Nociones de Regresión Lineal

1. Introducción

2. Estimación de la Recta de
Regresión

3. Coeficiente de
Determinación

4. Regresión
Múltiple

5. Regresión
No-lineal

6. Casos Aplicados

Caso A — Elecciones en
Florida

Caso B — Desempleo y Crecimiento
Económico

Caso C — Desempleo y Crecimiento
Económico (cont.),

Caso D — Ley de Okun en
Alemania

Caso E — Función
Consumo

Caso F — Demanda de
Fotocopias

Caso G — Inflación en
América Latina

Caso H — Convergencia Regional
en México

Caso I — Demanda de
Importaciones en Guatemala

Caso J — Producción de
Algodón

Caso K — Inflación en
Guatemala

Caso L — Inflación en
Guatemala (cont.)

Referencias

Notas

1. Introducción.

El objeto de un análisis de regresión es investigar
la relación estadística que existe entre una variable
dependiente (Y) y una o más variables
independientes (, … ). Para poder realizar
esta investigación, se debe postular una
relación funcional entre las variables. Debido a su
simplicidad analítica, la forma funcional que más
se utiliza en la práctica es la relación
lineal. Cuando solo existe una variable independiente,
esto se reduce a una línea recta:

donde los
coeficientes b0 y b1 son parámetros que
definen la posición e inclinación de la recta.
(Nótese que hemos usado el símbolo especial
para representar
el valor de
Y calculado por la recta. Como veremos, el valor real de
Y rara vez coincide exactamente con el valor calculado,
por lo que es importante hacer esta
distinción.)

El parámetro b0, conocido como la
"ordenada en el origen," nos indica cuánto es Y
cuando X = 0. El parámetro b1, conocido como
la "pendiente," nos indica cuánto aumenta Y por
cada aumento de una unidad en X. Nuestro problema consiste
en obtener estimaciones de estos coeficientes a partir de una
muestra de
observaciones sobre las variables Y y X. En el
análisis de regresión, estas estimaciones se
obtienen por medio del método de
mínimos cuadrados.

Como ejemplo, consideremos las cifras del Cuadro 1, que
muestra datos mensuales
de producción y costos de
operación para una empresa
británica de transporte de
pasajeros por carretera durante los años 1949-52 (la
producción se mide en términos de miles de
millas-vehículo recorridas por mes, y los costos se miden
en términos de miles de libras por mes).

Para poder visualizar el grado de relación que
existe entre las variables, como primer paso en el
análisis es conveniente elaborar un diagrama de
dispersión, que es una representación en un
sistema de
coordenadas cartesianas de los datos numéricos observados.
En el diagrama
resultante, en el eje X se miden las
millas-vehículo recorridas, y en el eje Y se mide
el costo de
operación mensual. Cada punto en el diagrama muestra la
pareja de datos (millas-vehículo y costos de
operación) que corresponde a un mes determinado.
 

Diagrama de
Dispersión

Cuadro 1. Operaciones
Mensuales en una Empresa de
Transporte de Pasajeros.

————————————————————————————————————

Costos Millas- Costos Millas-

Totales Vehículo Totales
Vehículo

(miles) (miles) (miles) (miles)

Mes Nº Y X Mes Nº Y X

————————————————————————————————————

1 213.9 3147 18 213.2 3338

2 212.6 3160 19 219.5 3492

3 215.3 3197 20 243.7 4019

4 215.3 3173 21 262.3 4394

5 215.4 3292 22 252.3 4251

6 228.2 3561 23 224.4 3844

7 245.6 4013 24 215.3 3276

8 259.9 4244 25 202.5 3184

9 250.9 4159 26 200.7 3037

10 234.5 3776 27 201.8 3142

11 205.9 3232 28 202.1 3159

12 202.7 3141 29 200.4 3139

13 198.5 2928 30 209.3 3203

14 195.6 3063 31 213.9 3307

15 200.4 3096 32 227.0 3585

16 200.1 3096 33 246.4 4073

17 201.5 3158

————————————————————————————————————

Fuente: J. Johnston, Análisis
Estadístico de los Costes (Barcelona: Sagitario, S.
A., 1966), p. 118.

————————————————————————————————————

Como era de esperarse, existe una relación
positiva entre estas variables: una mayor cantidad de
millas-vehículo recorridas corresponde un mayor nivel de
costos de operación.

Por otro lado, también se aprecia por qué
este gráfico se denomina un diagrama de
"dispersión": no existe una relación
matemáticamente exacta entre las variables, ya que no toda
la variación en el costo de operación puede ser
explicada por la variación en las millas-vehículo.
Si entre estas variables existiera una relación lineal
perfecta, entonces todos los puntos caerían a lo largo de
la recta de regresión, que también ha sido
trazada y que muestra la relación "promedio" que existe
entre las dos variables. En la práctica, se observa que la
mayoría de los puntos no caen directamente sobre la recta,
sino que están "dispersos" en torno a ella.
Esta dispersión representa la variación en Y
que no puede atribuirse a la variación en
X.

2. Estimación de la Recta
de Regresión.

Para estimar los coeficientes por medio de
mínimos cuadrados, se utilizan las siguientes
fórmulas:

En nuestro ejemplo, aplicando estas fórmulas
tenemos:

25,216,020.3 – 219.1242(113,879)

b1 =
——————————————
= 0.044674

398,855,769 – 3,450.879(113,879)

b0 = 219.1242 –
0.044674(3,450.879) = 64.96

Expresando los resultados en términos de la recta
de regresión, tenemos:

= 64.96 +
0.044674 X

Podemos concluir que por cada milla adicional recorrida,
los costos de operación aumentan en aproximadamente 4.5
centavos—esto podría interpretarse como el "costo
marginal" para la empresa de
recorrer una milla adicional—mientras que el coeficiente
b0 nos estaría indicando la parte del costo mensual
que no varía directamente con la cantidad de millas
recorridas (aproximadamente 64,960 libras mensuales).

