Sistemas dinámicos y no dinámicos, el caos y el fractal (página 2)

Veamos ahora el procedimiento a
seguir con los sistemas
dinámicos no lineales, esto es en los que las variables
pueden estar afectadas por exponentes diferentes de 1 o estar
multiplicas entre si, y que son los mas frecuentes en los
sistemas reales

Mucho de lo visto hasta aquí nos servirá,
pero antes de seguir adelante observemos de nuevo el sistema lineal
que antes vimos:

│dx/dt │ │a b ││x
│

│dy/dt │= │c d ││y
│

Fijémonos en la matriz del
segundo miembro. Si siguiendo con la notación general que
adoptamos desde las primeras líneas, hacemos

f = ax + by

g = cx + dy

veremos que ∂f/∂x = a, ∂f/∂y = b,
∂g/∂x = c, ∂g/∂y = d con lo que
podríamos sustituír la matriz por el jacobiano (ver
"Non Linear Dynamics and Chaos", S.H. Strogatz, 2000):
.

│∂f/∂x ∂f/∂y│

J = │∂g/∂x
∂g/∂y│

Cuya traza t y determinante d, se puede demostrar que
cumplen la misma función
que sus homónimas antes vistas para determinar los
signos de las
λ y por tanto el sentido de las trayectorias
fásicas y la clasificación de los puntos
estacionarios como estables e inestables y otras
carateísticas de los mismos, aún en los sistemas no
lineales. Entre estas otras características tenemos la
clasificación de los puntos estacionarios ya sean estables
o inestables, en nodos y focos. En los nodos se cumplirá
que t2 – 4d mayor que cero y en los focos
t2 – 4d menor que cero.

En los focos las trayectorias fásicas tienen
forma de espiral que se dirigen al foco cuando éste es
estable y se alejan de él cuando es inestable. En ambos
casos se producen oscilaciones que pueden ser no amortiguadas de
frecuencia d1/2 cuando t = 0 y cuando el foco es
inestable o se enrolla en un ciclo límite. Cuando el foco
es estable las oscilaciones son amortiguadas.

Tanto los nodos como los focos son estables cuando t
menor que cero e inestables cuando t mayor que cero. En ambos
casos d será mayor que cero. Cuando d es menor que cero el
punto estacionario se llama asiento o silla y en ese caso las
trayectorias fásicas no salen ni entran al punto
estacionario sino que se acercan a él en forma semejante a
ramas de una hipérbola.

Visto lo anterior, vamos aplicar los métodos de
la dinámica no lineal a un proceso que se
presenta en un modelo
didáctico ideal llamado Brusselator consistente en una
reacción química en la que se
producen situaciones características de sistemas
dinámicos abiertos, autorregulados lejos del equilibrio,
situaciones que también se dan en los organismos vivos en
los cuales se alcanza el orden dinámico en condiciones de
no equilibrio.

Es una reacción autocatalítica en la que
se producen sustancias intermedias cuyas concentraciones
variables las representaremos por x e y las cuales varían
con el tiempo
según el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales:

dx/dt = 1 – (b+ 1)x + ax2 y

dy/dt = bx – ax2y

donde a y b son parámetros.

Como indicamos antes calculamos los puntos estacionarios
igualando a cero los segundos miembros. Obtenemos un solo punto
de coordenadas x*= 1,y*=b/a. Hallamos el jacobiano J buscando
∂f/∂x, etc evluándolas para x=1 e y=b/a y
obtenemos:

J = │b – 1 a │

│- b -a│

Calculamos t = b – (a + 1) d = a.

Luego t2 – 4d que llamaremos
D.

Si a mayor que cero con b mayor que a+1 y D mayor que
cero tendremos nodo inestable pero si b menor que a +1 nodo
estable.. Pero si D menor que cero con las otras condiciones,
entonces en vez de nodos tendríamos focos. En el caso de
foco inestable se producirían autooscilaciones no
amortiguadas que podrán ser observadas por variaciones
periódicas de la coloración dde las sustancias de
la reacción. Si b = a+ 1, será el valor
crítico de b. El paso de los valores de
b crítico hacia valores un
tanto mayores o un tanto menores de éste, provocan un
cambio en la
naturaleza de
los puntos estacionarios lo cual se conoce como
bifurcación.

