Relación precipitación-escurrimiento (página 2)

Disponibilidad de los datos.

Para la realización de este trabajo fue
posible contar con datos de la serie de caudales mensuales
(1965-2001) de la estación hidrométrica Paso
Ventura ubicada en el río Zaza (N: 256 400; E: 663 800),
provincia de Sancti Spíritus y las series mensuales de
lluvia (1965-2001) de los equipos pluviométricos ubicados
en la cuenca hidrográfica del río Zaza, (figura 1).
Estos datos fueron suministrados por el Departamento de
Protección de Cuencas y Agua del INRH
de Sancti Spíritus.

De todos los pluviómetros con que se contaba era
necesario escoger uno de ellos como representativo de la cuenca
del río Zaza con cierre en la Estación
Hidrométrica Paso Ventura. En Guía para la acción
frente a la sequía (INRH-CENHICA), se plantea que en
Cuba los
factores fisiográficos tales como la forma de la cuenca,
altitud media sobre el nivel del mar, topografía, suelos, etc.
determinan las características del escurrimiento
superficial y en general de su red fluvial, los cuales
están relacionados directamente con el comportamiento
de las lluvias como su única fuente de alimentación.
Teniendo en cuenta estos factores fisiográficos generales
y otros de carácter estadísticos se
determinaron los criterios fundamentales para establecer de todos
los equipos cual sería el pluviómetro
representativo de la cuenca con cierre en la Estación
Hidrométrica Paso Ventura:

1. Encontrarse preferentemente en el centro de la cuenca
   con cierre en la Estación Hidrométrica Paso
   Ventura;
2. Presentar en su ubicación espacial
   características físico-geográficas
   similares al resto de la cuenca;
3. Tener certeza de la calidad de las
   observaciones y;
4. Que la serie de datos registrada en el
   pluviómetro mantuviera una buena correlación (r
   > 0,7) con los otros pluviómetros que se encuentran
   dentro de la cuenca o cerca de la misma.
5. Otras

Estos resultados fueron comprobados con algunas investigaciones
hidrológicas, donde se solicitaban el pluviómetro
representativo de cuencas relacionadas con la
estudiada.

Cuando se analizaron los criterios antes expuestos se
concluyó que el pluviómetro 422 ubicado en la
localidad Hortelano (N: 252 200; E: 654 200), (figura 1),
cumplía con los requisitos planteados y por lo tanto
sería el escogido como representativo de la cuenca.
Utilizando el software SPSS versión
8.0 obtuvimos el coeficiente de correlación de las
observaciones mensuales del pluviómetro 422 con las
observaciones mensuales de los pluviómetros que aparecen
en la siguiente Tabla 1:

Tabla 1. Equipos pluviométricos y sus coordenadas
planas de Lambert utilizados para obtener el coeficiente de
correlación de cada par de pluviómetro.

La correlación de cada par de pluviómetros
es altamente significativa, es importante notar que el
pluviómetro 422 esta más correlacionado con los
pluviómetros 502, 765 y 768. Apoyándonos en este
criterio y en los criterios fisiográficos ya analizados a
partir de una regresión
lineal múltiple, obtuvimos los modelos para
completar el 6 % de datos mensuales faltantes del
pluviómetro 422; de los modelos obtenidos el construido a
partir de los datos mensuales de los pluviómetros 502 y
768 fue el de mejores resultados: ya que su coeficiente de
determinación R2 ajustado está
más próximo a 1 y además presenta el menor
error estándar de las estimaciones.

Metodología utilizada.

En una primera aproximación puede suponerse una
relación lineal entre la excitación a que se ve
sometida una cuenca, representada por las precipitaciones, y su
respuesta apreciable en la serie de caudales, o mejor aún
la precipitación efectiva. Designando a
Pv,t y
Qv,t la
precipitación total y la efectiva del año
v en el mes t sobre la
cuenca de interés;
ellas corresponden a las series temporales que representan los
recursos
meteorológicos e hidrológicos respectivamente. Con
el objetivo de
remover la periodicidad, ambas series pueden ser estandarizadas
periódicamente mediante las expresiones:

Donde: v = 1,2,………..N; t = 1,2,………….12, siendo
N el número de años de
interés, t un índice del
mes, mPt el
promedio y S2Pt la varianza de las
precipitaciones totales del mes t y
mQt
S2Qt el promedio y la varianza de las
precipitaciones efectivas de cada mes.