3. Coeficiente de
Determinación ().

Una pregunta importante que se plantea en el
análisis de regresión es la siguiente:
¿Qué porcentaje de la variación total en
Y se debe a la variación en X? En otras
palabras, ¿cuál es la proporción de la
variación total en Y que puede ser "explicada" por
la variación en X? El estadístico que mide
esta proporción o porcentaje se denomina coeficiente de
determinación:

En este caso, al hacer los cálculos respectivos,
se obtiene un valor de 0.946. Esto significa que la
variación en las millas recorridas explica 94.6 % de la
variación en el gasto de operación
mensual.

4. Regresión
Múltiple.

Hasta ahora hemos considerado únicamente el caso
de la regresión simple. En el caso más
general de la regresión múltiple, existen
dos o más variables independientes:

La estimación de los coeficientes de una
regresión múltiple es un cálculo
bastante complicado y laborioso, por lo que se requiere del
empleo de
programas de
computación especializados. Sin embargo, la
interpretación de los coeficientes es
similar al caso de la regresión
simple: el coeficiente de cada variable independiente mide el
efecto separado que esta variable tiene sobre la variable
dependiente. El coeficiente de determinación, por otro
lado, mide el porcentaje de la variación total en Y
que es explicado por la variación conjunta de las
variables independientes.

El ejemplo numérico que se desarrolla a
continuación está basado en un estudio
estadístico de los costos administrativos en los bancos
comerciales en Guatemala.
(Los datos básicos se muestran en el Cuadro 2.) La
variable dependiente para el análisis será
el nivel anual de los "Gastos Generales
y de Administración" en los diferentes bancos
del sistema. Si se examina el Cuadro 2, se podrá apreciar
que estos costos (que en lo sucesivo llamaremos simplemente
"costos administrativos") varían enormemente de un
banco a otro.
Nuestro problema consistirá, por tanto, en encontrar una
lista de variables que nos permitan explicar esta
variación observada.

A un nivel muy elemental, por supuesto, dicha
variación no tiene realmente ningún misterio, ya
que los bancos varían mucho en cuanto a su tamaño,
y es más bien de esperarse que los bancos más
"grandes" tengan también costos administrativos más
altos por el sólo hecho de ser más grandes. Nuestra
tarea será traducir esta noción intuitiva en un
concepto
operativo, y para esto debemos tratar de expresar el
"tamaño" de un banco en términos de alguna variable
numérica. La variable escogida para este propósito
fue el Total de Activos del
banco. Con esto, y como una primera aproximación para el
análisis, la recta de regresión sería la
siguiente:

donde Y = Costos Administrativos del banco, y
X = Activos Totales del banco.

Los Activos Totales de un banco son una buena medida de
su "tamaño," aunque no es la única medida posible,
por lo que la decisión de adoptar esta medida
específica es en cierto modo arbitraria. Por otro lado, el
empleo de los Activos Totales como variable independiente en la
regresión facilita en cierto modo la interpretación
económica de los coeficientes:

(a) El coeficiente b1 nos indica en cuánto
incrementa el costo administrativo anual por cada quetzal
adicional de activos que maneja el banco. En otras palabras, este
coeficiente nos mide el "costo marginal" de administrar un
quetzal adicional de activos.

Cuadro 2. Bancos Comerciales Privados en Guatemala
(1991).

Fuente: Superintendencia de Bancos, Boletín de
Estadísticas Bancarias (Guatemala, 4º
Trimestre, 1992).

Obviamente, éste es un dato sumamente interesante
para los tomadores de decisiones en el sector bancario. Esperamos
naturalmente que este coeficiente sea positivo.

(b) Por otro lado, el coeficiente b0 nos
estaría indicando la parte del costo administrativo que no
varía directamente con el nivel de los activos del banco.
En otras palabras, esta sería la parte del costo
administrativo que podría interpretarse como un "costo
fijo." Esperamos también que este coeficiente sea
positivo.

Un posible defecto de esta ecuación es la
suposición de que todos los bancos tienen los mismos
costos fijos. Por otro lado, se puede apreciar en el Cuadro 2 que
los bancos comerciales varían mucho en cuanto al
número de sucursales o agencias que operan, y este es un
factor que seguramente debe afectar el nivel de los costos
administrativos. Por esto, para una mejor aproximación se
estimará más bien la siguiente regresión
múltiple:

donde X1 = Activos Totales del banco, y X2
= Número de Agencias del banco.

En esta segunda regresión, el coeficiente
b2 nos está midiendo el incremento en el costo
administrativo anual que resulta de manejar una agencia
adicional. Esperamos, por tanto, que este coeficiente sea
positivo. (Naturalmente que este coeficiente tendría que
interpretarse como un costo "promedio" por agencia, ya que
ninguna agencia es exactamente igual que otra, por lo que
difícilmente pueden tener todas el mismo costo.) Los otros
coeficientes tienen la misma interpretación que en la
ecuación anterior. Los resultados estimados fueron los
siguientes:

=
0.9018

Se puede apreciar en primer lugar que esta
regresión tiene un alto grado de poder explicativo: la
variación conjunta de estas dos variables explica poco
más de 90 por ciento de la variación en los Costos
Administrativos.