Hemos visto así un caso típico de sistema
abierto, alejado del equilibrio que llegado a un punto de
inestabilidad puede pasar en determinadas condiciones a
autoorganizarse, en este caso ordenándose en el tiempo con
oscilaciones no amortiguadas. La autoordenación de este
tipo de sistema pudiéra darse también en el
espacio, todo lo cual se logra manipulando adecuadamente los
parámetros.

Pondremos otro ejemplo ahora de la bioquímica–física
específicamente de genética:
la acción
del código
genético portado por el ADN para que por
medio del ARNm determine la secuencia de aminoácidos en
las proteínas.

El sistema dinámico tiene la forma:

dx/dt=-ax+y

dy/dt= x2 /(1+x2) –by donde
x e y son las concentraciones de la proteína y el ARNm y a
y b parámetros.

Los puntos estacionarios se buscan como indicamos
igualando los segundos miembros a 0; serán tres. Luego se
determinan los jacobianos para cada punto estacionario y mediante
el análisis ya explicado de la traza y el
determinante, en cada caso se encontrará que hay dos nodos
estables y un punto de ensillaje. El
bioquímico-físico sabrá manejar estos
resultados e interpretartlos.

A veces el problema dinámico se nos plantea a
partir de la expresión de la ley fundamental
de la dinámica para el caso que se trata. Por ejemplo para
el oscilador armónico amortiguado:

d/dt(dx/dt) = -kx – bdx/dt.

En este caso se hace dx/dt=y con lo que la segunda
derivada de x se hará dy/dt y así tendremos el
sistema en la forma habitual:

dx/dt=y

dy/dt=-kx-by

y se seguirá el procedimiento
explicado.

Antes de seguir adelante con la dinámica de
sistemas de dos variables o bidimensionales nos referiremos
brevemente a los sitemas unidimensionales, esto es los de la
forma dx/dt=f(x). En este caso el retrato fásico se
sitúa en el plano cartesiano x,dx/dt y las trayectorias
fásicas se plotean a partir de f(x) tomando como variable
independiente a x. Los puntos estacionarios x*
análogamente a lo que ya sabemos, se hallarán a
partir de dx/dt=0 con lo que estarán localizados sobre el
eje x. Serán estables cuando la trayectoria fásica
va hacia ellos e inestables en caso contrario como ya
habíamos visto. Como es obvio en los puntos
estables

f ´(x) menor que cero y en los inestables f
´(x) mayor que cero.

Un ejemplo de sistema unidimensional es el que describe
la variación poblacional de una especie animal dado por la
llamada ecuación logística:

dx/dt= kx(1-x)

Siguiendo lo explicado vemos que los puntos
estacionarios son x*=0, x*=1.

La derivada de f respécto a x es f
´(x)=k-2kx que evaluada para 0 es positiva y por tanto ese
punto es inestable. Lo contrario ocurre al evaluar para
1

Un fenómeno muy interesante y conocido es el de
la formación de una estructura
conocida como Celdas de Bénard, que se produce en un
líquido al ser calentada la base del recipiente que lo
contiene. El líquido en el fondo en proceso convectivo se
eleva hasta la superficie y para ciertos valores de los
parámetros del sistema unidemesional que describe su
dinámica se llega a una inestabilidad que propicia el paso
a una autoordenación dinámica en el espacio
apareciendo las celdas. El sistema unidimensional tiene la forma:
dx/dt=ax-bx3, para el análisis de los puntos
estacionarios: f ´(x)=a-3bx2 . Un punto
crítico será cuando a=3bx2 y para el
punto x=1aproximadamente, se producirá la inestabilidad
antes citada cuando a mayor que 3b. A esta situación se le
llama Inestabilidad de Bénard.

Ciclos límites.

Resulta conveniente conocer porqué la presencia
de exp iө en las soluciones de
x e y en función del tiempo, indica oscilaciones( La
presencia de iө se deberá a que la traza y el
determinante del Jacobiano cumplirán que t2
menor que 4d).Para ello debemos recordar la ecuación de
Euler exp iө = cosө + isenө. La presencia de
las funciones seno y
coseno nos indica la periodicidad de los valores..

