Medidas de tendencia central – Estadística Económica (página 2)

1.2.-La Media
Aritmética ():

La medida de tendencia central más ampliamente
usada es la media aritmética, usualmente abreviada como
la media y denotada por 
(léase como "X barra").

• La media aritmética para datos no
  agrupados

Si se dispone de un conjunto de n números,
tales como X1, X2,
X3,…,Xn, la media
aritmética de este conjunto de datos se define como "la
suma de los valores
de los ni números , divididos entre n", lo
que usando los símbolos explicados anteriormente , puede
escribirse como:

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes
universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 27,34 y 25.,
para calcular la media aritmética (promedio de las
edades, se tiene que:

• La media aritmética para datos
  agrupados

Si los datos se presentan en una tabla de distribución de frecuencias, no es
posible conocer los valores
individuales de cada una de las observaciones, pero si las
categorías en las cuales se hallan. Para poder
calcular la media, se supondrá que dentro de cada
categoría, las observaciones se distribuyen
uniformemente dentro alrededor del punto medio de la clase, por
lo tanto puede considerarse que todas las observaciones dentro
de la clase ocurren en el punto medio, por lo expuesto la media
aritmética para datos agrupados puede definirse de la
siguiente manera:

Si en una tabla de distribución de frecuencia,
con r clases, los puntos medio son: X1,
X2, X3,…,Xn; y las
respectivas frecuencias son f1, f2,
f3, … , fn, la media
aritmética se calcula de la siguiente manera:

donde: N = número total de observaciones, por
tanto Σfi puede simplificarse y
escribirse como N ( N= Σfi
)

Ejemplo:

Si se toman los datos del ejemplo resuelto al
construir la tabla de distribución de frecuencia de las
cuentas por
cobrar de Cabrera’s y Asociados que fueron los
siguientes:

Clases 1 2 3 4 5 6

Puntos Medios
(Xi) 14,628 29,043 43.458 57,873 72.288
86.703

Frecuencias (fi) 10 4 5 3 3
5

Al calcular la cuenta promedio por cobrar (media
aritmética) de estos datos se tiene lo
siguiente:

• Media aritmética
  ponderada

Por otro lado, si al promediar los datos estos tienen
diferentes pesos, entonces estamos ante un caso de media
aritmética ponderada, que puede definirse de la
siguiente manera

Definición:

Sea dado un conjunto de observaciones, tales como
X1, X2; X3; … ;
Xn; y un conjunto de valores p1,
p2; p3; … ; pn;
asociado con cada observación Xi
respectivamente, que reciben el nombre de factores de
ponderación, entonces la media ponderada se calcula
como:

Ejemplo:

En el curso de estadística del Prof. Cabrera la nota
semestral se calcula como una media ponderada. Por cuanto que
el promedio de laboratorios representa el 30% de la nota
semestral. El promedio de ejercicios parciales representa el
30% y el examen semestral el restante 40%.

Si obtiene en este curso los siguientes promedios
al final del semestre: laboratorios 90 pts. Parciales 75% pts.
Y en el examen semestral 70 pts.; el promedio semestral se
calcula de la siguiente forma.:

La nota semestral de 77.5 corresponde a
"C".

• Propiedades de la media
  aritmética

• Puede ser calculada en distribuciones con escala
  relativa y de intervalos
• .Todos los valores son incluidos en el
  cómputo de la media.
• Una serie de datos solo tiene una
  media.
• Es una medida muy útil para comparar dos o
  más poblaciones
• Es la única medida de tendencia central
  donde la suma de las desviaciones de cada valor
  respecto a la media es igual a cero.
• Por lo tanto podemos considerar a la media como el
  punto de balance de una serie de datos.

• Desventajas de la media
  aritmética

• Si alguno de los valores es extremadamente grande o
  extremadamente pequeño, la media no es el promedio
  apropiado para representar la serie de datos.
• No se puede determinar si en una
  distribución de frecuencias hay intervalos de clase
  abiertos.

