Introducción al cálculo de incertidumbres en las mediciones

1. Resumen
3. Objetivos
4. Marco
   teórico
5. Procedimiento
   experimental
6. Datos
   obtenidos
7. Análisis y
   discusión de resultados
8. Preguntas
9. Conclusiones
10. Referencias
    bibliográficas
11. Anexos

1. RESUMEN

Tal y como concebimos la ciencia,
toda teoría
tiene fundamentada su validez en la constatación con la
evidencia experimental, la cual está soportada en
últimas por la medición de variables
físicas. Sin embargo, la medición de una cantidad
física por
si sola, sin la especificación de su rango de
incertidumbre o fiabilidad, no contiene mucha utilidad en la
ciencia. Esto
lo podemos corroborar con el experimento en el laboratorio,
el cual, utilizando un montaje que consiste en una cuerda y una
pesa (simulando un péndulo) permite la toma de diferentes
medidas para encontrar la incertidumbre o fiabilidad.

2.
INTRODUCCIÓN

l propósito del experimento es aprender a
calcular incertidumbres en las mediciones que realizamos en
nuestros experimentos y
comprobar así que toda medición tiene una
incertidumbre o margen de error el cual se pudo hallar por medio
de métodos
estadísticos y otros no estadísticos.

Para hallar la incertidumbre del periodo de
oscilación del péndulo se utilizara un método
estadístico que se basa en calcular la desviación
estándar de la media y para hallar la incertidumbre de la
longitud del péndulo y de la aceleración de la
gravedad (hallada indirectamente con los valores
del periodo y de la longitud del péndulo) se utilizara un
método no estadístico.

Al final tendremos como resultado el valor
aproximado de la aceleración de la gravedad con base en
los resultados de nuestros datos.

3.
OBJETIVOS

• Estudiar los conceptos básicos de magnitudes y
  mediciones
• Utilizar el histograma que nos arrojan los datos
  durante la experiencia para aplicar análisis de graficas
• Desarrollar los conceptos de desviación
  estándar, incertidumbre relativa, incertidumbre
  estándar de la media, promedio, histograma, error
  sistemático, error aleatorio
• Analizar las posibles causas de error que nos
  pudieron arrojar datos inexactos.

4. MARCO
TEÓRICO

Magnitudes y

Mediciones: El Objeto de toda medida es obtener
una información cuantitativa de una cantidad
física. Para esto es necesario definir las Magnitudes
Físicas Fundamentales, a fin de poder expresar
los resultados de las medidas. Las magnitudes Físicas son
las que no pueden definirse con respecto a las otras magnitudes y
con las cuales toda la física puede ser discreta. Tenemos
varios tipos de magnitudes como:

la Longitud (unidad de longitud el metro
(m)),

La Masa (unidad de longitud el kilogramo
(Kg.)),

El Tiempo (unidad
de longitud el segundo (s)),

Las Cargas eléctricas, entre otras.

Existen magnitudes derivadas las
cuales se obtienen de las magnitudes fundamentales anteriormente
mencionadas, por medio de ecuaciones
matemáticas.

Cronómetro

Acerca de medición de Masas, podemos decir que
medir una masa es compararla con la masa de un cuerpo definido
como unidad; esta masa tiene un valor constante, independiente de
cualquier condición en donde se encuentre el cuerpo. Esta
medición se puede saber mediante una balanza, ayudada de
masas calibradas con las masas patrones.

Medir una Longitud es compararla con otra escogida como
unidad. Hay ciertos instrumentos que permiten esta
operación como lo son el metro, uno de los instrumentos de
medición mas común existente, el metro se
encuentra dividido en cm (10-2m) y mm (10-3
m), aunque hay casos en los cuales los encontramos en
pulgadas.

Ahora bien, en la medición de Tiempo, se deben
distinguir dos clases de medidas:

La determinación de la hora; la cual se hace en
los observatorios, por el estudio de las posiciones de las
estrellas. La segunda, la medida de un intervalo de tiempo, por
ejemplo, la medida de la duración de un fenómeno;
se hace con los relojes.

