Lógica Matemática

Introducción.

Aprender
matemáticas, física y química “es muy difícil”; así se expresan la mayoría de
estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación
del porqué no aprenden las ciencias
exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: “Los alumnos no aprenden
ciencias
exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en
la escuela
(leyes,
teoremas, formulas) con los problemas
que se le presentan en la vida real”. Otro problema grave es que el
aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a
los estudiantes para que con ayuda de la “lógica matemática”, él sea capaz de
encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje,
para que de esta manera tenga una buena estructura
cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar
estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

La
lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina
que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica
es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En
la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase
puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber
el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir
resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones.
En la computación para revisar programas.
En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo
que se realiza tiene un procedimiento
lógico, por el ejemplo; para ir de compras
al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento
lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona
desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no
puede pintar si antes no prepara la pintura,
o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque
se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho,
él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso,
todo esto es la aplicación de la lógica.

La
lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas
a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia
y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos
innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

El
orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece
la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto
de proposición. Se establece el significado y utilidad
de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos
las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción
y contingente,  y proporcionamos
una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se
le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad.
Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción,
en donde incluye reglas de inferencia.

En
este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que
le sean familiares. Nuestro objetivo
es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo
y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros
comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de
inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá
problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras,
ya que un programa
de computadora
no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona
establece para resolver n problema determinado.

Es
importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar
al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas
de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá
llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones
como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante
tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando
llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución,
porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de
inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.

Desarrollo.

La
lógica matemática es la disciplina
que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona
reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento
lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación
para verificar si son o no correctos los programas;
en las ciencias  física 
y  naturales, para sacar
conclusiones de experimentos;
y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud
de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para
realizar cualquier actividad.

Proposiciones
y operaciones
lógicas.

Una
proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero
no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

A
continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas,
y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones
se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente
dicha. Ejemplo.

p:
        La tierra
es plana.

q:
        -17 + 38 = 21

r:
         x > y-9

s:
        El Morelia será campeón en
la presente temporada de Fut-Bol.

t:
         Hola ¿como estas?

w:
        Lava el coche por favor.

Los
incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor
de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El 
inciso r también es una proposición
valida, aunque el valor
de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables
x y y en determinado momento. La proposición del inciso s
también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera
se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo
los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero,
uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

Conectivos
lógicos y proposiciones compuestas.

Existen
conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas
(formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

Operador
and (y)

Se
utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda
obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù,
un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:

Ejemplo.

Sea
el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque
y tiene corriente la batería”

Sean:

p:
El coche enciende.

q:
Tiene gasolina el tanque.

r:
Tiene corriente la batería.

De
tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica
es como sigue:

                       
p =  q Ù
r

Su
tabla de verdad es como sigue:

 Donde.

 1 =  verdadero

 0 =  falso

En
la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1
significa que la batería tiene corriente y p
= q Ù
r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen
cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

 
Operador
Or (o)

Con
este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones
es verdadera. Se eindica por medio de los siguientes símbolos: {Ú,+,È}.
Se conoce como las suma lógica. Ejemplo.

Sea
el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine
si compra su boleto u obtiene un pase”. Donde.

p:
Entra al cine.

q:
Compra su boleto.

r:
Obtiene un pase.

Operador
Not (no)

Su
función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es
verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación
(falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, Ø,-}.
Ejemplo.

Además
de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento
es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero
solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el
resultado es falso.

En
este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos.
Ejemplo

Sean
las proposiciones:

p:
Hoy es domingo.

q:
Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.

r:
Aprobaré el curso.

El
enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no
aprobaré el curso”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

p
Ù
qÚ
r

Por
otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores
compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores
Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

Proposiciones
condicionales.

Una
proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples
(o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

p
®
q               
Se lee “Si p entonces q”

Ejemplo.

El
candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República 
recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración
como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

Sean

p:
Salió electo Presidente de la República.

q:
Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

De
tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

p
®
q

Su
tabla de verdad queda de la siguiente manera:

La
interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:

Considere
que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación
del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo, 
q=1 y  recibieron un aumento
de 50% en su sueldo, por lo tanto p
®
q =1; significa que
el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que 
p ®
q =0; el candidato
mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios.
Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50%
en su salario,
que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco
mintió  de tal forma que  p ®
q =1.

