El movimiento armónico simple

Enviado por vicma2009

Movimiento Armónico
Simple
Elementos del Movimiento
Armónico Simple
Relación entre M A S y
movimiento Circular Simple
Ecuaciones del Movimiento
Armónico Simple
Péndulo
Simple
Periodo de un
péndulo
Aplicaciones del
péndulo
Conclusión
Anexos
Bibliografía

INTRODUCCIÓN

En la naturaleza hay
muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de
tiempo, estos
son llamados movimientos periódicos. En Física se ha
idealizado un tipo de movimiento oscilatorio, en el que se
considera que sobre el sistema no existe
la acción
de las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe
disipación de energía y el movimiento se mantiene
invariable, sin necesidad de comunicarle energía exterior
a este. Este movimiento se llama MOVIMIENTO ARMÖNICO
SIMPLE (MAS)

El movimiento Armónico Simple, un movimiento que
se explica en el movimiento armónico de una
partícula tiene como aplicaciones a los péndulos,
es así que podemos estudiar el movimiento de este tipo de
sistemas tan
especiales, además de estudiar las expresiones de la
Energía dentro del Movimiento Armónico
Simple.

EL
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Definición: es un movimiento
vibratorio bajo la acción de una fuerza
recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en
ausencia de todo rozamiento.

Solemos decir que el sonido de una
determinada nota musical se representa gráficamente por la
función
seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado
movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene
cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente
proporcionales a las fuerzas causantes de este
desplazamiento.

Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a
partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de
toda la longitud de una circunferencia.

Cuando un punto (P) recorre una circunferencia
con velocidad
uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los
diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento
armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno
de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará
una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la
circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a
velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro,
realizará un
movimiento oscilatorio
rectilíneo.

Para representar gráficamente (en una
función) el movimiento armónico simple de un punto,
se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del
período (T/12, T/6, T/4…) que es el tiempo que este
punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y
como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La
resultante es una sinusoide, ya que la variación del
tiempo t, se traduce como una variación del sin
x, donde x es el ángulo que forma el radio con el
semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al
tiempo).

Elementos:

1. Oscilación o vibración:
es el movimiento realizado desde cualquier posición
hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones
intermedias.

2. Elongación: es el desplazamiento de la
partícula que oscila desde la posición de equilibrio
hasta cualquier posición en un instante dado.

3. Amplitud: es la máxima
elongación, es decir, el desplazamiento máximo a
partir de la posición de equilibrio.

4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar
una oscilación o vibración completa. Se designa con
la letra "t".

5. Frecuencia: es el número de
oscilación o vibración realizadas en la unidad de
tiempo.

6. Posición de equilibrio: es la
posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta
sobre la partícula oscilante.

Relación entre
el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme

El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el
movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un
cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme
(M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad
angular ω, sobre el
diαmetro vertical de la circunferencia que
recorre.

En lo siguiente podrás visualizar dicha
relación.

Vamos a
establecer una relación entre un movimiento vobratorio
armónico simple y el movimiento circular uniforme. Esto
nos va a permitir dos cosas:

– Hallar la ecuación del MAS sin tener
que recurrir a cálculos matemáticos
complejos.

– Conocer de donde vienen algunos de los
conceptos que usamos en el MAS, como frecuencia angular o el
desfase.

Observando el applet que viene a
continuación. Tememos inicialmente el resorte azul, que
oscila verticalmente. En la circunferencia tienes un punto negro
que gira con movimiento circular uniforme, ocupando en cada
instante una posición en la circunferencia. Traza
mentalmente la proyección de esa posición sobre el
diámetro vertical de la circunferencia. En cada momento,
la masa que cuelga del resorte ocupa una posición
determinada. Observa que la posición de la masa del
resorte coincide exactamente con la proyección de la
posición del objeto sobre el diámetro, que
verás en forma de línea azul en el diámetro
vertical.

