Investigación sobre torsión en el campo del marino mercante (página 2)

Torsión general: Dominios de
torsión.

En el caso general se puede demostrar que el giro
relativo de una sección no es constante y no coincide
tampoco con la función de
alabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo la
esbeltez torsional como:

Fórmula 1. Esbeltez
torsional.

Donde G, E son respectivamente el módulo de
elasticidad
transversal y el módulo elasticidad longitudinal, J,
Iω son el mσdulo torsional
y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra recta.
Podemos clasificar los diversos casos de torsión general
dentro de límites
donde resulten adecuadas las teorías
aproximadas expuestas a continuación.

De acuerdo con Kollbruner y
Basler.[]

• Torsión de Saint-Venant pura, cuando .
• Torsión de Saint-Venant dominante, cuando
  .
• Torsión alabeada mixta, cuando .
• Torsión alabeada dominante, cuando .
• Torsión alabeada pura, cuando .

El cálculo
exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a
cabo mediante métodos
variacionales y usando un lagrangiano basado en la energía
de deformación. El caso de la torsión alabeada
mixta, no puede ser tratada más que usando la teoría
general de torsión.

Torsión de Saint-Venant pura.

La teoría de la torsión de Saint-Venant es
aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional
con cualquier forma de sección, en esta
simplificación se asume que el llamado momento de alabeo
es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional
también lo sea. Para secciones no circulares y sin
simetría de revolución
la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo
de la sección transversal respecto al eje
baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la
sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho
es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto
sólo existe giro.

Torsión recta: Teoría de
Coulomb.

La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de
transmisión de potencia macizos
o huecos, debido a la simetría circular de la
sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la
sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la
torsión genera una tensión cortante el cual se
calcula mediante la fórmula:

Formula 2.
Tensión cortante.

Donde:

:
Esfuerzo cortante a la distancia
ρ.

T: Momento torsor total que actúa sobre la
sección.

:
distancia desde el centro geométrico de la
sección hasta el punto donde se está calculanda
la tensión cortante.

J: Módulo de torsión.

Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma
una pieza prismática con simetría de
revolución, es decir, es una teoría aplicable
sólo a elementos sección circular o circular hueca.
Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje
baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra
línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira
alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la
deformación viene dada por unos desplazamientos del
tipo:

Formula 3. Desplazamientos por
deformación.

El tensor de deformaciones para una pieza torsionada
como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las
anteriores componentes del vector de desplazamiento:

Formula 4. Vectores de
desplazamiento derivadas.

A partir de estas componentes del tensor de
deformaciones usando las ecuaciones de
Lamé-Hooke llevan a que el tensor tensión viene
dado por:

Formula 5. Tensor de tension en
la ecuación de Lame-Hooke.

Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la
relación existente entre la función
α y el momento torsor:

Formula 6. Relacion
momento torsor y funcion.

Donde ,
es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos
momentos de área.

1. Torsión no recta: Teoría de
   Saint-Venant.

Para una barra recta de sección no circular
además del giro relativo aparecerá un
pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática
más complicada. Para representar la deformación se
puede tomar un sistema de ejes
en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector
de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene
dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant
por:

Formula 7. Hipótesis
cinematica de Saint-Venant.

Donde
θx(x) es el giro
relativo de la sección (siendo su derivada constante);
siendo zC y yC las coordenadas del centro
de cortante respecto al centro de gravedad de la sección
transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo
unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la
sección y permiten conocer la forma curvada final que
tendrá la sección transversal. Conviene
señalar, que la teoría al postular que la derivada
del giro es constante es sólo una aproximación
útil para piezas de gran inercia torsional. Calculando las
componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas
del desplazamiento se tiene que:

Formula 8.
Deformaciones de desplazamiento derivadas.

Calculando las tensiones a partir de las anteriores
deformaciones e introduciéndolas en la ecuación de
equilibrio
elástico se llega a:

Formula 9. Tensiones
introducidas en la ecuación de equilibrio
elástico.

Donde las magnitudes geométricas son respectivamente el
segundo momento de alabeo y el módulo de torsión y
los "esfuerzos" se denominan bi-momento y momento de alabeo, todos ellos
definidos para prismas mecánicos.

