Lógica matemática y álgebra de Boole (página 2)

PROPOSICIONES
SIMPLES Y SENTIDO COMÚN.

Una proposición es una
aserción o enunciado expresado en lenguaje
natural escrito o hablado, mediante una expresión
declarativa; que puede ser cierta o falsa, pero no ambas a la
vez. La proposición es un elemento fundamental de la
lógica
matemática..

La proposición puede ser simple o compuesta y se
denotan generalmente por las ultimas letras del alfabeto (p, q,
r, s,…,z)

Una proposición es simple, cuando no puede
parirse en partes constitutivas que sean a su vez proposiciones.
Como ejemplos de proposiciones simples podemos señalar,
las siguientes:

• Esta lloviendo
• Cometí una equivocación al matricular
  este curso

Las proposiciones simples deben ser enunciados simples
del español,
pero debemos recordar que el español usual es un lenguaje
informal, o sea que es un lenguaje cuya gramática está sujeta a
modificación de estilo y la manera en la cual una verdad
puede ser expresada correctamente en algo que depende en mucho de
la opinión de cada quien. Debe tenerse cuidado de emplear
ambigüedades de las que surgen en la conversación
ordinaria y cuidarse del lenguaje ambiguo que se usa
deliberadamente en los discursos
políticos.

Para ilustrar la necesidad de definiciones cuidadosas,
consideraremos la proposición "las ventas
están bajas". Antes de que podamos determinar si esta
proposición es verdadera o falsa, debemos precisar el
significado de "baja"., definiendo que "baja" significa por
ejemplo "menos del promedio diario". Sino tenemos definiciones
precisas para todas nuestras palabras y frases, entonces
tendremos sólo un lenguaje informal que puede dar lugar a
ambigüedades. De ahora en adelante supondremos que todos los
enunciados considerados son proposiciones y tomaremos en cuenta
su contenido para determinar su validez, antes de poder
determinar si son falsas o verdaderas. Por ejemplo,
sea:

• p= la tierra
  es plana
• q= -17+38= 21
• r= x ≥ y-9
• s= Herrera será campeón
  de béisbol en el presente campeonato.
• t= Hola ¿cómo
  estás?
• w= pásame el libro por
  favor

Obsérvese, que las proposiciones p
y q sabemos que pueden tomar un valor de falso
o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas. La
proposición r también es una
proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero
depende del valor signado a las variables
x y y en determinado momento. La
proposición s también esta
perfectamente expresada aunque para decir si es falso o verdadera
se tendría que esperar a que termine el presente
campeonato. Sin embargo las proposiciones t y
w no son válidos, ya que no pueden tomar un
criterio de verdad (falso o verdadero), el primero,
t, es un saludo y el otro, w, es una
orden o solicitud.

PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS
LÓGICOS.

Una proposición es compuesta si se puede partir
en partes constitutivas que son a su vez proposiciones simples y
están unidas por conectivos lógicos.

Comenzamos por hacer abstracciones de ciertas
propiedades del lenguaje informal. En particular hacemos
abstracción de las propiedades lógicas de las
conectivas con las cuales combinamos proposiciones simples para
formar proposiciones compuestas. Tenemos que hacer reglas
precisas sobre el modo como estas conectivas combinan
proposiciones y, para construir un álgebra
necesitamos tener una manera simbólica de representar las
proposiciones simples y también las conectivas.

No debemos olvidar que dentro de la esfera de la
lógica
tradicional, calcada sobre un gramaticismo un tanto confuso y
discutible, el lenguaje
corriente presenta ambigüedades. Por eso, en la
lógica moderna se trata de simplificar y de purificar el
lenguaje lógico de todo elemento que se preste a
confusiones y de que, por la tanto, de lugar a malentendidos.
Veamos por ejemplo, como ejemplo, lo siguiente:

Si quisiéramos expresar en términos de
lógica simbólica la siguiente
expresión

• Lenguaje natural: "Pancho es un artista de
  cine y
  María se enojó"
• Se traduciría en lenguaje simbólico
  en "p ^ q", en donde:

p = Pancho es un artista de
cine

q = María se enojo

^ = conjunción conectiva
"y"