Como primera aproximación, la dependencia lineal
entre las variables
estandarizadas pueden representarse mediante un modelo de
función
de transferencia, FT de orden (r, S,
b) donde r es el número de
términos autorregresivos, S el de
términos de excitación y b el desfase
entre excitación y respuesta. De manera explícita
este modelo corresponde a:

donde e
t es el ruido del
sistema. Estos
modelos pueden escribirse en la forma de Box-Jenkins (1976),
como:

donde d
r(B) es un polinomio de grado
r en B,
WS(B) otro polinomio en B
de grado S y B es el operador de
retroceso, definido como .

Con el objetivo de visualizar los efectos de las
sequías meteorológicas, observables en la serie
Pv,t
, sobre las hidrológicas, representadas por
Qv,t es
conveniente utilizar la representación explícita
del modelo (3) para la variable
Yt:

La que se puede colocar como:

Siendo V(B) un polinomio en
B de orden infinito cuyos elementos corresponden a
la respuesta del sistema o una excitación de tipo impulso.
Los valores de
los coeficientes Vj están
relacionados con los parámetros d y W mediante un sistema de
ecuaciones
lineales.

Disponiendo del modelo de función de
transferencia y conocidos los valores de la
función respuesta impulso, (V0,
V1, V2, ………………) es
posible estimar cuantitativamente algunos efectos de
interés de las sequías meteorológicas sobre
las hidrológicas, como las que se analizan a
continuación.

a) Es de interés estimar el impacto de un
tipo de sequía sobre la otra a través de una medida
del déficit de recursos de agua superficial provocado por
un déficit en la precipitación. Para ello, se puede
centrar el interés sobre el efecto en la
precipitación efectiva de un déficit en las
precipitaciones totales ocurridas a partir del mes t durante n períodos
seguidos. Así la sequía meteorológica
corresponde a un escalón de tamaño a
y longitud n en la serie de precipitaciones totales
en relación con los valores medios. La
respuesta puede observarse k meses después,
también con relación al valor medio de
las correspondientes precipitaciones efectivas.

Las principales variables involucradas se muestran a
continuación:

Los valores de respuesta y excitación
están ligados directamente a través de la
expresión (5) la cual puede expresarse
explícitamente, aceptando que el valor esperado del ruido
es nulo, como la tradicional función de
convolución:

Esta relación puede transformarse en
términos de las precipitaciones efectivas y totales
utilizando la ecuación (1):

Que por comodidad puede expresarse como:

donde se aprecia que es conveniente utilizar las
precipitaciones totales y efectivas en términos reducidos,
usando para ello los valores medios mensuales:

;

Combinando estas relaciones en (8) se puede despejar
qv,t
como:

En la relación (10) las series q y
p son de promedio 1 y varianza
periódica. Una sequía meteorológica puede
quedar representada por uno o más valores de
p menos de 1. En particular
supóngase que p adopta los siguientes
valores:

Esto indica entonces una sequía de tamaño
a y duración n que ocurre a
partir del mes t . Interesa conocer el
efecto de ella sobre el caudal k meses
después, con k = 0, 1, 2 . . . .
Reemplazando t por t +k en la expresión (10) se
tiene:

Considerando que p es igual a
1 para t <
t y t ³ t + n
en el término de la suma es distinto a cero solo para
algunos valores, por lo tanto combinando (11) y (12) y eliminando
el índice v por comodidad se
tiene:

Donde
representa la respuesta k meses después a
una sequía de tamaño a y
duración n que comenzó en el mes
t . En particular, si n =
1 se tiene:

Esta expresión puede entenderse de la siguiente
manera. Si en un mes cualquiera t se
tiene una reducción de precipitaciones tal que solo se
dispone de una proporción a del valor medio
de ese mes, ello tendrá efecto sobre las precipitaciones
efectivas de manera que k meses después solo
se contará con una proporción del valor medio de
ella.