Proposición
bicondicional.

Sean
p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal
de la siguiente manera:

p
«
q               
Se lee “p si solo si q”

Esto
significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es
falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición
bicondicional

“Es
buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”

Donde:

p:
Es buen estudiante.

q:
Tiene promedio de diez.

por
lo tanto su tabla de verdad es.

A
partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado
con conectores lógicos.

Ejemplo.

Sea
el siguiente enunciado “Si  no pago
la luz,
entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y 
Si pago la luz,
entonces me quedaré sin dinero
o pediré prestado.  Y Si me quedo sin dinero
y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”

Donde:

p:
Pago la luz.

q:
Me cortarán la corriente eléctrica.

r:
Me quedaré sin dinero.

s:
Pediré prestado.

t:
Pagar la deuda.

w:
soy desorganizado.

(p’
®
q) Ù
[p
®
(rÚs)
]
Ù
[(rÙ
s) ®
t’ ]
«
w

Tablas
de verdad.

En
estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad.
A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p®q)Ú
(q’Ùr)
]«
(r®q).

El
número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables
de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

No
de líneas = 2n           
Donde n = número de variables distintas.

Es
importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno
deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo
proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que
el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá
entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos,
los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más
complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los
alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando
se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque
de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento
deberá ser significativo.

Tautología
y contradicción.

Tautología,
es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los
valores de verdad  de sus variables.
Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.

Note
que en las tautologías para todos los valores
de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy
importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes
en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

A
continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas
de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el
autor no consideró..

           
1.- Doble negación.

                       
a).       
p''Ûp

           
2.- Leyes conmutativas.

                       
a).       
(pÚq)Û(qÚp)

                       
b).       
(pÙq)Û(qÙp)

                       
c).       
(p«q)Û(q«p)

           
3.- Leyes asociativas.

                       
a).       
[(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]

                       
b.        
[(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]

           
4.- Leyes distributivas.

                       
a).       
[pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]

                       
b.        
[pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]

           
5.- Leyes de idempotencia.

                       
a).       
(pÚp)Ûp

                       
b).       
(pÙp)Ûp

           
6.- Leyes de Morgan

                       
a).       
(pÚq)'Û(p'Ùq')

                       
b).       
(pÙq)'Û(p'Úq')

                       
c).       
(pÚq)Û(p'Ùq')'

                       
b).       
(pÙq)Û(p'Úq')'

           
7.- Contrapositiva.

                       
a).       
(p®q)Û(q'®p')

           
8.- Implicación.

                       
a).       
(p®q)Û(p'Úq)

                       
b).       
(p®q)Û(pÙq')'

                       
c).       
(pÚq)Û(p'®q)

                       
d).       
(pÙq)Û(p®q')'

                       
e).       
[(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]

                       
f).        
[(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]

           
9.- Equivalencia

                       
a).       
(p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]

           
10.- Adición.

                       
a).       
pÞ(pÚq)

           
11.- Simplificación.

                       
a).       
(pÙq)Þp

           
12.- Absurdo

                       
a).       
(p®0)Þp'

           
13.-
Modus ponens.

                       
a).       
[pÙ(p®q)]Þq

           
14.- Modus tollens.

                       
a).       
[(p®q)Ùq']Þp'

           
15.-
Transitividad del «

                       
a).       
[(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)

           
16.- Transitividad del ®

                       
a).       
[(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)

           
17.- Mas implicaciones lógicas.

                       
a).       
(p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]

                       
b).       
(p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]

                       
c).       
(p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]

           
18.- Dilemas constructivos.

                       
a).       
[(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]

                       
b).       
[(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]

Contradicción
es aquella proposición que siempre es falsa para todos los
valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙp’
. Como lo muestra
su correspondiente tabla de verdad.

Si
en el ejemplo anterior

p:
La puerta es verde.

 La proposición pÙp’
equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto
se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.

Una
proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla
de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.

Equivalencia
lógica.

Se
dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores
de verdad. Se indican como p º
q.

Considero
que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde
se puede observar que las columnas de (p®q) 
y  (q’®p’)
para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p®q) 
º
(q’®p’)

Reglas
de inferencia

Los
argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente
correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que
intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A
esos argumentos se les llama reglas de
inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías
o hipótesis en una demostración.

