La Generalización Teórica como Proceso Fundamental del Pensamiento (página 2)
DESARROLLO:
Consideraciones sobre la actividad cognoscitiva de los
estudiantes:
En la actualidad es punto de coincidencia de las
diferentes teorías
pedagógicas modernas, la necesidad de la actividad
cognoscitiva del estudiante; esta verdad que hoy nos guía
en la difícil tarea de formar profesionales capaces de
mantenerse a la par del rápido desarrollo
científico técnico que hoy nos acompaña, fue
enarbolada desde hace mucho por hombres que dedicaron sus
esfuerzos a la formación de las nuevas generaciones, desde
Amos Comenio (1592 -1670) cuando planteaba: "Sabiamente
afirmó Salomón que no se sacia el ojo viendo ni el
oído se
llena oyendo." Comenio J. A. (1983), idea continuada entre otros
por J.H.Pestalozzi (1746 – 1827) defensor del criterio de que en
la actividad intelectual se desarrolla la
razón.
También E.J. Varona defendió esta idea
pues en su planteamiento: "Las aulas universitarias deben ser
talleres donde se trabaje y no teatros donde se declame."
Así lo expresa, y ya en nuestros días como
planteamos antes, es un criterio defendido por todos los
entendidos en la materia, y que
se resume en diferentes afirmaciones de forma concreta, por
ejemplo: "La verdadera asimilación de conocimientos exige
un proceso activo
de relación, diferenciación y reconciliación
integradora con los conceptos que ya existen, y cuanto más
activo sea este proceso tanto más significativos y
útiles serán los conceptos asimilados." Ausubel citado en
Mata Guevara (1993). Así como N.F. Talizina (1998) nos
dice: "Si el alumno no hace nada cualquier cosa que haga el
profesor
será inútil.", por citar sólo dos
representantes notables de escuelas diferentes.
Por lo tanto es nuestra tarea, lograr que el estudiante
desarrolle una intensa actividad cognoscitiva, pero esto no es
todo, también debemos dirigir su modo de actuación
de modo que esta actividad le resulte lo más productiva
posible, y es en esta dirección precisamente en la que se
encamina el presente trabajo.
De la misma forma que si un atleta no hace los
ejercicios físicos adecuados no mejorará sus
marcas, un
estudiante no desarrollará todas sus posibilidades
cognoscitivas, si esta actividad no se realiza adecuadamente. En
otras palabras, sólo a través de una actividad
cognoscitiva correctamente orientada es posible que el estudiante
logre la meta que el
desarrollo del conocimiento
continuo y acelerado impone a la institución docente, esto
es, que el estudiante aprenda a aprender.
Consideraciones sobre la generalización como
proceso del pensamiento
lógico:
Como es conocido por todos los profesores de Matemática, el proceso enseñanza aprendizaje de
esta ciencia
resulta complejo y en muchos casos no se alcanza el éxito
esperado. Uno de los aspectos que dificulta el citado proceso es
el hecho de que en la Matemática, los objetos con los que
se trabaja sólo se materializan de manera
simbólica, aunque para los estudiantes, algunos de los
objetos matemáticos, como son los geométricos,
tienen una existencia física, triángulos, rectángulos, cuadrados,
etc., ya que ellos, los alumnos, identifican los representantes
de estos objetos con el objeto en sí y tardan en
comprender que ninguna representación de un
triángulo es equivalente al concepto que
identifica este ente geométrico; por otra parte objetos
matemáticos como polinomios y funciones, entre
otros, no son considerados por muchos estudiantes como objetos
propiamente dichos, ya que no existe una semiótica icónica para su
representación.
Esto es, los objetos matemáticos son puramente
conceptuales, tienen un carácter abstracto y se refieren,
generalmente, a realidades teóricas; a grosso modo podemos
decir que estos entes matemáticos conceptuales son el
resultado de abstraer las propiedades comunes de determinados
objetos o identificar sus regularidades.
Según Liu Paredes G. J. (2006). estas propiedades
o regularidades son consideradas como criterios para la
agrupación de quienes la poseen en una clase, esta se
constituye a partir de definir las características
esenciales que permiten identificar si un elemento dado pertenece
o no a dicha clase, la cual se constituye en sí misma en
un objeto matemático, las regularidades que caracterizan a
sus componentes permite dar una respuesta común a todos
ellos, reaccionando ante la clase y no ante cada uno de sus
miembros en particular; luego, las cualidades comunes que han
sido abstraídas a partir de un determinado conjunto de
objetos o situaciones específicas permiten responder
similarmente a una clase entera de objetos o situaciones
relacionadas a través de una generalización
consistente con la identificación de la propia
clase.
Podemos inferir del párrafo
anterior que el pensamiento matemático, es un pensamiento
conceptual, o en otras palabras un pensamiento teórico,
por lo que en la actividad cognoscitiva es imprescindible el
desarrollo de este tipo de pensamiento, por esta razón
V.V. Davidov (1985) plantea que para la solución de los
problemas
cardinales de la enseñanza contemporánea es
necesario formar el pensamiento teórico científico,
no el discursivo empírico; el estudio de este problema
presupone el empleo
omnilateral de la psicología, la
didáctica, la teoría
del conocimiento (epistemología) y el papel que en la misma
desempeña la actividad objetiva del hombre.
Podemos encontrar en los trabajos de Dörfler, W.
