- John Forbes
Nash - Juegos
- Para que
la teoría de juegos - Origen
- Equilibrio
Nash - Importancia y
límites del equilibrio Nash - Equilibrio Nash
ante condiciones restrictivas - Equilibrio Nash y
óptimo - Juego
competitivo - Juego
de coordinación - Dilema del
prisionero - Matriz de
pagos del dilema del prisionero - Gallina
- Juego
de confianza - Resultados
de los juegos - Juegos
NxM - Conclusión
- Anexos
- Bibliografía
Introducción:
En la vida cotidiana se presentan muy a menudo
fenómenos o situaciones que involucran a dos o más
partes con intereses diferentes y con la posibilidad de llevar a
cabo diversas acciones para
lograr su objetivo. Este
tipo de situaciones se llaman situaciones conflictivas o, para
abreviar más, conflictos. Un
conflicto
típico se caracteriza por tres componentes
básicos:
• Partes interesadas
• Decisiones posibles
• Intereses de las partes
Las situaciones conflictivas extraídas de la vida
cotidiana suelen ser bastante difíciles de analizar por su
complejidad. A esto hay que añadir diversos factores,
aunque haya alguna parte de ellos que ni influya en el desarrollo del
conflicto ni en el resultado. Por eso, para analizar estos
conflictos es necesario olvidarse de estos factores secundarios,
de manera que si las condiciones son óptimas se pueda
construir un modelo normal
y simplificado. Dicho modelo se suele denominar juego. Este
concepto se
diferencia del conflicto en que se desarrolla de acuerdo a unas
reglas definidas de manera total.
La necesidad de estudiar conflictos susceptibles de ser
representados con modelos
matemáticos simples (juegos) ha
dado lugar a un aparato matemático llamado teoría de
juegos. Vamos a enunciar algunos conceptos básicos
utilizados por esta teoría.
John
Forbes Nash (1928 – )
Matemático estadounidense. En el colegio no
destacó por su brillantez intelectual sino más bien
por su torpeza en las relaciones sociales. En un principio iba a
estudiar Ingeniería Química, pero su gran
capacidad para las matemáticas hizo que se decantara por esta
área.
A los 20 años pidió ser admitido en la
Universidad de
Princeton donde por aquel entonces estudiaban personalidades como
Einstein o el propio Von Neumann.
Allí elaboró grandes postulados matemáticos
no sólo en la teoría de juegos sino también
en topología y geometría algebraica.
En 1955 se le diagnostica una enfermedad llamada
esquizofrenia
paranoica consistente en delirios, alucinaciones y conductas
inhabituales. Sus delirios se centrarían en mensajes
cifrados y conspiraciones. En 1959 viajó a Europa para pedir
asilo político ya que pensaba que era perseguido por los
comunistas. Durante los años siguientes permaneció
ingresado en hospitales por periodos de cinco a ocho meses.
Jamás pudo curarse de su enfermedad, lo que le
costó, entre otras cosas, su matrimonio.
Al igual que Von Neumann, Nash destacó desde un
principio en la teoría de juegos. A los 21 años
escribió una disertación de 27 páginas en la
que expuso por primera vez la solución para juegos
estratégicos no-cooperativos utilizando dos teoremas
emergentes en aquella época: el teorema del punto fijo de
Kakutani y el teorema del punto fijo de Brouwer ya que, en
realidad, el punto de
equilibrio que encontró Nash no es otra cosa que un
"punto fijo". Esta disertación pasaría a ser su
tesis doctoral
que en un principio la iba a dirigir el mismo John Von Neumann,
pero éste se negó en rotundo al considerarlo una
trivialidad.
Sin embargo, el término de equilibrio
Nash no llega hasta 1950. Ese mismo año publica la
Solución de Negociaciones de Nash y en 1951 publicó
el Programa de
Nash en el que reducía los juegos cooperativos a un marco
no-cooperativo.
Gracias a sus avances en la teoría de juegos fue
miembro de la RAND, una institución dedicada a la investigación estratégica que en ese
momento reclutaban talentos para la aplicación de la
teoría de juegos a las circunstancias
mundiales.
