2. Interés
Compuesto
El concepto y la
fórmula general del interés compuesto es una
potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos
de dinero.
El interés
compuesto es fundamental para entender las matemáticas
financieras. Con la aplicación del interés
compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la
capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos
el monto del interés sobre la base inicial más
todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es
decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a
convertirse en nuevo capital.
Llamamos monto de capital a interés compuesto o
monto compuesto a la suma del capital inicial con sus
intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital
original es el interés compuesto.
El intervalo al final del cual capitalizamos el
interés recibe el nombre de período de
capitalización. La frecuencia de
capitalización es el número de veces por
año en que el interés pasa a convertirse en
capital, por acumulación.
Tres conceptos son importantes cuando tratamos con
interés compuesto:
- El capital original (P o VA)
- La tasa de
interés por período (i) - El número de períodos de
conversión durante el plazo que dura la
transacción (n).
Por ejemplo:
Sí invertimos una cantidad durante 5½
años al 8% convertible semestralmente,
obtenemos:
El período de conversión es : 6
meses
La frecuencia de conversión será : 2 (un
año tiene 2 semestres)
Entonces el número de períodos de
conversión es:
(número de años)*(frecuencia de
conversión) = 5½ x 2 = 11
Fórmulas del Interés Compuesto:
La fórmula general del interés compuesto
es sencilla de obtener:
VA0,
VA1 = VA0 + VA0i = VA0 (1+i),
VA2 = VA0 (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)2
VA3 = VA0 (1+i) (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)3
Generalizando para n períodos de
composición, tenemos la fórmula general del
interés compuesto:
Fórmula para el cálculo
del monto (capital final) a interés compuesto. Para
n años, transforma el valor actual
en valor futuro.
El factor (1 + i)n es conocido como Factor de
Acumulación o Factor Simple de Capitalización
(FSC), al cual nos referiremos como el factor VF/VA
(encontrar VF dado VA). Cuando el
factor es multiplicado por VA, obtendremos el valor futuro VF de
la inversión inicial VA después de
n años, a la tasa i de
interés.
Tanto la fórmula del interés
simple como la del compuesto, proporcionan idéntico
resultado para el valor n = 1.
VF = VA(1+ni) = VF = VA(1+i)n
VA(1+1i) = VA(1+i)1
VA(1+i) = VA(1+i)
Si llamamos I al interés total percibido,
obtenemos:
I = VF – VA luego I = VF – VA = VA(1+i)n –
VA
Simplificando obtenemos la fórmula de
capitalización compuesta para calcular los
intereses:
Con esta fórmula obtenemos el interés (I)
compuesto, cuando conocemos VA, i y n.
Ejercicio 37 (Calculando el
interés y el VF compuestos)
Determinar los intereses y el capital final producido
por UM 50,000 al 15% de interés durante 1
año.
Solución:
VA = 50,000; i = 0.15; n = 1; I =?; VF =?
Calculamos el interés y el VF:
(19) VF = 50,000*(1+0.15) = UM 57,500
Para el cálculo de I podemos también
aplicar la fórmula (7):
[7] I = 57,500 – 50,000 = UM
7,500
Respuesta:
El interés compuesto es UM 7,500 y el monto
acumulado
2.1
. Valor actual a interés compuesto
La fórmula general del interés
compuesto permite calcular el equivalente de un capital en un
momento posterior.
Dijimos en el numeral 1.1, pág. 101, de
éste Capítulo, la longitud de la escalera es la
misma contada de abajo hacia arriba como de arriba abajo. En el
interés compuesto cuanto más arriba miramos,
más alto es cada escalón sucesivo y si nos paramos
arriba y miramos hacia abajo, esto es, hacia el valor actual,
cada sucesivo escalón es algo más bajo que el
anterior.
De la ecuación [19] obtenemos la fórmula
del valor actual a interés compuesto:
También expresamos como: 
Conocemos a la expresión entre corchetes como el
Factor Simple de Actualización (FSA) o el factor
VA/VF. Permite determinar el VA (capital inicial)
de la cantidad futura VF dada, después de n
períodos de composición a la tasa de interés
i.
La expresión valor futuro significa
el valor de un pago futuro en fecha determinada antes del
vencimiento. Cuanto menos tiempo falta
para el vencimiento, mayor es el valor actual del monto adeudado,
y, en la fecha del vencimiento, el valor actual es equivalente al
monto por pagar. Para comprobar uno cualquiera de esos valores
actuales, basta hallar si a la tasa indicada, en el tiempo
expuesto, el valor actual es la cantidad adeudada.
De la ecuación [19] obtenemos también, las
fórmulas [22] y [23] para determinar los valores de
i (dado VA, VF y n) y n (dado VA, VF
e i).
Con la fórmula [22] obtenemos la tasa del
período de capitalización. Con la fórmula
[23] calculamos la duración de la operación
financiera.
En este caso, no da lo mismo adecuar la tasa al tiempo o
adecuar el tiempo a la tasa. Tanto el tiempo como la tasa de
interés deben adecuarse al período de
capitalización. Si el tiempo está en meses, la tasa
debe ser mensual; si el tiempo está en bimestres, la tasa
debe ser bimestral.
Ejercicio 38 (VA a interés
compuesto)
Tenemos una obligación por UM 12,000, a ser
liquidado dentro de 10 años. ¿Cuánto
invertiremos hoy al 9% anual, con el objeto de poder cumplir
con el pago de la deuda?
Solución:
VF = 12,000; i = 0.9; n = 10; VA =?
Respuesta:
El monto a invertir hoy es UM 5,068.93.