Ya mencionamos los ciclos límites que resultan
cuando una trayectoria fásica en forma de espiral, acaba
por enrollarse conformando una trayectoria cerrada. Se comprende
que recorriendo la trayectoria los puntos fásicos se van
repitiendo periódicamente indicando el comportamiento
oscilatorio del sistema. El concepto ciclo
límite es muy importante en dinámica. Los ciclos
límites pueden atraer trayectorias cercanas hacia
él o por el contrario repelerlas. En el primer caso
estamos ante otro tipo de atractor.

Los ciclos límites estables son muy importantes
en la ciencia ya que
modelan los sistemas dinámicos reales que presentan
procesos
oscilatorios autosostenidos tales como latidos cardíacos,
ritmos biológicos, reacciones
químicas oscilantes y otros muchos ejemplos de la
materia viva e
inerte.

No toda trayectoria u órbita cerrada es un ciclo
límite ya que ésta tiene que ser aislada..Cuando
del jacobiano del sistema obtenemos que t2 es menor
que 4d y t=0, indica órbitas cerradas pero no aisladas por
lo que no hay ciclo límite.

Veamos el análisis de
sistemas en los que se presentan ciclos límites del
tipo de Liénard:

dx/dt = y

dy/dt = -f(x)dx/dt – g(x).

como es el del famoso oscilador de Van der Pol utilizado
en los primeros radios de válvulas
al vacío y que motivaron los mas importantes estudios de
sistemas dinámicos no lineales, el cual se expresa
así:

dx/dt = y

dy/dt = -µ(x2 – 1)dx/dt –
x

que recuerda el del movimiento
oscilatorio amortiguado:

dx/dt = -bdx/dt – x

aunque éste es lineal.

La peculiaridad y ventaja del de Van der Pol es que en
éste al pasar el valor modular de x de ser menor que 1 a
mayor que 1 la acción amortiguadora varía su efecto
coadyuvando a la autosustentación de las
oscilaciones.

Unas líneas mas arriba hemos escrito el sistema
no lineal de Van der Pol y vamos analizarlo con el método que
ya concemos.

Encontramos el punto estacionario igualando los segundos
miembros del sistema acero y hallamos
que es (0,0) o sea el origen de coordenaas.

Calculamos el jacobiano para (0,0):

J = │0 1│

│-1 1 │

Como t=1, d=1y t2 – 4d menor que cero
vemos que es un foco inestable. Veamos ahora si se presenta un
ciclo límite para lo cual aplicaremos el Teorema de
Liénard que conlleva los siguientes pasos. Siguiendo la
notación que adelantamos cuando presentamos el sistema de
Liénard haremos µ(x2 – 1) = f. Si
la expresión que resulta de ∫fdx se hace
cero

para un único valor positivo, el sistema
tendrá una órbita cerrada rodeando el punto
estacionario Veamos si es así en nuestro
caso:∫µ(x2 – 1)dx = 0, en
efecto:

x = 31/2 único valor positivo que lo
cumple, por tanto para el sistema de Van der Pol habrá una
órbita cerrada rodeando el origen de
coordenadas.

Caos y
complejidad.

En el espacio fásico no puede ocurrir la
intersección de dos trayectorias fásicas. En el de
n=2 donde n nímero de ecuaciones
diferenciales del sistema, tal cosa implica que, en virtud de uno
de los mas importantes teorema de la dinámica, el de
Poincaré-Bendixon, una trayectoria fásica en una
región limitada del plano en el cual no hay atractores
eventualmente terminará enrollándose en una
órbita cerrada.

Con n igual o mayor que 2, no se cumple el Teorema de
Poicaré- .

Bendixon, y una trayectoria fásica puede estar
por siempre desarrollandose en una región limitada sin
asentarse bajo ningún atractor de los descritos hasta
ahora, pudiendo ocurrir que para ciertos valores de los
parámetros del sistema, sea atraída hacia un
complicado objeto geométrico con ciertas
características llamadas de fractales de los que mas
adelante nos ocuparemos. Ese objeto se conoce como atractor
extraño y cuando se llega a esa situación se dice
que el sistema ha llegado a régimen de caos.