Tanto en (13) como en (14) queda claro que si a =
1 entonces q = 1. Es decir que si se
mantienen los valores medios de precipitaciones entonces se
tendrán valores medios de caudales.

b) Retardo medio

También es de interés conocer el tiempo que
tardarán como promedio en notarse los efectos de las
sequías meteorológicas sobre el comportamiento de
los caudales. Esto queda reflejado en el retardo medio del
sistema, que se obtiene ponderando los retardos por los efectos
que se transmiten:

Donde G es la ganancia del sistema, es decir la
respuesta a una función escalón de la
excitación, calculable como Box-Jenkins (1976):

Como el polinomio de respuesta a la función
impulso, V(B) cumple con:

Entonces

Expresando V(B) en función de los
polinomios d (B) y
W(B) según la ecuación (4), derivando
y evaluando para B = 1 se obtiene:

Donde el apóstrofe indica la derivada del
polinomio respecto al factor de retroceso
B.

3.-
DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS.

Las variables a tratar representan el caudal medio
mensual medido en la Estación Hidrométrica Paso
Ventura y los valores mensuales de precipitaciones del
Pluviómetro 422, para ello utilizaremos el software SPSS
versión 8.0 debido a la facilidad y fiabilidad en la
obtención de los resultados.

A continuación se explicarán por pasos el
análisis realizado.

1. Los datos de caudales fueron llevados de
   m3/s a mm para trabajar con las mismas unidades por
   razones de comodidad.
2. Fijamos las variables de datación en
   años y meses.
3. Las series fueron centradas y estandarizadas
   según la ecuación (1) con el objetivo de
   eliminar la estacionalidad y atendiendo a la comodidad que
   esto representa para la aplicación de la metodología expuesta.

   

    

   Figura 2. Serie Zlluvia y sus correspondientes
   funciones de autocorrelación (ACF) y de
   autocorrelación parcial (PACF)

4. Ploteamos la serie Zlluvia y sus correspondientes
   funciones de
   autocorrelación (ACF) y de autocorrelación
   parcial (PACF), (figura 2). El gráfico de la serie
   evidencia la homogeneidad de varianzas. De aquí se
   demuestra también que la componente estacional ha sido
   separada y además se evidencia la necesidad de una
   componente autorregresiva. Observe en particular el hecho de
   contar con un "lags" o retardo de 16 con el objetivo
   de tener un mejor criterio de la estacionalidad.

   Arima

   MODEL: MOD_4

   Model Description:

   Variable: ZLLUVIA

   Regressors: NONE

   Non-seasonal differencing: 0

   No seasonal component in model.

   Parameters:

   AR1 ________ < value originating from estimation
   >

   95.00 percent confidence intervals will be
   generated.

   Split group number: 1 Series length: 432

   No missing data.

   Melard's algorithm will be used for
   estimation.

   Termination criteria:

   Parameter epsilon: .001

   Maximum Marquardt constant: 1.00E+09

   SSQ Percentage: .001

   Maximum number of iterations: 10

   Initial values:

   AR1 .11455

   Marquardt constant = .001

   Adjusted sum of squares = 419.35257

   Iteration History:

   Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt
   Constant

   1 419.34815 .00100000

   Conclusion of estimation phase.

   Estimation terminated at iteration number 2
   because:

   Sum of squares decreased by less than .001
   percent.

   FINAL PARAMETERS:

   Number of residuals 432

   Standard error .9863742

   Log likelihood -606.56159

   AIC 1215.1232

   SBC 1219.1916

   Analysis of Variance:

   DF Adj. Sum of Squares Residual Variance

   Residuals 431 419.34815 .97293406

   Variables in the Model:

   B SEB T-RATIO APPROX. PROB.

   AR1 .11782277 .04852263 2.4282024
   .01558220

   Covariance Matrix:

   AR1

   AR1 .00235445

   Correlation Matrix:

   AR1

   AR1 1.0000000

   The following new variables are being
   created:

   Name Label

   FIT_1 Fit for ZLLUVIA from ARIMA, MOD_4
   NOCON

   ERR_1 Error for ZLLUVIA from ARIMA, MOD_4
   NOCON

   LCL_1 95% LCL for ZLLUVIA from ARIMA, MOD_4
   NOCON

   UCL_1 95% UCL for ZLLUVIA from ARIMA, MOD_4
   NOCON

   SEP_1 SE of fit for ZLLUVIA from ARIMA, MOD_4
   NOCON

5. La parte autorregesiva, por lo tanto, es tratada por un
   modelo ARIMA (1,0,0) y comenzamos el análisis que
   aparece a continuación. Se puede observar que la
   componente autorregresiva es significativa.