Por otro lado, se aprecia que el valor estimado para
b0 es negativo, lo cual en principio carece de sentido
económico. En vista de esto, conviene en este caso volver
a estimar la regresión "por el origen," es decir, sin esta
constante. Los resultados son los siguientes:

=
0.8995

Aquí se aprecia que el poder explicativo es
básicamente igual que en la regresión anterior,
aunque al haber eliminado un coeficiente posiblemente redundante,
esta segunda regresión nos proporciona en principio
estimaciones más eficientes de los otros
coeficientes:

(a) El coeficiente b1, se recordará, nos
mide el costo "marginal" de administrar un quetzal adicional de
activos. Según estas estimaciones, por tanto, se
podría concluir que en números redondos el costo
administrativo de un banco "típico" aumentará entre
2 y 3 centavos por año por cada quetzal adicional de
activos que administre.

(b) El coeficiente b2, se recordará, nos
mide el incremento en el costo administrativo anual que resulta
de manejar una agencia adicional. Según estas
estimaciones, por tanto, se podría concluir en
números redondos, y tomando en cuenta que los datos se
expresan en términos de millones de quetzales, que el
costo administrativo de un banco "típico" aumentará
alrededor de 620,000 quetzales por año por cada agencia
adicional.

5. Regresión
No-lineal.

La regresión lineal no siempre da buenos
resultados, porque a veces la relación entre Y y
X no es lineal sino que exhibe algún grado de
curvatura. La estimación directa de los parámetros
de funciones
no-lineales es un proceso
bastante complicado. No obstante, a veces se pueden aplicar las
técnicas de regresión lineal por
medio de transformaciones de las variables originales.

Una función
no-lineal que tiene muchas aplicaciones es la función
exponencial:

Y = AXb

donde A y b son constantes desconocidas.
Si aplicamos logaritmos, esta función también puede
ser expresada como:

log(Y) = log(A) +
b.log(X)

Consideremos ahora la siguiente regresión
lineal:

log(Y) = b0 +
b1log(X)

En esta regresión (denominada regresión
doble-log), en lugar de calcular la regresión de
Y contra X, calculamos la regresión del
logaritmo de Y contra el logaritmo de
X. Comparando estas dos ecuaciones,
podemos apreciar que el coeficiente es un estimador de log(A), mientras
que es un
estimador de b (el exponente de la función
exponencial). Este modelo es
particularmente interesante en aplicaciones econométricas,
porque el exponente b en una función exponencial
mide la elasticidad de Y respecto de
X.

Como ejemplo, en el Cuadro 3 se muestran los datos
básicos de un estudio de la demanda de
carros nuevos en los Estados Unidos,
publicado en 1958 por el Profesor D. B.
Suits (nótese que Suits excluyó de su
análisis los datos correspondientes al período
1942-48, por considerarlos poco representativos). Las variables
consideradas para el análisis fueron las
siguientes:

X1 = Indice del Precio Real
de Automóviles Nuevos

X2 = Ingreso Disponible Real (en
miles de millones de dólares)

X3 = Automóviles en
Circulación al principio de cada año (millones de
unidades)

Y = Ventas de
Automóviles Nuevos (millones de unidades).

Con estos datos, podemos estimar la siguiente
regresión doble-log:

log(Y) = b0 + b1log(X1) +
b2log(X2) + b2log(X3)

Puesto que todas las variables se expresan en
términos de logaritmos, los coeficientes de
regresión son estimaciones de las elasticidades de
Y respecto de las variables independientes. La
regresión estimada fue la siguiente:

log(Y) = – 1.5803 – 1.422
log(X1) + 3.216 log(X2) – 1.479
log(X3)

=
0.942

En base a estos resultados, podemos concluir que la
elasticidad-precio de la demanda de
automóviles nuevos en este período era de
aproximadamente –1.4, con una elasticidad-ingreso de
aproximadamente 3.2. (¿Cuál sería la
interpretación del coeficiente de la variable
X3?)

Cuadro 3. Demanda de Automóviles Nuevos y
Variables Relacionadas, 1932-56.

————————————————————————————————————

X1 X2
X3 Y

————————————————————————————————————

1932 126.5 83.4 18.7 1.10

1933 128.5 82.6 17.9 1.53

1934 128.5 90.9 18.9 1.93

1935 120.5 99.3 19.4 2.87

1936 117.0 111.6 20.1 3.51

1937 121.0 115.6 21.5 3.51

1938 133.8 109.0 22.3 1.96

1939 131.0 118.5 22.7 2.72

1940 134.3 127.0 23.2 3.46

1941 144.9 147.9 24.5 3.76

1949 186.6 184.9 30.6 4.87

1950 186.6 200.5 33.1 6.37

1951 181.5 203.7 35.7 5.09

1952 195.7 209.2 37.6 4.19

1953 188.2 218.7 39.3 5.78

1954 190.2 221.6 41.6 5.47

1955 196.6 236.3 43.0 7.20

1956 193.4 247.2 47.0 5.90

————————————————————————————————————

Fuente: "The Demand for New Automobiles in the United
States," Review of Economics and Statistics, 40 (August
1958): 279.

CASOS
APLICADOS

Caso A — Elecciones en
Florida

En las elecciones presidenciales norteamericanas de
Noviembre 2000 los contendientes principales, George Bush y Al
Gore, resultaron casi empatados en términos de votos
electorales, por lo que el resultado dependía crucialmente
de los comicios en el estado de
Florida, donde el escrutinio inicial no dio un resultado
definitivo a favor de ninguno de los candidatos. A medida que
proseguía el conteo, surgieron varias anomalías,
una de las cuales tuvo que ver con el condado de Palm Beach.
Entre otras cosas, se alegó que en este condado muchos
votantes que deseaban votar por Gore se confundieron, debido al
diseño
de la papeleta electoral, y votaron por error por un candidato
marginal, Pat Buchanan, del Reform Party. (El condado de Palm
Beach tenía una papeleta electoral un tanto confusa y con
un formato diferente a la de los demás condados en el
estado.)