Ejemplo
1

¿Es
valido el siguiente argumento?.

              
Si usted invierte en el mercado
de valores, entonces se hará rico.

              
Si se hace usted rico, entonces será feliz.

              
____________________________________________________

           
Si
usted invierte en el mercado
de valores, entonces será feliz.

Sea:

p:
Usted invierte en el mercado
de valores.

q:
Se hará rico.

r:
Será feliz

De
tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica
de la siguiente manera:

              
p ®
q

              
q ®
r

              
______

p ®
r

Ejemplo
2.

¿Es
valido el siguiente argumento?.

              
Si bajan los impuestos,
entonces se eleva el ingreso

              
El ingreso se eleva.

              
_________________________________________

           
Los
impuestos
bajan

Solución:

Sea

p:
Los impuestos bajan.

q:
El ingreso se eleva.

              
p ®
q

              
q

              
_____

           
p

El
aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá
poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.

En
una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas
de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en
donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar
para resolver un determinado problema. A continuación se cita una lista de las
principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.

19.- 
     Adición                                                
23.-      
Conjunción

           
         
p                                                                       
                   
p

           
_______                                                                       
       
q

           
pÚq                                                                           
_________

                                                                                               
 
p Ùq

20.-      
Simplificación                                       
24.- Modus pones

           
       
p Ùq                                                        
      
p

           
____________                                                  
      
p®q

           
    
p                                                              
_________

                                                                                   
  
q

21.-
      Silogismo
disyuntivo                              
25.- Modus tollens

           
         
pÚq                                                       
       
p®q

           
         
p’                                                           
       
q’

           
   _________                                                    
   ___________

           
      
q                                                
     
p’

22.-
Silogismo hipotético

           
          
p®q

           
          
q®r

           
      ________

           
          
p®r

Métodos
de demostración.

Demostración
por el método directo.

Supóngase
que p®q
es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las
que intervengan cualquier número de variables propositvas, se dice que q se
desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.

(p1
Ù
p2 Ù…….Ù
pn) Þ
q

Es
una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores
de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende
lógicamente de p1,p2,……,pn. Se escribe.

           
   p1

                       
   p2

                       
   .

                       
   .

                       
   .

                       
   pn

                       
   ___

q

Realmente
el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando
el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,……
y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.

Prácticamente
todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo.

                                   
(p1
Ù
p2 Ù…….Ù
pn) Þ
q

Donde
la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. “Demostrar
el teorema”, es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no
estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente
que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

Toda
demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y
reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.

A
continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto
de las tautologías como de las reglas de inferencia.

           
Sean

           
p: Trabajo.

           
q: Ahorro.

           
r: Compraré una casa.

           
s: Podré guardar el coche en mi casa.

Analizar
el siguiente argumento:

"Si
trabajo o ahorro,
entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche
en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces
no ahorro".

           
El enunciado anterior se puede representar como:

           
p Ú q ® r;         
y          r ® s;   
entonces          
s' ® q'

           
Equivale también a probar el siguiente teorema:

           
[(p
Ú
q) ®
r] Ù
[r ®
s] Þ
[s' ®
q']

           
Como
se trata de probar un teorema de la forma general:

           
p1 Ù p2 Ù……Ù pn Þ q

           
Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos.
A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en
tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

           
1.-       
(p Ù q) ® r                    
Hipótesis

           
2.-       
r ® s                            
Hipótesis

           
3.-       
q ® (q Ù p)                   
Adición tautología 10

           
4.-       
q ® (p Ú q)                   
3; ley
conmutativa, regla 2

           
5.-       
q ® r                            
4,1; silogismo hipotético, regla 22

           
6.-       
q ® s                           
5,2; regla 22

           
7.-       
s' ® q'                          
6; contrapositiva, regla 7.

           
El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.

Es
recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras
líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4
a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia
aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les
aplicó dicha  regla de inferencia
por medio de los números de la izquierda.

 El
ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada
como sea necesario y el método debe funcionar.

Demostración
por contradicción. 

El
procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se
realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales
de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye
en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado
el objetivo
de la demostración es llegar a una contradicción.