2.2 . Valor
actual de deuda que devenga interés
Como en el interés simple, en el caso de deudas
que devengan interés, antes de calcular su valor actual,
debemos averiguar primero el monto nominal, esto es, la
cantidad de dinero (capital más interés) de la
deuda a su vencimiento. Calculado el monto nominal es más
sencillo determinar el valor actual a cualquier tasa de
interés.
Para calcular el valor actual de deudas que devengan
interés compuesto calculamos primero el monto de la
deuda al vencimiento, esto es, el monto nominal; luego,
procedemos a calcular el valor actual del monto nominal aplicando
el método
expuesto líneas arriba.
Ejercicio 39 (VA de deuda que devenga
interés compuesto)
Una empresa en
proceso de
liquidación, tiene en activos obligaciones a
4 años por UM 42,000, devengan el 12% capitalizando
anualmente. Calcular el valor actual al 15%, con
capitalización anual.
Solución: Según la regla
expuesta:
1º Calculamos el monto (VF) del activo a su
vencimiento:
VA = 42,000; i = 0.12; n = 4; VF =?
[19] VF = 42,000(1 + 0.12)4 = UM
66,087.81
2º Calculamos el VA al 15% de UM 66,087.81 a pagar
dentro de 4 años:
VF = 66,087.81; i = 0.15; n = 4; VA =?
Respuesta:
El VA con capitalización anual es UM
37,785.92
2.3.
Interés simple versus interés
compuesto
El monto (VF) que obtenemos con el interés simple
aumenta linealmente (progresión aritmética);
mientras que en las operaciones con
interés compuesto, la evolución es exponencial (progresión
geométrica), como consecuencia de que los intereses
generan nuevos intereses en períodos
siguientes.
Generalmente utilizamos el interés simple en
operaciones a corto plazo menor de 1 año, el
interés compuesto en operaciones a corto y largo
plazo.
Vamos a analizar en qué medida la
aplicación de uno u otro en el cálculo de los
intereses dan resultados menores, iguales o mayores y para ello
distinguiremos tres momentos:
a) Períodos inferiores a la unidad de
referencia
En estos casos (para nosotros un año), los
intereses calculados con el interés simple son mayores a
los calculados con el interés compuesto.
Ejercicio 40 (Interés simple y
compuesto con períodos menores a la unidad)
Determinar los intereses devengados por un capital de UM
30,000, durante 5 meses, al 15% de interés
anual.
Como la tasa de interés está en base
anual, el tiempo lo expresamos también en base anual: 5/12
= 0.4167
Igualmente, podríamos expresar la tasa de
interés en base mensual, dividiendo simplemente: 0.15/12 =
0.0125 con n = 5.
Solución:
VA = 30,000; n = 0.4167; i = 0.15; I =?
a.1.) Interés simple
[8] I = 30,000*0.15*0.4166 = UM
1,875.15
a.2.) Interés compuesto:
Luego, el interés calculado aplicando la
fórmula del interés simple es superior al calculado
con la fórmula del interés compuesto.
b) Períodos iguales a un
año
En estos casos, ambas formulas dan resultados
idénticos.
Ejercicio 41 (Interés simple y
compuesto con períodos iguales a un
año)
Determinar los intereses devengados por un capital de UM
30,000, durante un año, con el 12% de interés
anual.
Solución:
VA = 30,000; n = 1; i = 0.12; I =?
a.1.) Interés simple:
[5] I = 30,000*0.12*1 = UM 3,600
a.2.) Interés compuesto:
Como vemos ambas fórmulas proporcionan resultados
iguales.
c) Períodos superiores a un
año
En estos casos, los intereses calculados con la
fórmula del interés compuesto son superiores a los
calculados con la fórmula del interés
simple.
Ejercicio 42 (Interés simple y
compuesto con períodos superiores a un
año)
Determinar los intereses devengados por un capital de UM
30,000, durante dos años, con el 12% de interés
anual.
Solución:
VA = 30,000; n = 2; i = 0.12; I =?
a.1.) Interés simple:
[5] I = 30,000*0.12*2 = UM 7,200
a.2.) Interés compuesto:
Luego cumplimos con la condición (c).
La definición de tasas de
interés equivalentes es la misma que la del
interés simple. No obstante, la relación de
proporcionalidad que se da en el interés simple no es
válida en el interés compuesto, como es obvio, el
cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez
mayor.
Ejercicio 43 (Valor acumulado de una
inversión)
Calcular el valor acumulado de una inversión de
UM 5,000 durante un año, en las siguientes
condiciones:
Solución:
VA = 5,000; n = 1 … 4; i = 0.15 anual, 0.075 semestral
y 0.0375 trimestral
Con interés anual del 15%:
[19] VFn = 5,000(1 +
0.15)1 = UM 5,750.00
Con interés semestral del 7.5%:
[19] VFn = 5,000(1 +
0.075)2 = UM 5,778.13
Con interés trimestral del
3.75%:
[19] VFn = 5,000(1 +
0.0375)4 = UM 5,793.25
Los resultados no son los mismos, debido a que la
capitalización de los intereses lo hacemos con diferentes
frecuencias manteniendo la proporcionalidad en las diferentes
tasas de interés.
Para lograr que, cualquiera que sea la frecuencia de
capitalización y el valor final siga siendo el mismo es
necesario cambiar la fórmula de equivalencia de las tasas
de interés.
El pago de los intereses es al vencimiento o por
anticipado. El interés nominal, por lo general condiciona
la especificación de su forma de pago en el
año. Para determinar a qué tasa de
interés vencida (iv) equivalen unos
intereses pagados por anticipado (ia) debemos tomar
en cuenta que los mismos deben reinvertirse y éstos a su
vez generarán intereses pagaderos por
anticipado.
Interés anticipado (ia), como su nombre lo
indica, es liquidado al comienzo del período (momento en
el que recibimos o entregamos dinero).