El cuadro adjunto muestra la votación obtenida
por Buchanan en todos los condados del estado de Florida, y se
aprecia claramente que la cantidad de votos obtenidos por ese
candidato en Palm Beach fue exageradamente grande en
comparación al resto del estado. Presumiblemente, muchos
de estos fueron efectivamente votos erróneos (y
probablemente con la intención de votar por Gore, debido
al diseño de la papeleta). La pregunta es si se puede
obtener una estimación aproximada de la cantidad de estos
votos erróneos.

Como una primera aproximación, se
esperaría que la votación obtenida por Buchanan en
un condado determinado estaría positivamente relacionada
con la cantidad de personas afiliadas al Reform Party residentes
en ese condado. Este dato también se muestra en el cuadro
adjunto.

Con esta información,

Construya un diagrama de dispersión, relacionando
las dos variables.

Calcule la línea de regresión (excluyendo
la observación para Palm Beach), y con los
resultados obtenidos, haga una estimación de la
"votación excedente" obtenida por Buchanan en Palm
Beach.

Tomando en cuenta que según los resultados
oficiales, Bush ganó a Gore en Florida por una diferencia
de 537 votos (sobre un total de más de 6,100,000 votos
emitidos), comente sobre las implicaciones de este
análisis para el resultado final de las elecciones
presidenciales de ese año.

Resultados Electorales en Florida, Nov
2000 — Reform Party (P. Buchanan).

: Florida Dept. of State, Division of Elections, "County
Voter Registration by Party," Oct 10, 2000 (http://election.dos.state.fl.us/pdf/2000voterreg/2000genparty.pdf);
ABC News, "Florida: Real-Time County Returns"
(www.abcnews.go.com/sections/politics/2000vote/general/FL_county.html), visited
June 15, 2001.

Caso B — Desempleo y
Crecimiento Económico

En 1962 el economista norteamericano Arthur Okun
planteó un modelo macroeconómico para explicar las
variaciones en la tasa de desempleo. Según este modelo,
que se conoce hoy en día como la "ley de Okun,"
existe una relación lineal entre el cambio en la
tasa de desempleo y la tasa de crecimiento del Producto Interno
Bruto (PIB)
real.

El siguiente cuadro muestra datos sobre desempleo y
crecimiento
económico en los Estados Unidos durante el
período 1966-95.

Use estos datos para estimar el modelo de Okun, y
explique el significado de los coeficientes obtenidos.

En este problema, el punto donde la recta intersecta al
eje X tiene un significado económico interesante.
Determine este punto para este caso, y explique su significado en
términos del modelo de Okun.

Fuentes: Desempleo — OECD Economic Outlook,
No. 32 (Dec 1982), Table R12, y No. 59 (June 1996), Annex Table
22; Crecimiento PIB — International Financial Statistics
Yearbook 1996, pp. 146-47.

Caso C — Desempleo y
Crecimiento Económico (cont.)

Como regularidad empírica, la "Ley de Okun" es
una de las relaciones macroeconómicas más estables
que se conocen. Para comprobarlo, vuelva a estimar el modelo de
Okun usando datos sobre desempleo y crecimiento económico
en Estados Unidos durante el período 1929-54. (Para el
estudio de las fluctuaciones en el desempleo, este período
muestral es particularmente interesante, porque incluye el
período de la Gran Depresión
de los años 30’s.)

Compare con la regresión estimada en el caso
anterior, y comente sobre los resultados.

Fuentes: (a) Desempleo—Stanley Lebergott, "Annual
Estimates of Unemployment in the U.S., 1900-1950," en The
Measurement and Behavior of Unemployment (Princeton
University Press, 1957), Table 1, pp. 215-16; (b) Crecimiento PIB
real—Economic Report of the President, 1962
(Washington: Government Printing Office, 1962),
Table B-3, p. 210.

Caso D — Ley de Okun
en Alemania

En el cuadro adjunto se muestran datos anuales para la
tasa de desempleo y el cambio
porcentual en el PIB real en Alemania
Occidental durante el período 1960-1981. Use estos datos
para estimar el modelo de Okun, y explique el significado de los
resultados obtenidos.

n.d. = no disponible

Fuente: Frank Wolter, "Del Milagro Económico al
Estancamiento: La Enfermedad Alemana," en A. C. Harberger, ed.,
El Crecimiento Económico en el Mundo (México:
Fondo de Cultura
Económica, 1988), Cuadro A-3, p. 115.

Caso E —
Función Consumo

Los datos en el cuadro adjunto fueron tomados de un
antiguo estudio sobre la "función con-sumo" en los Estados
Unidos. Se desea estimar la siguiente regresión
lineal:

(1) C(t) = b0 +
b1Y(t) + e(t)

donde C(t) = Gasto de consumo
personal, en
el trimestre t, Y(t) = Ingreso personal disponible, en el
trimestre t (ambos expresados en billones de dólares de
1954), y e(t) es el error o "residuo" de la
regresión estimada.

Suponga que otro investigador desea estudiar las
variaciones en el "ahorro
personal," por lo que postula la siguiente
relación:

(2) S(t) = a0 +
a1Y(t) + e(t)

donde S(t) se define como el ahorro personal
trimestral:

S(t) = Y(t) – C(t)

Estime ambas regresiones por mínimos cuadrados
ordinarios.

En vista de que R2 es más bajo para la
segunda regresión, ¿podríamos concluir que
este modelo tiene menos "poder explicativo"? (Sugerencia: Compare
los errores de ambas regresiones.)

CONSUMO E INGRESO PERSONAL EN ESTADOS UNIDOS, 1947-61
(trimestral)

Fuente: Zvi Griliches, et al. "Notes on Estimated
Aggregate Quarterly Consumption Functions,"

Econometrica, 30 (July 1962): 499-500.

