La belleza como guía para la ciencia (página 2)

Para Aristóteles, la belleza era
simetría. Los sólidos platónicos estaban
estrechamente vinculados a los cuatro elementos y al cosmos. Para
los antiguos griegos, en la naturaleza y
en las obras de arte estaba
presente la proporción áurea o divina
proporción, cuyo valor es
1.618, obtenida a través de relaciones geométricas
entre el pentágono y el hexágono. Los griegos
consideraban que el rectángulo cuyas bases tuvieran esta
proporción poseían una belleza intrínseca.
Se han hecho estudios recientes donde se afirma haber encontrado
esta relación en la música, la pintura, la
escultura, la poesía
y la arquitectura. En
el brahmanismo y el budismo, la
belleza y la simetría se ponen de manifiesto en el
simbolismo de los mandalas, figuras geométricas que
representan las fuerzas que regulan el universo y
sirven de soporte para la meditación, al igual que el Yin
y el Yang en el taoísmo. En la naturaleza observamos
numerosos ejemplos de objetos con formas geométricas
hermosas, las cuales pueden ser representadas por medio de
fórmulas matemáticas.

Así como un jugador de ajedrez
aprecia la belleza de una excelente combinación de jugadas
o un aficionado al futbol disfruta
de un hermoso gol, así también un matemático
goza con la demostración de un teorema o la forma de
resolver un problema. Las matemáticas poseen
también una elegancia, la cual se manifiestan no
sólo en las relaciones abstractas, sino en la
comprensión de las leyes naturales.
Minkowsky, por ejemplo, expuso matemáticamente de manera
elegante, la fusión del
espacio y el tiempo en la
teoría
de la relatividad restringida, en un solo concepto, el
espaciotiempo, al introducir la unidad imaginaria , como una cuarta
coordenada temporal en un continum espaciotemporal de cuatro
dimensiones. El enigmático , fue un verdadero dolor de cabeza
para los matemáticos. Hubo que esperar hasta Gauss, uno de
los más notables matemáticos de todos los tiempos,
para darle una formulación matemática
dentro de los números complejos, de importancia
fundamental en el análisis
matemático. La unidad imaginaria tiene aplicaciones no
sólo en la teoría de la relatividad, sino
también en hidrodinámica y aerodinámica, y
aparece en las ecuaciones de
onda de Schödinger y Dirac en la mecánica
cuántica.

Existe un profundo vínculo entre las
matemáticas y las leyes naturales, y el sentido de la
estética subyacente en ellas es captado por
la mente humana. Muchas de las relaciones de carácter abstracto están presentes
en la naturaleza. Tal es el caso del número e, la
base de los logaritmos neperianos, cuyo valor es aproximadamente
2.7182.

Se trata, al igual que el número
π, que es el cociente entre la
circunferencia y su diámetro y cuyo valor aproximado es
3.1416, de un número trascendente, es decir, no puede ser
expresado como la división de dos números enteros
ni como una raíz. Aparece en diferentes procesos
físicos y químicos, en estadística y crecimiento poblacional, y
una gran variedad de leyes naturales, sin mencionar el análisis matemático donde juega un
rol muy importante. La curva de probabilidades de Gauss, la
distribución de Poisson, la fórmula
de emisión espectral de radiación
del cuerpo negro de Planck, la geometría no euclidiana de Lobachevsky, las
funciones
elípticas e hiperbólicas, son sólo algunos
ejemplos en los que interviene el importante número
e.

Si graficamos en un eje de coordenadas cartesiano la
función
exponencial e, donde x es una variable, obtendremos
una curva ascendente. Esta curva posee una propiedad muy
especial: si en cada punto de ella trazamos una tangente y
graficamos sus valores
correspondientes, obtendremos una curva exactamente igual a la
original, es decir, la misma función e. Esto le
confiere una singularidad y belleza intrínsecas, que se
ponen de manifiesto en diversas relaciones matemáticas y
leyes naturales. Existen otras funciones notables de gran
belleza, como la función sinosoidal sen x, donde
x es el ángulo expresado en radianes. Esta
función describe el comportamiento
ondulatorio de un amplio abanico de procesos físicos y
probablemente estemos más familiarizados con
ellas.

Al igual que la función exponencial, posee una
propiedad singular: si graficamos los valores de
la tangente en cada punto de la función, obtendremos la
función cosinusoidal cos x, que es precisamente la
función sen x desplazada 90º o
π / 2 hacia la izquierda. Si
repetimos la operación cuatro veces, volvemos a la
función original sen x. Lo mismo ocurrirá
con la función cos x. Si comparamos las gráficas de la función exponencial
con la de las funciones sinusoidales o cosinusoidales no
encontraremos ninguna relación aparente o similitud. No
obstante, existe una estrecha relación entre estas
funciones, descubierta por Euler, en la que interviene la unidad
imaginaria i, y cuya expresión es
. Si
reemplazamos el valor de x por
π, obtendremos . Notable igualdad, que
relaciona la base de los logaritmos neperianos, la unidad
imaginaria, el número
π, la unidad negativa y el cero, sin
duda, una de las fórmulas más bellas creadas por el
intelecto humano.