Interés vencido (iv), contrariamente al
anterior, es liquidado al final del período (momento en el
que recibimos o entregamos dinero).
Muchas negociaciones son establecidas en términos
de interés anticipado y es deseable conocer cuál es
el equivalente en tasas de interés vencido. Ejercicios
corrientes, lo constituyen los préstamos bancarios y los
certificados de depósito a término.
Cuando especificamos el pago de interés
anticipado (ia), estamos aceptando (en el caso
préstamos) recibir un monto menor al
solicitado.
Fórmulas de la tasa de interés vencida y
anticipada:
Con la fórmula [A] podemos convertir cualquier
tasa de interés anticipada, en tasa de interés
vencida. Esta fórmula es utilizada sólo para
tasas periódicas; tasas utilizadas en determinado
período para calcular el interés.
Ejercicio 44 (Calculando la tasa
vencida)
La tasa de interés anticipada de 9% trimestral
equivale a:
Solución:
ia = 0.09; iv =?
Para utilizar esta conversión debemos trabajar
con la tasa correspondiente a un período. Por ejemplo, la
tasa de interés de 9% anticipada aplicable a un
trimestre.
Ejercicio 45 (Tasa vencida)
Si la tasa de interés anual es 28%, con
liquidación trimestral por anticipado (la cuarta parte es
cobrada cada trimestre) ¿a cuánto equivale ese
interés trimestral vencido?
Tasa de interés trimestral anticipada = 0.28/4 =
0.07
Tasa de interés trimestral vencida:
Ejercicio 46 (Tasa anticipada)
Si el banco dice cobrar
la tasa de interés de 32% anual, liquidado cada mes,
vencido, ¿a qué tasa de interés mes
anticipado corresponde ese interés?
El interés mensual vencido es : 0.30/12=
0.025
El interés mensual anticipado es :
Luego, el interés nominal mes anticipado es:
2.44% * 12 = 29.27%
Denominada así la operación financiera que
tiene por objeto el cambio de un
capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente,
mediante la aplicación de la fórmula de descuento
compuesto. Es la inversa de la capitalización.
2.5.1. Particularidades de la
operación
Los intereses capitalizan, esto significa
que:
- Al generarse se restan del capital inicial para
producir (y restar) nuevos intereses en el futuro, - Los intereses de cualquier período los produce
éste capital (anterior), a la tasa de interés
vigente en dicho momento.
Los procedimientos de
descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro
conocido (VF) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es
necesario conocer las condiciones de esta anticipación:
duración de la operación (tiempo y el capital
futuro) y la tasa de interés aplicada.
El capital resultante de la operación de
descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía
menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses
que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento.
Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al
futuro implica incrementarle intereses, hacer la operación
inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la
disminución de esa misma cantidad
porcentual.
En forma similar al interés simple, se distinguen
dos clases de descuento racional y comercial, según la
cuál sea el capital considerado en el cálculo de
los intereses en la operación:
– Descuento racional.
– Descuento comercial.
Nomenclatura:
D : Descuento o rebaja.
DR : Descuento racional
DC : Descuento comercial
VN(VF) : Valor final o nominal, es el conocido valor
futuro
VA : Valor actual, inicial o efectivo.
i ó d : tasa de interés o descuento de la
operación
2.5.2. Descuento racional
En este tipo de descuento los intereses son calculados
sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la
anticipación del capital futuro (VN o VF). Es la
operación de capitalización compuesta, con la
peculiaridad de que el punto de partida es el capital final (VN)
con el debemos calcular el valor actual (VA), capital hoy. Para
el cálculo del VA del capital, operamos con la
fórmula [21].
Calculado el capital inicial con la fórmula
anterior, por diferencia entre el capital de partida y el inicial
obtenido, determinamos el interés total de la
operación (DR), o descuento propiamente dicho:
Fórmula del descuento racional a interés
compuesto.
Ejercicio 47 (Ahorro por
pago anticipado)
Debemos anticipar el pago de una obligación de UM
12,000 con vencimiento dentro de 18 meses. Si el pago lo
efectuamos hoy. ¿Qué valor tenemos que entregar si
la operación se acuerda a una tasa de interés del
18% anual compuesto? ¿De cuánto será el
ahorro por el pago anticipado?.
Solución:
VN = 12,000; n = (18/12) = 1.5; i = 0.18; DR =?; VA
=?;
Aplicando directamente la fórmula [C] obtenemos
el descuento buscado:
El valor líquido a entregar es: VA = 12,000 –
2,638.22 = UM 9,361.78 o también:
DR = 12,000 – 9,361.78 = UM 2,638.22
Respuesta:
El valor a entregar es UM 9,361.78
El ahorro por el pago anticipado es de UM
2,638.22
2.5.3. Descuento comercial
Este caso considera al capital final de un
período a otro generador de los intereses a un tipo de
descuento (d) dado, vigente en ese momento.
Aplicando la fórmula [B] calculamos el capital
inicial (VA):
Por diferencias entre el capital de partida y el inicial
obtenido, calculamos el interés total de la
operación (Dc):
Ejercicio 48 (Descuento
comercial)
Tenemos que anticipar UM 15,000 con vencimiento dentro
de 3 años. Si el pago lo hacemos el día de hoy.
¿Qué valor tenemos que entregar si la
operación es pactada al 22% anual compuesto?
¿Cuanto será el descuento por el pago
anticipado?
Solución:
VN = 15,000; n = 3; VA =?; d = 0.22; DC = ?
1º Calculamos el valor actual y el descuento
bancario:
[D] VA = 15,000*[1 – 0.22]3 = UM
7,118.28
DC = 15,000 – 7,118.28 = UM 7,881.72
2º En forma directa, obviando el cálculo
previo del capital inicial (VA):
[E] Dc = 15,000 * [1
– (1 – 0.22)3] =
UM 7,881.72
Respuesta:
El monto a entregar es UM 7,118.28 y el descuento es UM
7,882.72.