En un sistema en régimen de caos muy
pequeñas variaciones de las condiciones iniciales, esto es
de sus variables, dan lugar a grandes cambios en los valores de
las mismas.

La teoría
del caos, entendido como lo hemos presentado en el párrafo
anterior, el estudio de los fractales, y la termodinámica de los procesos de no
equilibrio en sistemas abiertos, se engloban en la llamada
Teoría de la Complejidad, que en general estudia los
sistemas en los que aparecen propiedades emergentes que son
aquellas que presentan los colectivos al integrarse y que no
presentaban sus componentes cuando se encontraban
aislados.

Otra característica de los sistemas de
comportamiento complejo es que su grado de complejidad se mide
por la longitud en bits del programa que lo
define

La complejidad en el proceso de formación y
evolución de la materia viva experimenta un
crecimiento de su complejidad y por ende de su ordenamiento en
aparente contradicción de la segunda ley de la
termodinámica. Pero es el caso que el ser vivo es un
sistema abierto y su ordenamiento no se produce como en la
cristalización, por descenso de temperatura
sino porque su entropía sale al medio exterior, es un
proceso de la termodinámica de no equilibrio. Ese
ordenamiento es dinámico con características de
transición de fase pero no equilibrada.

Un proceso biológico fundamental como es la
glicólisis, constituye un ejemplo de ordenamiento
dinámico. Mediante la glicólisis las células
obtienen energía de los glúcidos. El tratamiento
por los métodos de la dinámica no lineal se
efectúa a partir del sistema:

dx/dt = -x + ay + x2 y

dy/dt = b – ay – x2 y

donde x e y son las concentraciones de las sustancias
involucradas en este sistema en el cual, dados los pasos ya
vistos de hallar puntos estacionaros, jacobiano, traza y
determinante se llega a que para ciertos valores de los
parámetros, el punto estacionario es un foco inestable que
conllevará a un cilclo límite y la consiguiente
aparición de oscilaciones sostenidas, esto el ordenamiento
dinámico en el tiempo.La termodinámica de no
equilibrio constituye un poderoso instrumento teórico de
investigación a partir de los aportes de
Ilya Prigogine.

Pero volvamos al caos.Las principales
características del comportamiento de los sistemas que
pueden alcanzar régimen caótico, pueden estudiarse
a partir del sistema dinámico dado por las ecuaciones de
Lorenz:

dx/dt = s(y-x)

dy/dt = rx-y-xz

dz/dt = xy-bz

donde s número de Prandlt, r número de
Rayleigh y b constante que tiene que ver con los procesos
convectivos de fluídos. Éstos son los
parámetros del sistema que al alcanzar los valores s=10,
b=8/3 y r=28, el sistema presentará las
características antes citadas del caos.

La trayectoria fásica evolucionará en el
espacio trimensional adoptando una espectacular
conformación que aparenta una figura como las alas de un
díptero que parecen en un visionaje de muy poca
resolución, unirse por sus bases pero en realidad
constituyen un complejo de superficies que adoptan una
configuración fractal, esto es configuran un atractor
extraño conocido como atractor de Lorenz,

No obstante la idea que hemos dado del caos mediante
ecuaciones diferenciales, resulta mas ilustrativo a la vez que
muy atractivo el método de los mapas iterativos
del cual pasamos a ocuparnos.

La teoría
del caos mediante mapas iterativos.

Se dice que un sistema físico, químico,
social, económico, o de otra índole, se encuentra
en régimen de caos, cuando muy pequeñas variaciones
de las condiciones iniciales ( valor de las variables del sistema
) dan lugar a notables diferencias en los valores de las
variables. Además, si los valores antes de alcanzar la
situación de caos, se estabilizaban en un valor o en un
conjunto de ellos, ya en el caos no ocurrirá
eso.

Veamos un enfoque matemático del caos, utilizando
la relación iterativa conocida como mapa
logístico:

x → kx( 1- x ).

Aplicándolo al estudio del aumento o
disminución del número de ejemplares de una especie
animal que se encuentran en determinada condición de
alimentos,
clima,
etc.