    

   Figura 3. Residuales no
   autocorrelacionados por medio de ACF y PACF.

6. Se comprueban ahora que los residuales no están
   autocorrelacionados por medio de ACF y PACF (figura 3). Como
   se puede apreciar los errores no están correlacionados
   que es lo que queríamos obtener, además de
   considerar los resultados estadísticos de los modelos
   analizados; también se analizaron otros modelos
   autorregresivos de mayor orden pero el resultado no fue
   satisfactorio, se concluye por lo tanto, que la serie de
   Zlluvia bajo las condiciones impuestas, puede ser modelada
   ARIMA (1,0,0).

   

    

   Figura 4. Serie Zcaudal y sus
   correspondientes funciones de autocorrelación (ACF) y
   de autocorrelación parcial (PACF)

   Arima

   MODEL: MOD_15

   Model Description:

   Variable: ZCAUDAL

   Regressors: NONE

   Non-seasonal differencing: 0

   No seasonal component in model.

   Parameters:

   AR1 ________ < value originating from estimation
   >

   95.00 percent confidence intervals will be
   generated.

   Split group number: 1 Series length: 432

   No missing data.

   Melard's algorithm will be used for
   estimation.

   Termination criteria:

   Parameter epsilon: .001

   Maximum Marquardt constant: 1.00E+09

   SSQ Percentage: .001

   Maximum number of iterations: 10

   Initial values:

   AR1 .35716

   Marquardt constant = .001

   Adjusted sum of squares = 353.01131

   Iteration History:

   Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt
   Constant

   1 352.76417 .00100000

   Conclusion of estimation phase.

   Estimation terminated at iteration number 2
   because:

   Sum of squares decreased by less than .001
   percent.

   FINAL PARAMETERS:

   Number of residuals 432

   Standard error .90453222

   Log likelihood -569.21466

   AIC 1140.4293

   SBC 1144.4978

   Analysis of Variance:

   DF Adj. Sum of Squares Residual Variance

   Residuals 431 352.76417 .81817854

   Variables in the Model:

   B SEB T-RATIO APPROX. PROB.

   AR1 .38259668 .04634525 8.2553588
   .0000000

   Covariance Matrix:

   AR1

   AR1 .00214788

   Correlation Matrix:

   AR1

   AR1 1.0000000

   The following new variables are being
   created:

   Name Label

   FIT_4 Fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_15
   NOCON

   ERR_4 Error for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_15
   NOCON

   LCL_4 95% LCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_15
   NOCON

   UCL_4 95% UCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_15
   NOCON

   SEP_4 SE of fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_15
   NOCON

    

    

   Figura 5. Residuales no
   autocorrelacionados por medio de ACF y PACF.

7. Para la serie Zcaudal se repiten los pasos anteriores y
   los resultados son similares, (figuras 4 y 5).

   Arima

   MODEL: MOD_23

   Model Description:

   Variable: ZCAUDAL

   Regressors: ZLLUVIA

   Non-seasonal differencing: 0

   No seasonal component in model.

   Parameters:

   AR1 ________ < value originating from estimation
   >

   ZLLUVIA ________ < value originating from
   estimation >

   95.00 percent confidence intervals will be
   generated.

   Split group number: 1 Series length: 432

   No missing data.

   Melard's algorithm will be used for
   estimation.

   Termination criteria:

   Parameter epsilon: .001

   Maximum Marquardt constant: 1.00E+09

   SSQ Percentage: .001

   Maximum number of iterations: 10

   Initial values:

   AR1 .32459

   ZLLUVIA .48170

   Marquardt constant = .001

   Adjusted sum of squares = 252.64459

   Iteration History:

   Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt
   Constant

   1 252.40996 .00100000

   Conclusion of estimation phase.

   Estimation terminated at iteration number 2
   because:

   Sum of squares decreased by less than .001
   percent.

   FINAL PARAMETERS:

   Number of residuals 432

   Standard error .7660369

   Log likelihood -496.90942

   AIC 997.81885

   SBC 1005.9557

   Analysis of Variance:

   DF Adj. Sum of Squares Residual Variance

   Residuals 430 252.40775 .58681253

   Variables in the Model:

   B SEB T-RATIO APPROX. PROB.