2.5.4. Tasa de interés y de descuento
equivalentes
Al comparar el interés simple con el
interés compuesto a un mismo capital inicial y tasa de
interés, encontramos que los resultados son menores,
iguales o mayores con el interés compuesto cuando los
períodos son inferiores, iguales o superiores a la unidad
de referencia.
Es necesario determinar la relación que existe
entre las tasas de interés y descuento con el objeto de
que los resultados de anticipos sean los mismos con cualquiera de
los modelos de
descuento utilizados. Esto es, la equivalencia entre tasas de
descuento e interés. Para esto debe cumplirse la igualdad entre
ambos descuentos DR = DC. En forma simplificada las
formulas que cumplen con esta condición son:
La tasa de descuento comercial d equivalente a la
tasa de interés i es:
Similarmente, obtenemos un tipo de interés
i equivalente a un d:
Reiteramos, la relación de equivalencia es
independiente de la duración de la negociación. Por ende tenemos que para una
tasa de interés habrá un único tipo de
descuento que origine la equivalencia y viceversa.
Estas fórmulas son de aplicación
sólo con tasas periódicas; aquellas tasas
utilizadas en determinado período para calcular el
interés.
Ejercicio 49 (Monto a
adelantar)
Tenemos que anticipar el pago de una deuda de UM 18,000
al 15% anual, con vencimiento dentro de 2 años. Asumiendo
que el pago lo hacemos hoy, calcular el monto que tenemos que
adelantar.
Solución:
VN(VF) = 18,000; n = 2; i = 0.15; d = ?
1º Calculamos el descuento racional, con una
tasa de interés de 15%:
2º Calculamos el descuento comercial con un
descuento de 15%:
Cuando operamos con una misma tasa de interés y
descuento los resultados son diferentes, el resultado es mayor
con el descuento racional por cuanto el capital productor de
intereses es el capital inicial (más pequeño)
consecuentemente menor el ahorro por la
anticipación.
Para obtener el mismo resultado debemos determinar el
tipo de descuento equivalente al 15% de interés con la
fórmula de equivalencia:
2º Calculando el descuento comercial al nuevo tipo
de descuento, obtenemos:
Respuesta:
El monto a adelantar es UM 13,610.59
2.6.
Equivalencia de capitales a interés
compuesto
Para demostrar que dos o más capitales son
equivalentes, es necesario que éstos tengan el mismo valor
en el momento en que son comparados: principio de equivalencia de
capitales.
El principio de equivalencia financiera, permite
determinar si dos o más capitales situados en distintos
momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay
preferencia por uno de ellos.
En las operaciones de interés simple, vimos la
definición y utilidad de la
equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de
capitales y sus aplicaciones siguen siendo válidos. La
diferencia fundamental viene dada porque en interés
compuesto la fecha donde realizamos la equivalencia no afecta al
resultado final de la operación. La equivalencia
sólo se cumple en un momento dado y como consecuencia en
cualquier punto; fuera de esta condición no se cumple
nunca.
2.6.1. Usos del principio de
equivalencia
El reemplazo de unos capitales por otro u otros de
vencimientos o montos diferentes sólo es posible si
financieramente resultan ambas alternativas
equivalentes.
Casos posibles:
Cálculo del capital
común
Es el monto C de un capital único que vence en n,
conocido y que reemplaza a otros capitales C1, C2, … , Cn, con
vencimientos en n1, n2, … ,nn, todos ellos
conocidos.
Cálculo del vencimiento
común
Es el instante de tiempo n en que vence un capital
único VA, conocido, que reemplaza a otros capitales C1,
C2, …, Cn, con vencimientos en n1, n2, … ,nn, todos ellos
conocidos.
La condición a cumplir es:
Cálculo del vencimiento
medio
Es el instante de tiempo n en que vence un capital
único C, conocido, que reemplaza a varios capitales C1,
C2, … , Cn, con vencimientos en t1, t2, … ,tn, todos ellos
conocidos.
La condición a cumplir es:
Ejercicio 50 (Equivalencia financiera –
Capital común)
Un empresario
tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y
4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente.
Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones
en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que
tendría que abonar si la tasa de interés fuera de
15% anual.
Solución: [i = (0.15/12) =
0.0125]
VF = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; i = 0.0125; n = 3, 6,
11 y 10; VA0 =?
1º Calculamos el VA con la fecha focal en 0, para
ello aplicamos sucesivamente la fórmula [21]:
2º Finalmente, calculamos el VF10 , monto a pagar
en una sola armada:
[19] VF10 = 12,462.01(1 + 0.0125)10 = UM
38,705.11
Ejercicio 51 (Equivalencia financiera –
Vencimiento común y medio)
Un empresario tiene que cobrar UM 10,000 y UM 15,000,
con vencimientos a 3 y 6 meses, respectivamente. El deudor
plantea al empresario pagar ambas deudas en un sólo abono,
con el 3.5% de interés mensual. Determinar el momento del
pago único considerando lo siguiente:
1. Que el monto a recibir es de UM 23,000.
2. Que el monto a recibir es UM 25,000.
Solución:
VF1 y 2 = 23,000 y 25,000; n = 3 y 6; i = 0.035; n
=?
1º Calculamos el VA total:
2º Calculamos el vencimiento
común:
3º Calculamos el vencimiento medio:
Aplicando la función
NEPER calculamos ambos vencimientos:
En el interés compuesto no es aplicable la media
aritmética del interés simple
2.7. Estimaciones
duplicando el tiempo y la tasa de interés
Usualmente, las entidades financieras para captar
ahorristas, ofrecen que duplicarán sus depósitos y
los pronósticos de las entidades de control
estadístico de los países afirman que la
población de tal o cual ciudad ha duplicado
en tal o cual período.