(1991), un rango de coincidencia notable con los trabajos de
Davidov, en lo que a clasificación de la
generalización respecta, ya que este autor también
establece la diferencia entre generalización
empírica y teórica y las explica y compara de la
misma forma. En el presente trabajo se parte de esta
diferenciación entre la generalización
teórica y la empírica se aprecia la necesidad de
desarrollar en los estudiantes la generalización
teórica, por lo cual se analiza como orientar la actividad
del estudiante para que logre el desarrollo de este tipo de
generalización.
Se puede apreciar de lo anteriormente planteado, que un
papel fundamental en el desarrollo del pensamiento teórico
científico corresponde a la generalización, pero,
como planteamos en el párrafo anterior, no nos referimos
aquí a la generalización empírica que opera
como resultado de comparar los rasgos comunes en los que
coinciden los fenómenos, o a la generalización
espontánea, como plantea Panizza M. (2006), sino aquella
que se realiza sobre los rasgos esenciales y los nexos internos
de los fenómenos que se estudian, o sea que aquí se
tiene una dirección precisa hacia donde orientar la
actividad del estudiante, pues se hace imprescindible que el
estudiante generalice y que lo haga correctamente sobre los
rasgos esenciales y los nexos internos de los fenómenos
que se estudian; al respecto S.L. Rubinstein expresa: "La
facilidad y rapidez de la abstracción y la
generalización de los rasgos sustanciales de las
situaciones que se analizan constituyen los rasgos
característicos del pensamiento teórico, el cual
garantiza un conocimiento más profundo de la realidad
circundante." Rubinstein S. L. (1959). Siguiendo estas mismas
consideraciones V.A. Krutetzki probó que existe una
relación entre el nivel de generalización y la
capacidad del estudiante. Estableció con sus trabajos que
los alumnos aptos para la Matemática generalizaban
validamente la solución sobre la base de uno o varios
problemas, mientras que a los escolares más débiles
les es propia una generalización de carácter por
entero distinta.
Por ejemplo: el estudiante que solo es capaz de hacer
generalizaciones sobre los aspectos comunes y aparentes de los
objetos, ve los siguientes problemas: 
y 
como situaciones diferentes, porque no es capaz de
apreciar las características esenciales que los
identifican como un mismo tipo de problema, ya que juzgan el
problema planteado sólo por las funciones involucradas. De
la misma manera aquellos estudiantes que han trabajado con la
integral de funciones compuestas 
con 
sólo para funciones polinómicas, no
son capaces de ver la misma regla de integración en las funciones trascendentes.
En otras palabras, la habilidad de identificación,
clasificación y determinación de las acciones
esenciales no tienen el desarrollo adecuado que le permita al
estudiante una generalización teórica completa. Por
lo que es necesario insistir en que el estudiante tiene que ser
entrenado en la generalización teórica, para que
pueda desarrollar el pensamiento teórico
científico, o dicho en otras palabras pueda trabajar a
nivel conceptual.
Cuando sucede lo planteado en los ejemplos anteriores se
debe a que el alumno trabaja a nivel formal, esto es, considera
los símbolos independientes del objeto que
representan, por lo tanto, por una parte al apreciar
símbolos distintos, considera a los problemas como
diferentes, sin detenerse a analizar que dichos símbolos
representan funciones con las mismas características
respecto a la integración y por otra, al apreciar el mismo
tipo de símbolo no es capaz de identificar las diferentes
situaciones que puede representar.
Concretando lo planteado hasta aquí, tenemos que
es necesario, para que el estudiante pueda desarrollar su
actividad cognoscitiva de forma independiente, que desarrolle su
pensamiento teórico, en lo cual juega un papel muy
importante la capacidad de generalización del
estudiante.
Todo el análisis anterior nos muestra la
necesidad de hacer un estudio de las características
fundamentales de la generalización. En primer lugar, como
ya vimos, la generalización que tenemos que desarrollar es
la generalización teórica, aquella que se realiza
sobre los rasgos esenciales y los nexos internos de los objetos y
fenómenos de la realidad. Así los niños
que han generalizado el concepto de mamífero, sólo
por las apariencias externas de muchos de ellos, no pueden
identificar los delfines como
tales; este tipo de generalización basado en las
características aparentes de las cosas, es la primera que
el niño realiza, y que llega a hacer por sí mismo,
en su interacción social; pero la
generalización teórica generalmente tiene que ser
enseñada, y siempre tiene que ser desarrollada, para
posibilitar así el desarrollo del pensamiento
teórico científico. Luego en lo adelante, siempre
que hablemos de generalización, nos estaremos refiriendo a
la generalización teórica.
Ranford L. (2003) comprueba en sus trabajos las
diferentes instancias en que se manifiesta la
generalización, pues en los mismos ha podido apreciar que
"la tarea de generalizar se hace mas complicada cuando se les
pide a los estudiantes relacionar variables y
expresar esta relación en un lenguaje
algebraico" Esta tarea se hace más complicada para los
estudiantes porque las propias variables y el lenguaje
algebraico son en sí mismos generalizaciones, por lo tanto
cuando se generaliza a través de estos elementos se hace
una generalización de mayor nivel.
Por otra parte Tall D. (1990), realiza una
clasificación de la generalización en la manera
siguiente:
- Generalización expansiva.
- Generalización reconstructiva.
- Generalización disyuntiva.
Entendiendo por generalización expansiva aquella
en la que el sujeto expande el rango de aplicabilidad de un
esquema existente sin reconstruir dicho esquema. Considera la
generalización reconstructiva cuando el sujeto reconstruye
un esquema existente con el fin de aplicar su rango de
aplicabilidad. Por último, considera que ocurre la
generalización disyuntiva cuando al moverse de un contexto
familiar a uno nuevo, el sujeto construye un nuevo esquema,
para tratar con la nueva situación y lo incorpora en el
pensamiento como un esquema nuevo.