   AR1 .35429678 .04491313 7.888490 .0000000

   ZLLUVIA .47696876 .03642283 13.095322
   .0000000

   Covariance Matrix:

   AR1

   AR1 .00201719

   Correlation Matrix:

   AR1

   AR1 1.0000000

   Regressor Covariance Matrix:

   ZLLUVIA

   ZLLUVIA .00132662

   Regressor Correlation Matrix:

   ZLLUVIA

   ZLLUVIA 1.0000000

   The following new variables are being
   created:

   Name Label

   FIT_6 Fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_23
   NOCON

   ERR_6 Error for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_23
   NOCON

   LCL_6 95% LCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_23
   NOCON

   UCL_6 95% UCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_23
   NOCON

   SEP_6 SE of fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_23
   NOCON

8. A la serie ARIMA (1,0,0) obtenida en el paso anterior
   se le incluye como "regresor" la serie Zlluvia y los
   resultados son obtenidos a continuación. Se puede
   apreciar que el regresor es significativo.

   

   

   Figura 6. ACF y PACF de los
   residuales no autocorrelacionados

9. Se plotean los ACF y PACF los cuales demuestran que los
   residuales no están autocorrelacionados, (figura
   6).

    

   Figura 7. ploteo conjunto de la serie
   original de Zcaudal con el modelo ARIMA(1,0,0) de Zcaudal
   así como la serie original Zcaudal con el modelo
   ARIMA(1,0,0) de Zcaudal considerando como regresor la serie
   de Zlluvia.

10. El ploteo conjunto de la serie original de Zcaudal con
    el modelo ARIMA(1,0,0) de Zcaudal así como la serie
    original Zcaudal con el modelo ARIMA(1,0,0) de Zcaudal
    considerando como regresor la serie de Zlluvia (figura 7 ),
    muestran que esta última se ajusta sensiblemente
    mejor, sin embargo de estos resultados podemos inferir que el
    modelo presenta algunas dificultades con los puntos o valores
    extremos por lo que podemos pasar a partir de este, hacer el
    análisis de intervención, lo cual es explicado
    porque en la serie analizada se encuentran valores producidos
    por eventos
    extremos; los cuales suponemos fueron observados con
    fiabilidad, y para ello se puede utilizar la función
    "delta" o "pulso unitario" ya definido
    anteriormente, pero como en nuestro caso el interés es
    trabajar con valores medios consideramos obviar este
    análisis.

    MODEL: MOD_5

    Model Description:

    Variable: ZCAUDAL

    Regressors: ZLLUVIA

    Non-seasonal differencing: 0

    No seasonal component in model.

    Parameters:

    AR1 ________ < value originating from estimation
    >

    ZLLUVIA ________ < value originating from
    estimation >

    95.00 percent confidence intervals will be
    generated.

    Split group number: 1 Series length: 444

    No missing data.

    Melard's algorithm will be used for
    estimation.

    Termination criteria:

    Parameter epsilon: .001

    Maximum Marquardt constant: 1.00E+09

    SSQ Percentage: .001

    Maximum number of iterations: 10

    Initial values:

    AR1 .33486

    ZLLUVIA .48150

    Marquardt constant = .001

    Adjusted sum of squares = 267.40407

    Iteration History:

    Iteration Adj. Sum of Squares Marquardt
    Constant

    1 267.33823 .00100000

    Conclusion of estimation phase.

    Estimation terminated at iteration number 2
    because:

    Sum of squares decreased by less than .001
    percent.

    FINAL PARAMETERS:

    Number of residuals 444

    Standard error .77759813

    Log likelihood -517.38747

    AIC 1038.7749

    SBC 1046.9666

    Analysis of Variance:

    DF Adj. Sum of Squares Residual Variance

    Residuals 442 267.33776 .60465884

    Variables in the Model:

    B SEB T-RATIO APPROX. PROB.