Se empieza por un valor inicial del número de
ejemplares que se sustituye en el segundo miembro del mapa
logístico y se halla el valor de la x del primer miembro.
Con ese valor obtenido se repite una y otra vez el proceso o sea
se continúa la iteración La constante k es la tasa
de crecimiento que depende de las condciones ambientales
etc.

Comencemos los ejemplos con k=2 y un valor inicial x=0.8
( quiere decir 0.8 millares de ejemplares ). Se comprobará
que cuando se llegue a x=0.5 y se trate de seguir la
iteración, se repetirá el 0.5, se dice que se ha
llegado a un atractor, la población.se queda en ese valor, se
estabiliza en ese valor.

Hagamos ahora k=3 y comencemos por 0.635, al dar x=0.694
y seguir la iteración, se repetirá esta pareja de
números una y otra vez Ahora el atractor es mas
complicado, cuando es de mas de un número se dice que el
atractor es un ciclo. Este es un ciclo de período 2 por
ser de dos valores.

Probemos con k=3.5 y empecemos con x=0.383, veremos que
cada cuatro valores se repiten y así se siguen repitiendo;
ahora es un ciclo de período 4 el atractor.

Pero con k=4 ya no hay atractores de ningún tipo,
el sistema ha llegado a situación de caos. Sin embargo,
aún en situación de caos, los valores se mantienen
dentro de una estructura a la que se le ha dado el nombre de
"atractor extraño" nombre que considero desafortunado pues
esa estructura no tiene las propiedades de los atractores que
vimos antes de llegar al caos.

La sensibilidad a las pequeñas variaciones de los
valores iniciales pueden comprobarse con k=4 o sea ya en el caos.
Con valor inicial x=0.6 e iterando varias veces y luego haciendo
lo mismo con x=061. Se verá que las series obtenidas son
bastante diferentes. Esto fue lo que motivó a Edward
Lorenz a idear la Teoría del Caos.

A los valores de k para los cuales cambia el
período del ciclo ( antes del caos claro está ) se
les llama puntos de bifurcación. Vimos que para k=3 se
duplicó el período, esta duplicación del
período se va produciendo para determinados valores de k
así el período se hará 4 para
k=3.449…, se hará 8 para 3.54409…y
así para correspondientes valores de k .Feigenbaum
encontró una regularidad en la sucesión de los
valores de k para la duplicación del período. Si a
cierto valor de k le llamamos A, al anterior B y al que le sigue
C, Figenbaum encontró que:

Lim para período tendiendo a infinito de
(A-B)/(C-A) = 4,669…

El caos y los fractales.

Ya llegando al caos los ciclos son de un período
enorme, tienden a infinito. Si se representaran los valores de un
ciclo ya "a las puertas del caos" por puntos en un eje de
coordenadas, los infinitesimales segmentos que
determinarían esos puntos, configurarían
aproximadamente lo que se llama el Fractal de Cantor, figura que
se obtiene por un procedimiento gráfico reiterativo de
acuerdo a la definición de fractal dada por Benoit de
Mandelbrot. El procedimiento para el Fractal de Cantor es el
siguiente. Un segmento rectilíneo se divide en tres partes
y se suprime la del medio. Esta operación se va repitieno
en cada porción de segmento que vaya resultando.
Según la Teoría de los Fractales de Mandelbrot, la
dimensión de los fractales es fraccionaria.

Vemos pues que aún en el caos hay una tendencia
al orden ya que un fractal presenta una especie de ordenamiento
que se manifiesta en que cualquier porción de la figura es
una réplica de la figura total.

La fraccionalidad de la dimensión de los
fractales se evidencia en el estudio de uno de los mas famosos,
el fractal de Koch, pero antes debemos dar el concepto de
dimensión de Hausdorff. Imaginemos un cubo de arista de
longitud l. Si dividimos cada arista en 2 partes el cubo
quedará dividido en 8 partes iguales. El número de
dimensiones del cubo viene dado por la llamada dimensión
de Hausdorff que se calcula por el exponente al cual hay que
elevar el número de partes en que se dividió la
arista para que de el número de partes en quedó
dividido el cuerpo. En el caso del cubo será el exponente
al que hay que elevar 2 para que de 8 o sea 3 como es sabido. La
fórmula para calcular la dimensión de Hausdorff la
obtenemos como una generalización del procedimiento
seguido para el cubo. Si llamamos D a la dimensión, n al
números de partes en que se dividió la arista y N
al númeo de partes en que quedó dividido el cuerpo,
se tendrá: D log n= log N y por tanto D = logN/logn que
para el cubo es.

