La Transformada de Laplace (página 3)

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Ecuaciones Integrales

El teorema de convolución es útil en la
solución de otros tipos de ecuaciones en
las cuales aparecen integrales de una función
desconocida.

Definición Ecuaciones integrales de
Volterra

La ecuación

donde , son funciones
conocidas, es una función incógnita y
, un parámetro numérico, se
llama ecuación integral lineal de Volterra de segunda
especie. La función se denomina núcleo de la
ecuación de Volterra. Si la ecuación integral toma la
forma

y se llama ecuación integral homogénea de
Volterra de segunda especie.

Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación integral

Solución

Aplicando la transformada a ambos lados de la
ecuación integral tenemos

Luego

Circuitos L-R-C

En un circuito L-R-C en serie la segunda ley de Kirchhoff
establece que la suma de las caídas de tensión a
través de un inductor, una resistencia y un
capacitor es igual a la tensión aplicada . Sabemos que

La caída de tensión a través de
un inductor es .
La caída de tensión a través de
la resistencia es .
La caída de tensión a través de
un capacitor es , pero como

con lo cual la caída de tensión a
través de un capacitor esta dada por

donde es la corriente y , y son constantes conocidas como: la
inductancia, la resistencia y la capacitancia,
respectivamente.

De lo anterior obtenemos que la corriente en un circuito como el de la figura
satisface la ecuación íntegrodiferencial

La cual podemos resolver aplicando transformada de
Laplace.

Ejemplo
Determine la corriente en un circuito L-R-C en serie para el cual
L=0.1H (Henrios), R=20 (Ohms), C= F (Faradios) y . La tensión aplicada al circuito es la que se muestra en la
figura
1.13.

Figura 1.14

Solución

Puesto que la función se anula para , se puede escribir como

con lo cual la ecuación diferencial que modela
este circuito es

Y al aplicar la transformada a ambos lados de la
ecuación anterior, obtenemos que

de donde obtenemos que

Usando fraciones parciales tenemos que

y al aplicar la transformada inversa

Sistemas de ecuaciones
diferenciales

El siguiente ejemplo muestra el uso de la transformada
de Laplace en la solución de sistemas de
ecuaciones
diferenciales.

Ejemplo
Resuelva el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales

con las condiciones , .

Solución
Si y , entonces

o agrupando

Ahora usemos la regla de Cramer para resolver el sistema
anterior

De donde obtenemos que

Ejemplo
Dada la malla eléctrica de la figura
1.15, determine el valor de las
corrientes y , si inicialmente valen cero.

Figura
1.15

Solución

Puesto que la segunda ley de Kirchhoff establece que la
suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de
cualquier malla cerrada es cero, tenemos que:

Para la malla KLMNK

Y para la malla JKNPJ:

De donde obtenemos el siguiente sistema:

		0

Tomando transformada de Laplace y usando las condiciones
iniciales, , obtenemos que

		0

Observe que de la primera ecuación , de modo que la segunda ecuación
se transforma en

Entonces

La transformada de Laplace en
Economía

Es cada vez más frecuente, que en economía se utilicen
técnicas y métodos
matemáticos que originalmente surgieron como respuesta a
problemas
físicos. Una metodología que es usada comúnmente
para problemas de ingeniería es la de las transformadas
integrales. En este breve artículo estudiamos a una de
ellas, la transformada de Laplace. Lo que hace útil a esta
transformada es la interpretación natural que tiene como el
valor presente de un flujo de
efectivo.

§1 Preliminares

Sea f : [0, 8) . R una función. Una transformada
integral es una relación de la forma

en donde la función f es transformada en otra
función F por medio de una integral.1 La función F
se conoce como la trasformada de f y la función K es el
kernel de la transformación. Claramente, la transformada
podría no existir. Las transformadas integrales se
utilizan para convertir algún problema que involucra a la
función f en otro problema, en ocasiones más
sencillo, que involucra a F. Adicionalmente, son una herramienta
sumamente útil para la resolución de algunas
ecuaciones diferenciales.