1.3.- La Mediana
(X0.5):

Cuando una serie de datos contiene uno o dos valores
muy grandes o muy pequeños, la media aritmética
no es representativa. El valor central en tales problemas
puede ser mejor descrito usando una medida de tendencia central
llamada mediana., y denotada por
X0.5

La mediana es una medida de posición y se
define como la posición central en el arreglo ordenado
de la siguiente manera:

Dado un conjunto de números agrupados en orden
creciente de magnitud, la mediana es el número colocado
en el centro del arreglo, de tal forma que una mitad de las
observaciones está por encima y la otra por debajo de
dicho valor. Si el número de observaciones es par, la
mediana es la media de los dos valores que se hallan en el
medio del arreglo, de donde se concluye en la siguiente
definición:

Mediana. Es el punto medio de los
valores de una serie de datos después de haber sido
ordenados de acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes
que la mediana como posteriores en el arreglo de
datos

• La Mediana para datos no
  agrupados.

Sea X1, X2; X3;
… ; Xn; una sucesión de datos, la
mediana denotada por X0.5 se calcula de la siguiente
manera:

X0.5 = X (n+1)/2 si n es
par

Xn/2 +
X(n/2)+1

X0.5= ———————- si n es
impar

2

Nota: El resultado obtenido en la formula
corresponde al número de la observación en el
arreglo, por tanto debe reemplazarse por el valor de dicha
variable en el arreglo.

Ejemplo: (n es impar)

Se tienen las edades de cinco estudiantes
universitarios de I año, a saber: 18,23,25.27 y 35.
Obsérvese que los datos deben estar ordenados en un
arreglo ascendente o descendente.

Por cuanto que el número de datos es cinco
(n=5) y es impar, entonces

X0.5 =
Xn+1/2 = X(5+1)/2 = X6/2 =
X3 = 25 años

Nota: obsérvese que se obtuvo el
número de la variable mediana (X3) que en el
arreglo de edades ordenado en forma ascendente corresponde a 25
años (X3=25)

Continuación del ejemplo…(n es
par)

Si el número de estudiantes hubiere sido
par, suponga que se adiciona un estudiante con 31 años,
entonces el arreglo ascendente consecuente sería 18, 23,
25, 27, 31 y 35, entonces la mediana se calcula
asi:

• La mediana para datos
  agrupados

Si se tiene una distribución de frecuencias,
la mediana es igualmente ese valor que tiene 50% de las
observaciones por debajo y 50 % por encima.
Geométricamente, la mediana es el valor de X sobre el
eje de las abscisas correspondiente a la ordenada que divide un
histograma en dos partes de igual área.

Para hallar el valor de la mediana, en el caso de
datos agrupados debe encontrarse primero la clase mediana, la
que se define como la clase más baja para la cual la
frecuencia acumulada excede N/2 (siendo N=Σfi
). Encontrada esta clase, la siguiente formula servirá
para hallar el valor de la mediana

N/2 –
fa

X0.5 = Li +
————- ( C )

fi

donde:

L = límite inferior de la clase
mediana.

N = frecuencia total o
Σfi.

fa = frecuencia absoluta acumulada hasta la
clase premediana

fi = frecuencia absoluta de la clase
mediana

C = amplitud de la clase
mediana.

Ejemplo:

Si se toman los datos obtenidos del ejemplo
resuelto al construir la tabla de distribución de
frecuencias de las cuentas por
cobrar de la tienda Cabrera’s y Asociados que
fueron las siguientes

Si se desea calcular la mediana, es necesario
primero encontrar la clase mediana, que será aquella que
en teoría contenga el dato N/2 = 30/2 = 15,
que corresponde con la tercera clase por cuanto que la
frecuencia acumulada (fa) hasta esa clase es 19, luego
entonces:

Respuesta: La mediana de cuentas por cobrar es
B/.39.133

• Propiedades de la mediana

• Hay solo una mediana en una serie de
  datos.
• No es afectada por los valores extremos ( altos o
  bajos )
• Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia
  con intervalos abiertos, si no se encuentra en el intervalo
  abierto.
• Puede ser calculada en distribuciones con escala
  relativa, de intervalos, y ordinal.