La generalización que debe aspirar a desarrollar
el profesor en sus estudiantes, de acuerdo a la
clasificación de Tall, es la expansiva, ya que es el caso
en que efectivamente se logra una generalización del
esquema existente, pues se logra su aplicación sin
necesidad de crear nuevos esquemas, lo cual permite una mayor
aplicabilidad del conocimiento adquirido, sin necesidad de su
fraccionamiento.
No obstante, de acuerdo con este autor, la
generalización reconstructiva también resulta
necesaria, pues en determinadas circunstancias el estudiante
necesita reconstruir el esquema para que sea aplicable a la nueva
situación, por ejemplo cuando los estudiantes generalizan
la multiplicación de números enteros a los
números fraccionarios, tienen que hacer una
generalización reconstructiva, para incluir el caso en que
la multiplicación puede tener como resultado un valor menor
que uno de los factores, lo que no ocurre en el producto de
números enteros; también se requiere una
generalización reconstructiva cuando se estudia el
cálculo
diferencial, ya que todos los casos de derivadas
responden al esquema: función
incrementada menos la función sin incrementar dividido el
incremento, cuando el incremento tiende a cero. Pero para
incorporar el gradiente, este esquema tiene que ser
reconstruido.
Desde nuestro punto de vista, consideramos que la
generalización disyuntiva, no llega a ser una
generalización propiamente dicha, ya que la construcción de un nuevo esquema indica que
el sujeto no ha sido capaz de generalizar los esquemas de que
disponía; el estudiante que sigue este procedimiento de
aprendizaje incrementa el número de procedimientos
que requiere para resolver los nuevos casos que se le van
presentando, lo cual implica una carga adicional al estudiante
que lo hace propenso a colapsarse.
Por ejemplo, el alumno que estudia los triángulos
haciendo este tipo de generalización, incorpora cada tipo
de triángulo, isósceles, rectángulo, etc. en
un esquema independiente y por lo tanto adquiere un conocimiento
inconexo, compuesto para él por muchos elementos variados,
por lo cual se le hace difícil asimilarlo y además
lo olvida con mucha facilidad.
Por nuestra parte consideramos válida la
clasificación de Tall D., pero desde nuestro punto de
vista, entendemos que la misma, está orientada más
a la forma en que el estudiante generaliza, que a
características intrínsecas del propio proceso de
generalización.
Por otra parte en el trabajo de
Royo J et all (2005), se considera la generalización como
habilidad del pensamiento lógico, en este trabajo la
generalización se categoriza como proceso del pensamiento
lógico, dada su complejidad, pero desde la perspectiva de
que el alumno pueda hacer generalizaciones teóricas con
eficiencia,
estamos de acuerdo en categorizarla como habilidad. En síntesis
podemos decir que es una habilidad que por su complejidad se
forma y desarrolla como un proceso, cuya complejidad se pone de
manifiesto en el propio trabajo citado, ya que en la pag. 393, se
plantea que la generalización es verificable
por:
- Extender los conceptos estudiados en una clase
determinada a otra más amplia. - Distinguir entre dos generalizaciones cual de ellas
es la mejor. - Establecer relaciones entre dos generalizaciones de
un mismo concepto.
Señalamos que evidentemente el primer punto es
una de las formas en que la generalización se puede
efectuar, en lo que respecta al segundo punto entendemos que una
generalización es correcta o no y sólo puede haber
variantes de una generalización en las que se destaquen
elementos diferentes de lo que se generaliza, por último
en el tercer punto, el hecho de que el alumno relacione
diferentes variantes de una generalización, es una
acción,
que aunque puede ser útil en el proceso de
formación del estudiante, no llega a ser una
generalización. Aquí las imprecisiones
señaladas muestran la complejidad del proceso
estudiado.
Nuevos resultados sobre la
generalización:
La importancia de la generalización
teórica como proceso del pensamiento y la necesidad de
entrenar a los estudiantes en la misma, ha determinado que el
grupo de
investigación dirigido por el autor del
presente trabajo, haya realizado diferentes estudios sobre el
tema, de los cuales se ha podido constatar que la
generalización teórica, como proceso complejo en
sí mismo, se realiza a diferentes niveles. Dichos estudios
han permitido identificar cinco niveles, entre los cuales como
componentes de un mismo proceso existe interdependencia y
sólo se ha establecido secuenciación entre el
primero y el último de estos niveles.
Los niveles identificados permiten dirigir la actividad
del estudiante de una manera más precisa, ya que facilita
identificar debilidades cognoscitivas en el estudiante, y
orientarle trabajos según se requiera.
A continuación detallaremos la
generalización en sus diferentes niveles, aunque como ya
planteamos, estos niveles, como componentes de un mismo proceso,
están estrechamente interrelacionados y lograr desarrollo
en uno de los niveles implica lograr desarrollo en los restantes,
aunque el entrenamiento en
cada uno de los niveles tiene su especificidad, la cual se apoya
en los rasgos distintivos que se manifiestan en cada uno de los
niveles.
El primero de estos niveles o etapas de la
generalización lo identificamos como: "La
representación singular de lo general" esto se refiere
a cuando representamos los componentes de un conjunto de muchos o
infinitos elementos mediante una determinada semiótica,
por ejemplo, cuando hablamos de los números pares y
decimos que un número par es un número de la forma
2n, o cuando representamos una sucesión por su n-simo
término, o cuando hablamos de una cantidad finita pero no
determinada de elementos o sucesos y los representamos como los
hechos ai con i = 1 .. n, otro ejemplo al respecto es
el siguiente: la expresión: 
, , representa múltiples casos particulares,
así tenemos otro ejemplo en la palabra "paraboloide" la
cual representa toda una infinidad de figuras geométricas
que tienen determinados rasgos esenciales que la identifican como
tal, y a la vez representa cada uno de los casos particulares en
que puede aparecer dicha figura geométrica.