1 Si el dominio de f es
R, entonces el límite inferior podría
también ser impropio y ser -8, como es el caso de la
transformada de Fourier. 1

La transformada de Laplace2 L[f ](s) es una transformada
integral en donde el kernel está dado por e-st de manera
que

De este modo, la transformada de Laplace de una
función f tiene una interpretación económica
evidente: L[f ](s) es el valor presente de un flujo f (t) durante
el periodo [0, 8) y con una tasa de descuento igual a s. Esta
observación fue hecha en 1986 por S. Buser
(véase [Buser 1986]), que detectó en esta
transformada una herramienta para calcular el valor presente de
flujos de efectivo. Otras aplicaciones dentro de finanzas y
actuaría pueden verse en los siguientes artículos:
[DeSchepper, Teunen y Goovaerts 1992 y 1994], [Pelsser 2000],
[Denuit 2001] y [Bartoszewicz 2000].

Ejemplos

Ej 1.1 Sea f (t) = t, entonces

Esta integral existe siempre y cuando s > 0 e,
integrando por partes, se obtiene

De forma semejante,3 si f (t) = tn, n .
N.{0}, tenemos que

y esta integral existe para s > 0, tomando el
valor

2Nombrada así en honor del matemático
francés del siglo XVIII Pierre S. Laplace.3La prueba puede
realizarse fácilmente por inducción.

Ej 1.2 Sea f (t) = eat, entonces

existe para toda s > a y está dada
por

Del mismo modo,

que es válida para toda s > -a.

Ej 1.3 Sea c(t) una trayectoria de consumo y
u(c(t)) la utilidad que se
deriva del mismo, entonces

es el valor presente de la utilidad acumulada en [0, 8),
descontado a una tasa s.

La utilidad de la transformada de Laplace para la
solución de ecuaciones diferenciales se deriva de la
siguiente propiedad:

en donde f es una función diferenciable en [0,
8). La demostración es sumamente sencilla utilizando la
definición de la transformada e integración por partes. Adicionalmente, la
transformada de Laplace es un operador lineal, con lo cual se
cumplen:

para cualesquiera f y g funciones y a, b . R.
Finalmente, la asignación f . F es inyectiva, de manera
que puede definirse la transformada de Laplace inversa (de la
función F) como L-1[F ](t) = f (t). Esta transformada
inversa posee también la propiedad de
linealidad.

Ejemplos

Ej 1.4 Sea k(t) una trayectoria para el capital. Si el
capital se deprecia a

una tasa ä, entonces la trayectoria de inversión bruta está dada
por

Supongamos que la tasa de descuento es igual a r, por lo
tanto tomando la trasformada de Laplace de la inversión y
utilizando las propiedades (1) y (2) tenemos

Esto nos da la relación entre el valor presente
de la inversión bruta (L[I](r))

y el del capital (L[k](r)), ambos descontados a la tasa
r.

Ej 1.5 Consideremos a la función

¿Cómo calculamos L-1[F ]? Necesitamos una
función f de tal forma que

Recordemos del ejemplo 1.2 que

de aquí que el problema puede resolverse notando
que

y, por lo tanto,

§2 Solución de ecuaciones
diferenciales

Nos concentraremos ahora en la solución de
ecuaciones diferenciales del tipo

en donde x es una función diferenciable y H(t) es
cualquier función cuya transformada de Laplace existe. Si
pensamos en x(t) como el acervo de capital al tiempo t,
entonces la ecuación (3) es simplemente la ecuación
de inversión del ejemplo 1.4 con H(t) = I(t).

Tomemos la transformada de Laplace de (3) para
obtener

(4)

y, despejando L[x](s) :

. (5)

Observemos que la transformada de Laplace convierte a la
ecuación diferencial de flujos dada por (3), en una
ecuación algebraica de acervos representada por
(4).

Tomemos ahora la transformada inversa L-1 de la
expresión (5) para obtener

(6)

La ecuación (6) nos proporciona el valor de x(t)
en cada instante dado su valor inicial x(0). La forma
explícita de la solución depende de la
función H(t), el caso más simple es cuando H(t) =
H, una constante, de manera que la solución dada por (6)
queda como

La solución general de (6) puede encontrarse de
la siguiente manera. Notemos que si g(t) = e-ät, entonces
(ver ejemplo 1.2) se tiene que L[g](s) = 1 s+ä para todo s
> -ä, con lo cual

Existe una propiedad de la transformada inversa4 que
dice que

A esta propiedad se la conoce como la propiedad de la
convolución. En general se define la convolución
α * β de dos funciones α(t) y
β(t) como

La expresión (7) nos dice que la transformada
inversa convierte a productos en
convoluciones.

Véanse [Edwards y Penney 2001] y [Nagle, Sa. y
Snider 2001] para mayor detalle.

por lo tanto

. (8)

La ecuación (8) tiene una interpretación
económica inmediata. Para ilustrar esto pensemos en x(t)
como el acervo de capital que se deprecia a una tasa ä y en
H(t) como la inversión bruta. Entonces (8) dice que el
acervo de capital en el tiempo t consiste de dos partes: la
primera es lo que queda del capital inicial tomando en cuenta la
depreciación (representada por el
término I ), y la segunda consiste en la inversión
acumulada en el periodo [0, t] con su correspondiente
depreciación (representada por II).

§3 La función delta de
Dirac

Es evidente que, hasta el momento, la transformada de
Laplace no es más que otra técnica para la
resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, su
popularidad (sobre todo en problemas de ingeniería) radica
en que nos permite resolver ecuaciones en las cuales el
término independiente puede ser sumamente "mal portado".
En el caso de la ecuación (3), el término H(t)
podría no ser una función continua (lo cual
representa mejor a la realidad), con lo cual la función
x(t) sería diferenciable por pedazos. El tipo de funciones
H(t) que vamos a analizar son funciones que son nulas, excepto en
algunos intervalos o instantes de tiempo
predeterminados.

La función más simple de este tipo es la
función escalón o función de Heaviside.
Ésta se define para cualquier a = 0 como sigue:

Es fácil ver que su transformada de Laplace
está dada por

Una variante de esta función es la
siguiente:

Asimismo, tomando el límite cuando .t . 0 se
define

A esta última función se la conoce como la
función delta de Dirac. Llamamos función de impulso
a cualquier función que se obtenga como una
combinación lineal de deltas de Dirac.

Las funciones descritas arriba se ilustran en la figura
1.

Figura 1: Aquí se ilustran las
funciones y = ua(t), y = u.t,a(t) y äa(t).

Intuitivamente, äa(t) es una función nula
excepto en t = a, punto para el cual toma un valor "infinito".
Podemos imaginar que esta función representa un shock o
impulso en t = a, algo así como un martillazo, una
descarga eléctrica o, porque no, una ganancia o
pérdida inesperada de capital representada por un instante
de inversión "infinita". A pesar de que parece absurdo,
desde el punto de vista matemático, definir a la
función de Dirac, la aplicación de la transformada
de Laplace la convierte en una función manejable como
vemos a continuación.

Proposición 3.1 La transformada de Laplace de
äa(t) está dada por

Demostración

Dados a = 0 y .t > 0, calculemos primero
L[u.t,a(t)](s) como sigue:

Asimismo, tenemos que

con lo cual se concluye la demostración.
¥

Observemos que tiene sentido poner

Tabla 1: Transformadas de Laplace comunes dada la
linealidad de L, a pesar de que la interpretación de
näa(t) es algo turbia (¿qué significa n-veces
algo infinito?).

La tabla 1 muestra las transformadas de Laplace (y por
lo tanto también las trasformadas inversas) de algunas
funciones comunes. Todas ellas pueden demostrarse utilizando la
definición de la transformada.

§4 "Impulsos" de inversión

La función delta de Dirac puede aplicarse a un
sinnúmero de problemas para los cuales queremos modelar un
impulso exógeno. Tomemos, por ejemplo, la siguiente
ecuación de inversión:

es decir, la inversión es nula excepto en el
instante t = a para el cual es "infinitamente grande", o bien hay
un "impulso" de inversión en t = a. La solución a
esta ecuación está dada por (6) con ä = 0 y
por lo tanto,

La figura 2 muestra el comportamiento
de k(t) : en el instante t = a el capital pasa discretamente a
tomar el valor k(0) + 1.

Figura 2: El capital cambia discretamente en t =
a.

El ejemplo anterior puede generalizarse tomando la
siguiente ecuación:

es decir, los impulsos de inversión se realizan
en t = 1, 2, …, T. La ecuación se resuelve igual que
arriba obteniéndose

La figura 3 muestra el comportamiento de k(t) para este
caso.

Podemos también tomar en cuenta la
depreciación del capital y considerar la
ecuación

Esta ecuación es de la forma (3) y su
solución está dada nuevamente por (6) como
sigue:

El comportamiento de k(t) cuando k(0) = 1, ä = 0.3
y a = 4 se muestra en la figura 4.

Figura 3: El capital cambia discretamente en t = 1, 2,
…, T.

Figura 4: Trayectoria de k(t) = e0.3t +
u4(t)e-0.3(t-4).

Los ejemplos anteriores podrían adaptarse
fácilmente al caso de la inversión en un activo con
un flujo de dividendos D(t) y una tasa libre de riesgo r. La
ecuación para el valor x(t) del activo está dada
por

que es una vez más la ecuación (3) con
ä = -r y H(t) = -D(t). Esta ecuación puede
interpretarse como una condición de no arbitraje: en
cada instante es equivalente invertir la cantidad x(t) a una tasa
r, (digamos comprando Cetes) obteniendo una cantidad rx(t), o
bien realizar la inversión, obteniendo los dividendos D(t)
más el cambio en el
valor del activo dx(t) dt . Los dividendos pueden modelarse como
funciones de impulso. Ésta es, claramente, una mejor
aproximación de la realidad que el pensarlos como
funciones continuas.

RESOLVER LAS ECUACIONES UTILIZANDO LAS TRANSFORMADAS
DE LAPLACE.

Problema 1.- con las condiciones :

Paso 1.- Se aplica la transformada de
Laplace a toda la ecuación término a
término.

Paso 2.-– Sumando los términos
semejantes

Paso 3.- Se factoriza la transformada :

Paso 4.- Se despeja la transformada:

Paso 5.-– Se obtiene la transformada
inversa de Laplace

;

Paso 6.-

;

Paso 7.- Se obtiene el resultado
final:

Resultado

La solución de la ecuación, puede
obtenerse en el Matemática
con la instrucción: DSolve[{y'' [x]+4 y'[x]+4 y[x]==4
E^(-2 x),y[0]== -1,y'[0]==4},y[x],x]

Una gráfica de la solución es:

Problema 2. Condiciones iniciales

Paso 1.- Se aplica la transformada de
Laplace a toda la ecuación término a

término.

Paso 2.–

Paso 3.- Se factoriza la
ecuación;

Paso 4.- Se despeja la transformada:

Paso 5.- Se obtiene la transformada
inversa de toda la ecuación.

Fórmulas de fracciones parciales:

Paso 6.- Se encuentra el valor de las
constantes utilizando el método de
Fracciones Parciales.

Paso 7.-

Paso 8.- .

Paso 9.- Se aplica la propiedad de las
igualdades factorizando los términos en S, del mismo
exponente:

Una vez factorizado los términos, se igualan con
su correspondiente valor que se encuentra en el lado derecho de
la ecuación :

;

Paso 10.- Una vez obtenidos los valores de
las constantes se procede a sustituir.

Resultado

La solución de la ecuación se obtiene en
el Matemática con la instrucción:

DSolve[{y''[t]-4 y'[t] + 4 y[t] ==t^3 ,
y[0]==0,y'[t]==0},y[t],t]

Una gráfica de la solución obtenida
es:

Problema 3.-

Paso 1.- Se aplica la transformada a
toda la ecuación:

Paso 2.- Se saca la transformada como
factor común:

Paso 3.- Se despeja la transformada:

Paso 4.- Se obtiene la transformada
inversa:

Paso 5.- Se aplican las fórmulas
correspondientes para obtener los resultados:

Paso 6.-

Paso 7.-
Resultado.

Paso 8.- La ecuación
también se puede resolver en el Mathematica con la
instrucción: DSolve[{y''[t]+10 y'[t]+25 y[t] ==10 E^(-5
t),y[0]==1,y'[0]==5},y[t],t]

Paso 9.- Una gráfica del
resultado obtenido es:

Problema 4.-

Paso 1.- La transformade de toda la
ecuacón es:

Paso 2.- Factor común de
la transformada:

Paso 3.- Se despeja la transformada:

Paso 4.- Se obtiene la transformada
inversa:

Paso 5.-

Resultado.

Paso 6.- La solución de la
ecuación se puede obtener en el Mathematica con la
instrucción:DSolve[{ y''[x]-6y'[x]+9y[x]==x^2 E^(3x),
y[0]==2,y'[0]==6},y[x],x]

Paso 7.- La gráfica del
resultado es