El concepto de simetría, como mencionamos
anteriormente, representa un elemento esencial para el desarrollo de
la ciencia
contemporánea. Hemos mencionado algunos ejemplos, siendo
el de la teoría de la relatividad uno de los más
emblemáticos. Si bien esta teoría ha salido airosa
de todas las pruebas
experimentales a las que ha sido sometida, no tuvo inicialmente
la aceptación de algunos eminentes científicos de
la época. Michelson, el primer norteamericano en recibir
el Premio Nobel por su famoso experimento que comprobó la
constancia de la velocidad de
la luz, no estuvo de
acuerdo con la interpretación de Einstein con
relación a su experimento. Otro tanto ocurrió con
Mach, cuya explicación sobre el origen de la inercia en
las lejanas galaxias, enunciado en un principio que lleva su
nombre, fue incorporada con entusiasmo por Einstein en su
teoría general de la relatividad. Mach tampoco
aceptó la teoría de la relatividad.

No obstante, a pesar de sus logros y la belleza de sus
ecuaciones, la relatividad general nos conduce en su extremo
límite, cuando la densidad de la
masa es infinita, a una singularidad espaciotemporal, un agujero
negro donde la fuerza de
gravedad y la energía potencial gravitatoria se hacen
infinitas. Cuando en física aparecen
cantidades infinitas en las ecuaciones, se considera que hay una
falla en la teoría. Hawking y Penrose realizaron notables
avances teóricos en su estudio de los agujeros negros,
combinando la mecánica cuántica con la relatividad
general. Sin embargo, algunos físicos consideran que la
presencia de infinitos representa un serio obstáculo en la
teoría, llegando incluso a proponer el abandono del
modelo
einsteniano. El problema es que, a diferencia de la
electrodinámica cuántica, la relatividad general no
es una teoría renormalizable. El concepto de
renormalización lo abordaremos más
adelante.

En un intento por superar el problema del infinito,
elaboramos un modelo alternativo de la gravedad. Basados en el
principio de equivalencia entre las masas inercial y
gravitatoria, enunciado por Einstein y comprobado
experimentalmente, proponemos que la gravedad tiene su origen en
la fuerza expansiva del universo o
energía oscura, que constituye aproximadamente el 70% del
universo observable. No se trataría de fuerzas opuestas,
como en el modelo einsteniano, sino de una misma fuerza. Al
expandirse el universo, las masas producen una deformación
en la estructura
espaciotemporal. Nuestras ecuaciones determinan con exactitud la
naturaleza de esta deformación, en una estructura
espaciotemporal con propiedades elásticas. Para cuerpos
gravitantes que se encuentran a distancias relativamente grandes,
como los satélites
y planetas del
sistema solar,
las ecuaciones conducen a la fórmula de Newton de la
gravitación universal. No obstante, para masas de extrema
densidad o densidad infinita, las ecuaciones determinan un valor
finito para la fuerza gravitatoria. Lo mismo ocurre con la
energía gravitatoria, que tiende a un valor finito en una
función gamma que depende de la masa M del
cuerpo, la constante de gravitación universal G, la
base de los logaritmos neperianos e y el
número π. Cabe
mencionar que, cuando elaboramos nuestro modelo de un universo en
expansión acelerada, la cosmología vigente
consideraba al universo en expansión no acelerada. Varios
años después, observaciones astronómicas de
unas supernovas situadas a grandes distancias, confirmaban que
nuestro universo se expande aceleradamente. 

Mencionamos anteriormente que la relatividad es una
teoría no renormalizable. Daremos una breve
explicación de lo que se entiende por
renormalización. Los quarks son partículas
elementales que conforman los hadrones, que son partículas
compuestas que, al igual que los quarks, reaccionan ante la
fuerza fuerte, es decir, aquella fuerza que mantiene unido al
átomo,
neutralizando la repulsión electrostática de los protones que tienen
carga positiva, y por tanto, tienden a separarse. Los hadrones a
su vez se presentan en dos variedades: los mesones, constituidos
por dos quarks, y los bariones, integrados por tres quarks, como
los protones y neutrones que conforman el núcleo del
átomo. Los quarks junto con los electrones, que son
leptones, es decir, partículas que no reaccionan ante la
fuerza fuerte, son considerados partículas sin estructura
interna. Los físicos llegaron a esta conclusión
debido a la naturaleza repulsiva de la fuerza
electrostática que haría despedazar las
partículas, lo cual no sucede.

