La determinación de densidades de líquidos tiene
importancia no sólo en la física, sino
también en el mundo del comercio y de
la industria. Por
el hecho de ser la densidad una propiedad característica
(cada sustancia tiene una densidad diferente) su valor puede
emplearse para efectuar una primera comprobación del grado
de pureza de una sustancia líquida.
El densímetro es un sencillo aparato que se basa en el
principio de Arquímedes (mas adelante se explica ) . Es,
en esencia, un flotador de vidrio con un
lastre de mercurio en su
parte inferior (que le hace sumergirse parcialmente en el
líquido) y un extremo graduado directamente en unidades en
densidad. El nivel del líquido marca sobre la
escala el valor
de su densidad.
En el equilibrio, el peso P del densímetro será
igual al empuje E:
P = E
Si se admite, para simplificar el razonamiento, que su forma
es la de un cilindro, E será igual, de acuerdo con el
principio de Arquímedes, al peso del volumen V del
líquido desalojado, es decir:
donde h es la altura sumergida y S la superficie de la base
del cilindro.
Dado que el peso del densímetro es igual a su masa m
por la gravedad g, igualándolo al empuje resulta:
es decir:
donde m y S son constantes, luego es inversamente proporcional
a la altura sumergida. Midiendo alturas sumergidas pueden, por
tanto, determinarse densidades.
La determinación de la pureza de la leche de vaca
es una de las aplicaciones industriales del
densímetro.
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los
efectos que provoca dependen no sólo de su intensidad,
sino también de cómo esté repartida sobre la
superficie del cuerpo. Así, un golpe de martillo sobre un
clavo bien afilado hace que penetre mas en la pared de lo que lo
haría otro clavo sin punta que recibiera el mismo impacto.
Un individuo
situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se hunde, en
tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la
fuerza sobre una mayor superficie, puede caminar sin
dificultad.
El cociente entre la intensidad F de la fuerza aplicada
perpendicularmente sobre una superficie dada y el área S
de dicha superficie se denomina presión:
La presión representa la intensidad de la fuerza que se
ejerce sobre cada unidad de área de la superficie
considerada. Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre
una superficie dada, mayor será la presión, y
cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor
será entonces la presión resultante.
La presión en los fluidos
El concepto de presión es muy general y por ello puede
emplearse siempre que exista una fuerza actuando sobre una
superficie. Sin embargo, su empleo resulta
especialmente útil cuando el cuerpo o sistema sobre el
que se ejercen las fuerzas es deformable. Los fluidos no tienen
forma propia y constituyen el principal ejemplo de aquellos casos
en los que es más adecuado utilizar el concepto de
presión que el de fuerza.
Cuando un fluido está contenido en un recipiente,
ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puede hablarse
también de presión. Si el fluido está en
equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a
cada porción de superficie del recipiente, ya que de no
serlo existirían componentes paralelas que
provocarían el desplazamiento de la masa de fluido en
contra de la hipótesis de equilibrio. La
orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión,
por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la
presión, resulta independiente de la dirección; se
trata entonces de una magnitud escalar.
Unidades de presión
En el SI la unidad de presión es el pascal, se
representa por Pa y se define como la presión
correspondiente a una fuerza de un newton de
intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana
de un metro cuadrado. 1 Pa equivale, por tanto, a 1 N/m2.
Existen, no obstante, otras unidades de presión que sin
corresponder a ningún sistema de unidades en particular
han sido consagradas por el uso y se siguen usando en la
actualidad junto con el pascal. Entre ellas se encuentran la
atmósfera y el bar.
La atmósfera (atm) se define como la presión que
a 0 ºC ejercería el peso de una columna de mercurio
de 76 cm de altura y 1 cm2 de sección sobre su base.
Es posible calcular su equivalencia en N/m2 sabiendo que la
densidad del mercurio es igual a 13,6 · 103 kg/m3 y
recurriendo a las siguientes relaciones entre magnitudes:
Peso (N) = masa (kg) · 9,8 m/s2
Masa = volumen · densidadComo el volumen del cilindro
que forma la columna es igual a la superficie de la base por la
altura, se tendrá:
es decir: 1 atm = 1,013 · 105 Pa.
El bar es realmente un múltiple del pascal y
equivale a 105 N/m2. En meteorología se emplea con
frecuencia el milibar (mb) o milésima parte del bar
· 1 mb = 102 Pa.
1 atm = 1 013 mb
Todos los líquidos pesan, por ello cuando están
contenidos en un recipiente las capas superiores oprimen a las
inferiores, generándose una presión debida al peso.
La presión en un punto determinado del líquido
deberá depender entonces de la altura de la columna de
líquido que tenga por encima suyo.