    AR1 .34974622 .04338399 8.061643 .0000000

    ZLLUVIA .47920158 .03661820 13.086432
    .0000000

    Covariance Matrix:

    AR1

    AR1 .00188217

    Correlation Matrix:

    AR1

    AR1 1.0000000

    Regressor Covariance Matrix:

    ZLLUVIA

    ZLLUVIA .00134089

    Regressor Correlation Matrix:

    ZLLUVIA

    ZLLUVIA 1.0000000

    The following new variables are being
    created:

    Name Label

    FIT_10 Fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_5
    NOCON

    ERR_10 Error for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_5
    NOCON

    LCL_10 95% LCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_5
    NOCON

    UCL_10 95% UCL for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_5
    NOCON

    SEP_10 SE of fit for ZCAUDAL from ARIMA, MOD_5
    NOCON

    

    Figura 8.

    *Sequence Charts .

    TSPLOT VARIABLES= zlluvia

    /NOLOG

    /FORMAT NOFILL NOREFERENCE.

    ACF

    VARIABLES= zlluvia

    /NOLOG

    /MXAUTO 16

    /SERROR=IND

    /PACF.

    * ARIMA.

    TSET PRINT=DEFAULT CIN=95 NEWVAR=ALL .

    PREDICT THRU END.

    ARIMA zlluvia

    /MODEL=( 1 0 0 )NOCONSTANT

    /MXITER 10

    /PAREPS .001

    /SSQPCT .001

    /FORECAST EXACT .

    ACF

    VARIABLES= err_1

    /NOLOG

    /MXAUTO 16

    /SERROR=IND

    /PACF.

    * ARIMA.

    TSET PRINT=DEFAULT CIN=95 NEWVAR=ALL .

    PREDICT THRU END.

    ARIMA zlluvia

    /MODEL=( 1 0 0 )NOCONSTANT

    /MXITER 10

    /PAREPS .001

    /SSQPCT .001

    /FORECAST EXACT .

    ACF

    VARIABLES= err_3

    /NOLOG

    /MXAUTO 16

    /SERROR=IND

    /PACF.

    *Sequence Charts .

    TSPLOT VARIABLES= zlluvia fit_3

    /NOLOG.

    *Sequence Charts .

    TSPLOT VARIABLES= fit_3

    /NOLOG

    /FORMAT NOFILL NOREFERENCE.

    *Sequence Charts .

    TSPLOT VARIABLES= zcaudal

    /NOLOG

    /FORMAT NOFILL NOREFERENCE.

    ACF

    VARIABLES= zcaudal

    /NOLOG

    /MXAUTO 16

    /SERROR=IND

    /PACF.

    * ARIMA.

    TSET PRINT=DEFAULT CIN=95 NEWVAR=ALL .

    PREDICT THRU END.

    ARIMA zcaudal

    /MODEL=( 1 0 0 )NOCONSTANT

    /MXITER 10

    /PAREPS .001

    /SSQPCT .001

    /FORECAST EXACT .

    ACF

    VARIABLES= err_4

    /NOLOG

    /MXAUTO 16

    /SERROR=IND

    /PACF.

    * ARIMA.

    TSET PRINT=DEFAULT CIN=95 NEWVAR=ALL .

    PREDICT THRU END.

    ARIMA zcaudal

    /MODEL=( 1 0 0 )NOCONSTANT

    /MXITER 10

    /PAREPS .001

    /SSQPCT .001

    /FORECAST EXACT .

    ACF

    VARIABLES= err_5

    /NOLOG

    /MXAUTO 16

    /SERROR=IND

    /PACF.

    *Sequence Charts .

    TSPLOT VARIABLES= zcaudal fit_5

    /NOLOG.

    *Sequence Charts .

    TSPLOT VARIABLES= fit_5

    /NOLOG

    /FORMAT NOFILL NOREFERENCE.

    * ARIMA.

    TSET PRINT=DEFAULT CIN=95 NEWVAR=ALL .

    PREDICT THRU END.

    ARIMA zcaudal WITH zlluvia

    /MODEL=( 1 0 0 )NOCONSTANT

    /MXITER 10

    /PAREPS .001

    /SSQPCT .001

    /FORECAST EXACT .

    ACF

    VARIABLES= err_6

    /NOLOG

    /MXAUTO 16

    /SERROR=IND

    /PACF.

    * ARIMA.

    TSET PRINT=DEFAULT CIN=95 NEWVAR=ALL .

    PREDICT THRU END.

    ARIMA zcaudal WITH zlluvia

    /MODEL=( 1 0 0 )NOCONSTANT

    /MXITER 10

    /PAREPS .001

    /SSQPCT .001

    /FORECAST EXACT .

    ACF

    VARIABLES= err_7

    /NOLOG

    /MXAUTO 16

    /SERROR=IND

    /PACF.

    *Sequence Charts .

    TSPLOT VARIABLES= zcaudal fit_7

    /NOLOG.

    *Sequence Charts .

    TSPLOT VARIABLES= fit_7

    /NOLOG

    /FORMAT NOFILL NOREFERENCE.

    USE 1 THRU 432.

    PREDICT 433 THRU 444.

    FIT

    ERRORS=ERR_10 /

    OBS=zcaudal /

    DFE=430.

11. Se pasa ahora a la fase de validación aplicando
    el modelo obtenido a los valores reservados, lo cual al ser
    comparado con el ajuste de la serie original se demuestra que
    el modelo propuesto pronostica aceptablemente los valores
    reservados hasta el último dato de la serie. Es de
    destacar que la diferencia aparente con el análisis de
    los residuales de la regresión es que no necesitamos
    probar que los mismos se distribuyen normalmente ni sean
    independientes, ni siquiera que tengan la misma distribución para cada instante de
    tiempo. Sin embargo, la efectividad de los pronósticos depende teóricamente
    en muchos casos que los residuales sean independientes y la
    elaboración de los intervalos de confianza, es
    más fácil si los residuales se distribuyen
    normalmente (en este caso la condición de ser
    independientes y no correlacionados es equivalente) (figura
    8).

    
    Donde Nt es el ruido del sistema, y
    aplicando las ecuaciones 16 y 18 se llega a la
    conclusión que los efectos de las sequías en
    las precitaciones tardarán como promedio 17
    días en notarse en los valores promedios de los
    caudales.

12. A partir del modelo final obtenido, que puede ser
    planteado de esta forma:
13. Por último buscamos los estadísticos
    finales de los errores.

FIT Error Statistics

Error Variable ERR_10

Observed Variable ZCAUDAL

N of Cases Use 432

Predict 12

Deg Freedom Use 430

Predict 12

Mean Error Use .0107

Predict .3652

Mean Abs Error Use .5199

Predict .8076

Mean Pct Error Use 67.2161

Predict 6367.9540

Mean Abs Pct Err Use 188.1532

Predict 6410.4467

SSE Use 252.3390

Predict 14.9205

MSE Use .5868

Predict 1.2434

RMS Use .7661

Predict 1.1151

Durbin-Watson Use 1.9207

Predict 2.3695

Para una mayor comprensión de estos resultados se
explicarán a continuación que representan estos
estadísticos.

La interpretación de los primeros
parámetros es obvia. Observe que el error medio es
bastante cercano a cero. El error medio absoluto es el valor
medio del error en valor absoluto. Los errores en porciento se
calculan utilizando como denominador los valores observados de la
serie y luego se promedian incluyendo signos
(Mean Pct Error) y en valor absoluto (Mean Abs Pct
Error) Para estos dos parámetros que se calculan es
imprescindible especificar una serie "denominador" en el
subcomando OBS. (En este ejemplo utilizamos la propia serie de
escurrimiento)

SSE denota la suma de cuadrados de los errores de
las diferencias entre los valores observados de las series y los
valores predichos por el modelo.

MSE (Mean Square Error) es la media de la serie
SSE, esto es, la SSE dividida por los grados de
libertad del
error.

RMS (Root Mean Square Error) es la raíz
cuadrada de MSE.

El test de
Durbin-Watson, verifica la hipótesis nula de que los residuales de la
regresión son independientes contra la hipótesis
alternativa de que estos residuales siguen un proceso
autorregresivo de primer orden.

CONCLUSIONES.