1.3.-
La Moda
(Mo.):

A veces es importante conocer cuál es el valor
que más prevalece en el conjunto de datos. El valor
que ocurre con más frecuencia se le conoce como
moda. La moda es la medida de tendencia central
especialmente útil para describir mediciones de tipo
ordinal, de intervalos y nominal.

En un conjunto de números la moda se
define como el valor ó número que ocurre con
más frecuencia

Ejemplo:

En el siguiente conjunto de números 1, 5,
5, 9, 12, 12, 12, 14. La moda es igual a 12, por cuanto que es
el número que más se repite (tres
veces)

• La Moda para datos agrupados
  (Mo.):

La Moda puede deducirse de una distribución de
frecuencia o de un histograma a partir de la
fórmula.

Mo. = Li + [ (
∆1 / ∆1+∆2 ) ]
C

Donde;

Li = límite inferior de la
clase modal (clase de mayor frecuencia absoluta
(fa)

∆1 = diferencia de las
frecuencias absolutas de la clase modal y
premodal.

∆2 = diferencia de las
frecuencias absolutas de la clase modal y
postmodal

C = amplitud de la clase
modal.

Ejemplo:

Para encontrar la moda es necesario, en primer
lugar, identificar la clase modal; que será aquella que
posea la mayor frecuencia absoluta. En el ejemplo de cuentas
por cobrar de Cabrera`s y Asociados la clase modal
será la primera, por cuanto que tiene la mayor
frecuencia absoluta.

A partir de esto se puede reemplazar en la formula
anterior los datos, a saber

:

Li =7.42 C=14.415 f1 = 10
(frecuencia absoluta de la clase modal)

f0 = 0 (frecuencia absoluta de la
clase premodal)

f2 = 4 (frecuencia absoluta de la
clase postmodal)

∆1 = 10–0 =
10 ∆2 = 10-4 = 6

Mo. = 7.42 + [ (10/10+6) 14.415 ] = 7.42 + [
(10/16) 14.415] =

= 7.42 + [ 0.625 (14.415) ] = 7.42 + 9.01 =
16.53

• Propiedades de la moda
• • La moda se puede determinar en todos los tipos de
    mediciones (nominal, ordinal, de intervalos, y
    relativa).
  • La moda tiene la ventaja de no ser afectada por
    valores extremos.
  • Al igual que la mediana, puede ser calculada en
    distribuciones con intervalos abiertos.
• Desventajas de la moda

• En muchas series de datos no hay moda porque
  ningún valor aparece más de una
  vez.
• En algunas series de datos hay más de una
  moda, en este caso uno podría preguntarse ¿cual
  es el valor representativo de la serie de datos?

1-4—Relación empírica entre la
media, la mediana y la moda

En distribuciones totalmente simétricas, la
media, la mediana y la moda coinciden, localizándose en un
mismo valor. En cambio, en
distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente
relación se mantiene aproximadamente:

Media – Moda = 3(Media
– Mediana

Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda
para curvas de frecuencias asimétricas a derecha e
izquierda respectivamente, para curvas simétricas los tres
valores coinciden

1.5.- La Media Armónica
(a):

La Media Armónica, la representaremos como
a, es la inversa de la media
aritmética de las inversas de los valores de la variable,
responde a la siguiente definición:

Si se tiene un conjunto de observaciones tales como:
X1, X2, … . Xn; la
media armónica, denotada por a, se
define como el reciproco de la suma de los valores inversos de
la variable estadística divididos entre el número
total de datos y se calcula con la siguiente
fórmula

Se utiliza para promediar velocidades, tiempos,
rendimiento, etc. (cuando influyen los valores pequeños).
Su problema: cuando algún valor de la variable es ó
próximo a cero no se puede calcular

Ejemplo:

Un.automóvil que hace viajes de
ida y vuelta entre las ciudades A y B, realiza el viaje entre A
y B a razón de 80 Km por hora y el viaje entre B y A a
120 Km por hora, La velocidad
promedio del viaje de ida y vuelta será
de

a = (1/80 +
1/120)/2 = [(120+80)9600]/2 = 19200/200 = 96
km/h

• Propiedades de la media
  armónica

• La media armónica se basa en todas las
  observaciones por lo que está afectada por todos los
  valores de la variable. Da a los valores extremadamente
  grandes un peso menor que el que les da la media
  geométrica, mientras que a los valores pequeños
  les da un peso mayor que el que les da tanto la media
  aritmética como la media
  geométrica.
• La media armónica esta indeterminada si
  alguno de los valores es cero, pues hallar el
  recíproco de cero implica dividir entre cero, lo cual
  no es válido. La media armónica está
  rígidamente definida y siempre es definitiva, excepto
  cuando uno de los valores es cero.
• La media armónica es el promedio que se ha
  de usar, cuando lo que se va a promediar son proporciones
  donde los numeradores de las razones son los mismos para
  todas las proporciones.
• La media armónica se presta a manipulaciones
  algebraicas posteriores

1.6.-La
Media Geométrica(g):

Se define como la raíz de índice de la
frecuencia total cuyo radicando es el producto
de las potencias de cada valor de la variable elevado a sus
respectivas frecuencias absolutas, se denota por
g; suele
utilizarse cuando los valores de la variable siguen una
progresión geométrica. También para
promediar porcentajes, tasas, nº índices, etc.
siempre que nos vengan dados en porcentajes y se calcula
mediante la siguiente fórmula

g =
n√(X1 * X2 * … *
Xn

Fórmula que algunas veces es conveniente
expresarla en forma logarítmica. El logaritmo de
la media geométrica es la media aritmética de
los logaritmos de los valores de la variable. El
problema se presenta cuando algún valor es 0 ó
negativo y exponente de la raíz par ya que no exista
raíz par de un número negativo, entonces la
fórmula anterior se presenta de la siguiente
manera:

log Xg = 1/N (log
X1 + log X2 + … + log
Xn)

Ejemplo;

Encontrar la media de los siguientes números
2, 4, 8. obsérvese que entre ellos existe una
razón o proporción constante, cada uno de ellos
es el doble del anterior, por tanto la media a utilizar es la
media geométrica, de la siguiente manera

g =
3√ (2) (4) (8) = 3√ 64 =
4

Respuesta: la media geométrica de los
datos es 4

• Propiedades de la media geométrica
  (g)

• La media geométrica esta basada en todas las
  observaciones, por lo que está afectada por todos los
  valores de la variable. Sin embargo, da menos pesos a los
  valores extremadamente grandes que el que les da la media
  aritmética.
• La media geométrica es igual a cero si
  algunos de los valores es cero, y se puede volver imaginaria
  si ocurren valores negativos. Con la excepción de
  estos dos casos, su valor siempre es definitivo y está
  rígidamente definido.
• La media geométrica es la que se debe
  utilizar cuando lo que se va a promediar son tasas de cambios
  o proporciones, y se intenta dar igual peso a tasas de
  cambios iguales.

LABORATORIO

(Resolver y entregar en grupos de tres
estudiantes, equivalen a nota de un parcial)

Problema #1:

Una guardería es una institución elegible
para recibir un subsidio destinado a los servicios
sociales del corregimiento, a condición de que la edad
promedio de sus niños
no llegue a 9 años. Si los datos siguientes representan la
edad de todos los niños que actualmente asisten a
ella:

1. ¿Llena el requisito para recibir el
   subsidio?

   14,500 15,600 12,500 8.000 7,800

   6,500 5,900 10,200 8,800 14,300

   13,900

2. La guardería del ejemplo anterior puede
   continuar siendo subvencionada por la oficina de
   servicios sociales de la Junta Comunal, mientras el ingreso
   anual promedio de la familia
   cuyos asisten a esa institución no llegue a
   B/.12,500.00. El ingreso familiar de los padres de los
   niños es;
3. ¿Llena esta institución los requisitos
   para recibir apoyo financiero de la Junta Comunal del
   Corregimiento?
4. Si la respuesta a (c) es negativa,
   ¿cuánto debe disminuir el ingreso familiar para
   cumplir esa condición?
5. Si la respuesta a (c) es afirmativa,
   ¿cuánto puede aumentar el ingreso familiar
   promedio, sin que la institución pierda su elegibilidad
   para recibir el subsidio?