Es decir, como resumen, cuando un objeto gira
con movimiento circular uniforme en una trayectoria circular, el
movimiento de la proyección del objeto sobre el
diámetro es un movimiento armónico
simple.

Lo mismo
podríamos decir del resorte amarillo y la
proyección sobre el diámetro horizontal, que
verás como un trazo amarillo sobre dicho
diámetro.

Los vectores azul
y amarillo, que varían en el applet, corresponden al
valor de la
velocidad del resorte, azul para diámetro vertical y
amarillo para el horizontal. Observa su variación y
comprobarás que la velocidad es máxima en el centro
de equilibrio del resorte y mínima en los extremos, en los
puntos de mínima y máxima elongación.
Observa también como el vector rojo de la gráfica
de la derecha, la velocidad del MAS, coincide con el vector azul,
la velocidad de la proyección sobre el diámetro
vertical, lo que supone una prueba más de lo que hemos
afirmado anteriormente.

Ecuaciones del Movimiento
Armónico Simple

Fórmulas:

x = A . cos . w . t

x = elongación

r = A = radio

t = tiempo

w = velocidad angular

Vx = – V . sen Ø

V = w . r

h = w . t

w . t = V = Vector representativo de la velocidad
lineal.

Vx = proyección de "Y" sobre el eje
"X"

h = ángulo

Vx = -2 . F . A . sen (2 . )

Vx = + w " A2 – x2

Ax = – w2 . A . cos. w . t

Ax = – Ac . cos Ø

Ac = proyección de aceleración sobre el
eje horizontal

Ac = w2 . x

Ac = aceleración centrípeta

t = 2 " mk

T = periodo

Péndulo
simple

Definición: es llamado
así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un
hilo largo de longitud l, que cumple las condiciones
siguientes:

el hilo es inextensible
su masa es despreciable comparada con la masa del
cuerpo
el ángulo de desplazamiento que llamaremos 0
debe ser pequeño

Como funciona: con un hilo inextensible su masa
es despreciada comparada con la masa del cuerpo el ángulo
de desplazamiento debe ser pequeño.

Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente
sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo
ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo
simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y
sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de
ellos.

Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y
desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación
periódica. Para estudiar esta oscilación es
necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en
todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no.
Esto se puede observar en la figura
13.1.

Vemos pues que, considerando únicamente el
desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que
se está recorriendo, podemos poner

Que a veces también se expresa como .

Esta ecuación es absolutamente análoga a
la de un movimiento armónico simple, y por tanto su
solución también será (13.2)
teniendo, únicamente, la precaución de sustituir el
valor de antiguo por el que tiene ahora para un
péndulo

A
partir de aquí se pueden extraer todas las demás
relaciones para un péndulo simple, el periodo, frecuencia,
etc.

Período de
un Péndulo

Período: Se define como el
tiempo que se demora en realizar una oscilación completa.
Para determinar el período se utiliza la siguiente
expresión T/ N° de Osc. ( tiempo empleado dividido por
el número de oscilaciones).

1) El periodo de un péndulo es independiente de
su amplitud. Esto significa que si se tienen 2 pendulos iguales
(longitud y masa), pero uno de ellos tiene una asmplitud de
recorrido mayor que el otro, enambas condiciones la medida del
periodo de estos péndulos es el mismo.

2) El periodo de un péndulo es directamente
proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto
significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o
disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de
ese péndulo.

Aplicaciones

Algunas aplicaciones del péndulo son la medición del tiempo, el
metrónomo y la
plomada.

Otra aplicación se conoce como
Péndulo de Foucault, el cual se
emplea para evidenciar la rotación de la Tierra.
Se llama así en honor del físico francés

Léon Foucault y está formado
por una gran masa suspendida de un cable muy largo.