Esta particularidad, sin embargo, crea un serio problema
al momento de calcular la energía del campo
electrostático de la partícula. Un simple cálculo
muestra que la
energía disminuye en razón inversamente
proporcional a la distancia al centro de la partícula.
Como la partícula es puntual, a medida que la distancia se
aproxima al centro, la energía se dispara hacia el
infinito. Nuevamente el infinito; enfrentarse a él ha sido
una experiencia dura para matemáticos y físicos, y
no digamos de filósofos y teólogos. Ahora bien, la
teoría especial de la relatividad establece que la masa y
la energía son equivalentes, como se expresa en la famosa
ecuación de Einstein, , donde E es la energía, m la
masa de la partícula y c la velocidad de la luz. En
consecuencia, si la energía se dispara al infinito, debe
ocurrir lo mismo con la masa, haciendo que la partícula se
torne infinitamente pesada. De hecho, no ocurre así, ya
que al medir la masa del electrón se obtienen valores muy
pequeños. Algo anda mal en la teoría.

Para superar el problema, los físicos optaron por
modificar la escala de medida,
ignorando el infinito que surgía en los cálculos y
estableciendo como nuevo marco de referencia el valor medido
experimentalmente. Es lo que se conoce con el nombre de
renormalización. A partir de los valores obtenidos
experimentalmente, los físicos prosiguieron con sus
cálculos, obteniendo resultados con una exactitud
asombrosa. Prácticamente todos los avances de la ciencia y
tecnología contemporáneas, se debe a la
extraordinaria precisión de los cálculos y la
concordancia con los experimentos de
la electrodinámica cuántica. No obstante, a nivel
conceptual, el problema subsiste. En principio, no debería
haber discordancia entre los cálculos teóricos y lo
observado experimentalmente.

A fin de proporcionar a la teoría un fundamento
conceptual consistente, elaboramos un modelo matemático
basado en las propiedades del vacío cuántico.
Creemos que en el vacío cuántico, que en realidad
es un mar de partículas virtuales altamente
energético, está la clave de la solución al
problema. La polarización cuántica de los
positrones y electrones virtuales, producen una mutua
cancelación del campo electrostático a distancias
muy cortas, neutralizando el campo a una distancia casi nula de
la partícula. Nuestros cálculos nos conducen de
manera natural a valores finitos para la energía, haciendo
totalmente innecesaria la renormalización. Se trata de una
ecuación en la que intervienen, entre otras variables, la
base de los logaritmos neperianos e, el
número π, la constante
de Planck h y la velocidad de la luz c. Es una
hermosa ecuación que nos produce el placer de la
contemplación de una obra de arte. La intuición y
el sentido de lo bello nos señalan que la ecuación
es correcta.

Una de las consecuencias de este modelo, es que
matemáticamente se deduce la presencia de un sumidero por
el cual desaparece el flujo del campo electrostático y
cantidades inconmensurables de energía, aquella que
precisamente pierde la partícula, haciendo que ésta
conserve apenas una pequeña cantidad de energía,
que es la observada en los experimentos. Este inconmensurable
caudal de energía se derivaría hacia el
vacío cuántico y acaso sea el origen de la
energía oscura del universo.

En otro modelo que desarrollamos paralelamente,
representamos las cargas de color de los
quarks y la electrostática, por medio de vectores.
Resulta estimulante comprobar que el álgebra de
vectores y su disposición simétrica describen
adecuadamente el comportamientos de dichas cargas en un campo
vectorial de tres dimensiones. Al igual que la suma de los
colores de las
cargas de los quarks da blanco, la suma de los tres vectores da
cero, y la suma del producto
escalar de un vector con los otros dos da un valor negativo, es
decir que la fuerza entre los quarks es siempre atractiva. Igual
sucede con las cargas electrostáticas positiva y negativa
de protones y electrones y otras partículas, cuya suma es
nula y su producto escalar negativo, es decir que se atraen
mutuamente. Si las cargas son del mismo signo, su producto
escalar es positivo y éstos se repelen. En este modelo, el
producto escalar de las cargas vectoriales de color y
electrostática es nulo, y se ha comprobado
experimentalmente que ambas cargas no interactúan entre
ellas. Una vez más, la belleza subyacente en las
ecuaciones nos muestra el estrecho vínculo estético
entre las matemáticas y la naturaleza. No podemos, no
obstante, afirmar si estos modelos
corresponden a una descripción aproximada de la realidad. Si
estamos equivocados o no, el tiempo lo dirá.

CONCLUSIÓN

La simetría y belleza de las matemáticas,
representa una guía para el hombre de
ciencia al
elaborar una teoría que intenta explicar los
fenómenos de la naturaleza. A medida que avanza su
investigación, guiado por este sentido de
lo estético, descubre nuevas y poderosas simetrías
que describen de manera más completa los secretos de la
naturaleza.

BIBLIOGRAFÍA

Alexandrov A.D. Kolmogorov A.N., Laurentiev M.A.
y otros, La Matemática: su contenido, métodos y
significado, tomos I, II y III, Madrid, Alianza Editorial,
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Haaser N., La Salle J., Sullivan J., Análisis
Matemático, tomos I y II, México,
Editorial Trillas

S.A., 1972

Miro Quesada F., Las Supercuerdas, Lima, Empresa Editora
El Comercio S.A.,
1992

Autor

Enrique Alvarez Vita

Foro de Filosofía y Ciencia La Serpiente de
Oro

Ó 2007, Lima –
Perú