Una clase con el Polinomio de Taylor

2. Objetivos
3. Aproximación de funciones
   por polinomios
4. Aproximación
   local
5. Polinomio de
   Taylor
6. Fórmula de
   Taylor
7. Planificación
8. Desarrollo de
   clase
9. Ejercicios

TAYLOR

1. Los polinomios figuran entre las funciones
   más sencillas que se estudian en Análisis. Son adecuadas para trabajar
   en cálculos numéricos por que sus valores se
   pueden obtener efectuando un número finito de
   multiplicaciones y adiciones. Por lo tanto, cualquier otra
   función que pueda aproximarse por
   polinomios facilita su estudio, entre ellas las funciones
   logarítmicas, exponenciales y trigonométricas,
   las cuales no pueden evaluarse tan
   fácilmente.

   Veremos que muchas funciones pueden aproximarse
   mediante polinomios y que éstas, en lugar de la
   función original, pueden emplearse para realizar
   cálculos cuando la diferencia entre el valor real
   de la función y la aproximación
   polinómica es suficientemente
   pequeña.

   Varios métodos pueden emplearse para aproximar
   una función dada mediante polinomios. Uno de los mas
   ampliamente utilizados hace uso de la formula de
   Taylor, llamada así en honor del
   matemático ingles Brook Taylor.

   Brook Taylor

   Nace en Edmonton, Inglaterra
   en 1685.

   Fue discípulo de Newton.
   Continuó su obra en el campo del análisis matemático. Su
   Methodus Incrementorum Directo et Inversa, la publica
   en Londres en 1715, donde describe su fórmula, aunque
   sin demostrarlo, cosa que hizo Mac-Laurin. (aunque esta
   fórmula era ya conocida por Gregory y Leibniz, pero no
   la habían publicado). Allí examinó los
   cambios de variable, las diferencias finitas (las cuales
   definió como incrementos), y presentó el
   desarrollo
   en serie de una función de una variable.

   Tales estudios no se hicieron famoso enseguida, sino
   que permanecieron desconocidos hasta 1772, cuando el
   matemático francés Joseph Louis de Lagrange,
   subrayó la importancia para el desarrollo del cálculo
   diferencial.

   Publicó también varios trabajos sobre
   perspectiva, dando el primer tratamiento general de los
   puntos de fuga; sobre los fenómenos de capilaridad,
   sobre problemas
   de cuerdas vibrantes y sobre centros de oscilación, a
   los que ya en 1708 había dado una
   solución.

   Fallece en Londres en 1731.

2. Introducción

   Uno de los objetivos
   primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones
   polinómicas, ya que es de gran importancia para
   poder
   así calcular las funciones logarítmicas,
   exponenciales y trigonométricas. También
   así, darle una visión más amplia al
   estudiante sobre este tema, llevando un lenguaje
   no tan extenso y más centrado en lo práctico y
   lo necesario para poder realizarse este tipo de
   cálculos matemáticos, que en el cálculo diferencial e integral,
   encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la
   atención de practicar.

   En las aproximaciones polinómicas veremos lo
   sencillo que resulta.

3. Objetivos

   Nos vamos a ocupar aquí de la
   aproximación local f(x) dada, mediante
   funciones polinómicas P(x), que se
   buscarán. Hemos llamado "local" a esta
   aproximación por que se realiza para valores de
   x próximos a un punto fijo a; las
   aproximaciones van a ser tanto mejores cuanto más se
   acerque x al valor a.

   Para aproximar a f(x), se recurre a
   las funciones polinómicas, porque como ya hemos
   explicado, éstas funciones son realmente más
   sencillas y más adecuadas para los cálculos
   numéricos. Para ir ganando precisión hay que
   tomar funciones polinómicas que sean, cada vez, de
   mayor grado.

   Las mejores aproximaciones se obtienen, si
   f(x) es suficientemente regular, al tomar para
   P(x) funciones polinómicas que tienen en
   x = a las mismas derivadas
   (primera, segunda, etc,….) que f(x);
   Éstos, son los llamados polinomios de
   Taylor en x = a de f(x). Para
   medir la bondad de estas aproximaciones se necesita conocer
   algún tipo de acotación del error f(x)
   – P(x); por ello, obtendremos una
   expresión de esta diferencia, R(x), que
   se llama resto o término complementario.

   

4. Aproximación de funciones por
   polinomios

   Sean, una función f(x) y una
   función polinómica P(x),
   donde:

   1. f(a) = P(a)
   2. son n derivables en x = a y
      se verifica:

   f’(a) = P’(a); f’’(a)
   = P’’(a); f’’’(a) =
   P’’’(a);……..f n(a) = P
   n(a).

   Entonces P(x) es una
   aproximación local de f(x) en x =
   a.

