FÓRMULA DE ERLANG
Tiene su origen en la distribución de Poisson.
Partiendo de que tenemos un número de canales
infinito, nunca obtendremos congestión.
Cuando se define el numero de canales ocupados como
i=(0..∞), se muestran los estados del sistema como
círculos y los cambios de estado como
flechitas. Si el proceso es
regular solo tendremos cambios hacia estados vecinos
Fig. 1. Diagrama de la
transición de estados para un sistema con infinito numero
de canales (n), procesos de
llegada de Poisson (λ) y los tiempos
de retención exponenciales
(μ)
Si asumimos que el sistema esta en equilibrio
estadístico, el estado i,
tendrá probabilidad
p(i). Al pasar a un estado [i+1], lo hará en λ
unidades de tiempo y si
pasa al estado [i-1] lo hará en μ unidades
de tiempo, obviamente dejará de estar el
estado i.
Se necesita ecuaciones
basadas en el principio de equilibrio global, para que describan
los estados del sistema bajo la asunciòn de equilibrio
estadístico.
a. Ecuaciones del nodo
En equilibrio estadístico el número de
transiciones por la unidad de tiempo en el estado [i] es igual al
número de transiciones fuera de estado [i].
Por ejemplo el numero de saltos del estado 0 al estado 1
como sube de nivel será λ*p(0),
mientras que si baja de nivel del estado uno al estado 0,
sería el número de saltos
μ*p(1)
Para el estado i, las ecuaciones de equilibrio
son
(Ec. 1)
(Ec. 2)
Las ecuaciones de nodo siempre son aplicables,
también para los diagramas de la
transición de estados en varias dimensiones
b. Ecuaciones cortadas (Se basan los sistemas de
pérdida)
Si artificialmente cortamos entre los estados [i-1] e
[i], el equilibrio estadístico cambia de estado de [i-1] a
[i], el mismo numero de veces que cambia de estado [i] a [i-1].
Es decir no importa si sube o baja de nivel (estado).
Es la base para luego encontrar la fórmula de
Erlang.
(Ec. 3)
Como el sistema siempre estará en algún
estado, tenemos que normalizar la restricción.
(Ec. 4)
En la ecuación 3 notamos que solo depende de 2
probabilidades, a diferencia de la ecuación 2 que depende
de 3. Por consiguiente, es más fácil de resolver
las ecuaciones cortadas. El sistema de pérdida siempre
será capaz de entrar en equilibrio estadístico si
el proceso de la llegada es independiente del estado del
sistema.
Para la transición estatal unidimensional el
diagrama de la aplicación de ecuaciones cortadas da la
mejor aproximación. De la figura 1 tenemos
Expresando todo las probabilidades del estado a
través de p(0) tendríamos
Normalizando, como lo indica la ecuación
4
Se tiene la distribución de Poisson (Ec.
5), éste proceso es la base para encontrar la
fórmula de pérdida en Erlang.
(Ec. 5)
Hasta ahora se ha asumido un numero de fuentes
infinitas para lograr 0 congestión de tiempo, 0
congestión de llamadas y 0 congestión de
tráfico. Además que el tráfico llevado sea
igual al ofrecido.
Como se ve, desde el punto de vista de diseño
práctico, Poisson no es muy recomendado.
Para una aplicación de diseño
práctico se considerará un número de canales
finito.
Repitiendo el proceso antes detallado, encontramos la
fórmula de Poisson Truncada que no es más que la
fórmula de Erlang.
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