5. PROCEDIMIENTO
EXPERIMENTAL

Lista de materiales
empleados:

• Un soporte para sostener el
  péndulo
• Una Cuerda
• Una pesa o cuerpo rígido
• Una regla
• Un cronómetro

Tomamos la medida de la cuerda la cual estaba amarrada
de un extremo a un soporte y en el otro extremo estaba amarrado a
la pesa, medimos desde la punta del soporte hasta el extremo
donde termina la masa y nos dio como resultado 88.2cm ± —; luego se empezaron a hacer
lanzamientos.

Cada período lo registrábamos con la ayuda
del cronómetro; tomamos 50 períodos los cuales
quedaron registrados en nuestro cuaderno de apuntes, el cual se
procedió a darle una copia de los datos obtenidos en el
laboratorio al profesor
asignado; proseguimos con los métodos estadísticos
(Promedio, Desviación estándar,
Histograma)

Las siguientes son las fórmulas
ha usar en los cálculos estadísticos

Varianza de Muestra: es
aproximadamente el promedio de las diferencias elevadas al
cuadrado entre cada una de las observaciones en una serie de
datos y la Media. Se denota pro medio de la siguiente
fórmula:

En términos de sumatoria se denota
así:

Donde :
Media aritmética de la muestra

n: Tamaño de muestra

:
Inésimo valor de la variable aleatoria x

Media Aritmética: o media es el promedio o
medición de tendencia central de uso más
común.

Se calcula sumando la serie de datos y luego dividiendo
el total entre el número de elementos involucrado. Se
representa mediante la siguiente formula.

Y en notación de sumatoria
sería:

Donde: x: Medida aritmética

n: Tamaño de la muestra

xi: Enésima observación de la variable aleatoria
x

6. DATOS
OBTENIDOS

• Los datos de tiempos de oscilación del
  péndulo que obtuvimos en el laboratorio 1 se encuentran
  en la tabla 2 ordenada en forma ascendente la cual encontramos
  al final del laboratorio, además se complementa con un
  Histograma "Grafica 1".
• Los datos de longitud obtenidos en el laboratorio 1
  se encuentran en la tabla 4

7.
ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS

• Primero medimos la longitud de la cuerda con una
  regla 4 veces y el promedio obtenido nos dio como resultado
  88.17 cm
• Para hallar el promedio de la longitud de la cuerda
  se realizo el siguiente calculo:

• Para hallar el promedio del periodo se realizo
  el siguiente cálculo:

• Porque se puede tomar como el resultado mejor
  estimado?

Consideramos este dato como el mejor estimado, pues
este resulta de una repetición en la medición de
los tiempos y de su respectiva división por el numero de
veces medido, con lo cual nos podemos acercar un poco
más a un dato confiablemente real, pues se podría
decir que este es el dato que esta en el medio de todos los
obtenidos.

• Cuales fueron las principales fuentes de
  variabilidad en el sistema que
  acabamos de emplear para mediar el periodo?

Las principales fuentes de variabilidad que consideramos
que influyen en la diferencia entre los datos obtenidos
son:

• Reacción en la toma del tiempo
• Elasticidad en la cuerda
• Montaje en posición incorrecta
• Desgaste de los instrumentos de
  medición

• Para hallar la desviación estándar del
  periodo realizamos el siguiente calculo:

• Para determinar la incertidumbre

del periodo, como la incertidumbre estándar
de la media realizamos el siguiente calculo:

Incertidumbre

del
periodo,

como la

incertidumbre

estándar de la media

• la incertidumbre de resolución dada por el
  cronometro que se estima como la mitad de la división de
  escala del
  instrumento

• Incertidumbre obtenido por la suma de la
  incertidumbre estimadas de resolución y de
  repetibilidad

• El valor que corresponde a T con su incertidumbre
  es

Para hallar la incertidumbre relativa

La incertidumbre

relativa del periodo

• De acuerdo con el dato anterior, discuta la calidad de su
  resultado

Teniendo en cuenta los instrumentos de medición,
los cuales tienen un alto grado de error, podemos concluir que
nos arrojo un resultado muy aproximado al convencionalmente
verdadero