La
demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se
indica

[p 
®
(p Ù
r) ]
Ù
[(q
Ú
s) ®
t ]Ù
(p Ú
s) Þ
t

Demostración

           
1.-       
p  ® (p Ù r)                   
Hipótesis

           
2.-       
(q Ú s) ® t                    
Hipótesis

           
3.-       
p Ú s                           
Hipótesis

           
4.-       
t’                                 
Negación de la conclusión

           
5.-       
(qÚ
s)’                         
2,4; Modus tollens, regla 25

           
6.-       
q’ Ù s’                          
5; Ley
de Morgan, 6ª

           
7.-       
q’                                 
6; Simplificación, regla 20

           
8.-       
s’ Ù q’                          
6; Ley conmutativa, 2b

           
9.-       
s’                                 
8; Simplificación, regla 20

           
10.-      
sÚ p                            
3; Ley conmutativa, 2ª

           
11.-      
p                                 
10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21

           
12.-      
q Ù r                            
11,1; Modus ponens, regla 24

           
13.-      
q                                 
12; Simplificación, regla 29

           
14.-      
q Ù q’                           
13,7; Conjunción, regla 23

           
15.-      
Contradicción.

Note
que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión.
En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones
con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que
el alumno los represente con simbología lógica en forma de teorema. Que ese
mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente
demostración por los dos métodos antes mencionados
La
forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera
en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en
cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un
problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos
para poder
llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que debe seguir
el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos
llegan al resultado.

Conclusiones.

La
idea principal de este trabajo es que el alumno aprenda el concepto
de proposición, la forma en que se pueden formar proposiciones compuestas usando
los conectores lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica,
conocer los conceptos de tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia.
Realizar demostraciones de teoremas por medio del método directo y contradicción.
Pero con problemas que le sean familiares e interesantes. Se trata de que en
cada uno de los subtemas participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre
todo al final de la unidad él tenga la habilidad, confianza e iniciativa para
inferir posibles soluciones.

Todo
enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general
es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener
el siguiente formato.

(p1
Ù
p2 Ù…….Ù
pn) Þ
q

Como
se establece  p1, p2 ,……,pn
son hipótesis (o premisas) derivadas
del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse
con el operador  And (Ù),
lo cual implica que p1 es cierta y (Ù)
p2 es verdad y (Ù)……
y pn también es cierta entonces (Þ)
la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema
se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que
también deben ser válidos, ya que son producto
de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de
inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías
conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2,…pn son escalones
que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución.

Lo
mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes
de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,….pn) hasta
llegar al objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo debemos
plantearnos nuevos objetivos
que nos permitirán superarnos.

Dependiendo
del área de interés al estudiante puede transportad dichos conocimientos, de
tal manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas.
En el caso de computación cada línea de un programa
se obtiene inconcientemente aplicando una regla de inferencia y por lo tanto
cada instrucción tiene su orden en que debe de ir colocada, si se cambia esa
línea seguramente el resultado ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver
un problema por medio de un programa como alumnos distintos tenga un maestro.

Una
demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras
cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en condiciones
de resolver todo tipo de problemas.

Uno
de los objetivos
principales del constructivismo,
es la construcción del conocimiento. El tema de “lógica matemática”, se presta
para que el alumno pueda realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones,
esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas,
física, química pero también en las ciencias
sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada
vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio
de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada
vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá
algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos
más largos, pero al fin de cuentas
lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al alumno para
que cree e innove, su estructura
cognitiva seguramente va a crecer.

Bibliografía.

Resumen:

Trabajo
que contiene los aspectos importantes en la lógica matemática, desde la definición
de proposición, tipos de operadores lógicos, tautología, contradicción, proposiciones
condicionales y bicondicionales, demostración formal.

Palabras
clave:

Lógica
matemática, proposición, tautología, contradicción, operadores lógicos, unión,
intersección, complementación, proposición condicional, proposición bicondicional,
teoremas, hipótesis, demostración formal.

Trabajo
enviado por:
José Alfredo Jiménez Murillo.
e-mail:
ppalf[arroba]yahoo.com

Ma.
Aleida Hernández Yánez
e-mail:
aleidahy[arroba]yahoo.com

Alumnos
del Centro Interdisciplinario
De Investigación y Docencia en
Educación Técnica (CIIDET)
Querétaro Qro. México.