Por lo pronto vamos a considerar las siguientes
conectivas (conectores lógicos), signos de
importancia para el manejo de las traducciones al simbolismo
lógico, así como para la determinación de
verdad o falsedad de las proposiciones. El término
"conectivas" se refiere a ciertas conjunciones
lógicas que gobiernan las distintas
fórmulas lógicas. Recordemos lo siguiente,
según Moisés Chong: "llamamos proposiciones
coligativas a aquellas proposiciones compuestas, es decir,
son proposiciones que consisten en la unión de dos o
más proposiciones", Y así, como se vio en el
ejemplo anterior, la unión de las proposiciones
componentes se efectúa mediante las conjunciones. La
característica fundamental de toda proposición
coligativa es que su verdad depende de la verdad de las
proposiciones coligadas. He aquí las conectivas más
corrientes:

1. La negación
2. La conjunción
3. La disyunción inclusiva
4. La disyunción exclusiva
5. La condicional
6. La bicondicional

CONECTIVOS
LÓGICOS Y TABLA DE VERDAD.

A partir de los conectores u operadores lógicos,
listado anteriormente, es posible formar proposiciones compuestas
(formadas por varias proposiciones simples y conectadas entre
sí por los conectores lógicos), sin embargo los
criterios de verdad resultantes de los operadores lógicos
están regidos por determinadas reglas de la lógica
booleana que señalaremos a en forma posterior.

Pero para ser más preciso es necesario tener en
cuenta que las proposiciones simples están determinadas
por condiciones dialécticas de tiempo y
espacio. Por ejemplo si se señala "llueve y no tengo
paraguas", al construir la tabla de verdad es necesario resolver
¿en dónde? y ¿cuándo? La
afirmación "llueve" se entiende en que es en ese momento y
ese lugar y con una simple mirada al cielo sabemos si es cierto o
falso. Hechas estas observaciones pasamos a revisar las reglas
específicas que rigen a cada conector
lógico.

• LA NEGACIÓN

La negación se simboliza,
generalmente por el signo "~". Este signo puede
ser traducido en palabras, así: "no es el caso que" o,
más brevemente, "no".

A partir de la teoría de conjuntos,
establecimos si un elemento pertenece o no a un conjunto y se
señaló que si no es elemento del conjunto,
entonces es elemento del conjunto complemento. Por tanto la
negación se refiere al conjunto complemento.

Se establece el siguiente principio para la
negación lógica: la negación de un
enunciado verdadero es falsa; la negación de un
enunciado falso es verdadero. Lo que equivale a decir que la
negación de la negación de una proposición
verdadera es verdadera; y la negación de la
negación de una proposición falsa es falsa.
Además la conectiva no es la única
de tipo singular del listado de conectores lógicos
señalado anteriormente.

• LA CONJUNCIÓN.

La conjunción es el operador
correspondiente al término "y", siendo su
símbolo más corriente el siguiente,
"^", se le conoce como la multiplicación
lógica. Expresado en el lenguaje matemático, la
conjunción está regida por la ley
asociativa , "(pq)r" equivale a decir "pqr". Pero
también es de carácter conmutativo: "pq"
y "qp" son irrelevantes en su orden.

La regla para establecer los criterios de verdad de la
conectiva lógica conjunción es la
siguiente:

• Una conjunción de enunciados en los
  cuales todos son verdaderos, es verdadera
• Una conjunción de enunciados en donde
  no todos son verdaderos es falsa.

• Lo que equivale a decir que basta que uno de
  sus componentes sea falsa para que toda la proposición
  sea falsa y sólo será verdadera en el caso de
  que ambos componentes lo sean.

La expresado anteriormente se resumen
simbólicamente de la siguiente manera:

Ejemplo:

Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando
tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la
batería"

Sean:

p= tiene gasolina el tanque

q = tiene corriente la batería

r = el auto enciende = p ^ q

La conclusión resultante es que para que el
auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente
en la batería, sino se tiene una de estas dos
condiciones el auto no arrancará.

• LA DISYUNCIÓN
  INCLUSIVA

La disyunción inclusiva, llamada
también, alternación, expresada
ordinariamente mediante la palabra "o",
simbólicamente se le representa por medio de la letra
"v", colocada entre dos proposiciones. Sin
embargo, la "o" en este caso no tiene carácter de
encrucijada o de dilema, y se puede interpretar como " o uno u
otro o ambos". Por ciertas analogías con el
álgebra se le llama también suma
lógica. La alternación posee, igualmente,
la propiedad
asociativa que consiste en la no importancia de la
agrupación en relación con la verdad o la
falsedad de una proposición dada. También es
afectada por la ley conmutativa de que el orden
de las alternativas no afecta a la
alternación.