   Tenemos que
   f(x)-P(x) cuando

   Si comparamos f(x)-P(x) con (x-a); con
   (x-a)2; con (x-a)3;…….; con
   (x-a)n ; se dice que P(x) en una
   aproximación de f(x) de primer orden, de
   segundo orden, …., de orden n, para si se verifica,
   respectivamente que:

   

   Resumiendo:

   Dada una función f(x), se
   dice que otra función P(x) es una
   aproximación local de orden n de f(x)
   cerca de un punto x = a si se cumple:

   

   Demostración

   Sea h tal que h =
   

   Observemos: 1º.- ambas funciones admiten
   derivada de orden n.

   2º.- este límite está
   indeterminado de la forma (0/0)

   A dicho límite le podemos aplicar la regla de
   L’Hopital (caso 0/0), sucesivamente, por lo menos hasta
   el orden (n-1).

   

   

5. Aproximación local de una
   función

   Sea f(x) una función n veces
   derivable en x = a;

   P(x) un polinomio, con aproximación local
   de orden n de f(x) cerca de x = a.

   P(x) se llama POLINOMIO DE TAYLOR de grado
   n de f(x) siendo P(x):

   

   Demostración

   Por Hip. Sabemos que:

   f(a) = P(a); f’(a) = P’(a);
   f’’(a) = P’’(a);……..f
   n(a) = P n(a)

   Expresemos P(x) en forma de potencias de (x
   – a) con coeficientes indeterminados:

   P(x) = p0 + p1(x – a)
   + p2(x – a)2 + p3(x
   – a)3 + p4(x –
   a)4 +……….+pn(x
   – a)n (1)

   Hallaremos las derivadas sucesivas de
   P(x):

   P’(x) = p1 +
   2.p2(x – a) + 3.p3(x –
   a)2 +4.p4(x – a)3
   +………………….+
   n.pn(x – a)n
   –1

   P’’(x) = 2.p2 +
   2.3.p3(x – a) + 3.4.p4(x –
   a)2 +
   ……………….+ (n –
   1).n.pn(x – a)n –
   2

   P’’’(x) = 2.3.p3 +
   2.3.4.p4(x – a) +
   ……………………..+
   (n – 2).(n –1).n.pn(x- a)n
   – 3

   …………………………………………………………………………………………………….

   Pn(x) = 1.2.3.4……………..(n
   –3)(n – 2)(n – 1).n

   

   de donde resulta:

   

   Sustituyendo en (1)
   tenemos:

   

   L.q.q.d

   Recordemos que P(x) es próximo a
   f(x); es decir: f(x) – P(x) ® 0

   Designemos por Rn(x) la diferencia
   entre los
   valores de la función dada, f(x), y del
   polinomio calculado.

   Rn(x) = f(x) – P(x) Þ f(x) = P(x) +
   Rn(x).

   Desarrollando, tenemos que:

   

   El término Rn(x) se conoce
   con el nombre de TÉRMINO COMPLEMENTARIO O
   RESTO.

   

6. Polinomio de
   Taylor
7. Fórmula de
   Taylor

Sea ƒ una función tal que ƒ y sus
primeras n derivadas son continuas en el intervalo
cerrado [a, b]. Además, considere que ƒ(x) existe
para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un
número z en el intervalo abierto (a,b). Tal
que:

(1)

La ecuación (1) también se cumple
sí b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a],
y (a, b) se sustituye por (b, a).

Observe que cuando n = 0, (1) se convierte
en:

Donde z esta entre a y b. Ésta es la
conclusión del teorema del valor medio.

Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la
fórmula de Taylor:

(2)Donde z esta entre a y x.

La condición en la que se cumple (2) es
que ƒ y sus primeras n derivadas sean continuas en un
intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n +
1)-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del
intervalo abierto correspondiente.

La formula (2) puede escribirse
como:

(3) Donde

(4)

Y

(5) Donde z esta entre a y
x

El caso especial de la fórmula de Taylor que se
obtiene al considerar a = 0 en (2) es

Donde z esta entre 0 y x.

Ésta fórmula recibe el nombre de
fórmula de Mac Laurin, en honor al matemático
escocés Colin Mac Laurin (1698-1746).

PLANIFICACION

PLANIFICACIÓN
GENERAL

PLANIFICACIÓN
DE CLASE

LA
CLASE

1. Trabajaremos en la sala de informática,
   donde se dispondrá a los alumnos de a tres por
   computadora atendiendo a las
   características del grupo y teniendo en cuenta que el
   docente debe supervisar el trabajo
   en cada máquina.
2. Apoyándonos en algunas funciones sencillas,
   veremos brevemente el manejo del software (DERIVE), como ser:
   graficar funciones, calcular límites, hallar derivadas,
   etc.
3. Para el desarrollo de la clase se entregará
   una ficha de trabajo
   (ficha 1), realizando las actividades en ella
   indicadas.