Toda esta labor en la teoría de juegos le
valió el reconocimiento en 1994 con la concesión
del Premio Nobel de Economía por algo que
el mismo Nash definió como "mi trabajo
más trivial".
El punto de equilibrio Nash es un conjunto de estrategias, una
para cada jugador, que presentan la característica de que
ningún jugador está incentivado para cambiar
unilateralmente su decisión. Los jugadores están en
equilibrio si un cambio de
estrategia
decidido por un jugador, conduciría a que ese jugador
ganase menos que si mantuviera la estrategia.
En otras palabras, es una situación en la que
ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de
estrategia ya que cualquier cambio implicaría una
disminución en sus pagos.
Entre los trabajos publicados por John Forbes Nash se
destacan:
"Equilibrium points in N-Person Games", 1950,
Proceedings of NAS.
"The Bargaining Problem", 1950, Econometrica.
"A Simple Three-Person Poker Game",
en colaboración con L.S. Shapley, 1950, Annals of
Mathematical Statistics.
"Non-Cooperative Games", 1951, Annals of
Mathematics.
"Two-Person Cooperative Games", 1953,
Econometrica.
La teoría de los juegos es una rama de la
matemática
con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que
analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones
en un marco de incentivos
formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan
maximizar su utilidad
eligiendo determinados cursos de acción.
La utilidad final obtenida por cada individuo
depende de los cursos de acción escogidos por el resto de
los individuos.
La teoría de juegos es una herramienta que ayuda
a analizar problemas de
optimización interactiva. La teoría de juegos tiene
muchas aplicaciones en las ciencias
sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por
la teoría de juegos implican conflictos de intereses,
estrategias y trampas. De particular interés
son las situaciones en las que se puede obtener un resultado
mejor cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los
agentes intentan maximizar sólo su utilidad.
La teoría de juegos fue ideada en primer lugar
por John von Neumann. Luego, John Forbes Nash, A.W. Tucker y
otros hicieron grandes contribuciones a la teoría de
juegos.
Juegos
Se denomina juego a la situación interactiva
especificada por el conjunto de participantes, los posibles
cursos de acción que puede seguir cada participante, y el
conjunto de utilidades.
Las situaciones de conflicto reales conducen a una gran
diversidad de juegos. En la actualidad no existe ninguna
clasificación universal de los juegos, aunque éstos
se diferencian por diversos criterios como: número de
participantes, número de estrategias, relación
entre los jugadores, tipo de pago, número de movimientos,
cantidad de información que posee cada jugador. Vamos a
analizar sin entrar en muchos detalles estas
diferencias.
* Número de jugadores. Dependiendo del
número de jugadores se definen tres tipos: juegos de un
jugador (sin consideración en teoría de juegos),
juegos de dos jugadores (la más estudiada) y juegos
n-personales con un proceso de
simulación y resolución muy
dificultoso.
* Número de estrategias. Los juegos se dividen en
juegos finitos en los que cada jugador tiene un número
finito de estrategias, y juegos infinitos en los que al menos un
jugador posee infinitas estrategias.
* Relación entre los jugadores. Se clasifican en
juegos sin coaliciones en los que los jugadores no pueden firmar
ni acuerdos ni coaliciones, juegos con coaliciones y juegos
cooperativos en los cuales los acuerdos se firman con
anterioridad y deben ser respetados obligatoriamente.
* Tipo de pago. Se distinguen los juegos de suma cero en
el que el beneficio de un jugador implica la pérdida en
misma cantidad de otro y juegos de suma no nula.
* Número de movimientos. Los juegos se dividen en
juegos de un paso que terminan cuando cada jugador realiza un
movimiento, y
juegos multipasos los cuales también se dividen en juegos
de posición (cada jugador puede realizar más de un
movimiento en el tiempo, juegos
estocásticos (al elegir una nueva posición existe
probabilidad
de volver a la anterior), juegos de tipo duelo ( se caracterizan
por el instante en el cual se hace el movimiento y por la
probabilidad de obtener un pago dependiendo del tiempo
transcurrido), …
* Información disponible. Los juegos se
clasifican en juegos de información completa en los que
cada jugador conoce los movimientos hechos por los demás,
y juegos de información incompleta en los que no se
conocen todas las jugadas anteriores.
Página siguiente  |