Torsión alabeada pura

Para piezas de muy escasa inercia torsional, como las
piezas de pared delgada, puede construirse un conjunto de
ecuaciones muy simples en la que casi toda la resistencia a la
torsión se debe a las tensiones cortantes inducidas por el
alabeo de la sección. En la teoría de
torsión alabeada pura se usa la aproximación de que
el momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta
teoría se aplica especialmente a piezas de pared delgada y
se distinguen tres casos:

2. Sección abierta, donde no aparecen esfuerzos
   de membrana.
3. Sección cerrada simple, en el que la
   sección transversal puede aproximarse por una
   pequeña curva simple cerrada dotada de un cierto
   espesor.
4. Sección multicelular, en el que la
   sección transversal no es simplemente conexa pero
   aún así puede aproximarse por una curva no simple
   y un cierto espesor.

Torque

El torque o par es el nombre que se da a las fuerzas de
torsión. Para que la torsión exista se requieren 2
fuerzas (par), que se ejercen en sentido opuesto.

El valor del par
depende del radio de acción
de la fuerza
(brazo). La mayor o menor torsión que genera una fuerza
depende de la distancia al punto de pivote. A mayor brazo mayor
par. Observar figura 3.

Figura 3. Brazo mayor de
torque.

2. Par de Torsión

El par o torque es un número que expresa el valor
de la fuerza de torsión. Se expresa en kilos x metros. Es
decir, si ejercemos una fuerza de 1 kilo con un un brazo de 1
metro el torque o par será de 1 kilo x metro (1
kilográmetro).

En un motor de pistones
la capacidad de ejercer fuerza de torsión es limitada.
Depende de la fuerza de expansión máxima que logran
los gases en el
cilindro. El torque máximo se consigue cuando el
rendimiento volumétrico es máximo y por lo tanto se
dispone de mayor temperatura
para expandir los gases.

El par motor también depende del largo del brazo
del cigüeñal. Los motores de mayor
tamaño están equipados con cigüeñal de
brazo más largo. Esto les da la posibilidad de ejercer
igual par de torsión con menos fuerza de expansión
de los gases.

Figura 4. Par de
torsión.

DEFORMACIONES EN ÁRBOLES DE SECCIÓN
CIRCULAR

Cuando un eje es circular, las deformaciones que estos
sufren al aplicar un par de torsión T, cumplen con la
siguiente propiedad:
cuando un eje circular se somete a torsión, todas sus
secciones transversales permanecen planas y sin
distorsión, es decir, aunque sus distintas secciones
transversales a lo largo del eje giran en diferentes cada
sección transversal gira como un placa sólida
rígida. Esta propiedad es característica de
cualquier eje circular, sólidos o huecos.

Esta propiedad es posible ya que los ejes circulares son
asimétricos, es decir, su apariencia es la misma si se ve
desde una posición fija y se gira alrededor de su eje por
un ángulo aleatorio.

DEFORMACIÓN CORTANTE

La deformación a cortante de un eje circular de
longitud L y radios c, el cual ha sido girado en un ángulo
Φ. Ver Fig. 5.

Figura 5. Deformación
cortante.

Viendo una parte interna del eje, de radio ρ, se
forma un cuadrado por dos cνrculos y
líneas rectas adyacentes. Ver Fig. 5.1.

Figura 5.1. Figuras formadas por
deformación cortante.

Luego de aplicar una carga de Torsión, el eje se
deforma haciendo del cuadrado, un rombo. Ver Fig. 5.2. Sabemos
que la deformación unitaria γ
en un elemento cualquiera, se mide a través del
cambio de los
ángulos formados por sus lados. Entonces tenemos
que:

Figura 5.2. Formado de un rombo al
aplicar una carga de torsión.

Donde γ, Φ
están dados en radianes.

Se deduce que

De esta ecuación se puede deducir que cuando la
deformación cortante es máxima cuando ρ =
c.

Formula 10. Ecuación de
deformación cortante maxima.

ESFUERZOS CORTANTES EN ÁRBOLES DE
SECCIÓN CIRCULAR

Como ya conocemos, esfuerzo es el cociente que surge de
dividir una fuerza entre un área en que se aplica.
Dependiendo de la dirección de la fuerza, las paralelas a la
fuerza (τ) o esfuerzo cortante y las normales
(σ), diferenciamos si el esfuerzo es de
tracciσn o compresión.

A diferencia del esfuerzo normal, el esfuerzo cortante
es más difícil de apreciar porque su efecto es poco
evidente.

Ya que el par de Torsión aplicado no deben
sobrepasar los límites de de resistencia
τy, los esfuerzos
también estarán bajo este límite. Por ello
si se aplica la Ley de Hooke no
habrá deformación permanente.

Formula 11. Ley de
Hooke.

Donde G es el módulo de rigidez del material.
(Ver Fig. 6)

Figura 6. Modulo de la
rigidez.

Si multiplicamos por G ambos lados de la ecuación
obtenemos:

Observar figura 6.1.