1. La experiencia internacional y los resultados de la
   investigación desarrollada en el marco de
   este trabajo, confirman que la metodología de
   Box-Jenkins aplicadas a series hidrológicas tienen un
   gran interés científico, tecnológico y
   práctico para su aplicación en los trabajos de
   pronósticos y generación de series.
2. La cuenca hidrográfica del río Zaza,
   enmarcada a partir del cierre en la Estación
   Hidrométrica Paso Ventura, presenta un retardo promedio
   de 17 días para notarse la influencia de una
   sequía meteorológica en una hidrológica.
   Esto significa la gran vulnerabilidad de la cuenca para
   soportar una sequía meteorológica.
3. La serie de caudales mensuales (Zcaudal) de la
   estación Paso Ventura se ajusta perfectamente a un
   modelo ARIMA (1,0,0) con la influencia del regresor de la serie
   de lluvias (Zlluvia).
4. Con el modelo obtenido se pueden realizar
   pronósticos a corto plazo.
5. Del análisis de la lluvia llegamos a la
   conclusión que la misma en sí se comporta como un
   ruido blanco es decir es una "variable aleatoria
   pura".
6. Se demostró que la serie de caudales (Zcaudal)
   modelados ARIMA usando como regresor la lluvia (Zlluvia), se
   ajusta mejor que considerando solo el modelo ARIMA
   (1,0,0).
7. La forma de estandarización de las variables
   de lluvia y caudal pueden ser una herramienta eficaz para
   separar la componente estacional de la serie.

BIBLIOGRAFÍA.

[1] Arellano Acosta, Daniela M.; 2002; El Enfoque
Ecosistémico para el Desarrollo
Sostenible Mediante la Promoción de Sinergias en la Escala Nacional;
Agencia de Medio
Ambiente, Ministerio de Ciencia,
Tecnología
y Medio Ambiente

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Cliffs, NJ: Prentice-Hall.

[3] Box, G. E. P. and Jenkins, G. M.; 1976; Time Series
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Day, San Francisco.

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de Lucha Contra la Desertificación y la Sequía en
la Republica de Cuba; 97, 111 pp.

[5] CITMA; 2000; Informe Nacional
de la Republica de Cuba a la IV Conferencia de
las Partes del Convenio de las Naciones Unidas
de Lucha contra la Desertificación y la
Sequía; www.medioambiente.cu/deselac/.

[6] Consejo de Cuenca Provincial; 2002; Informe Cuenca
Zaza (2002); Inédito.

[7] Fernández, Hugo W.; 2003; Sequías
Meteorológicas en el Cono Sur de América. Asociaciones con El Niño
Oscilación del Sur; Tesis Doctoral
2001; Publicada por EFU (2003) Editorial Fundación
Universidad de
San Juan, Santa Fe 198 Oeste-5400 San Juan, República
Argentina.

[8] Grau, A. Ricardo; 1997; Series Cronológicas y
Métodos
Robustos de Regresión, UCLV, Santa Clara, Villa Clara,
Cuba, 1997.

[9] INRH-CENHICA, Guía para la acción
frente a la sequía; Inédito.

[10] INSMET; 2000; Informe Cambio
Climático. Inédito.

[11] Person, H. S., Johnston Coil, E. y Beall, Robert
T.; 1949; Las Pequeñas Fuentes
Fluviales; Publicación TC-244; Washington, D.C.

[12] Serie Información Ambiental 1, www.medioambiente.cu/deselac/;
Evaluación del Peligro de
Desertificación;
http://www.oas.org/usde/publications/Unit/oea65s/ch14.htm

[13] SPSS/PC, Versión 8,0.

Autor:

M.Sc. Ing. Osmany Ceballo Melendres*,

ceballo[arroba]umass.yayabo.inf.cu

M.Sc. Ing. Ariel Enrique Ramos
Hernández***,

M.Sc. Carlos Rafael Sebrango
Rodríguez**,

sebrango[arroba]suss.co.cu

Ing. Ignacio González Ramírez**,

,
ignaciogrsp[arroba]yahoo.es

*Unidad de Medio Ambiente, Sancti Spíritus,
Cuba

**Centro Universitario "José Martí
Pérez", Sancti Spíritus, Cuba

***Instituto Nacional de Recursos Hidráulicos,
Villa Clara, Cuba

El trabajo muestra los
principales resultados de la tesis de maestría en ciencias
meteorológicas del autor Osmany Ceballo Melendres en el
año 2004. Los autores Ariel Enrique Ramos Hernández
y Carlos Rafael Sebrango Rodríguez son Master en Matemática
aplicada y fueron los tutores de la tesis. El otro autor, Ignacio
González Ramirez, fue asesor de la tesis.