Considérese un punto cualquiera del líquido que
diste una altura h de la superficie libre de dicho
líquido. La fuerza del peso debido a una columna
cilíndrica de líquido de base S situada sobre
él puede expresarse en la forma
Fpeso = mg = · V · g = · g · h
· S
siendo V el volumen de la columna y la densidad del
líquido. Luego la presión debida al peso
vendrá dada por:
la presión en un punto
La definición de la presión como cociente entre
la fuerza y la superficie se refiere a una fuerza constante que
actúa perpendicularmente sobre una superficie plana. En
los líquidos en equilibrio las fuerzas asociadas a la
presión son en cada punto perpendiculares a la superficie
del recipiente, de ahí que la presión sea
considerada como una magnitud escalar cociente de dos magnitudes
vectoriales de igual dirección: la fuerza y el vector
superficie. Dicho vector tiene por módulo el área y
por dirección la perpendicular a la superficie.
Cuando la fuerza no es constante, sino que varía de un
punto a otro de la superficie S considerada, tiene sentido hablar
de la presión en un punto dado. Para definirla se
considera un elemento de superficie S que rodea al punto; si
dicho elemento reduce enormemente su extensión, la fuerza
F que actúa sobre él puede considerarse constante.
En tal caso la presión en el punto considerado se
definirá en la forma matemática
esta expresión, que es la derivada de F respecto
de S, proporciona el valor de la presión en un
punto y puede calcularse si se conoce la ecuación matemática
que indica cómo varía la fuerza con la
posición.
Si la fuerza es variable y F representa la resultante
de todas las fuerzas que actúan sobre la superficie
S la fórmula
define, en este caso, la presión media.
Si sobre la superficie libre se ejerciera una presión
exterior adicional po, como la atmosférica por ejemplo, la
presión total p en el punto de altura h sería
Esta ecuación puede generalizarse al caso de que se
trate de calcular la diferencia de presiones p entre dos puntos
cualesquiera del interior del líquido situados a
diferentes alturas, resultando:es deci
que constituye la llamada ecuación fundamental de la
hidrostática.
Esta ecuación indica que para un líquido dado y
para una presión exterior constante la presión en
el interior depende únicamente de la altura. Por tanto,
todos los puntos del líquido que se encuentren al mismo
nivel soportan igual presión. Ello implica que ni la forma
de un recipiente ni la cantidad de líquido que contiene
influyen en la presión que se ejerce sobre su fondo, tan
sólo la altura de líquido. Esto es lo que se conoce
como paradoja hidrostática, cuya explicación se
deduce a modo de consecuencia de la ecuación
fundamental.
8. El principio de Pascal y
sus aplicaciones
La presión aplicada en un punto de un líquido
contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada
una de las partes del mismo.
Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por
el físico y matemático francés Blas Pascal
(1623-1662), se conoce como principio de Pascal.
El principio de Pascal puede ser interpretado como una
consecuencia de la ecuación fundamental de la
hidrostática y del carácter incompresible de los
líquidos. En esta clase de
fluidos la densidad es constante, de modo que de acuerdo con la
ecuación p = po + · g · h si se aumenta la
presión en la superficie libre, por ejemplo, la
presión en el fondo ha de aumentar en la misma medida, ya
que · g · h no varía al no hacerlo h.
La prensa
hidráulica constituye la aplicación fundamental del
principio de Pascal y también un dispositivo que permite
entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos
cilindros de diferente sección comunicados entre
sí, y cuyo interior está completamente lleno de un
líquido que puede ser agua o
aceite. Dos
émbolos de secciones diferentes se ajustan,
respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que
estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el
émbolo de menor sección S1 se ejerce una fuerza F1
la presión p1 que se origina en el líquido en
contacto con él se transmite íntegramente y de
forma instantánea a todo el resto del líquido; por
tanto, será igual a la presión p2 que ejerce el
líquido sobre el émbolo de mayor sección S2,
es decir:
p1 = p2
con lo que:
y por tanto:
Si la sección S2 es veinte veces mayor que la S1, la
fuerza F1 aplicada sobre el émbolo pequeño se ve
multiplicada por veinte en el émbolo grande.
La prensa hidráulica es una máquina simple
semejante a la palanca de Arquímedes, que permite
amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el
fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros
dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial.
9. El principio de los vasos
comunicantes
Si se tienen dos recipientes comunicados y se vierte un
líquido en uno de ellos en éste se
distribuirá entre ambos de tal modo que,
independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido
en uno y otro recipiente sea el mismo. Éste es el llamado
principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de
la ecuación fundamental de la hidrostática.
Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus
presiones hidrostáticas han de ser las mismas, es
decir:
luego si pA = pB necesariamente las alturas hA y hB de las
respectivas superficies libres han de ser idénticas hA =
hB.
Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y
no miscibles, entonces las alturas serán inversamente
proporcionales a las respectivas densidades. En efecto, si pA =
pB, se tendrá:
Esta ecuación permite, a partir de la medida de las
alturas, la determinación experimental de la densidad
relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por
tanto, un modo de medir densidades de líquidos no
miscibles si la de uno de ellos es conocida.
10. Aplicación de la
ecuación fundamental de la hidrostática
Un submarinista se sumerge en el mar hasta alcanzar una
profundidad de 100 m. Determinar la presión a la que
está sometido y calcular en cuántas veces supera a
la que experimentaría en el exterior, sabiendo que la
densidad del agua del mar es de 1 025 kg/m3.
De acuerdo con la ecuación fundamental de la
hidrostática
Considerando que la presión po en el exterior es de una
atmósfera (1 atm = 1,013 · 105 Pa), al sustituir
los datos en la
anterior ecuación resulta:
p = 1,013 · 105 + 1025 · 9,8 · 100 =
11,058 · 105 Pa
El número de veces que p es superior a la
presión exterior po se obtiene hallando el cociente entre
ambas:
11. Aplicación del
principio de pascal
El elevador hidráulico de un garaje funciona mediante
una prensa hidráulica conectada a una toma de agua de la
red urbana que
llega a la máquina con una presión de 5 ·
105 N/m2. Si el radio del
émbolo es de 20 cm y el rendimiento es de un 90 %,
determinar cuál es el valor en toneladas de la carga que
como máximo puede levantar el elevador.
De acuerdo con el principio de Pascal:
p1 = p2
que para una prensa hidráulica se transforma en:
En este caso el dato que correspondería al
émbolo pequeño de la prensa se facilita en forma de
presión, de modo que combinando las ecuaciones
anteriores se tiene:
Como el rendimiento es del 90 % el valor efectivo de la carga
máxima expresado en newtons será
Una tonelada métrica equivale al peso de un cuerpo de 1
000 kg de masa, es decir:
luego:
12. Empuje hidrostático:
principio de Arquímedes
Los cuerpos sólidos sumergidos en un líquido
experimentan un empuje hacia arriba. Este fenómeno, que es
el fundamento de la flotación de los barcos, era conocido
desde la más remota antigüedad, pero fue el griego
Arquímedes (287-212 a. de C.) quien indicó
cuál es la magnitud de dicho empuje. De acuerdo con el
principio que lleva su nombre, todo cuerpo sumergido total o
parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical
y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido
desalojado.
Aun cuando para llegar a esta conclusión
Arquímedes se apoyó en la medida y
experimentación, su famoso principio puede ser obtenido
como una consecuencia de la ecuación fundamental de la
hidrostática. Considérese un cuerpo en forma de
paralelepípedo, las longitudes de cuyas aristas valen a, b
y c metros, siendo c la correspondiente a la arista vertical.
Dado que las fuerzas laterales se compensan mutuamente,
sólo se considerarán las fuerzas sobre las caras
horizontales.
La fuerza F1 sobre la cara superior estará
dirigida hacia abajo y de acuerdo con la ecuación
fundamental de la hidrostática su magnitud se podrá
escribir como :
siendo S1 la superficie de la cara superior y h1 su altura
respecto de la superficie libre del líquido.
La fuerza F2 sobre la cara inferior estará
dirigida hacia arriba y, como en el caso anterior, su magnitud
vendrá dada por
La resultante de ambas representará la fuerza de empuje
hidrostático E.
pero, dado que S1 = S2 = S y h2 = h1 + c, resulta:
que es precisamente el valor del empuje predicho por
Arquímedes en su principio, ya que V = c · S es el
volumen del cuerpo, la densidad del líquido, m = ·
V la masa del liquido desalojado y finalmente m · g es el
peso de un volumen de líquido igual al del cuerpo
sumergido.
Equilibrio de los cuerpos sumergidos
De acuerdo con el principio de Arquímedes, para que un
cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio,
la fuerza de empuje E y el peso P han de ser
iguales en magnitudes y, además, han de aplicarse en el
mismo punto. En tal caso la fuerza resultante R es cero y
también lo es el momento M, con lo cual se dan las
dos condiciones de equilibrio. La condición E =
P equivale de hecho a que las densidades del cuerpo y del
líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del cuerpo
sumergido es indiferente.
Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no
coincide con el centro geométrico, que es el punto en
donde puede considerarse aplicada la fuerza de empuje. Ello
significa que las fuerzas E y P forman un par que
hará girar el cuerpo hasta que ambas estén
alineadas.
Equilibrio de los cuerpos flotantes
Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje
predomina sobre el peso (E>P). En el equilibrio
ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán
alineadas; tal es el caso de las embarcaciones en aguas
tranquilas, por ejemplo. Si por efecto de una fuerza lateral,
como la producida por un golpe de mar, el eje vertical del
navío se inclinara hacia un lado, aparecerá un par
de fuerzas que harán oscilar el barco de un lado a otro.
Cuanto mayor sea el momento M del par, mayor será
la estabilidad del navío, es decir, la capacidad para
recuperar la verticalidad. Ello se consigue diseñando
convenientemente el casco y repartiendo la carga de modo que
rebaje la posición del centro de gravedad, con lo que se
consigue aumentar el brazo del par.
Aquí se ilustra el principio en el caso de un bloque de
aluminio y uno
de madera. (1) El
peso aparente de un bloque de aluminio sumergido en agua se ve
reducido en una cantidad igual al peso del agua desplazada. (2)
Si un bloque de madera está completamente sumergido en
agua, el empuje es mayor que el peso de la madera (esto se debe a
que la madera es menos densa que el agua, por lo que el peso de
la madera es menor que el peso del mismo volumen de agua). Por
tanto, el bloque asciende y emerge del agua parcialmente
—desplazando así menos agua— hasta que el
empuje iguala exactamente el peso del bloque.
13. Aplicación del
principio de arquímedes
Un globo de goma tiene 8 g de masa cuando está
vacío. Para conseguir que se eleve se infla con gas ciudad.
Sabiendo que la densidad del aire es de 1,29 kg/m3 y la del gas
ciudad 0,53 kg/m3 determinar el volumen que, como mínimo,
ha de alcanzar el globo para que comience a elevarse.
Para que el globo inicie el ascenso, la fuerza del empuje ha
de ser superior a la del peso:
E > P
En virtud del principio de Arquímedes:
ya que en este caso el fluido desalojado es el aire.
Por otra parte, el peso P será la suma del peso del
globo más el peso del gas ciudad que corresponde al
volumen V, es decir:
Por tanto:
es decir:
El volumen mínimo será, por tanto, de 10,5
litros.
La aerostática frente a la hidrostática
Desde un punto de vista mecánico, la diferencia
fundamental entre líquidos y gases consiste en que estos
últimos pueden ser comprimidos. Su volumen, por tanto, no
es constante y consiguientemente tampoco lo es su densidad.
Teniendo en cuenta el papel fundamental de esta magnitud
física en la estática de fluidos, se comprende que
el equilibrio de los gases haya de considerarse separadamente del
de los líquidos.
Así, la ecuación fundamental de la
hidrostática no puede ser aplicada a la
aerostática. El principio de Pascal, en el caso de los
gases, no permite la construcción de prensas hidráulicas.
El principio de Arquímedes conserva su validez para los
gases y es el responsable del empuje aerostático,
fundamento de la elevación de los globos y
aeróstatos. Sin embargo, y debido a la menor densidad de
los gases, en iguales condiciones de volumen del cuerpo
sumergido, el empuje aerostático es considerablemente
menor que el hidrostático.
La compresibilidad de los gases. Ley de Boyle.
El volumen del gas contenido en un recipiente se reduce si se
aumenta la presión. Esta propiedad que presentan los gases
de poder ser
comprimidos se conoce como compresibilidad y fue estudiada por el
físico inglés
Robert Boyle (1627-1691).
Si se dispone de un cilindro con un émbolo móvil
que puede modificar el volumen de aquél y se introduce un
gas en su interior, el volumen ocupado por el gas variará
con la presión del émbolo de tal modo que su
producto se
mantiene constante si la temperatura es constante durante el
experimento. Es decir:
Ello significa que a temperatura constante la presión y
el volumen de un gas son magnitudes inversamente
proporcionales
y por tanto la representación gráfica de p
frente a V corresponde a una hipérbola
equilátera.
Este resultado se conoce como ley de Boyle y describe de forma
aproximada el comportamiento
de un gas en un amplio rango de presiones y volúmenes. No
obstante, a temperaturas elevadas o a presiones elevadas, para
las cuales el gas se aproxima bastante al estado líquido,
la ley de Boyle deja de cumplirse con una precisión
razonable.
La presión atmosférica
Del mismo modo que existe una presión
hidrostática en los líquidos asociada al peso de
unas capas de líquido sobre otras, las grandes masas
gaseosas pueden dar lugar a presiones considerables debidas a su
propio peso. Tal es el caso de la atmósfera. La
presión del aire sobre los objetos contenidos en su seno
se denomina presión atmosférica.