Figura 6.1.
Después de aplicar la ley de Hooke.

Gracias a esta ecuación, deducimos que el
esfuerzo cortante varía linealmente con la distancia
de ρ.

Formula 12. Deduccion
del esfuerzo cortante lineal.

J es el momento polar de inercia,

Viene dado por la siguiente fórmula:

ÁNGULO DE TORSIÓN

Si se aplica un par de torsión T al extremo libre
de un eje circular, unido a un soporte fijo en el otro extremo,
el eje se torcerá al experimentar un giro en su extremo
libre, a través de un ángulo Φ, denominado
ángulo de giro. Cuando el eje es circular, el
ángulo es proporcional al par de torsión aplicado
al eje. Ver figura 7.

Figura 7. Angulo de
torsión.

Por lo tanto tenemos que:

Formula 13. Angulo de
torsión.

Donde:

• T es el par de torsión.
• L es la longitud del eje.
• J es el momento polar de inercia de la sección
  transversal del eje.
• G es el módulo de rigidez del
  material.

El ángulo de torsión se relaciona con la
deformación máxima a cortante a través de la
siguiente forma:

Formula 14. Angulo de
torsión con deformación máxima.

ÁRBOLES DE
TRANSMISIÓN DE POTENCIA

Entendemos por árboles
de transmisión de potencia cuando un elemento giratorio
transmite un momento de torsión, para que esto ocurra debe
existir una potencia que transmitir y una velocidad de
rotación del eje.

1. RELACIÓN ENTRE TORSIÓN Y
   POTENCIA

Si la fuerza actúa con respecto a la distancia,
es cuando se produce un trabajo
mecánico. De igual forma, si la Torsión
actúa con respecto a la distancia rotacional es hacienda
un Trabajo. Potencia es el trabajo por
unidad de tiempo. Sin
embargo el tiempo y la distancia rotacional, están
relacionadas por la velocidad angular, donde cada
revolución resulta en la Circunferencia del círculo
que va girando por la fuerza producida por la Torsión.
Esto significa que la Torsión causa la velocidad angular,
ésta a su vez hace un trabajo y se genera una potencia,
que se podría calcular así:

Formula 15. 1.
potencia, 2. potencia, 3. trabajo, 4. torsión.

Donde:

• P es Potencia.

• ƒ es la frecuencia de rotación
  .

• T es la torsión (un par).

TORSIÓN EN
BUQUES

El movimiento del
buque queda sujeto al capricho de las olas. Por ello se debe
encontrar o buscar el punto de
equilibrio entre la flotabilidad del buque y su estabilidad,
esto para que la estructura del
casco sufra lo menos posible, sea por los movimientos de
rotación del buque entre olas de balance y cabeceo, el
movimiento de traslación vertical, por los esfuerzos
longitudinales, los esfuerzos cortantes y el momento flector, o
por el momento de torsión del casco (reflejado en la
quilla) en aguas quietas y entre olas.

Desde el punto de vista estructural, un Buque es una
viga hueca sometida a flexión y a torsión mientras
navega a través de las olas y cambiando su propio peso. La
columna vertebral de casi todos los Buques es la quilla, una viga
longitudinal situada en el fondo y que se extiende de proa a popa
y es la que soporta todas las torsiones y los esfuerzos. Si
tomamos los buques como una viga, podremos analizar su
torsión como la de un sólido no circular, en este
caso un elemento rectangular cuyos extremos permanecen intactos,
sin deformación (los esfuerzos cortantes son nulos = 0),
teniendo los máximos justo en el centro (puntos
intermedios) de los lados largos de la viga.

τ mαx= T/ρ * L *
t2      
y       Φ=T * L/ β * L *
t3 * 6

Donde:

L=longitud del lado
largo                                

t=espesor tita ancho del lado
corto                       

α y β = dependen de la
razσn L/t. y tienden a
1/3.

Si estiramos un poco la viga aplicando una presión
interna, se producirá una parábola en una
sección interna de la viga, es decir, la pendiente
máxima. Entonces, el esfuerzo cortante máximo se va
a apreciar en los bordes de la viga.

Otra parte en donde encontramos Torsión en un
Buque es en las propelas, esta consta (grosso modo), de un eje
circular giratorio, con un extremo fijo y en el otro extremo las
hélices. Para calcular La Torsión allí
producida, se hace como si habláramos de un árbol
de sección circular transmisores de potencia.

CONCLUSIONES

He estudiado los conceptos más importantes,
partiendo de lo elemental para finalizar en fórmulas
físicas que al ser aplicadas nos permiten determinar la
resistencia de los materiales
sometidos a torsión, constituidos en este caso por los
Árboles de Sección Circular.