Esta forma de generalización tan cotidiana para
el matemático y tan imprescindible para la
Matemática en sí misma, (aunque debemos destacar
que no es privativa de la Matemática, pues con el
desarrollo científico técnico cosas así
aparecen hasta en las ciencias
sociales), no es tan inmediata para el alumno, requiere
cierto desarrollo de sus capacidades cognoscitivas para
interiorizarlo, y no simplemente repetirlo mecánicamente
cuando se le requiera.
Podemos asegurar que el estudiante ha alcanzado este
nivel de generalización cuando él es capaz de
usarla por su propia iniciativa, para expresar sus ideas, cuando
lo usa como componente de su propio lenguaje. Sin embargo, no es
una tarea pedagógica simple que el estudiante incorpore
esta forma de generalización como una forma propia de
expresión, pero a la vez es clave en el pensamiento
matemático.
Este nivel de generalización está muy
cercano a la generalización empírica, que el
niño desarrolla en su interacción social, cuando a
través de su experiencia con un número determinado
de mesas, logra generalizar todos estos objetos comunes con la
palabra "mesa"; el lenguaje se va formando así a nivel de
generalizaciones empíricas. ¿Por qué
entonces se hace difícil el salto a la
generalización matemática en este primer
nivel?
De acuerdo a los estudios realizados, la dificultad en
el salto de la generalización empírica, productora
del lenguaje, a la generalización teórica en su
primer nivel, se debe a que la primera se realiza a nivel
objetal, donde el objeto se identifica como un todo y no requiere
hacer distinciones entre aspectos esenciales y no esenciales del
objeto lo cual implica un nivel de abstracción muy bajo,
por otra parte la segunda se realiza a nivel conceptual o
teórico y requiere la identificación de los
componentes esenciales sobre los que se generaliza,
abstrayéndolos de sus componentes aparentes o no
esenciales, lo que trae por consecuencia un nivel de pensamiento
más elevado, por ejemplo para que la palabra
"parábola" represente todas las parábolas, tiene
que estar asociada, no a la forma de la curva, ya que en
particular el coseno hiperbólico tiene una
representación gráfica del mismo tipo que la
parábola, sino a su ecuación, o a su
caracterización como lugar geométrico; como se
aprecia en este caso, si la atención se enfoca a lo aparente y no
esencial del objeto como es la forma del gráfico, la
palabra "parábola" no es una generalización
singular de lo general, pues puede incluir elementos que no
corresponden al objeto generalizado.
En un segundo nivel podemos considerar la
generalización producto de una deducción
(propia de las ciencias
deductivas), por ejemplo si se prueba que todo número tal
que la suma de sus dígitos es divisible por tres, es
también divisible por tres él mismo; se tiene
así un resultado que sirve de criterio general para
determinar si un número dado es o no divisible por tres; o
como es el caso de la fórmula 
. Aparentemente el alumno hace esta
generalización de forma natural, pero lo que sucede
comúnmente es que el alumno usa el resultado deducido en
forma general porque el profesor le dice que se ha obtenido una
regla que se va a aplicar siempre para determinar tal o cual
cosa, pero no hace suyo el resultado obtenido si sus capacidades
cognoscitivas no han alcanzado el nivel requerido; esto se
aprecia cuando se deducen las ecuaciones de
las cónicas, partiendo de su definición como lugar
geométrico y el estudiante prácticamente no
establece un nexo: ecuación – lugar
geométrico. Nexo que debía manifestarse si para
el alumno la ecuación fuera efectivamente una
generalización obtenida como deducción del concepto de lugar
geométrico.
Aquí influye el nivel anterior, pues precisamente
en la deducción casi siempre es necesario representar lo
general en forma singular. No es fácil determinar cuando
el alumno ha interiorizado el carácter general de la
deducción, ya que el mismo puede usar el resultado
alcanzado por iniciativa propia o porque así se lo dice su
profesor, aquí se requiere de cierta maestría
pedagógica para determinar en que nivel está
realmente el alumno.
Además se debe tener en cuenta el valor formativo
de este nivel de generalización en lo que respecta al
conocimiento matemático, ya que el estudiante tiende a
hacer generalizaciones empíricas, cuando la
generalización teórica se logra mediante una
deducción, como ejemplo podemos analizar la siguiente
situación: "La derivada de una función par
derivable, es una función impar" El estudiante sin una
adecuada formación matemática hace esta
generalización a partir de casos particulares como son las
funciones: f(x) = x2, f(x) = x4, f(x) =
cos(x), f(x) = 1/x2, las cuales son pares y tienen
derivadas impares, pero esta generalización a partir de
casos particulares tiene un carácter empírico
carente de valor en la Matemática, para que esta
generalización tenga el rango de generalización
teórica y sea válida matemáticamente, tiene
que ser producto de una deducción como la que
sigue:
Si f(x) es una función par, entonces f(x) =
f(-x)
Derivando en ambos miembros: 
Obteniéndose: 
Luego 
es una función impar.
Siendo esta deducción la que nos permite
generalizar el hecho de que la derivada de una función par
es a su vez una función impar.
M. M. Rodd, en su trabajo: "On Mathematical Warratns:
Proofs Doe Not Always Warrant, and Warrant May Be Other Than a
Proof" destaca ampliamente la disposición de los
estudiantes a generalizar de una manera empírica, en lugar
de hacerlo a través de deducciones matemáticas. M Rodd (2000).
Encontramos el tercer nivel cuando se produce la
generalización por ampliación de un concepto,
esto es cuando se pasa de un concepto a otro más general,
pero que mantiene los rasgos esenciales del primero, un ejemplo
lo tenemos cuando se extienden los principios de la
mecánica de dos tiempos a la de cuatro
tiempos, pues sobre los mismos principios esenciales se estudia
el fenómeno de una forma más amplia; otro ejemplo
se puede ver cuando se pasa de las derivadas de funciones de una
variable a las de funciones de varias variables, o cuando se pasa
de las integrales en
una variable a las integrales en dos o tres variables,
también cuando se pasa del estudio de las curvas
cuádricas a las superficies cuádricas, o cuando se
pasa de superficies cuádricas referidas al origen de
coordenadas a superficies cuádricas referidas a cualquier
punto del espacio, pues sobre los mismos principios esenciales se
estudia el fenómeno de una forma más amplia (se
generaliza). Este nivel se requiere para elaborar
metodologías orientadas a que el alumno identifique la
esencia del concepto en cada caso particular, logrando de esta
manera una orientación sistémica en el objeto de
estudio.
En Agostini E. et all (2004). Se considera la habilidad
para generalizar un concepto, pero no es considerada como un
nivel específico del proceso de generalización, por
lo que no se caracteriza de una manera concreta y por lo tanto no
se señalan actividades encaminadas al desarrollo de esta
forma de generalización. Pero sí plantea la
importancia de que el alumno posea esta habilidad, aunque en su
estudio encontró que los alumnos no la poseen.
Ahora podemos hablar del cuarto nivel, en el que se
está cuando la generalización se logra mediante
un cambio del
problema con que se trabaja, aunque manteniéndose en
el mismo modelo. Se
alcanza este nivel cuando se identifican y resuelven diferentes
problemas que obedecen a un mismo modelo, en otras palabras, se
resuelven diferentes tipos de problemas, pero que obedecen a un
mismo modelo.
Este cambio del problema puede ser, inmediato, cuando
las variaciones no son esenciales, como cuando se trabaja con una
fórmula cuyos coeficientes se caracterizan por determinada
forma, y se introduce una variación al problema que
determina un cambio en la forma de los coeficientes de la
fórmula a través de la cual se resuelve el
problema. Aunque esta es una generalización que no
requiere de mucho desarrollo de las capacidades cognoscitivas,
sí es necesario ejercitarla con el fin de que el alumno
esté en condiciones de trabajar en las siguientes
etapas.
Tenemos también que el cambio del problema puede
ser mediato, esto es, cuando las variaciones al problema aunque
manteniéndose dentro del mismo modelo determinan cambios
esenciales en el mismo, este cambio se manifiesta por ejemplo si
los cambios llegan a tal punto que aparentemente se ha producido
un cambio en el modelo del problema, y para identificar el modelo
original se requiere de cambios de variables, o algunas
transformaciones especiales que permitan identificar el modelo
original; un ejemplo al respecto es la
ecuación:
cos2(x) + 5cos(x) + 6 =
0,
donde el estudiante no se percata que puede usar el
modelo de la ecuación de segundo grado para resolver el
problema planteado. Otro ejemplo al respecto es el caso de la
siguiente integral: 
, donde el cambio de variables u = x + 1, transforma el
nuevo problema en uno conocido, o como es el caso cuando
además de cambiar el elemento que se calcula se expresa el
problema en otro sistema de
coordenadas. Por lo tanto tenemos que ser cuidadosos de
contemplar en nuestra actividad docente ambas situaciones, pues
si empezamos por el segundo aspecto de este nivel, el estudiante
lógicamente confrontará dificultades para realizar
las tareas que le encomendemos y si nos quedamos en la primera
etapa al estudiante le faltará preparación para
enfrentar el quinto nivel de generalización, que
trataremos a continuación y el cual debe alcanzar todo
estudiante de ingeniería.
Después de todas las consideraciones anteriores
podemos enfocar lo que consideramos el quinto nivel y más
complejo de la generalización, que consiste en la
generalización con desarrollo de un nuevo modelo.
Según S.L. Rubinstein: "La generalización descubre
las conexiones necesarias sujetas a la ley de los
fenómenos y faculta explicar las diversas manifestaciones
de sus relaciones internas." Rubinstein S.L. (1959).
Realmente es así, pero este proceso pasa a
través de la modelación del fenómeno, de
forma que este (el fenómeno) pueda ser desbrozado de sus
atributos no esenciales, y se pongan de manifiesto aquellas
relaciones internas fundamentales para su estudio. La capacidad
de orientación hacia lo esencial del material, es uno de
los elementos que determina la capacidad de aprendizaje
según Z.I. Kalmikova; por lo cual debe ser desarrollada
tanto como sea posible, y como planteamos está asociada a
la capacidad de desarrollar nuevos modelos para
estudiar nuevos fenómenos. Aunque es por todos conocido
que la habilidad de modelar es difícil de desarrollar en
los estudiantes, pero también se tiene consenso de que es
una habilidad que debe alcanzar todo estudiante de
ingeniería; aunque por su complejidad está claro
que le resulta muy difícil al estudiante lograrla
directamente, por lo que es necesario el desarrollo de los
niveles precedentes de generalización planteados, para que
el estudiante se encuentre en condiciones de arribar a esta
meta.
