La empresa está
organizada de tal manera que debe satisfacer primero las demandas
de sus miembros antes de realizar ventas al exterior. Todos los
excedentes de producción se venden al precio del mercado.
La siguiente tabla resume, para cada producto, durante la
temporada de cultivo, el rendimiento proyectado por
hectárea, el número de quintales (qq) que los
miembros solicitan, la demanda máxima del mercado (qq), y
la utilidad estimada por qq. Plantee un modelo de
Programación Lineal para el problema, que permita a la
empresa determinar el número de hectáreas que deben
asignarse a cada producto para que se maximicen las
utilidades.

Caso 34

CUBATAXIS

CUBATAXIS es una empresa cubana dedicada al servicio de
transportación de turistas. La misma acaba de adquirir una
licencia de operación para el servicio de vehículos
entre el aeropuerto de la Habana y el centro de la ciudad. Antes
del servicio de estos automóviles operaba una flota de 30
vagonetas; sin embargo, el volumen del
servicio hace que sea fácil justificar la adición
de otros vehículos. Además, la mayoría de
los vehículos son muy viejos y requieren un mantenimiento
muy costoso. Debido a la baja inversión que se requiere
para reemplazar todos los vehículos existentes, se
están considerando tres tipos de vehículos:
vagonetas, autobuses pequeños y autobuses grandes. La
empresa ha examinado cada tipo de vehículo y ha recopilado
los datos que se muestran en la siguiente tabla. El consejo de
administración de la empresa ha autorizado $500 000 para
la adquisición de vehículos. Se ha proyectado que
puede utilizar en forma adecuada cuantos vehículos pueda
financiar; sin embargo, las instalaciones de servicio y
mantenimiento son limitadas. En estos momentos, el departamento
de mantenimiento puede manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la
empresa no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento,
puesto que la nueva flota puede incluir autobuses pequeños
y grandes, el departamento de mantenimiento debe estar en
posibilidades de trabajar con ellos. Un autobús
pequeño es equivalente a Una y 1/2 vagoneta y cada
autobús grande equivale a Tres vagonetas. Plantee un
modelo lineal que permita determinar el número
óptimo de cada uno de los tipos de vehículos que
debe adquirir con el objeto de maximizar las utilidades anuales
esperadas.