Cuando calculemos los períodos n,
la tasa de retorno o tasa de crecimiento i
emplearemos las fórmulas cuyos resultados son
matemáticamente exactos (teóricos) conociendo uno
de ambos valores.
Al determinar la tasa de interés compuesto
es posible también utilizar la regla del 72 para
estimar i o n, dado el otro valor.
Con esta regla, el tiempo requerido para duplicar sumas
únicas iniciales con interés compuesto es
aproximadamente igual a 72 dividido por el valor de la tasa de
retorno (en porcentaje) o los períodos de tiempo
n.
Estimando:
Ejercicio 52 (Duplicando el valor del
dinero)
- Calcular el tiempo aproximado en que tardaría
en duplicarse una cantidad de dinero a la tasa compuesta del 7%
anual. - Calcular la tasa necesaria de rendimiento para
duplicar un monto en 18 años.
Solución (1):
VF = 2; VA = 1; i = 0.07; n =?
1º Calculamos el valor de n:
2º Ahora calculamos el valor de
n:
Solución (2):
VF = 2; VA = 1; n = 18; i =?
1º Calculamos el valor de i:
2º Con la regla del 72:
En ambos casos (1) y (2) los resultados varían
ligeramente.
Si la tasa es de interés es simple,
resolvemos el caso aplicando las fórmulas [11] y [13], o
también aplicando la regla de 100 en la misma forma que
para el interés compuesto. En este caso las respuestas
obtenidas siempre serán exactas.
Aplicamos también las fórmulas [11], [13],
[22] y [23] cuando un capital es triplicado, cuadruplicado,
quintuplicado, etc.
Ejercicio 53 (Duplicando el valor del
dinero)
- Calcular el tiempo en que tarda en duplicarse una
cantidad de dinero a interés simple de 8%
anual. - Calcular la tasa de interés simple para
duplicar un monto en 15 años.
Solución (1):
VF = 2; VA = 1; i = 8; n =?
1º Calculamos el valor de n:
2º Calculamos el valor de n,
aplicando la regla del 100:
Solución (2)
VF = 2; VA = 1; n = 15; i =?
1º Encontramos el valor de i, con la fórmula
[11]:
y
obtenemos:
2º Calculamos el valor de n,
aplicando la regla del 100:
Como vemos, los resultados son exactamente
iguales.
2.8.
Tasa variable durante el período que dura la
deuda
Las tasas de interés sobre las inversiones
varían muy a menudo. Para calcular el valor futuro
(monto), cuando la tasa de interés ha cambiado una o
más veces, multiplicamos el capital por el factor simple
de capitalización (FSC) (1 + i)n para cada tasa de
interés con su respectivo período de
capitalización.
Ejercicio 54 (Calculando el VF)
Si invertimos UM 5,000 en un banco que paga 5% los
primeros tres años, 3.8% los cinco siguientes y 6.5% los
otros siete años. ¿Cuál será el monto
de la inversión al final de los quince
años?
Solución:
VA = 5,000; n = 3, 5 y 7; i = 0.05, 0.038 y 0.065; VF
=?
VF = 5,000*1.053*1.0385*1.0657 = UM
10,838.57
Interés Simple
Ejercicio 55 (Valor futuro)
Calcular el monto acumulado de una inversión de
UM 12,000 durante 10 meses al 22% anual.
Solución:
VA = 12,000; n = (10/12) = 0.8333; i = 0.22; VF
=?
Respuesta:
El monto acumulado es UM 14,199.99
Ejercicio 56 (Interés)
Calcule el interés simple ordinario de un capital
de UM 3,500 colocado en el banco desde el 13 de marzo al 25 de
mayo del 2004, a una tasa del 2% mensual.
Solución:
Aplicando Excel
calculamos los días exactos:
VA = 3,500; n = 73 días; i = (0.02/30) = 0.00066;
I =?
[8] I = 3,500*0.00066*73 = UM 170.16
Respuesta:
El interés simple ordinario es de UM
170.16
Ejercicio 57 (Interés)
Determinar el interés de UM 10,000 durante 4
meses al 12% de interés anual.
Solución:
VA = 10,000; n = 4; I =?
Como el tiempo está expresado en meses,
calculamos el equivalente en base mensual del 12% anual (cuando
tenemos un tipo de interés y no indica nada,
sobreentendemos que es anual).
[8] I = 10,000 * 0.01 * 4 = UM 400
Podríamos también haber dejado el tipo
anual y colocado el plazo (4 meses) en base anual (4/12). El
resultado habría sido el mismo:
[8] I = 10,000*0.12*4/12 = UM 400
Respuesta:
El interés es UM 400
Ejercicio 58 (Valor futuro
total)
Dentro de 6 y 9 meses recibiremos UM 25,000 y UM 35,000
respectivamente, y ambas sumas de dinero lo invertimos al 18% de
interés anual. Determinar el monto dentro de un
año.
Solución:
VA1 y 2 = 25,000 y 35,000; n = 0.5 y 0.25; i = 0.18; I
=?
1) Dejamos el tipo de interés en base anual y
expresamos el plazo en años. El plazo son 6 meses (6/12 =
0.5 años), recibimos el dinero
dentro de 6 meses y lo invertimos hasta dentro de 1
año:
[5] VF1 = 25,000 (1 + 0.18*0.5) = UM
27,250.00
2) El plazo es de 9 meses (9/12 = 0.25 años),
recibimos el capital dentro de 9 meses y si invertimos hasta
dentro de 1 año:
[5] VF2 = 35,000 (1 + 0.18*0.75) = UM
39,725
Respuesta:
Sumando los dos montos tendremos dentro de un
año:
VFT = 27,250 + 39,725 = UM 66,975.00
Ejercicio 59 (La mejor
alternativa)
¿Determine qué es preferible, recibir
UM30, 000 dentro de 4 meses, UM 20,000 dentro de 7 meses o UM
50,000 dentro de 1 año, si estos montos los puedo invertir
al 18%?