La ley de variación de la presión
atmosférica con la altura es mucho más complicada
que la descrita por la ecuación fundamental de la
hidrostática p = po + g h. Al tratarse de un fluido
compresible, la densidad no es constante, sino que varía
con la presión; pero además, para variaciones
importantes de la altura el valor de g tampoco se mantiene
constante. Esta dependencia mutua de las variables que
aparecen en la anterior ecuación hace que el cálculo
preciso de la presión atmosférica en un punto
determinado sea una tarea compleja que proporciona tan
sólo resultados aproximados.
La primera comprobación experimental de la existencia
de una presión asociada al aire fue efectuada por
Evangelista Torricelli (1608-1647). El experimento de Torricelli
consistió en llenar de mercurio un tubo de vidrio de
más de un metro de largo, cerrarlo provisionalmente e
invertirlo sumergiéndolo en una gran cubeta con mercurio.
Cuando abrió el extremo del tubo sumergido observó
que éste sólo se vaciaba en parte, quedando en su
interior una columna de mercurio de unos setenta y seis
centímetros.
Este resultado fue interpretado como una prueba de que la
presión del peso del aire actuando sobre la superficie
libre del mercurio de la cubeta era capaz de soportar el peso de
la columna. En el espacio restante del tubo se había
producido el primer vacío de la historia de la física
que se conoce como vacío de Torricelli. La presión
correspondiente a una columna de mercurio de 760 mm de altura
define, precisamente, la atmósfera (atm) como unidad de
presión.
Además de con la altura, la presión
atmosférica varía con la temperatura y con la
humedad y, en general, con el estado del
tiempo, por lo
que constituye una magnitud decisiva en el análisis y en la predicción
meteorológicos. Las primeras variaciones de la
presión atmosférica de un día a otro fueron
observadas por el propio Torricelli con su dispositivo, que fue
precursor de los actuales barómetros.
Un manómetro es un aparato que sirve para medir
la presión de los gases contenidos en recipientes
cerrados. Existen, básicamente, dos tipos de
manómetros: los de líquidos y los
metálicos.
Los manómetros de líquidos emplean, por lo
general, mercurio que llena un tubo en forma de J. El tubo puede
estar o abierto por ambas ramas o abierto por una sola. En ambos
casos la presión se mide conectando al recipiente que
contiene el gas el tubo por su rama inferior y abierta y
determinando el desnivel h de la columna de mercurio entre ambas
ramas. Si el manómetro es de tubo abierto entonces es
necesario tomar en cuenta la presión atmosférica po
en la ecuación p = po ± g h. Si es de tubo cerrado,
la presión vendrá dada directamente por p = g h.
Los manómetros de este segundo tipo permiten, por sus
características, la medida de presiones elevadas.
En los manómetros metálicos la presión
del gas da lugar a deformaciones en una cavidad o tubo
metálico. Estas deformaciones se transmiten a
través de un sistema mecánico a una aguja que marca
directamente la presión del gas sobre una escala
graduada.
El barómetro es el aparato con el que se mide la
presión atmosférica. Como en el caso de los
manómetros, los hay también de mercurio y
metálicos. Los primeros se basan en el dispositivo
utilizado por Torricelli en sus experimentos. El llamado
barómetro de fortín es, de hecho, una reproducción mejorada del aparato de
Torricelli. Su cubeta posee un fondo compuesto de un material
flexible, por lo que puede ser alterado mediante un tornillo
auxiliar con el fin de conseguir ajustar el nivel del mercurio de
la cubeta al cero de la escala graduada cada vez que se
efectúa una medida. Los barómetros de sifón
son simples manómetros de tubo cerrado en los cuales la
rama corta del tubo en J hace las veces de cubeta y la rama larga
de tubo de Torricelli.
Los barómetros metálicos o aneroides constan de
una caja metálica de paredes relativamente
elásticas, en cuyo interior se ha efectuado el
vacío. Un resorte metálico hace que las paredes de
la caja estén separadas. En su ausencia dichas paredes
tenderían a aproximarse por efecto de la presión
exterior. Por igual procedimiento
variaciones en la presión atmosférica producen
cambios en la forma de la caja que se transmiten al resorte y
éste los indica, a través de un mecanismo de
amplificación, sobre una escala graduada en unidades de
presión. Los barómetros metálicos pueden
mortificarse de forma que sus resultados queden registrados en un
papel. De este modo se puede disponer de información sobre cómo varía
la presión atmosférica con el tiempo.
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