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva
lógica es la siguiente:

• Una disyunción inclusiva es verdadera
  cuando por lo menos una de sus alternativas es verdadera;
  solamente será falsa si las dos lo
  son.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como
sigue:

Ejemplo:

Sea el siguiente enunciado "Una persona puede
entrar al cine si compra boleto u obtiene un pase"

Sean:

p= compra boleto

q = obtiene un pase

r = una persona entra al cine = p v
q

La conclusión resultante es obvia, puesto que
para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las
dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene
ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de
las dos alternativas entonces no se puede entrar al
cine.

• LA DISYUNCIÓN
  EXCLUSIVA

La disyunción exclusiva se
simboliza pro el signo "v", corresponde a
la expresión " o uno u otro, pero no ambos a la vez".
Una de las propiedades de esta conectiva es la de ser
conmutativa y la de poseer el carácter asociativo. Se
puede mostrar la equivalencia de los esquemas proposicionales
así como establecer que es inesencial la
agrupación por la cual optemos. Ejemplos de expresiones
afines a esta conectiva son " a menos que…" o "salvo
que…"

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva
lógica es la siguiente:

• Una disyunción exclusiva es verdadera
  cuando una de sus alternativas es verdadera; y será
  falsa si las dos alternativas son falsas o
  verdaderas.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como
sigue:

• LA CONDICIONAL

La condicional, expresada por la frase
"si,… entonces", se simboliza mediante el
signo "→" colocado entre las dos
proposiciones.. La primera proposición lleva el nombre
de antecedente y la segunda proposición la de
consecuente. Algunos lógicos la denominan
"proposición hipotética" o "proposición
implicativa". La importancia de esta clase de
proposiciones es la de que la utiliza frecuentemente en el
lenguaje de las ciencias,
particularmente en la ciencia
de la física y en la matemática. El condicional, según
veremos, es una conectiva para la cual importa el orden de las
cláusulas, esto es, se trata de un conector no
conmutativo. En este caso el antecedente es una
condición suficiente respecto del consecuente y el
consecuente es una condición necesaria respecto del
antecedente.

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva
lógica es la siguiente:

• La condicional será falsa sólo
  cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso,
  en los demás caso será
  verdadera.

La tabla de verdad del enunciado anterior es como
sigue:

Ejemplo:

Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se
calienta, entonces se dilata", se observa que estamos diciendo
es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta"
implica a la segunda proposición " entonces se dilata",
pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el
consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se
calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros
factores ajenos a la temperatura,
un golpe

• LA BICONDICIONAL

La bicondicional, expresada por la frase
"si y solo sí…", denotada por el
signo"↔", significa una relación
bidireccional en donde ambas proposiciones se necesitan entre
sí.

La regla de la tabla de verdad para esta conectiva
lógica es la siguiente:

• La conectiva bicondicional será
  verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que la
  componen son a la vez verdaderas o si son ambas
  falsas.

La expresado anteriormente se resumen
simbólicamente de la siguiente manera:

TRADUCIENDO DEL
LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE SIMBÓLICO

El analista económico para entender el mundo
circundante (la sociedad y sus
relaciones económicas) debe ser capaz de hacer
abstracciones para encontrar las partes esenciales y sus
relaciones a fin de poder tener indicios del porque del comportamiento.

A continuación le presentaremos algunos ejemplos
de traduccciónlógica:

Ejemplo #1:

Se tiene la siguiente proposición
compuesta:"Hoy es domingo y tengo que estudiar estadística o no aprobare el
curso"

Al separar la proposición en sus partes
esenciales se tiene lo siguiente:

Sea p= Hoy es domingo

q= tengo que estudiar estadística

r= aprobare el curso,

~r = no aprobare el curso

Lo que en lenguaje simbólico equivale
a

p ^ q v
~r

Ejemplo #2:

Se tiene la siguiente frase: "Si no pago la
luz, entonces
me cortaran la corriente
eléctrica. Y si pago la luz, entonces me quedare sin
dinero y pido
prestado, entonces no podré pagar la deuda, si y solo si
soy desorganizado"

Donde:

• p = pago la luz
• q = me contarán la corriente
  eléctrica
• r = me quedare sin dinero
• s = pediré prestado
• t = pagar la deuda
• w = soy desorganizado

Lo que en lenguaje simbólico equivale
a:

(~p → q) ^ [ p → (r ^ s)]
↔ t

TABLAS DE VERDAD
PARA PROPOSICIONES COMPLEJAS

Se tiene el siguiente enunciado lógico (p v
~q) ^ r, encuentre su tabla de verdad:

Obsérvese que en este caso
aparecen involucrados en la proposición compleja tres
proposiciones simples, p, q, y
r. Para poder determinar la cantidad de criterios
de verdad a considerar al construir la tabla, se aplica la
siguiente fórmula:

No. de líneas = 2n, donde n=
número de variables distintas.