Demostramos con ejemplos que los ejes circulares
sometidos a torsión mantienen toda la sección
transversal plana y sin distorsión ello como fundamento en
la aplicación de nuevas expresiones vinculadas con
deformaciones, ángulo de torsión, deformaciones a
cortante y los esfuerzos de corte.

EJEMPLOS

Torsión y Esfuerzo
cortante

Calcule T máxima y el esfuerzo cortante
mínimo de un eje circular hueco, que mide 2m. De longitud,
con diámetros: interior de 30 mm. Y exterior de 50mm. Si
el esfuerzo cortante del eje, no debe exceder los 80x 10
6 Pa.

J= ½ π(
C24-C14)
y C2 = ½ diám ext. Y
C1=½ diám int.

Entonces sustituyendo los datos tenemos
que:

J= ½ π (0.0254
– 0.0154) J= 5.34×10-5
m4

τ máx. =
Tc Despejamos T, y obtenemos: T = J
τ
máx. Donde C =
C2

J C

Entonces: T = ( 5.34*10-5 m4
* 80*106 Pa) T = 170.88
kN/m

0.025m

τ min.=
C2 τ
máx. τ
min. = 0.025 m
(80*106Pa)

C1 0.015 m

τ min. =
133.33 Mpa

ÁNGULO DE
TORSIÓN

Dado un eje circular hueco, que mide 2m. De longitud,
con diámetros: interior de 30 mm. y exterior de 50mm. Cuyo
esfuerzo cortante no debe exceder los 80x 10 6 Pa. Si
su módulo de elasticidad es 70×109 Pa y se le
aplica un par T = 1,829×103 N. m. Calcular el
ángulo de torsión.

J= ½ π(
C24-C14)
y C2 = ½ diám ext. Y
C1=½ diám int.

Entonces sustituyendo los datos tenemos que:

J= ½ π (0.0254
– 0.0154) J= 5.34×10-5
m4

Φ= TL /
JG Φ= 80x 10
6 Pa. * 2 m

5.34×10-5 m4 * 70×109
GPa

Φ= 42.80 rad.

ÁRBOLES DE TRANSMISIÓN
DE POTENCIA

Calcule el tamaño de un eje que se debe utilizar
para el rotor de un motor cuya potencia es 30000 in
. lb / s, que trabaja a 3200 rpm, si
el esfuerzo cortante no debe exceder de 7800 Psi en el
eje.

Primero llevamos las rpm a Hz que es lo mismo que
s-1

ƒ = ( rpm ) 1 H z ƒ = 53.33 Hz =
53.33 s-1

60 rpm

T = P T = 30000 in .
lb / s

2πƒ 2π
( 53.33 s-1)

T = 89.53 lb / s

Tenemos que

J = T J = 89.53 lb /
s

C τ
máx. C 7800Psi

J = 11.47 x10-3
in3

C

J /C = ½ π
c3 por lo tanto ½
π c3 = 11.47
x10-3 in3

Si despejamos "c" obtenemos que

c 3 = 11.47 x10-3
in3 c = 0.193 in.

½ π

d = 2 c d = 0.38 in.

BIBLIOGRAFÍA

http://www.ingenieriamecania.com

http://www. fing.edu.uy/iimpi/dptos/
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SINGER, Ferdinand. Resistencia de Materiales.

Segunda Edición. Editorial Harper and Row
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Madrid, 1962.

TIMOSHENKO, S. Resistencia de Materiales.

Segunda Edición. Editorial Espasa-Calpe. Madrid,
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BEER, Ferdinand. JOHNSTON, Junior y DEWOLF,
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SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Física para
Científicos e Ingenieros. Sexta Edición.
Editoriales Brooks/Cole. 2004.

OLIVELLA P., Joan. Teoría del buque, movimientos
del buque y esfuerzos.

José Quijada

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

MARÍTIMA DEL CARIBE

VICERRECTORADO ACADÉMICO

DIRECCIÓN DE ESCUELA DE
NÁUTICA

Catia la Mar, Noviembre de 2007

MIS DATOS

PAÍS: VENEZUELA,
CARACAS.

NOMBRE: JOSÉ QUIJADA.

LUGAR DE NACIMIENTO: CARACAS, VENEZUELA.

ESTUDIOS: 6° SEMESTRE DE INGENIERÍA
MARÍTIMA.

LUGAR: UNIVERSIDAD
MARÍTIMA DEL CARIBE.

PROFESIÓN: SOLDADOR
METALÚRGICO.