Problema #2:

Una granja ganadera registro durante
febrero el nacimiento de 29 terneros, cuyos pesos al nacer (en
kilogramos) fue el siguiente:

Los datos anteriores al ser dispuestos en una tabla de
distribución de frecuencias se obtuvo la siguiente tabla
resultante.

Calcule en las dos variantes (datos no agrupados y datos
agrupados) la media aritmética, la mediana y la
moda.

Problema #3:

El peso en kilogramos de un grupo de
estudiantes del sexo masculino
en un curso de educación
física, son los siguientes:

Encuentre la media, la mediana y la Moda. Compare los
resultados utilizando la fórmula señalada
anteriormente en el texto relativa
a la correspondencia entre estas tres medidas de tendencia
central.

Problema #4:

Un profesor ha
decidido utilizar un promedio ponderado al calcular las
calificaciones finales de los estudiantes que asistieron a su
seminario. El
promedio de las tareas hechas en casa representan el 20% de cada
calificación, el examen parcial, 25%; el examen final,
35%; el examen trimestral, 10% y los problemas de practica, 10%.
Con los datos anexos calcule el promedio final de los cinco
estudiantes que asistieron al seminario

Problema #5:

En 1996 se invirtió un fondo de B7.30,000.00 y
durante diez años se reinvirtieron todos los intereses y
dividendos. Al final de los diez años el valor total del
fondo era de B7.49,783.64 ¿Cuál fue la tasa de
rendimiento promedio, computada anualmente sobre la inversión inicial?

Problema #6:

Los siguientes tres automóviles obtuvieron el
kilometraje por litro de gasolina que se indica abajo,
después de cubrir un trayecto de 600 km, en una pista de
prueba. ¿Cuál es el promedio de kilómetros
por litros para los tres automóviles?.

Problema #7:

Suponga que cada uno de los tres
automóviles del problema #6 tenía 10 litros de
gasolina en el tanque. Los autos fueron
rodados hasta que se le acabó la gasolina y los
kilómetros por litro fueron los mismos señalados en
el problema anterior. ¿Cuál es el número
promedio de kilómetros para los tres automóviles?.
Compare esta respuesta con los que se obtuvieron en el problema
#6.

Problemas de práctica de
sumatorias

I. Si x1=4; x2=8;
x3=10; x4=12; x5=15;
x6=5; x7=4; x8=14;
x9=16 lleva a cabo las siguientes
operaciones

II. Dado que

x1=4; x2=6; x3=-5;
x4=1;

y1=2; y2=3; y3=5;
y4=7;

z1=3; z2=8; z39;
z4=10

Halla

Respuestas

I.-

  1) 22

2) 49

3) 179

4) 73

5) 7(88) = 616

6) 12

II-.

1) 30

2) 23

3) 6 + 17 = 23

4) 5(47) = 235

5) 17 + 30 = 47

6) 53

7) 5(8) = 40

8) 1(10) = 10

Autor:

Francisco Antonio Cabrera
González

f_cabrera51[arroba]hotmail.com

Graduado en mayo de 1980 de Economista-Organizador de la
Producción Agrícola y Master en
Ciencias
Económicas en la Academia Agrícola K. A. Timiriazev
de Moscú –Rusia.

Profesor de la Universidad de
Panamá
desde 1981. Ha ejercido la docencia
universitaria en los Centros Regionales de Azuero
(Chitré), Los Santos, Veraguas, Coclé y San
Miguelito. Catedratico (Profesor Regular) desde 1991 del
Departamento de Estadística Económica y Social de
la Facultad de Economía.

En su vida universitaria, como docente, ha sido
representante de los profesores del CRU-Azuero (Chitré)
ante el Consejo General Universitario -CGU (1990-1992),
Vicepresidente de la Asociación de Profesores de la
Universidad de Panamá –APUDEP (1991-1993),
Presidente de la APUDEP (1993-1995), Director del Centro Regional
Universitario de San Miguelito –CRUSAM (1995-2000) y en la
actualidad es docente investigador de la Universidad de
Panamá.

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE SAN
MIGUELITO

FACULTAD DE ECONOMÍA

DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA ECONÓMICO Y
SOCIAL

Curso: Est.115 : "Estadística Económica
I".