• Para hallar la desviación estándar de
  la longitud realizamos el siguiente calculo:

Desviación

Estándar de la
longitud

• Para determinar la incertidumbre

del longitud, como la incertidumbre estándar
de la media realizamos el siguiente calculo:

Incertidumbre de la longitud,

como la incertidumbre estándar
de la media

• la incertidumbre de resolución dada por la
  regla que se estima como la mitad de la división de
  escala del instrumento

• la incertidumbre de repetibilidad de la
  cuerda

• Para hallar la incertidumbre relativa

La incertidumbre

relativa

• La tabla con las variables de influencia y
  componentes de incertidumbre de la longitud de la cuerda se
  encuentra en la tabla 3 al final del laboratorio en los
  anexos

• Tomando

y el valor L medido en el laboratorio, hallamos el
periodo el cual vamos a tomar como el valor convencionalmente
verdadero

• A partir de las medidas de T y l obtenidas, con la
  expresión anterior.

Calcule el valor de g

• Con las incertidembres como componentes de la incertidumbre
  

.

Identifique la regla de combinación y
determine la incertidumbre del resultado obtenido anteriormente

• Incertidumbre relativa de la
  gravedad

• Error de la gravedad

• Error del periodo

• Error sidtemático

• Error aleatorio del periodo.

8.
PREGUNTAS

• Explique si las medidas fueron hechas bajo
  condiciones de repetibilidad o reproducibilidad?

Las medidas fueron tomadas de repetibilidad ya que
fueron efectuadas bajo las mismas condiciones.

9.
CONCLUSIONES

• Con este laboratorio pudimos observar los
  métodos para realizar mediciones con sus respectivos
  cálculos de incertidumbres, comprobando que las
  incertidumbres se pueden hallar de dos formas: con
  métodos estadísticos, y no estadísticos.
  En este laboratorio utilizamos el método
  estadístico para hallar la desviación en el
  periodo del péndulo y el no estadístico para
  hallar incertidumbres de objetos que participan en las
  mediciones, pero que por distintas razones no se puede hallar
  la incertidumbre por medios
  estadísticos, como los instrumentos de medida, el
  montaje y el tiempo de reacción de la persona que
  observa el experimento.
• También pudimos hallar luego de diferentes
  cálculos y formulas la gravedad en el laboratorio con su
  respectiva incertidumbre.
• Dentro de las diferentes incertidumbres que pudimos
  encontrar, están la incertidumbre relativa del periodo,
  de la longitud de la regla, de la gravedad, y la
  desviación estándar de la media.
• Después de utilizar formulas logramos
  encontrar la resolución del instrumento de medida el
  cual utilizamos para tomar el tiempo de oscilación del
  péndulo el cual fue de 0.005 s.
• Para poder hallar incertidumbres por métodos
  no estadísticos, tuvimos que analizar las posibles
  fuentes de incertidumbre y estimar un valor para esta, algunas
  de ellas son: capacidad visual, tiempo de reacción,
  calidad del montaje, calidad de instrumentos de medición
  (Desgaste, Material)

10. REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS

Física general con experimentos sencillos.
Beatriz Alvarenga, Antonio Máximo. Editorial Harla,
México.
1979, 1980, 1981

Física Fundamental 1. Michael Valero. Editorial
Norma, Colombia.
1996.

Villegas Mauricio, Ramírez
Ricardo, investiguemos 10, Voluntad, Bogota 1989

ANEXOS

"Datos de tiempos de oscilación del
péndulo"

TABLA 1

"Datos de tiempos de oscilación
del péndulo en forma ascendente"

TABLA 2

TABLA 3

Datos de Longitud de la cuerda

TABLA 4

GRAFICA 1

Histograma "T Vs. F"

Presentado por:

Javier Tenorio

Natalia Guevara

Maria Carolina Ortiz

Carolina Ospina

Presentación del laboratorio

28 de agosto de 2002