- Introducción a la
Teoría de Probabilidades - Enfoques
Conceptuales - Concepto de
Probabilidad - Objetivos
- Valor de la
Probabilidad - Eventos Mutuamente Excluyentes y
no Excluyentes - Reglas de la
Adición - Eventos
Independientes - Eventos
Dependientes - Reglas de
Multiplicación - Distribución de
Probabilidad Normal - Distribución de
Probabilidad Exponencial
INTRODUCCION A LA TEORIA DE
PROBABILIDADES
El concepto de
probabilidad
nace con el deseo del hombre de
conocer con certeza los eventos futuros.
Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una
herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y
pasatiempos de la época. El desarrollo de
estas herramientas
fue asignado a los matemáticos de la corte.
Con el tiempo estas
técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron
otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente
se continúo con el estudio de nuevas metodologías
que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las
probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de
error en los cálculos.
A través de la historia se han desarrollado
tres enfoques conceptuales diferentes para definir la
probabilidad y determinar los valores de
probabilidad:
Dice que si hay x posibles resultados favorables a la
ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a
la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente
posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al
mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A
es:
El enfoque clásico de la probabilidad se basa en
la suposición de que cada resultado sea igualmente
posible.
Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite,
(en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de
probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra.
Ejemplo:
Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras
rojas. La probabilidad de sacar una piedra roja en un intento
es:
El enfoque de
frecuencia relativa
También llamado Enfoque Empírico,
determina la probabilidad sobre la base de la proporción
de veces que ocurre un evento favorable en un numero de
observaciones. En este enfoque no ese utiliza la
suposición previa de aleatoriedad. Porque la
determinación de los valores de
probabilidad se basa en la observación y recopilación de
datos.
Ejemplo:
Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que
pasan por una esquina no tienen cinturón de seguridad. Si un
vigilante de transito se para en esa misma esquina un ida
cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que
detenga un vehículo sin cinturón de
seguridad?
Tanto el enfoque clásico como el enfoque
empírico conducen a valores objetivos de
probabilidad, en el sentido de que los valores de probabilidad
indican al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del
evento.
Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es
el grado de creencia por parte de un individuo de
que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su
disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este
enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia
del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no
ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este
enfoque es un juicio personal.
Se define como cálculo de
probabilidad al conjunto de reglas que permiten determinar si un
fenómeno ha de producirse, fundando la suposición
en el cálculo, las estadísticas o la teoría.
El objetivo de
esta práctica es realizar varios experimentos de
probabilidad, anotar los resultados y posteriormente compararlos
con los resultados teóricos.
Objetivos de las
Probabilidades
El objetivo
fundamental de la probabilidad, es la de mostrar al alumno la
importancia y utilidad del
Método
Estadístico en el ámbito
económico-empresarial. Con tal fin, el alumno
deberá aprender a manejar los métodos y
técnicas más adecuadas para el correcto tratamiento
y análisis de la información proporcionada por los datos que
genera la actividad económica.
Para ello se comienza afianzando los conocimientos que
el alumno ya posee de Estadística
Descriptiva, además de algunos conceptos nuevos
relacionados con este tema.
El valor más pequeño que puede tener la
probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual
indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que
indica que el evento ciertamente ocurrirá. Entonces si
decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A
y P(A´ ) la probabilidad de no-ocurrencia de A, tenemos
que:
Eventos mutuamente
excluyentes y eventos no excluyentes
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o
disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir,
la ocurrencia de un evento impide automáticamente la
ocurrencia del otro evento (o eventos).
Ejemplo:
Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o
sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos
eventos son excluyentes.
Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos,
cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que
necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma
simultánea.
Ejemplo:
Si consideramos en un juego de
domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no
excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis
blanco.
La Regla de la Adición expresa que: la
probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual
a:
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)
si A y B son mutuamente excluyente
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
si A y B son no excluyentes
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento
A
P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento
B
P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los
eventos A y B
Dos o más eventos son independientes cuando la
ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la
probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso
típico de eventos independiente es el muestreo con
reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa
de nuevo a la población donde se obtuvo.
Ejemplo:
lanzar al aire dos veces
una moneda son eventos independientes por que el resultado del
primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que
ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.
Dos o más eventos serán dependientes
cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la
probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos
este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad
condicional para denominar la probabilidad del evento
relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de
ocurrencia del evento A sí el evento B ya
ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una
fracción.
P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y
B)/P(A)
Se relacionan con la determinación de la
ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la
intersección entre los conjuntos de los posibles valores
de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de
que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B
son independientes
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B
son dependientes
P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B
son dependientes
Distribución de probabilidad
normal
Es una distribución de probabilidad continua que
es tanto simétrica como mesocurtica. La curva que
representa la distribución de probabilidad normal se
describe generalmente como en forma de campana. Esta
distribución es importante en inferencia
estadística por tres razones diferentes:
- Se sabe que las medidas producidas en muchos procesos
aleatorios siguen esta distribución. - Las probabilidades normales pueden utilizarse
generalmente para aproximar otras distribuciones de
probabilidad, tales como las distribuciones binomial y de
Poisson. - Las distribuciones estadísticas tales como la
media de la muestra y la proporción de la muestra,
siguen a menudo la distribución normal, sin tener en
cuenta la distribución de la
población
Los valores de los parámetros de la
distribución de probabilidad normal son = 0 y
= 1. Cualquier conjunto de valores X normalmente
distribuido pueden convertirse en valores normales
estándar z por medio de la formula:
Haciendo posible el uso de la tabla de proporciones de
área y hace innecesario el uso de la ecuación de la
función
de densidad de
cualquier distribución normal dada.
Para aproximar las distribuciones discretas binomial y
de Poisson se debe hacer:
Binomial | np | | Si n > 30 .np > 5 n(1-p) > |
Poisson | | | |
Distribución de probabilidad
exponencial
Si en el contexto de un proceso de
Poisson ocurren eventos o éxitos en un espectro continuo
de tiempo y espacio. Entonces la longitud del espacio o tiempo
entre eventos sucesivos sigue una distribución de
probabilidad exponencial. Puesto que el tiempo y el espacio son
un espectro continuo, esta es una distribución
continua.
En caso de este tipo de distribución no vale la
pena preguntarse ¿cuál es la probabilidad de que el
primer pedido de servicio se
haga exactamente de aquí a un minuto?. Mas bien debemos
asignar un intervalo dentro del cual el evento puede ocurrir,
preguntándonos, ¿cuál es la probabilidad de
que el primer pedido se produzca en el próximo
minuto?.
Dado que el proceso de Poisson es estacionario, la
distribución exponencial se aplica ya sea cuando estamos
interesados en el tiempo (o espacio) hasta el primer evento, el
tiempo entre dos eventos sucesivos, o el tiempo hasta que ocurra
el primer evento después de cualquier punto aleatoriamente
seleccionado.
Donde es la cifra media de ocurrencias
para el intervalo de interés,
la probabilidad exponencial de que el primer evento ocurra dentro
del intervalo designado de tiempo o espacio es.
P(T < t) = 1 – e
-
De manera que la probabilidad exponencial de que el
primer evento no ocurra dentro del intervalo designado de tiempo
o espacio es:
P(T > t) = e
-
Ejemplo:
Un departamento de mantenimiento
recibe un promedio de 5 llamadas por hora. Comenzando en un
momento aleatoriamente seleccionado, la probabilidad de que una
llamada llegue dentro de media hora es:
Promedio 5 por hora, como el intervalo es media hora
tenemos que = 2,5/media hora.
P (T < 30 min.) = 1- e
-5 = 1 – 0,08208 = 0,91792
http://buscador.rincondelvago.com/probabilidades+estadisticas
http://www.google.co.ve/search?hl=es&q=objetivo+de+las+PROBABILIDADES&meta=lr%3Dlang_es
http://metodosestadisticos.unizar.es/asignaturas/22709/principal.htm
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Realizado por
Herrera R.
Cumaná,
Edo. Sucre