Solución:
VF = 30,000, 20,000 y 50,000; i = 0.18; VF2…3
=?
Entre la 1ª y 2ª opción (recibir UM
30,000 dentro de 4 meses o UM 20,000 dentro de 7 meses),
obviamente, es preferible la primera, el monto es mayor y
recibimos antes. Por lo tanto, la 2ª opción queda
descartada, habrá de comparar la 1ª con la 3ª
(recibir UM 50,000 dentro de 1 año). Como estos
montos están situados en momentos distintos, no comparamos
directamente, deben llevarse a un mismo instante. Vamos a
calcular los importes equivalentes dentro de 1 año
(podríamos haber elegido otro momento, por ejemplo el
momento actual).
1º monto: El plazo es de (12-4) = 8
meses, es decir, (8/12) = 0.66
años
[5] VF1 = 30,000 (1 + 0.18*0.66) = UM
33,564.00
3º monto: No calculamos intereses, el monto
lo recibimos dentro de 1 año.
VF3 = 50,000
Respuesta:
Obviamente, la 3º alternativa es la más
ventajosa.
Descuento Simple
Ejercicio 60 (Descuento Bancario
Simple)
Calcular el descuento por anticipar un capital de UM
20,000 por 8 meses al 18% de interés anual n
está expresado en meses, calcular la tasa de descuento
d en base mensual.
Solución:
VN = 20,000; n = 8; d = (0.18/12) = 0.015; D
=?
[14A] D = 20,000*8*0.015 = UM 2,400
Respuesta:
Descuento UM 2,400.
Ejercicio 61 (Descuento Bancario
Simple)
Calcular el monto recibido por el beneficiario del
capital, en la operación anterior.
Solución:
VN = 20,000; D = 2,400; VA =?
[15A] VA = 20,000 – 2,400 = UM 17,600
Respuesta:
Monto realmente recibido en efectivo UM
17,600
Ejercicio 62 (Descuento Bancario
Simple)
Descuentan UM 30,000 por 6 meses y UM 80,000 por 5
meses, al 18% de descuento. Determinar el capital actual total de
las dos operaciones.
1º Solución:
VN1 = 30,000; n = (6/12) = 0.5; d = 0.18; DC =?; VA1
=?
1º Calculamos el descuento:
[14] DC = 30,000*0.18*0.5 = UM 2,700
Dejamos el tipo de interés en base anual y
expresamos el plazo en años: 6 meses equivale a 0.5
años (6/12). Hubiera dado igual dejar el plazo en meses y
calcular el tipo de descuento mensual equivalente.
[15] VA1 = 30,000 – 2,700 = UM 27,300
2º Solución:
VN2 = 80,000; n = 5/12 = 0.4167; d = 0.18; DC =?; VA2
=?
[15] DC = 80,000*0.18*0.4167 = UM
6,000.48
[15A] VA2 = 80,000 – 6,000 = UM
73,999.52
Sumando los dos montos obtenemos: VAT = VA1 +
VA2
VAT = 27,300 + 73,999.52 = UM
101,299.52
Respuesta:
El capital total actual descontado de ambas operaciones
es UM 101,299.52
Ejercicio 63 (Descuento Bancario
Simple)
Un empresario descuenta UM 60,000 por el plazo de 4
meses y los intereses del descuento son UM 5,000. Calcular el
tipo de descuento.
Solución:
DC = 5,000; VN = 60,000; n = (4/12) = 0.3333; d
=?
[15] 5,000 = 60,000*d*0.3333
Respuesta:
El tipo de descuento anual es 25%.
Ejercicio 64 (Descuento Bancario
Simple)
Calcular el descuento por anticipar UM 25,000 por 5
meses al 15% de descuento.
Solución:
VN =25,000; n = (5/12) = 0.4167; d =0.15; DC
=?
[15] DC = 25,000*0.15*0.4167 = UM 1,562.51
Ejercicio 65 (Descuento Bancario
Simple)
Si descuentan un capital de UM 50,000 por 4 meses y los
intereses de descuento han ascendido a UM 2,000. Calcular el tipo
de descuento aplicado.
Solución:
VN = 50,000; n = (4/12) = 0.3333; DC = 2,000; d
=?
Calculamos el tipo de descuento:
[15] 2,000 = 50,000*d*0.3333
Respuesta:
Luego, el tipo de descuento aplicado es el
12%.
Ejercicio 66 (Descuento Bancario
Simple)
Calcular el plazo del descuento, si descuentan UM 80,000
al 18% y los intereses de descuento ascienden a UM
7,000.
Solución:
VN = 80,000; d = 0.18; DC = 7,000; t =?
1º Calculamos el plazo:
[15] 7,000 = 80,000*0.18*n
0.4161*12 = 5.8333 meses
0.8333*30 = 25 días
Respuesta:
El plazo del descuento ha sido 5 meses con 25
días.
Ejercicio 67 (Descuento Bancario
Simple)
Los intereses de descuento de anticipar un capital por 9
meses, al 12% anual, ascienden a UM 22,000. Calcular el importe
líquido (VA).
Solución:
DC= 22,000; n = (9/12) = 0.75; d = 0.12; VN =?; VA
=?