Caso F — Demanda de
Fotocopias

En el cuadro adjunto se muestra una estadística
de la venta mensual de
fotocopias en la Biblioteca de la
Universidad
Francisco Marroquín, y de la cantidad mensual de usuarios
en dicha biblioteca, clasificados según varias
categorías. Como se puede observar, el movimiento de
fotocopias varía mucho de un mes a otro. Utilice los datos
disponibles para estimar un modelo de regresión
múltiple que explique esta variación. De acuerdo a
estos resultados, ¿qué porcentaje de la
variación en el volumen de
fotocopias se puede explicar por las variaciones en el
número de usuarios de diferente tipo?
¿Cuáles son los usuarios que más impacto
tienen sobre la demanda de fotocopias en esta
biblioteca?

————————————————————————————————————————————————————————————————————————

Biblioteca UFM — Ingreso de Usuarios y Movimiento
de Fotocopias, 1994-99.

————————————————————————————————————

Usuarios
———————————————————————————————————————————————————

Estudiantes

————————————————————————
Fotocopias Otras Cated. y

(miles) UFM Univ. Escolares Pers. Adm. Otros
TOTAL

————————————————————————————————————

1994

Sept 25.7 5003 438 328 184 281 6234

Oct 24.6 9125 763 611 723 430 11652

Nov 24.5 6241 402 261 463 468 7835

Dic 1.5 0 0 0 0 0 0

1995

Enero 12.6 6071 239 246 180 232 6968

Feb 30.9 12716 380 672 301 155 14224

Marzo 31.3 12937 636 410 1071 238 15292

Abril 22.0 8676 459 910 1007 223 11275

Mayo 27.9 12905 425 794 222 131 14477

Junio 16.9 5164 256 1211 126 112 6869

Julio 21.4 8768 562 788 230 243 10591

Agosto 21.4 11508 572 568 356 219 13223

Sept 22.2 11336 460 479 244 147 12666

Oct 16.3 9537 375 197 369 264 10742

Nov 20.5 10191 374 94 247 213 11119

Dic 2.9 629 19 16 23 28 715

1996

Enero 22.1 9922 717 470 771 525 12405

Feb 36.1 13393 563 619 466 370 15411

Marzo 30.4 13007 519 828 344 314 15012

Abril 31.1 10021 442 692 227 229 11611

Mayo 29.6 11988 318 521 208 703 13738 Junio 19.9 7409
202 499 157 100 8367 Julio 28.6 10508 440 743 212 196 12099
Agosto 29.8 11216 386 439 208 126 12375 Sept 24.2 8004 526 452 18
51 9051

Oct 28.9 8119 431 224 50 131 8955

Nov 22.6 6807 459 83 15 79 7443

Dic 0.1 67 0 0 0 0 67 (cont.)

(cont.)

————————————————————————————————————————————————————————————————————————

Biblioteca UFM — Ingreso de Usuarios y Movimiento
de Fotocopias, 1994-99.

————————————————————————————————————

Usuarios
———————————————————————————————————————————————————

Estudiantes

————————————————————————
Fotocopias Otras Cated. y

(miles) UFM Univ. Escolares Pers. Adm. Otros
TOTAL

————————————————————————————————————

1997

Enero 23.7 9298 531 464 619 412 11324

Feb 33.2 13343 713 759 414 405 15634 Marzo 21.6 13720
621 844 427 345 15957 Abril 30.9 15534 656 1076 555 243
18064

Mayo 31.5 14004 373 1114 517 256 16264

Junio 14.6 8889 247 569 385 232 10322

Julio 32.2 9078 492 953 479 317 11319 Agosto 23.3 10339
489 563 447 279 12117Sept 19.9 8910 599 417 376 213
10515

Oct 31.2 10269 628 216 470 226 11809 Nov 19.9 11156 535
298 408 221 12618

Dic 2.8 0 0 0 0 0 0 1998Enero 20.1 8673 345 457
467 298 10240

Feb 31.1 13293 863 898 362 440 15856

Marzo 25.5 14432 722 859 509 375 16897

Abril 25.0 9656 516 573 103 278 11126

Mayo 26.3 12359 656 861 343 569 14788

Junio 16.9 8459 498 440 516 294 10207

Julio 27.8 6999 742 678 231 626 9276 Agosto 23.6 8137
707 384 253 272 9753

Sept 16.9 7576 499 280 154 180 8689

Oct 21.3 7719 534 124 274 379 9030

Nov 20.5 10053 404 217 158 342 11174

Dic 2.2 0 0 0 0 0 0 1999Enero 20.2 7604 469 311
136 592 9112 Feb 20.9 9773 788 801 191 227 11780 Marzo 25.7 10884
682 629 274 219 12688 Abril 36.0 10677 635 918 171 467 12868 Mayo
30.4 10755 646 726 319 319 12765 Junio 21.5 5658 430 679 237 283
7287 Julio 29.3 6934 665 709 241 263 8812 Agosto 33.8 9189 892
467 403 334 11285 Sept 23.8 7628 653 556 214 203 9254

Oct 29.2 7121 502 107 203 182 8115 Nov 20.6 5706 208 75
168 119 6276 Dic 4.9 0 0 0 0 0
0————————————————————————————————————

Fuente: Registros de la
Biblioteca.

Caso G —
Inflación en América
Latina

La llamada Teoría
Cuantitativa del Dinero
(también conocida como "monetarismo")
postula a largo plazo una relación estable entre tres
variables macroeconómicas muy importantes: el cambio
porcentual en el índice general de precios (i.e.,
la tasa de "inflación"), el cambio porcentual en la masa
monetaria (la tasa de "crecimiento monetario"), y el cambio
porcentual en el PIB a precios constantes (la tasa de
"crecimiento real"). Según esta teoría, la
inflación estará positivamente relacionada con la
tasa de crecimiento monetario, e inversamente relacionada con la
tasa de crecimiento económico real.

El cuadro adjunto muestra las tasas anuales promedio de
inflación, crecimiento monetario, y crecimiento real en 16
países latinoamericanos durante el período 1950-69.
La inflación fue medida por medio del IPC, y el
crecimiento monetario se basa en el agregado monetario conocido
como M1 (efectivo fuera de bancos + depósitos a
la vista en bancos comerciales).

Use estos datos para estimar la siguiente
regresión

Y = b0 + b1X1 +
b2X2

donde Y = tasa anual promedio de
inflación, X1 = tasa anual promedio de crecimiento
monetario, y X2 = tasa anual promedio de crecimiento en
PIB real.

Comente sobre los resultados, e interprete el
significado de los coeficientes en términos de la
Teoría Cuantitativa.

Fuente: R. C. Vogel, "The Dynamics of Inflation in Latin
America, 1950-1969,"

American Economic Review, 64 (1974), Table 1, p.
103.

Caso H —
Convergencia Regional en México

Según el modelo neo-clásico de crecimiento
económico, propuesto por Robert Solow en los años
cincuentas, a largo plazo la tasa de crecimiento en el ingreso
per cápita tiende a disminuir, a medida que aumenta el
nivel de ingreso per cápita, debido al efecto de
rendimientos decrecientes en el empleo de capital
físico. Esto implica que si se comparan diferentes
países durante un determinado período, se
esperaría encontrar una relación inversa entre la
tasa de crecimiento económico en un país y su nivel
de ingreso inicial. Este efecto se conoce como "convergencia," ya
que implica que a largo plazo los niveles de ingreso per
cápita tienden a igualarse entre diferentes regiones. En
la práctica sólo se observa este efecto a nivel
internacional cuando se comparan países más o menos
similares (ya que es una predicción ceteris
paribus, y cuando los países son muy disimilares
tiende a predominar el efecto de otros factores). Por otro lado,
sí se observa comúnmente este efecto cuando se
comparan diferentes regiones de un mismo país.

En el cuadro adjunto, se muestra una estadística
de la evolución del ingreso real per
cápita en los diferentes estados de México, entre
1940 y 1995. Use estos datos para estimar la siguiente
regresión:

Y = b0 + b1log(X)

donde

Y = tasa anual promedio de crecimiento del
ingreso real per capita, 1940-95,

X = ingreso real per cápita en
1940.

¿Son compatibles estos resultados con la hipótesis de convergencia?

MÉXICO — Ingreso per Cápita Estatal,
1940-1995 (pesos de 1995).

Fuente: G. Esquivel, "Convergencia Regional en
México, 1940-1995," El Trimestre Económico,
66 (Oct-Dic 1999), Cuadro A1, p. 759.

Caso I — Demanda
de Importaciones en
Guatemala

En el cuadro adjunto se muestran datos relacionados con
las importaciones en Guatemala durante el período de
1960-2000. Para eliminar el efecto de la inflación, los
datos han sido expresados en términos de quetzales de
1958, por lo que estas cifras "deflatadas" se pueden interpretar
como las importaciones "reales" en el sentido de que reflejan
cambios en la demanda física de bienes
importados.

Como una primera aproximación, la "demanda de
importaciones" puede expresarse como función del costo
relativo de los productos
importados (comparado con el costo de bienes producidos
domésticamente) y del nivel de ingreso real. Para medir la
primera de estas variables explicativas, tomamos la razón
entre el Deflactor de Importaciones y el Deflactor del PIB
total—esta razón la interpretaremos como el "precio
relativo" de las importaciones —y para medir la segunda
variable tomamos el PIB real (a precios de 1958). Los datos para
las variables explicativas también se muestran en el
cuadro adjunto.

Para medir la elasticidad de la demanda de importaciones
respecto de cada una de estas variables, use estos datos para
calcular la siguiente regresión doble-log:

log(Y) = b0 + b1log(X1) +
b2log(X2)

donde Y = Importaciones reales,

X1 = Precio relativo

X2 = PIB real

Interprete el significado de los resultados
obtenidos.

IMPORTACIONES EN GUATEMALA, 1960-2000.

Deflactor de Importación

1/ Millones de quetzales de 1958 2/ Precio Relativo =
———————————

Deflactor del PIB

Fuente: Banco de Guatemala, Sección Cuentas
Nacionales.

Caso J —
Producción de Algodón

Los siguientes datos muestran los resultados de un
experimento agrícola realizado en 1957 por la Universidad
Estatal de Mississippi para investigar los efectos de variaciones
en el uso de dos fertilizantes, nitrógeno y ácido
fosfórico, sobre el rendimiento en el cultivo del algodón:

Rendimiento en el Cultivo de Algodón (kg/Ha) para
Diferentes Combinaciones de Nitrógeno y Acido
Fosfórico

————————————————————————————————————

Acido Fosfórico (kg/Ha)

Nitrógeno
——————————————————————————————

(kg/Ha) 0 8 16 24 32 40 48 56

————————————————————————————————————
0 710 800 873 932 975 1003 1014 1012

8 985 1078 1155 1217 1264 1295 1311 1312

16 1205 1301 1382 1448 1498 1534 1553 1558

24 1370 1470 1555 1625 1679 1718 1742 1749

32 1481 1584 1673 1747 1804 1847 1875 1886

40 1538 1645 1737 1814 1876 1922 1954 1969

48 1539 1651 1747 1828 1893 1943 1978 1997

————————————————————————————————————

Fuente: C. E. Bishop y W. D. Toussaint,
Introducción al Análisis de Economía
Agrícola (México: Limusa-Wiley, 1966), p. 119.
El experimento original también incluye resultados para
aplicaciones de 56 kg de nitrógeno, y para aplicaciones de
64 kg de ácido fosfórico, pero se han omitido estos
valores del
análisis, ya que con estas cantidades de fertilizante los
rendimientos empiezan a disminuir.

(a) Sea Y = Rendimiento de la cosecha,

X1 = Cantidad empleada de
nitrógeno,

X2 = Cantidad empleada de ácido
fosfórico.

Use estos datos para estimar la siguiente función
por regresión lineal:

Y =
A(1+X1)b(1+X2)c

donde A, b y c son constantes
desconocidas. ¿Cómo interpreta usted el significado
de la constante A en esta función?

(b) Use estos resultados para determinar la cantidad
óptima que debería emplearse de cada tipo de
fertilizante, suponiendo que el precio del algodón es de 4
centavos por kg, y que los costos de aplicación de
nitrógeno y de ácido fosfórico son de 28 y
14 centavos por kg, respectivamente. ¿Cuál
sería la utilidad esperada
por hectárea si se emplean estas cantidades?

Caso K —
Inflación en Guatemala

En el Caso G se aplicó un modelo basado en la
Teoría Cuantitativa del Dinero para explicar la
variación en las tasas de inflación en un grupo de
países latinoamericanos. Un problema que se presenta al
aplicar este modelo a los datos anuales de un país
específico es que, en el corto plazo, generalmente existe
un retardo en el efecto de variaciones en la masa monetaria, por
lo que una estimación directa de esa regresión
tiende a subestimar el efecto inflacionario de un cambio
monetario, debido a la omisión del efecto retardado. Para
salvar esta dificultad, en un clásico estudio sobre la
inflación chilena, A. C. Harberger propuso el siguiente
modelo:

Y(t) = b0 +
b1X1(t) +
b2X1(t-1) +
b3X2(t) +
e(t)

donde Y(t) representa la tasa de inflación
en el año t, X1(t) es la tasa de
crecimiento en la masa monetaria en el año t,
X2(t) es el cambio porcentual en el PIB real en
el año t, y e(t) es el error o "residuo" de la
regresión estimada. Se puede apreciar que la
regresión incluye también como variable
independiente el crecimiento monetario del año anterior,
X1(t-1), para poder tomar en cuenta posibles
"retardos" en el efecto del crecimiento monetario. Este modelo ha
sido usado para estudiar la inflación en muchos
países, con buenos resultados. Algunos economistas, sin
embargo, consideran que el modelo de Harberger no siempre capta
bien el retardo en el efecto monetario, y proponen más
bien que se incluya, en lugar del crecimiento monetario
retardado, un valor retardado de la variable dependiente, o sea,
la tasa de inflación del año anterior:

Y(t) = b0 +
b1X1(t) +
b2X2(t) +
b3Y(t-1)+ e(t)

A fin de comparar estos dos modelos,
estime ambas regresiones con datos para Guatemala para el
período 1962-95 (los datos usados se muestran en el cuadro
adjunto).

En términos generales, ¿cuál de
estos dos modelos funciona mejor? ¿Por qué?
¿Cómo se podrían mejorar los
resultados?

INFLACION, MASA MONETARIA, Y PIB REAL EN GUATEMALA,
1961-1995

(cambios porcentuales anuales)

Fuente: J. H. Cole, "Inflación en Guatemala,
1961-95," Banca Central, No. 32 (Abril-Junio 1997), p.
24.

Caso L —
Inflación en Guatemala (cont.)

En el caso anterior se aplicó un modelo
"monetarista" con retardos para explicar la variación
anual en la tasa de inflación en Guatemala. Para medir la
inflación, se utilizó el Indice de Precios al
Consumidor (IPC).
En el cuadro adjunto, se muestra una desagregación del
cambio en el IPC en Guatemala, en términos de su dos
principales componentes: Alimentos y
No-Alimentos.

Con estos datos, repita el análisis del caso
anterior, estimando regresiones separadas para los dos
componentes del IPC.

¿Qué conclusiones deriva usted de este
ejercicio?

INDICE DE PRECIOS AL CONSUMIDOR EN GUATEMALA,
1961-1995

(cambios porcentuales anuales)

Fuente: J. H. Cole, "Inflación en Guatemala,
1961-95," Banca Central,, No. 32 (Abril-Junio 1997), p.
24.

Referencias

Barro, Robert J. Economic Growth and Convergence.
Occasional Papers No. 46. San Francisco: International Center for
Economic Growth, 1994.

Benston, George J. "Multiple Regression Analysis of Cost
Behavior," Accounting Review, 41 (1966): 657-72.
(University of Rochester, Graduate School of Management, Systems
Analysis Reprint Series No. S-6.)

Bishop, C. E. & W. D. Toussaint.
Introducción al Análisis de Economía
Agrícola. México: Limusa-Wiley,
1966.

Cole, J. H. "Inflación en Guatemala, 1961-95,"
Banca Central, No. 32 (1997): 21-25.

Esquivel, Gerardo. "Convergencia Regional en
México, 1940-1995," El Trimestre Económico,
66 (1999): 725-61.

Friedman, Milton. "Money: Quantity Theory,"
International Encyclopedia of the Social Sciences (1968),
vol. 10, pp. 432-47.

Goldberger, Arthur S. Topics in Regression
Analysis. New York: Macmillan, 1968.

Griliches, Zvi, et al. "Notes on Estimated
Aggregate Quarterly Consumption Functions," Econometrica,
30 (1962): 491-500.

Harberger, Arnold C. "The Dynamics of Inflation in
Chile," en C. F. Christ, et al., Measurement in Economics:
Studies in Mathematical Economics and Econometrics in Memory of
Yehuda Grunfeld, pp. 219-50. Stanford University Press,
1963.

Johnston, J. Análisis Estadístico de
los Costes. Barcelona: Sagitario, S. A., 1966.

Johnston, J. Econometric Methods, 2ª ed. New
York: McGraw-Hill, 1972.

Khan, M. S. "Import and Export Demand in Developing
Countries," IMF Staff Papers, 21 (1974):
678-93.

Krugman, Paul. "How Fast Can the U.S. Economy Grow?"
Harvard Business Review, 75 (July-Aug 1997):
123-29.

Lebergott, Stanley. "Annual Estimates of Unemployment in
the United States, 1900-1950," en The Measurement and Behavior
of Unemployment, pp. 213-41. Princeton: Princeton University
Press, 1957.

Okun, A. M. "Potential GNP: Its Measurement and
Significance," Proceedings (Business and Economics
Section), American Statistical Association, 1962, pp.
98-104.

Rao, Potluri, & R. L. Miller. Applied
Econometrics. Belmont, Cal.: Wadsworth Pub., 1971.

Sala-i-Martin, Xavier. "The Classical Approach to
Convergence Analysis," Economic Journal, 106 (1996):
1019-36.

Suits, D. B. "The Demand for New Automobiles in the
United States," Review of Economics and Statistics, 40
(1958): 273-80.

Vogel, Robert C. "The Dynamics of Inflation in Latin
America, 1950-1969," American Economic Review, 64 (1974):
102-14.

Wolter, Frank. "Del Milagro Económico al
Estancamiento: La Enfermedad Alemana," en A. C. Harberger, ed.,
El Crecimiento Económico en el Mundo, pp. 90-118.
México: Fondo de Cultura Económica,
1988.

Notas

. En la práctica los cálculos relacionados
con un análisis de regresión se efectúan por
medio de programas de computadora,
por lo que los cálculos detallados en esta sección
se incluyen únicamente a título de ilustración.

2. Los resultados de este análisis
pueden proporcionar una buena indicación sobre el comportamiento
de los costos para el banco "típico" en Guatemala, aunque
la naturaleza
misma de un estudio de este tipo no puede arrojar resultados
estrictamente aplicables a cada uno de los bancos considerados
individualmente. No obstante, a pesar de esto, un estudio de este
tipo de todas maneras puede ser muy útil, porque los
resultados pueden proporcionar una "norma" o "estándar"
contra el cual se pueden comparar los costos administrativos en
un banco particular. En ausencia de un estudio de este tipo, un
banco no tiene realmente un criterio para determinar si sus
costos son "muy elevados," "aceptables," o "normales," ya que los
bancos difieren enormemente en cuanto a cantidad de activos,
número de sucursales, etc., de modo que el único
criterio objetivo
sería el de compararse con un banco de similar
tamaño y características. Sin embargo, si se
pudiera obtener una fórmula empírica que permita
calcular un valor "normal" o "promedio" para los costos
administrativos en función de unas pocas variables que
permitan una medición numérica, entonces se
podría fácilmente determinar si el banco en
cuestión está "mejor" o "peor" que el banco
"típico" a ese respecto.

3. A. M. Okun, "Potential GNP: Its Measurement and
Significance," Proceedings (Business and Economics Section),
American Statistical Association, 1962, pp. 98-104.

4.Para una aplicación reciente del modelo de
Okun, véase Paul Krugman, "How Fast Can the U.S. Economy
Grow?", Harvard Business Review, 75 (July-Aug 1997):
123-29.

5. Para un desarrollo
moderno de la Teoría Cuantitativa, véase M.
Friedman, "Money: Quantity Theory," International Encyclopedia of
the Social Sciences (1968), vol. 10, pp. 432-47.

6. Robert M. Solow, "A Contribution to the Theory of
Economic Growth," Quarterly Journal of Economics, 70 (Feb 1956):
65-94.

7. Véase, por ejemplo, Robert J. Barro, Economic
Growth and Convergence, Occasional Papers No. 46 (San Francisco:
International Center for Economic Growth, 1994), y Xavier
Sala-i-Martin, "The Classical Approach to Convergence Analysis,"
Economic Journal, 106 (July 1996): 1019-36.

8. Para una justificación de esta forma funcional
véase M. S. Khan, "Import and Export Demand in Developing
Countries," IMF Staff Papers, 21 (1974): 678-93.

9. Arnold C. Harberger, "The Dynamics of Inflation in
Chile," en C. F. Christ, et al., Measurement in Economics:
Studies in Mathematical Economics and Econometrics in Memory of
Yehuda Grunfeld (Stanford University Press, 1963), pp.
219-50.

10. Otra forma de expresar esta misma ecuación
es

Y(t) = b0 + (b1 + b2)X1(t) – b2[X1(t) –
X1(t-1)] + b3X2(t) + e(t)

donde la tasa de inflación en un período
determinado depende de la tasa de crecimiento monetario en ese
período, y del cambio en la tasa de crecimiento monetario.
Esto introduce un elemento dinámico en la relación
a corto plazo entre inflación y crecimiento monetario. La
relación de largo plazo se da cuando X1(t) = X1(t-1),
i.e., el crecimiento monetario se mantiene constante de un
período a otro, y la ecuación entonces se reduce
a

Y(t) = b0 + (b1 + b2)X1(t) + b3X2(t) + e(t)

por lo que en el largo plazo el efecto de una
determinada tasa de crecimiento monetario está dado por
(b1 + b2).

Julio H. Cole