Podemos decir que el estudiante está en este
último nivel de generalización, cuando es capaz de
obtener por sí mismo el nuevo modelo que le permite
estudiar la nueva situación. Evidentemente este cambio de
modelo tiene sus graduaciones propias, la nueva situación
puede estar más o menos cerca de las situaciones y modelos
conocidos por el estudiante, y este distanciamiento entre lo
conocido y lo nuevo se logra vencer de forma efectiva si se
desarrolla gradualmente la capacidad de
generalización.
Sugerencias para la aplicación de los
resultados:
La determinación de los niveles en que se
manifiesta el proceso de generalización teórica,
permite precisar la orientación de tareas al estudiante y
de su propia actividad cognoscitiva, ya que hace posible el
entrenamiento del estudiante mediante actividades con mayor grado
de especificidad, las que están asociadas de manera
particular a cada uno de los niveles, así tenemos que para
contribuir al desarrollo del estudiante en el primer nivel se
aconsejan tareas como las siguientes:
- Pedirle a los estudiantes que expresen todos los
número divisibles simultáneamente por 12 y por 8,
ya que la respuesta: 24n, es una representación singular
de lo general como explicamos antes. - Pedirle que representen los polinomios de grado n,
cuya representación es: aoxn +
a1xn-1 + a2xn-2 +
…+ an. es una manifestación de este
primer nivel de generalización. - Pedirle que expresen la derivada n de f(x) = cos(x)
en xo = 0, cuya respuesta f(0) = (-1)n/2
para n par, se logra también mediante una
generalización de este nivel.
Lograr que los estudiantes realicen tareas de este tipo,
contribuirá a que sean capaces de incorporar este nivel de
generalización como medio de expresión propio de su
lenguaje.
En lo que respecta a la generalización producto
de una deducción, el entrenamiento del estudiante se hace
más complejo en el sentido de que este trabaja siguiendo
reglas y no porque haya interiorizado el significado de la
deducción matemática, lo que acabamos de plantear
se hace evidente en el poco interés
que manifiestan los estudiantes, en todos los niveles escolares,
por las demostraciones, donde sólo es posible hacer
excepciones al respecto en los estudiantes de las carreras de
Matemática. Pero el hecho de que el estudiante admita la
necesidad de la deducción matemática, es
equivalente a que comprenda la diferencia entre
generalización empírica y generalización
teórica, la diferencia entre afirmar que algo que sucede
con frecuencia vuelva a suceder y la certeza de que ese algo va a
suceder, lo cual es una de las razones que muestran la necesidad
de formar el pensamiento teórico, particularmente en los
profesionales de cualquier rama y de manera muy significativa en
los profesionales de ciencias técnicas.
Como realmente es más importante formar el
pensamiento teórico en el estudiante, que el hecho de que
aprenda determinadas demostraciones, hace que sea más
conveniente dedicar mayor tiempo a
deducciones que por sus características contribuyen en
mayor medida a la formación del pensamiento teórico
que otras, que lo hacen en menor, o lo hacen muy poco; por
ejemplo el teorema de Bolzano: "Si f(x) es un función
continua en [a , b] y f(a)*f(b) < 0 entonces existe, al menos,
un punto xo que pertenece a [a , b] tal que
f(xo) = 0" (notar que f(x) y [a , b] son
representaciones singulares de lo general, ya que dichos
símbolos singulares representan cualquier función y
cualquier intervalo). Como sabemos este teorema requiere ser
demostrado, matemáticamente hablando, pero los estudiantes
que no son de Matemática, al no tener una formación
Topológica, no pueden ver la necesidad de deducir algo que
para ellos resulta evidente, por lo tanto insistir en hacer esta
demostración en una clase de una carrera no
matemática, no logrará contribuir a la
formación del estudiante, por lo tanto es preferible
aceptar la aparente apariencia del resultado planteado y dedicar
mayor tiempo a otras demostraciones mas útiles desde el
punto de vista didáctico, pues coincidimos con Mariotti
quien expresa que: "la intuición puede constituirse en
obstáculo: cuando la inmediatez de un enunciado inhibe el
proceso de análisis de las conexiones implícitas y
por consiguiente la construcción de la estructura
analítica que constituye una prueba.
En tal caso, deviene imposible comprender el sentido de
la prueba pues la evidencia y la inmediatez (la sensación
de certeza que caracteriza a los enunciados intuitivos) inhibe
cualquier clase de argumentación; es decir, inhibe la
elaboración de la estructura analítica, "paso a
paso," que constituye una prueba; el proceso se bloquea y lo
mismo ocurre con el camino hacia la prueba." Mariotti M. A.
(1998), en otras palabras, queremos enfatizar que en el proceso
de formación del estudiante hay que aprovechar los
aspectos de la Matemática que se presten mejor a nuestros
fines como son las demostraciones donde se deduce un resultado no
aparente, como es el caso de la relación que existe entre
la monotonía de la función y el signo de la
derivada de dicha función, ya que es necesario lograr que
los estudiantes aprecien la necesidad de la deducción para
poder
generalizar un resultado, independientemente de las veces que se
haya podido comprobar su generalidad, se puede aprovechar
aquí el hecho de que este resultado se puede apreciar muy
fácil en muchos casos particulares sencillos, f(x) =
x2, f(x) = ex, f(x) = x3, etc.
no resulta evidente que para casos de funciones poco usuales o
más complejas la situación sea la misma, por lo que
resulta más natural para el alumno supeditar la
generalización del resultado a su
deducción.
Además sugerimos hacer una ilustración previa a la deducción de
manera que se aproveche la interpretación geométrica de la
derivada, con lo cual, se logra tanto materializar la
deducción como consolidar el sentido geométrico de
la derivada, pues cualquiera que se la curva, donde esta sea
creciente, el ángulo de inclinación de su tangente
estará entre 0 y π/2 y por lo tanto su tangente
trigonométrica positiva, y análogamente cuando la
curva decrece, como se ilustra en el siguiente
gráfico:
Para muchos estudiantes esta ilustración funciona
como la deducción propiamente dicha y no ven la necesidad
de una deducción formal, pero desde el problema que nos
ocupa, lo importante es que el alumno acepte la
generalización como consecuencia de una deducción y
no como la verificación de varios casos
particulares.
Aquí debemos aclarar que por nuestra parte
consideramos que lograr que el estudiante intuya el resultado, es
un paso previo a la deducción del mismo, pues es necesario
tener en cuenta que "inducción – deducción" se
manifiestan como un par dialéctico en el desarrollo del
conocimiento.
Resultados con estas características hay muchos
en la Matemática, entre ellos podemos citar el teorema de
Fermat, el teorema que relaciona la derivada de una
función con la derivada de su inversa, el teorema de
Rolle, etc.
Un ejemplo muy ilustrativo, al respecto, es el caso de
las series 
, pues
si hacemos notar que con el crecimiento de n, cada vez se agrega
menos a la suma, es razonable asumir que llegará el
momento que lo que se agrega es tan insignificante que la suma se
mantiene fija y por lo tanto las series de este tipo son
convergentes, lo cual, como sabemos, no es así, ya que
estas series sólo convergen cuando p > 1. Esta
situación nos permite ilustrar la inconsistencia de las
generalizaciones empíricas, esto es basado en los aspectos
aparentes del fenómeno que queremos
generalizar.
Un ejemplo que vale la pena citar aquí es la suma
de n números naturales, esto es: 
El cual no es un resultado evidente pero que se puede
comprobar reiteradamente, pero debemos formar la
convicción en el estudiante que sólo la
deducción de este resultado permite su
generalización.
Esta deducción tiene una ilustración
gráfica como la que se muestra en la figura, la cual en
determinados niveles de enseñanza se puede aceptar como la
deducción, pues como se sabe la inducción completa
es un método
deductivo que a los estudiantes les cuesta comprender como
tal.
La generalización por ampliación de un
concepto, es el nivel que se manifiesta con menos frecuencia,
pero dadas sus características propias y el peso que tiene
en la formación del estudiante para que llegue a aprender
a aprender, se hace necesario aprovechar las oportunidades que se
presenten en el desarrollo del proceso enseñanza
aprendizaje para ejercitar este nivel de
generalización.
Este nivel de generalización se manifiesta con
estudiantes muy jóvenes cuando se trabaja con los campos
numéricos, esto es, cuando se pasa de trabajar con los
naturales a los enteros, a los fraccionarios, a los irracionales
y por último a los reales, en todos los casos se debe
procurar que los alumnos vean las operaciones en el
nuevo campo numérico como generalización de las
mismas operaciones que se venían haciendo; lo mismo se
tiene cuando se pasa de las leyes de las
potencias enteras a las fraccionarias, es importante que el
estudiante no vea las leyes en las potencias fraccionarias como
nuevas leyes respecto a las potencias enteras, sino como una
ampliación de estas. Trabajar estos temas de esta forma
también contribuye a que el estudiante aprenda a
orientarse a lo esencial del contenido, lo cual es de gran
importancia, tanto para los restantes niveles de
generalización como para desarrollar el proceso de
abstracción.
Un ejemplo de este nivel de generalización para
estudiantes menos jóvenes es cuando se pasa de los
vectores en
R2 a los vectores en R3 y también
cuando se pasa del límite en funciones de una variable al
límite en funciones de dos variables
La importancia de ejercitar al alumno en la
generalización por ampliación del concepto,
está en estrecha relación con el presupuesto de
que "la Matemática se aprende haciendo Matemática"
ya que aunque este presupuesto es aceptado por la comunidad de
profesores de Matemática, lo que se hace al respecto las
más de las veces es poner a los estudiantes a hacer
ejercicios o en el mejor de los casos a resolver problemas; pero
este nivel de generalización permite poner al alumno en el
lugar del matemático, esto es, en las diferentes ocasiones
en que el contenido que se imparte implica esta
generalización, se debe asignar al alumno como tarea que
haga las consideraciones necesarias para pasar a la nueva
situación más general.
Evidentemente en las primeras tareas de este tipo el
estudiante sólo tendrá un éxito parcial,
pues le resultará muy difícil poder prever todos
los elementos necesarios. Además esta actividad
está entre las que el futuro profesional tendrá que
hacer para mantenerse a la par del desarrollo científico
técnico, por lo que es menester que sea entrenado en la
misma.
En el caso de la generalización por cambio del
problema manteniéndose en el mismo modelo, debemos
apoyarnos en el modelo en el que estamos trabajando para que el
estudiante pueda lograr él mismo el cambio del problema,
por ejemplo en los clásicos problemas de llenado y vaciado
de tanques el modelo consiste en determinar porciones de llenado
o vaciado en la unidad de tiempo, al identificar este modelo el
estudiante puede resolver cualquier problema donde pueda aplicar
dicho modelo, en otras palabras viéndolo de esta forma, el
estudiante podrá enfrentar lo mismo el problema: "Dos
llaves abiertas a la vez pueden llenar un estanque en 5 horas y
una de ellas sola lo puede llenar en 8 horas. ¿En
qué tiempo puede llenar el estanque la otra llave?" que el
problema: "Pedro puede hacer un trabajo en 5 días y Juan
en 8 días. ¿En cuántos días
podrán hacer el trabajo los dos juntos?". Ya que si el
estudiante identifica el modelo, esto es identificar un resultado
en una unidad de tiempo, logra una generalización por
cambio del problema.