Ficha 1 (1ra.
Parte)

trabajo en clase

I) Aproximación de funciones por
polinomios

A)

B)

1.- ¿Qué observas en los gráficos al ir aumentando el grado de
g?

2.- ¿Qué expresión tendrá
g n(x)? Escribe g 4 (x) y g 5
(x).

3.- Realiza igual procedimiento
para n = 4 y n = 5, que en la parte A)

4.- Grafica simultáneamente ex, g
1 (x),………., g 5 (x).

5.- CONCLUSIONES

DESARROLLO EN CLASE

Nos vamos a ocupar aquí de la
aproximación local f(x) dada, mediante
funciones polinómicas P(x), que se
buscarán. Hemos llamado "local" a esta
aproximación por que se realiza para valores de x
próximos a un punto fijo a; las aproximaciones
van a ser tanto mejores cuanto más se acerque x
al valor a. Para aproximar a f(x), se
recurre a las funciones polinómicas, porque como ya
hemos explicado, éstas funciones son realmente
más sencillas y más adecuadas para los
cálculos numéricos. Para ir ganando
precisión hay que tomar funciones polinómicas que
sean, cada vez, de mayor grado.

Las mejores aproximaciones se obtienen, si
f(x) es suficientemente regular, al tomar para
P(x) funciones polinómicas que tienen en
x = a las mismas derivadas (primera, segunda, etc,….)
que f(x); Éstos, son los llamados
polinomios de Taylor en x = a de
f(x). Para medir la bondad de estas
aproximaciones se necesita conocer algún tipo de
acotación del error f(x) – P(x); por
ello, obtendremos una expresión de esta diferencia,
R(x), que se llama resto o término
complementario.

Hagamos un ejemplo siguiendo el trabajo
realizado en la ficha:

Sea f:f(x) = ex
Donde f’(x) = ex; f’’(x) =
ex;……..; f n(x) =
ex.

Si x = 0 tenemos: f(0) = 1; f’(0) =
1; f’’(0) = 1;……….f n(0) =
1.

Y consideremos la función polinómica de
primer grado g1:g1(x) =
1+x

En x = 0 tenemos que:
g1(0) = 1 y g’1(0) =
1

Por lo tanto vemos que g1
coincide con f en x = 0, así como sus
respectivas derivadas en el mismo punto.

Siguiendo la ficha, gráficamente
obtenemos:

la gráfica de g1 es la recta tangente
a f en el punto (0,1)

Ampliando la gráfica próxima al punto
(0,1)

Consideremos ahora, una función polinómica
de segundo grado g2

g2 : g2 (x) = donde g2(0) =
1; g’2(0) = 1; g’’2(0) =
1

Graficando:

El dibujo nos
muestra que la
gráfica de g2 se aproxima mejor a la curva de
ex que (x+1) en las proximidades de
(0,1).

Ampliando la gráfica en esa misma zona, es
más claro.

Podemos intentar aún mejorar la
aproximación utilizando polinomios que coincidan con f y
sus derivadas terceras y de órdenes
superiores.

Sea g3 : g3 (x ) =

Graficando:

Y ampliando, vemos que casi "coinciden"

Por lo tanto, es fácil comprobar que el siguiente
polinomio

coincide con la función exponencial y sus n
primeras derivadas en el punto x = 0.

Este es el trabajo que realiza Taylor.

Siguiendo con nuestro ejemplo, para n = 4 y n = 5
tendríamos:

y

respectivamente.

Cuyas gráficas son:

Donde se evidencia lo ya afirmado: al aumentar el grado
del polinomio, su gráfica se aproxima mejor a la curva de
ex, próximos al punto (0,1).

Dibujando todas las gráficas juntas (la
función ex, en rojo)

Se nota claramente que el polinomio de grado 5 es el que
más se aproxima a f alrededor del punto
(1,0).

Ficha 2 (2ra. Parte)

trabajo en clase

Aproximación local de una
función

EJERCICIOS

1.- Sean las siguientes
funciones:

f : f(x) = e 2 x y g :
g(x) = 2×2 + 2.sen x

1. Hallar derivadas sucesivas de f y
   g hasta orden 3. Calcular en cada caso valor en x
   = 0. (usar DERIVE)
2. Analizar el orden de aproximación local cerca
   de x = 0 entre la funciones f y g
   .

2.-Dada f : f (x) =

Comprobar que existe una función
polinómica P(x) / P(x) = ax2 + bx + c donde
esta es una aproximación local de orden n = 2 en el
punto 1.

3.- En un exótico país existe
un famoso ídolo, cuya parte visible de sus ojos son dos
preciosas piedras de gran valor.

Un ladrón pretende robar las piedras,
sustituyéndolas por dos pequeñas esferas del
mismo color, que
vistas desde fuera, se parezcan lo más posible a las
piedras verdaderas, para de esa manera no causar pánico en los devotos del mencionado
ídolo.

Estas piedras tienen forma de elipsoide de revolución, cuya sección recta es
una elipse, que tiene por ecuación 4×2 +
y2 = 4. La parte visible es una pequeña zona
próxima al punto A(0,2).

Vamos hallar el radio
(r) que habrían de tener las esferas para
conseguir engañar lo mejor posible a los adoradores del
ídolo. (Ejercicio explicado en clase).

Resolución

Sean E : y C :

ecuaciones
explícitas de la elipse y circunferencia
respectivamente.

1. Graficar la elipse y la
   circunferencia.
2. Completar

Obs: Usar DERIVE

Soluciones

1)

f(x) = e2x – 1
f ’(x) = 2e2x f ’’(x)
= 4e2x f ‘’’(x) =
8e2x

g(x) = 2×2 +2senx g’(x) =
4x + 2cosx g’’(x) = 4 –
2senx g’’’(x) = – 2cosx

Por lo tanto, en x = 0, estas funciones sucesivas,
valen:

f(0) = 0 f ’(0) = 2 f ’’(0) = 4 f
’’’(0) = 8

g(0) = 0 g’(0) = 2 g’’(0) = 4
g’’’(0) = -2

Como f(0) = g(0); f ‘(0) = g’(0); f
‘’(0) = g’’(0) f ‘’’(0)
¹ g’’’(0).
Resulta que g(x) es una aproximación local de orden
2 de f(x) cerca de x = 0.

2)

Se ha de verificar que: f(1) = P(1);
f’(1) = P’(1) y f’’(1) =
P’’(1)

Ahora:; ;
;

P(x) = a + bx + cx2; P’(x) = b +
2.cx; P’’(x) = 2c

Se debe verificar que: 2 = a + b + c; -1 = b +
2c; 1 = 2c

Resolviendo el sistema tenemos
que: a = 7/2; b = -2 y c = 1/2

Entonces:

P(x) =

3)

Obs) Notar que se toma los ejes cambiados, para
facilitar la resolución del ejercicio.

Resolución

La sección recta de la esfera es una
circunferencia que deberá pasar por el punto (0,2) y
habrá de tener su centro en el punto (0, 2 –
r), donde r es su radio.

La ecuación de la circunferencia es:

x2 + (y – 2 + r)2 =
r2

Para que el engaño se note lo menos posible, hay
que conseguir que la circunferencia se aproxime lo más
posible a la elipse 4×2 + y2 = 4 en
las cercanías del punto x = 0; y = 2. Esto se consigue si,
además de pasar ambas por dicho punto, sus respectivas
derivadas (primera y segunda) también son
iguales.

Calculando tenemos:

En la Elipse: 4×2 + y2 =
4;

Para derivar podemos llevar la ecuación de la
elipse a la forma explícita donde al ecuación
de la elipse la llamaremos E(x).

donde y

Tenemos: E(0) = 2, E’(0) = 0; y
E’’(0) = – 2

En la circunferencia: x2 + (y
– 2 + r)2 = r2

De similar forma que en la elipse, llevaremos la
ecuación de la circunferencia a su forma
explícita, llamándola C(x).

;
y

Donde: C(0) = 2; C’’(0) = 0 y
C’’(0) =

Sabemos que E(0) = C(0); E’(0) = C’(0) y
que E’’(0) = C’’(0)

Entonces: -2 = Þ r =

Ficha 3 para el alumno (3ra.
Parte)

trabajo
domiciliario

Polinomio de
Taylor

1. 1. Hallar el polinomio
      de Taylor, de grado n, en x = a, de la
      función f(x) en los siguientes casos:

   f(x)	a	n	Polinomio de Taylor
   xex	1	2
   cosx	p /4	3
   Lx	1	4
   xsenx	p /2	3
   tgx	p /4	3
   Ö (x)	1	4

   Utiliza DERIVE 5 y gráfica conjuntamente
   cada función con su polinomio de Taylor.
   ¿Qué observas en cada
   gráfica?

2. Hallar desarrollo de Mac Laurin, de grado n,
   en x = a, de la función f(x) en los siguientes
   casos:

3. Calcular

recurriendo al desarrollo de Mac Laurin, de grado 2,
de las funciones determinadas por el numerador y denominador del
límite en cuestión.

Trabajo realizado por el Profesor

Carlos Loyarte

Este se aplica en una clase de 6º grado de
Secundaria, Opción Ingeniería.

La Bibliografía es infinita.

ROCHA – URUGUAY