1º Calculamos el valor nominal:
[15] 22,000 = VF*0.12*0.75
2º Calculamos el VA líquido o capital
inicial, neto recibido:
[15A] VA = 244,444.44 – 22,000 = UM
222,444.44
Respuesta:
El capital o valor líquido es de UM
222,444.44
Interés
Compuesto
Ejercicio 68 (Valor futuro)
Calcular el monto a pagar dentro de dieciocho meses por
un préstamo bancario de UM 30,000, si devenga el 22%
nominal con capitalización trimestral.
Solución:
VA = 30,000; n (18/3) = 6; j = 0.22; VF
=?
1º Para determinar el monto acumulado (VF), luego
de 18 meses (6 trimestres), de un capital inicial de UM 30,000,
necesitamos calcular la tasa efectiva trimestral equivalente a
partir de la tasa nominal con capitalización trimestral
del 22%: i = 0.22/4 = 0.055
Respuesta:
El monto a pagar es UM 41,365.28
Ejercicio 69 (Valor Actual)
Daniel desea viajar al extranjero dentro de 18 meses en
un tour cuyo costo es UM
10,000. Quiere saber cuánto debe depositar hoy para
acumular esa cantidad, si el dinero depositado a plazo fijo en el
Banco gana el 12% efectivo anual.
Solución:
VF = 10,000; n = 18; i = (0.12/12) = 0.01;
VA =?
Respuesta:
Daniel debe depositar hoy UM 8,360.17
Ejercicio 70 (Interés simple versus
interés compuesto)
Determinar el interés de UM 150,000 invertido
durante un año y medio al 18% anual, aplicando
capitalización simple y capitalización
compuesta.
Solución:
VA = 150,000; n = 18; i = (0.18/12) = 0.015; I
=?
a) A interés simple : [8] I = 150,000*0.015*18 =
UM 40,500
b) A interés compuesto : [20] I =
150,000(1.01518 – 1) = UM 46,101
COMPARACION:
[5] VF (INT. SIMPLE) =
150,000(1+0.015*18) = UM 190,500
[19] VF(INT. COMPUESTO) =
150,000(1+0.015)18 = UM 196,101
También obtenemos éstas dos últimas
cantidades con la fórmula: [9] VF = VA + I.
Ejercicio 71 (Valor futuro
total)
Si recibo UM 80,000 dentro de 5 meses y otro capital de
UM 45,000 dentro de 8 meses. Ambos lo invierto al 15% anual.
¿Qué monto tendré dentro de 1 año,
aplicando capitalización compuesta?
Solución
VA5 y 8 = 80,000 y 40,000; i = 0.15; VFT =?
Calculamos el capital final de ambos montos dentro de 1
año y los sumamos. Como la tasa es anual la base debe ser
anual:
Para 5 meses (5-12 = 7/12 = 0.5833) y para 8 meses (8 –
12 = 4/12 = 0.333)
[19] VF5 = 80,000(1.15)0.5833 = UM
86,795.47
[19] VF8 = 40,000(1.15)0.3333 = UM
41,907.58 UM 128,703.05
Respuesta:
Capital final dentro de un año UM
128,702.05
Ejercicio 72 (Tasa de interés simple y
compuesto)
Si UM 150,000 generan intereses durante 6 meses de UM
30,000. Determinar el tipo de interés anual si fuera a
interés simple y a interés compuesto.
Interés simple:
VA = 150,000; I = 30,000; n = 6; i =?
[9] VF = 150,000 + 30,000 = UM 180,000
0.03333*12 = 0.40 anual
Interés compuesto:
VA = 150,000; I = 30,000; n = 0.5; i =?
[9] VF = 150,000 + 30,000 = UM 180,000
Anual = 0.0309 * 12 * 100= 37.02%
Respuesta:
La tasa de interés simple anual es 40%
La tasa de interés compuesto anual es
37.02%
Descuento Compuesto
Ejercicio 73 (Descuento racional
compuesto)
Determinar el descuento compuesto racional al 7% de
interés anual, capitalizable trimestralmente, sobre UM
5,000 a pagar dentro de 5.5 años.
Solución:
VN = 5,000; n = (5.5*4) = 22; m = 4; d = (0.07/4) =
0.0175; DR =?
Respuesta:
El descuento racional compuesto es UM
1,586.40
Ejercicio 74 (Tasa de interés a una
tasa de descuento dada)
Si asumimos la tasa de descuento del 7% anual en
operaciones de dos o más años, ¿a qué
tasa de interés, capitalizable anualmente,
equivale?
Solución:
d = 0.07; i =?
Respuesta:
La tasa de descuento del 7%, con capitalización
anual equivale a otra de interés del 7.53%,
anual.
Ejercicio 75 (Tasa de descuento a una tasa de
interés dada)
Calcular la tasa de descuento compuesto anual,
equivalente a otra de interés del 7%, capitalizable
anualmente.
Solución:
i = 0.07; d =?
Respuesta:
El tipo de interés del 7%, capitalizable
anualmente, es equivalente a la tasa de descuento del 6.54%
anual.
Comentario:
Como apreciamos, en ambas fórmulas operamos con
la tasa periódica, en nuestro caso anual.
Ejercicio 76 (Descuento Bancario
Compuesto)
Determinar el descuento por anticipar un capital de UM
40,000, durante 7 meses, al tipo de interés del 14%
anual.
Solución:
VF = 40,000; i = 14/12 = 0.01167; n = 7; D =?
Respuesta:
El descuento compuesto verdadero es de UM
3,120.26
Ejercicio 77 (Descuento Bancario
Compuesto)
Descontar el capital de UM 150,000, por el plazo de 6
meses al 17%, y el importe resultante capitalizarlo
(capitalización compuesta) por el mismo plazo y con el
mismo tipo de interés.
Solución:
VF = 150,000; i = 0.17; n = 6/12 = 0.5; VA =?
1º Descontamos con la fórmula:
Una vez obtenido el capital descontado, capitalizamos
aplicando la fórmula de capitalización
compuesta:
[19] VF = 138,675*1.170.5 = UM 150,000
Como vemos, cumplimos el concepto de equivalencia y
retornamos al capital de partida. El descuento compuesto, al
igual que la capitalización compuesta puede utilizarse
indistintamente en operaciones de corto plazo (menos de 1
año) y largo plazo. En este sentido contrasta con el
descuento comercial y el racional, que sólo es utilizado
en operaciones de corto plazo.
Ejercicio 78 (Tasa de descuento
equivalente)
Si el banco dice cobrar la tasa de interés de 30%
anual, liquidado cada mes, vencido, ¿a qué tasa de
interés mes anticipado corresponde ese
interés?
El interés mensual vencido es :
0.30/12= 0.025= 2.5%
El interés mensual anticipado es :
Luego, la tasa equivalente mes vencido es 2.49% mes
anticipado.
Ejercicio 79 (Descuento Bancario
Compuesto)
Si solicitamos un pagaré
al Banco por UM 20,000 a pagar luego de 90 días. Si la
tasa de interés vigente en el mercado es del
18% anual y los intereses son cobrados por adelantado.
¿Cuánto le descontarán por concepto de
intereses?, ¿Cuánto recibirá realmente? y
¿Cuánto pagará luego de los 90
días?
Solución: (18% / 360 = 0.05%
diario)
VF = 20,000; n = 90 días; i = 0.0005 diario; VA
=?
1º Calculamos el VA:
2º Calculamos el descuento: (I = D)
[7] D = 20,000 – 19,120.16 = UM
879.84
El descuento es UM 879.84 y el importe líquido a
recibir es UM 19,120.16.
Respuesta:
Luego de los 90 días pagamos UM
20,000.
Ejercicio 80 (Descuento Bancario
Compuesto)
¿Cuánto deberíamos haber solicitado
para que después del descuento correspondiente
obtuviéramos los UM 20,000 requeridos?
Solución: (18% / 360 = 0.05%
diario)
VA = 20,000; n = 90 días; i = 0.0005 diario; VF
=?
[19] VF = 20,000(1 + 0.0005)90 = UM
20,920
Comprobando:
Respuesta:
Luego el monto que deberíamos haber solicitado al
Banco es UM 20,920, representa el valor nominal VF de la
obligación.
Otras Aplicaciones del Interés
Compuesto
Ejercicio 81 (Crecimiento
poblacional)
La población de un año a otro
creció de 8,000 a 8,200 habitantes. Asumiendo el
crecimiento a ritmo compuesto anual constante.
¿Cuál será la población de la ciudad
dentro de 15 años?
Solución:
VA = 8,000; VF = 8,200; n = 1; r = ?
Calculamos el ritmo de crecimiento (i) con
la fórmula [1] y la función TASA:
2º Calculamos la población dentro de 15
años: VA = 8,200
[19] VF = 8,200(1 + 0.025)15 = UM 11,876
Habitantes
Respuesta:
La población dentro de 15 años será
de 11,876 habitantes
Ejercicio 82 (Valor futuro de una
población)
En una reserva nacional existen a la fecha 860 monos.
Poblaciones de esta magnitud crecen al ritmo del 3.5% anual.
¿Cuántos monos habrá al cabo de 25
años, estimando el ritmo de crecimiento
constante?
Solución:
VA = 860; i = 0.035; n = 25; VF =?
[19] VF = 860(1.035)25 = UM 2,032
monos
Respuesta:
Al cabo de 15 años la población de monos
será de 2,023
Ejercicio 83 (Valor actual de una
población)
En otra reserva parecida a la anterior no existen monos.
¿Cuántos monos trasladamos en este momento para
tener la población de 990 dentro de 10 años
considerando el 3.5% de crecimiento anual?
Solución:
VF = 990; i = 0.035; n = 10; VA = ?
1º Calculamos el VA:
Respuesta:
Debemos trasladar 702 monos
Ejercicio 84 (Tasa de
crecimiento)
En la década de 1940 – 1950 la población
mundial creció de 2,249 a 2,510 millones de habitantes.
Calcular el ritmo compuesto de crecimiento anual.
Solución:
VA = 2,249; VF = 2,510; n = 10 (1950 – 1940); i
=?
Respuesta:
El ritmo compuesto de crecimiento anual fue de 1.10% al
año.
Por:
César Aching Guzmán
Página personal:
http://es.geocities.com/cesaraching
El presente trabajo
corresponde al Capítulo II de la obra de mi
autoría: "MATEMATICAS
FINANCIERAS PARA TOMA DE
DECISIONES EMPRESARIALES", que lo vengo difundiendo a
través de
Gestiópolis.com y
Monografías.com . La revisión técnica
estuvo a cargo del Ing. Jorge L. Aching Samatelo, conforman el
equipo de edición:
COORDINACION GENERAL MARLENE SAMATELO
VALDIVIA
DISEÑO CARATULA ANGELA BONINO
VELAOCHAGA
DISEÑO Y DIAGRAMACION MARIA VICTORIA ANGULO
JOHNSON
PROCESO DIGITAL CESAR ACHING SAMATELO
PAULA ENITH ACHING DIAZ
En el capítulo I, numerales 22 y 23
respectivamente, incorporamos FUNDAMENTOS MATEMATICOS y un
manual de las
FUNCIONES
FINANCIERAS DE EXCEL utilizadas en la presente obra. El numeral
22 ha sido desarrollado por el Ing. Jorge L. Aching
Samatelo.
Tanto el primer capítulo –ya publicado-
como este, han sido procesados en MICROSOFT
OFFICE
DOCUMENT IMAGING, programa de
la familia
Microsoft Office con el que debe visualizarse ambos
trabajos.
 Página anterior | Volver al principio del trabajo | Página siguiente  |