También sirve, puesto que un péndulo
oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la
rotación de la Tierra,
aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean Leon
Foucault
colgó un péndulo de 67 metros de largo de la
cúpula de los Inválidos en Paris
(latitud≅49º). Un recipiente
que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo
de arena que caía del cubo mientras oscilaba el
Péndulo señalaba la trayectoria: demostró
experimentalmente que el plano de oscilación del
péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por tanto
que la Tierra
rotaba.

CONCLUSIÓNES

El Movimiento Armónico Simple es un movimiento
periódico en el que la posición
varía según una ecuación de tipo senoidal
o cosenoidal.

La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo
máxima en el centro de la trayectoria y nula en los
extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del
movimiento.

El M.A.S. es un movimiento acelerado no
uniformemente. Su aceleración es
proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a
este. Toma su valor máximo en los extremos de la
trayectoria, mientras que es mínimo en el
centro.

Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección
de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la
posición del cuerpo en el instante inicial.

ANEXOS

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DEL
M.A.S.

1.- Una masa de 400g unida
a un resorte de k = 100 N/m realiza un M.A.S de amplitud 4 cm.
a) Escribe la ecuación de su
posición en función del tiempo, si empezamos a
contarlo cuando la soltamos desde la posición extrema. b)
Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez por la
posición de equilibrio. c)
¿Cuánto tarda en llegar desde la posición de
equilibrio hasta una elongación de 2 cm? ¿Y desde 2
cm al extremo?. d) ¿Cual es la velocidad
media para el recorrido que va desde el centro hasta el extremo
de la oscilación?. e) ¿Será
cero la velocidad media de una oscilación
completa?

2.– Una partícula que oscila con
M.A.S. describe un movimiento de amplitud de 10 cm y periodo 2 s.
Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades, Una
mientras va hacia un extremo y otra cuando regresa.
a) Calcula estas velocidades.
b) Escribe la ecuación de la
posición con un desfase, suponiendo que empezamos a contar
el tiempo cuando está en ese punto (3cm).

3.- Una partícula de 10 Kg se
mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual
a – 40x (N), estando x expresada en metros. Si inicialmente
se encuentra a 5 m del origen, con una velocidad de 15 m/s
dirigida hacia el centro, calcula: a) La
amplitud del movimiento. b) El instante en que
pasa por primera vez por el origen.

4.- Un objeto realiza un movimiento
armónico simple. Cuando se encuentra a 3 cm de la
posición de equilibrio su velocidades es 6 m/s, mientras
que si la distancia es de 5 cm, su velocidades es 2 m/s. Calcula
la amplitud del movimiento.

5.- Un resorte de acero tiene una
longitud de 8 cm, pero al colgar de su extremo libre una masa de
1 Kg, su longitud es de 14 cm. ¿Cuál será la
frecuencia de oscilación de esa masa, cuando se desplaza
verticalmente fuera de la posición de equilibrio? Nota:
tomar g = 9’8 m/s2).

6.- Un punto material de 25 g describe
un M.A.S. de 10 cm de amplitud y período de 1 s. En el
instante inicial la elongación es máxima. Calcula:
a) La velocidad máxima que puede alcanzar
la citada masa. b) El valor de la fuerza
recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0’125
s.

7-. La energía total de un
cuerpo que realiza un M.A.S. es de 3·10- 4 y la
fuerza máxima que actúa sobre el es
1’5·10-2 N. Si el periodo de las
vibraciones es 2 s y la fase inicial 60º, determinar:
a) La ecuación del movimiento de este
cuerpo. b) Su velocidad y aceleración
para t = 0.

BIBLIOGRAFÍA

A. P. Maiztegui – J. A. Sabato

"Introducción a la física"

Editorial Kapelus

Microsoft Corporation ®

"Encarta 2000"

http://www.xtec.es/centres/a8019411/caixa/movhar_es.htm

http://html.rincondelvago.com/movimiento-armonico-simple_3.html

http://perso.wanadoo.es/cpalacio/mas2.htm

http://www.monografias.com/trabajos13/fiuni/fiuni

http://perso.wanadoo.es/cpalacio/mcu2.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm