Ternas pitagóricas y racionales (página 2)

Enviado por Diego Galv�n Caldera

Partes: 1, 2

Teoremas de ternas pitagóricas y ternas
racionales:

Teorema
1:

Si la fórmula de Pitágoras es representada
con las letras ,
y entonces se tiene
que:

(1)

Son ternas pitagóricas , y
si y solo si cumplen las siguientes condiciones en los cuatro
casos:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(1.1)

Donde en los cuatro casos: y
son enteros tal que y .

Demostración:

Para demostrar estos teoremas es necesario expresar la
formula de Pitágoras en la forma:

(2)

Donde ,
y pertenecen al conjunto de
los enteros, por tanto también:

(2.1)

Pertenecen al conjunto de los enteros. Desarrollando los
binomios de la ecuación 2 y simplificando
queda:

(2.3)

Despejando por medio de la formula general cuadrática se
tiene:

Simplificando:

(2.4)

Analizando la parte de la raíz de la
ecuación 2.4:

(2.5)

Hay 4 posibilidades para no tener números
irracionales en 2.5:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.5.1)

Donde
es un entero tal que

Cuando
es entero mayor que cero. Sustituyendo en las ecuaciones
2.5.1:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.5.2)

Donde en los cuatro casos: y
son enteros tal que y .
Aplicando las ecuaciones 2.5.2 a 2 quedan los casos:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.6)

Simplificando los elementos que se elevan al cuadrado de
2.6 se tienen,

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.6.1)

Entonces por las ecuaciones 2.6.1 son ternas
pitagóricas enteras , y
si y solo si
cumplen las siguientes condiciones:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.6.2)

Donde en los cuatro casos: y
son enteros tal que y , que era
lo que se quería demostrar.

Observación 1: solamente se cumplen las
igualdades 2.6.2, cuando se toma el elemento positivo o negativo en
, y , esto es:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

O también:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Teorema 2:

Si la formula de Pitágoras es representada con
las letras y
entonces queda:

(3)

Cuando son ternas racionales y
si y solo si
cumplen las siguientes condiciones:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Donde en los cuatro casos: y
son enteros tal que y .

Demostración:

Si la ecuación 3 es multiplicada por y se simplifica
queda:

(3.1)

Por definición de número racional se sabe
que los productos
y son números enteros esto quiere
decir que por el teorema 1 son ternas pitagóricas
y si y solo si cumplen las siguientes
condiciones:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(3.2)

Donde en los cuatro casos: y
son enteros tal que y , por lo
tanto en la ecuación 3 son ternas pitagóricas
racionales y si y solo si cumplen las
anteriores condiciones, que era lo que se quería
demostrar.

Estos teoremas pueden servir para demostraciones
geométricas cuando se tiene la figura como varios triángulos pitagóricos, o cuando se
tienen lados racionales. El conjunto de los racionales contiene a
los enteros, por tanto el teorema 1 es un caso particular del
teorema 2.

Ejemplo 1:

Demostrar que no se puede construir un cuadrado cuyos
lados y , pertenecen al conjunto
de los enteros tal que (Fig. 1).

Figura 1.

Demostración: si y , pertenecen al conjunto
de los enteros y

(4)

Por el teorema de Pitágoras:

(4.1)

Por el teorema 1, en todos los casos se debe de cumplir
lo siguiente:

(4.2)

Esto es imposible, ya que para todos los casos y
valores
posibles de y siempre se
cumplirá:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Que era lo que se quería demostrar.

Ejemplo 2:

Demostrar que no se puede construir un
paralelepípedo rectangular que tiene las
características de que todas sus aristas y todas sus
diagonales miden números enteros (fig.2).