Ejemplos:

1. p

   V

   F

2. Se tiene una sola variable p, entonces n=1 y
   21=2, luego:

   p	q
   V	V
   V	F
   F	V
   F	F

3. Se tienen dos variables p y q, entonces n=2 y
   22=4, luego:
4. 3- Se tienen tres variables p, q y r, entonces n=3
   y 23=8, luego:

En el caso en consideración tenemos tres
variable (p,q,r) y aplican las reglas algebraicas de
solución de los paréntesis (de adentro hacia
afuera) por tanto se resuelve de la siguiente manera

Pasos utilizados al construir la tabla de verdad
resultante:

1. Se anotaron los criterio de verdad elementales de
   cada variable
2. Se resolvió la negación de q
   (~q).
3. Se resolvió el paréntesis ( p v
   ~q)
4. Se resolvió la conectiva final "y"
   (^)

Nota: obsérvese que la tabla
final resultante esta en negritas en la columna denotada abajo
4.

LABORATORIO

(Resolver y entregar en grupos de tres
estudiantes, equivalen a nota de un parcial)

Problema #1:

Anote las siguientes expresiones expresadas en lenguaje
natural en notación simbólica.

• Si usted invierte en el mercado de
  valores, se hará rico y entonces será
  feliz
• Si bajan los impuestos,
  entonces se eleva el ingreso
• Los precios de
  los artículos de primera necesidad están altos y
  encareciéndose
• Pasare este curso, si y solo si, estudio y me
  esfuerzo al máximo
• .Si asisto a clases, todos los días entonces
  aprobare y no fracasare en la vida.

Problema #2:

Se tienen las siguientes proposiciones:

p = los precios de los artículos de primera
necesidad están altos

q = están encareciéndose

r = sobreviviré

Traduzca al lenguaje natural las siguientes expresiones
lógicas.

• p ^ q
• ~p → r
• p ^ ~q
• ~p v ~q
• (~p ^ ~q) ↔ r

Problema #3:

Encuentre la tabla de verdad de las siguientes
expresiones lógicas

• p → (q v r)

• (p v r) ^ (p → q)

• (p v q) ↔ (q v p)

• p ^ ~p

• (p → p) v (p → ~p)

• ( p ^ ~q) ^ r

• [p → (q → r)] → [(p → q) →
  (p → r)]

BIBLIOGRAFÍA

Chong, Moisés Lecciones de Lógica e
Introducción al Método
Científico.

The Open University LÓGICA I- ALGEBRA DE
BOOLE

Curso básico de matemáticas. Unidad II

McGraw-Hill. 1971

Jiménez Murillo Lógica Matemática.
Ilustrados.com

José Alfredo y otra autora.

Autor:

Francisco Antonio Cabrera
González

Datos del Autor:

Graduado en mayo de 1980 de Economista-Organizador de la
Producción Agrícola y Master en
Ciencias Económicas en la Academia Agrícola K. A.
Timiriazev de Moscú –Rusia.

Profesor de la Universidad de
Panamá
desde 1981. Ha ejercido la docencia
universitaria en los Centros Regionales de Azuero
(Chitré), Los Santos, Veraguas, Coclé y San
Miguelito. Catedrático (Profesor
Regular) desde 1991 del Departamento de Estadística
Económica y Social de la Facultad de Economía.

En su vida universitaria, como docente, ha sido
representante de los profesores del CRU-Azuero (Chitré)
ante el Consejo General Universitario -CGU (1990-1992),
Vicepresidente de la Asociación de Profesores de la
Universidad de Panamá –APUDEP (1991-1993),
Presidente de la APUDEP (1993-1995), Director del Centro Regional
Universitario de San Miguelito –CRUSAM (1995-2000) y en la
actualidad es docente investigador de la Universidad de
Panamá.

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE SAN
MIGUELITO

FACULTAD DE ECONOMÍA

DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA ECONÓMICO Y
SOCIAL

Curso: "Estadística Económica
II".