Lo mismo podemos decir de los problemas que obedecen a
la regla de tres, una vez que el estudiante aprende este modelo
lo debe generalizar y ser capaz de resolver los problemas que
obedecen a este modelo mediante una generalización por
cambio del problema. En este caso se puede considerar la regla de
tres inversa como una variación mediata del
problema.
Un modelo más complejo, pero donde se da la misma
situación es el caso de la derivada como modelo para los
fenómenos de variación instantánea, esto es
la variación instantánea de la carga
eléctrica representa la intensidad de la corriente
, de la misma
forma la variación de la masa de una barra en un punto, es
la densidad lineal
de la barra en un punto 
al igual que la velocidad
instantánea y la tangente a la curva en un punto. Si se
logra que el estudiante generalice la derivada como el modelo que
le permite estudiar los diferentes problemas que existen de
variación instantánea, se evitará que el
mismo tenga que aprender cada uno de los problemas de este tipo
como problemas diferentes, independientes los unos de los
otros.
Insistimos de nuevo que la generalización en
cualquiera de sus niveles, depende de la identificación de
características esenciales del fenómeno que se
generaliza.
La modelación matemática es usualmente
descrita como el proceso mediante el cual se concibe una
situación o problema real mediante el lenguaje de la
Matemática.
Al analizar procesos
complejos en los cuales resulta difícil observar y
esclarecer las relaciones causales y las leyes principales debido
a la existencia de toda una serie de relaciones y dependencias
complementarias, se hace necesario separar las relaciones
principales de las secundarias. Así, un modelo es una
representación simplificada del objeto o proceso que se
analiza, teniendo presente que refleja sólo algunas
características que son esenciales en el fenómeno
en cuestión, desde el punto de vista del investigador,
obviando las que desempeñan un papel secundario. Fuentes H.
(2001). Esta separación de las características
esenciales de las que no lo son y su representación
matemática, es una actividad cognoscitiva compleja que
necesita ser entrenada; Una vez establecido el modelo, su estudio
permite identificar las relaciones causales y las leyes que rigen
el fenómeno, estas leyes son en sí mismas
generalizaciones de gran complejidad.
Para lograr estas generalizaciones a través de un
modelo, se requiere de los niveles anteriores de
generalización, el primer nivel es necesario en la
representación del modelo, ya que en el modelo siempre
existe una representación singular de lo general, el
tercer y cuarto nivel en la identificación del modelo y el
segundo en el estudio del modelo.
Lograr que el estudiante llegue a crear modelos
realmente nuevos, no variaciones a modelos conocidos, es una
tarea pedagógica compleja y se logra a través del
entrenamiento del estudiante en los diferentes niveles de
generalización. Pero para lograr que no sólo los
alumnos más aventajados lleguen a modelar, se requiere que
se trabaje con esta perspectiva en más de una asignatura,
pues se aprende Matemática haciendo Matemática, y
modelar es una de las actividades características de la
Matemática, aunque es una habilidad muy necesaria para un
profesional de las ciencias técnicas.
CONCLUSIONES:
Como vemos, está claro que no podemos esperar que
el estudiante desarrolle su pensamiento teórico, como un
resultado inherente a su actividad docente; es necesario prestar
la atención que tal desarrollo merece, lo que implica
diseñar conjuntos de
actividades con la graduación requerida para que el
estudiante pueda transitar por los diferentes niveles de
generalización sin saltos, que provoquen su desconcierto y
se sientan incapaces de poder solucionar la tarea asignada de una
forma razonada; pues no resolvemos gran cosa si compulsamos al
estudiante a mecanizar y memorizar procesos para aparentar que lo
sabe.
El desglose de la generalización en sus
diferentes niveles establece las bases necesarias, para llevar a
cabo la tarea planteada en el párrafo anterior, con lo que
podemos contribuir de forma efectiva al desarrollo y
consolidación del pensamiento teórico del
estudiante.
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Datos del autor:
El Dr. Ramón
Blanco Sánchez es Investigador y Profesor Titular del
dpto. de Matemática de la Universidad de Camaguey,
Cuba.
Se graduó de Lic. En Matemática en 1972,
en la Universidad Central de las Villas, Sta. Clara, Cuba, cuenta
con más de 30 años de experiencia en la
enseñanza de la Matemática, fundamentalmente en
ciencias técnicas, aunque obviamente a investigado el
proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática en
las enseñanzas precedentes.
Ha trabajado como profesor invitado en universidades de
México, Rep. Dominicana y en diferentes universidades
cubanas.
En 1998 defendió su tesis doctoral
titulada: Subsistema didáctico para la enseñanza de
la Matemática en ciencias técnicas fundamentado en
el proceso de asimilación y la teoría del
conocimiento. Desde entonces a continuado sus investigaciones
en el estudio de las interacciones que se manifiestan entre el
desarrollo de las posibilidades cognoscitivas de los estudiantes
y el proceso enseñanza aprendizaje de la
Matemática.
Autor:
Dr. Ramón Blanco Sánchez
Prof. Titular.
Universidad de Camaguey.
Camaguey. Cuba.
Institución:
Universidad de Camaguey, Cuba.
4 de Junio de 2007
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