D = log8/log2 = 3.

El fractal de Koch se traza del siguiente modo. Un
segmento se divide en 3 partes. Sobre el segmento parcial del
medio levantamos un triángulo equilátero y borramos
su base . Repetimos una y otra vez la misma operación en
cada segmento teóricamente hasta el infinito. Veamos su
dimensión aplicando la fórmula de Hausdorff:
N=4,n=3 y D=log4/log3=1.2618, un número fraccionario de
dimensiones.

Una variante del fractal de Koch es el Copo de Nieve de
Koch el cual se obtiene aplicando el mismo procedimiento del
fractal a cada lado de un triángulo equilátero. Con
la repetición del procedimiento en cada segmento
resultante teóricamente hasta el infinito, el
perímetro del Copo tiende a infinito. Se tendrá el
paradójico caso de un perímetro infinito encerrando
un área finita. Otra peculiaridad de los fractales es que
cada porción de uno de ellos reproduce la forma del
fractal completo a una escala cada vez
menor.

Un fractal muy famoso es el de Sierpinski. Su
construccion se efectúa a partir de un triángulo
equilátero. Con vértice en los puntos medios de sus
lados se traza otro triángulo el cual se borra. El mismo
procedimiento se aplica a cada uno de los triángulos que quedan una y tra vez. Para
calcular su dimensión aplicamos la fórmula de
Hausdorff con n=2 y N=3 con lo que obtenemos D=1,584.

Del fractal de Cantor también conocido como
Conjunto de Cantor y Polvo de Cantor ya hemos hablado. Para
calcular su dimensión de Hausdorff hay que tomar n=3 y N=2
con lo que obtenemos 0,63.

Fractales como los anteriores se construyen mediante un
algoritmo como
hemos visto, pero otros como los de Mandelbrot y Julia se trazan
determinando puntos en el plano obtenidos por iteración de
expresiones del tipo z2 = z12 +c
donde la z y la c representan números complejos a+bi donde
i, unidad imaginaria, la raíz cuadrada de

-1

Cualquier número complejo, por ejemplo: z=a+bi,
representa un punto (a,b) en el plano cartesiano, de modo que una
expresión como la anterior, puede representarse
así:

a+bi=(c+di)2 + (e+fi) desarrollando y
aplicando igualdad de
polinomios se tendrá:

a=c2-d2+e

b=2cd+f y esas serán las igualdades con
números reales que se iterararán.

Ejemplo para un punto inicial del fractal (c,d)= (1,0),
y constante (e,f)=(0,1), de la fórmula de las z y la c
antes dada, el siguiente punto (a,b)

se hallará por la fórmula obtenida para a
y b así:

a=1-0+ 0=1

b=0+1=1

así que el segundo punto será (1,1). Se
seguirá la iteración poniendo este punto (1,1) de
nuevo en las fórmulas de a y b., nos dará (0,3) y
así se seguirá la iteración. Un
número considerable de puntos conformarán el
fractal.

Conclusiones

Se ha mostrado una panorámica de los conceptos
básicos y el tratamiento matemático necesario para
aplicar los métodos de la dinámica a los temas
esenciales de la Teoría de la Complejidad la cual es
motivo de especial atención actualmente para la comunidad
científica mundial.

Bibliografía

-Strogatz, S. Non Linear Dynamics and Chos.Perseus Books
Publishing Estados Unidos.
2000.

-Volkenshtein, M.V. Biofísica.Editorial
MIR.Moscú. 1985.

-Zill,D.G. Differential Equations. Library of Congress.
Estados Unidos. 2004.

Autor:

Joaquín González
Álvarez

Graduado de Carrera Profesoral Superior de Física
y de Optometrista por la Uiversidad de la Habana. Profesor
Universitario de Física (Jubilado). Autor de numerosos
libros y
artículos publicados en Cuba, España,
México,
España y Nicaragua. Miembro de Mérito de la
Sociedad
Cubana de Física..